Introductie
Eeuwenlang hebben wiskundigen geprobeerd de beweging van vloeistoffen te begrijpen en te modelleren. De vergelijkingen die beschrijven hoe rimpelingen het oppervlak van een vijver vouwen, hebben onderzoekers ook geholpen om het weer te voorspellen, betere vliegtuigen te ontwerpen en te karakteriseren hoe bloed door de bloedsomloop stroomt. Deze vergelijkingen zijn bedrieglijk eenvoudig als ze in de juiste wiskundige taal worden geschreven. Hun oplossingen zijn echter zo complex dat het onbetaalbaar moeilijk kan zijn om zelfs de basisvragen erover te begrijpen.
Misschien wel de oudste en meest prominente van deze vergelijkingen, meer dan 250 jaar geleden geformuleerd door Leonhard Euler, beschrijft de stroom van een ideale, onsamendrukbare vloeistof: een vloeistof zonder viscositeit of interne wrijving, die niet in een kleiner volume kan worden gedwongen. "Bijna alle niet-lineaire vloeistofvergelijkingen zijn min of meer afgeleid van de Euler-vergelijkingen," zei Tarek Elgindi, een wiskundige aan de Duke University. "Zij zijn de eersten, zou je kunnen zeggen."
Toch is er nog veel onbekend over de Euler-vergelijkingen - inclusief of ze altijd een nauwkeurig model zijn van de ideale vloeistofstroom. Een van de centrale problemen in de vloeistofdynamica is om erachter te komen of de vergelijkingen ooit mislukken, waarbij onzinnige waarden worden uitgevoerd waardoor ze de toekomstige toestanden van een vloeistof niet kunnen voorspellen.
Wiskundigen hebben lang vermoed dat er beginvoorwaarden bestaan die ervoor zorgen dat de vergelijkingen niet werken. Maar ze hebben het niet kunnen bewijzen.
In een voordruk vorige maand online geplaatst, heeft een paar wiskundigen aangetoond dat een bepaalde versie van de Euler-vergelijkingen inderdaad soms niet werkt. Het bewijs markeert een grote doorbraak - en hoewel het het probleem voor de meer algemene versie van de vergelijkingen niet volledig oplost, biedt het hoop dat een dergelijke oplossing eindelijk binnen handbereik is. "Het is een geweldig resultaat", zei hij Tristan Buckmaster, een wiskundige aan de Universiteit van Maryland die niet bij het werk betrokken was. "Er zijn geen resultaten van zijn soort in de literatuur."
Er zit maar één addertje onder het gras.
Het bewijs van 177 pagina's - het resultaat van een tien jaar durend onderzoeksprogramma - maakt veel gebruik van computers. Dit maakt het aantoonbaar moeilijk voor andere wiskundigen om het te verifiëren. (In feite zijn ze daar nog steeds mee bezig, hoewel veel experts geloven dat het nieuwe werk correct zal blijken te zijn.) Het dwingt hen ook om rekening te houden met filosofische vragen over wat een "bewijs" is en wat het zal doen. bedoel als de enige haalbare manier om zulke belangrijke vragen in de toekomst op te lossen, is met behulp van computers.
Het beest zien
In principe, als je de locatie en snelheid van elk deeltje in een vloeistof kent, zouden de Euler-vergelijkingen in staat moeten zijn om te voorspellen hoe de vloeistof voor altijd zal evolueren. Maar wiskundigen willen weten of dat echt zo is. Misschien zullen in sommige situaties de vergelijkingen doorgaan zoals verwacht, waardoor precieze waarden worden geproduceerd voor de toestand van de vloeistof op een bepaald moment, alleen voor een van die waarden die plotseling omhoogschiet naar oneindig. Op dat moment zouden de Euler-vergelijkingen aanleiding geven tot een "singulariteit" - of, dramatischer, tot "opblazen".
Zodra ze die singulariteit hebben bereikt, zullen de vergelijkingen niet langer in staat zijn om de stroom van de vloeistof te berekenen. Maar "sinds een paar jaar geleden viel wat mensen konden doen heel, heel ver achter bij [bewijzen opblazen]", zei Charlie Feffermann, een wiskundige aan Princeton University.
Het wordt nog ingewikkelder als je een vloeistof probeert te modelleren die viscositeit heeft (zoals bijna alle vloeistoffen in de echte wereld). Een millenniumprijs van een miljoen dollar van het Clay Mathematics Institute wacht op iedereen die kan bewijzen of soortgelijke fouten optreden in de Navier-Stokes-vergelijkingen, een veralgemening van de Euler-vergelijkingen die de viscositeit verklaren.
In 2013, Thomas hou, een wiskundige aan het California Institute of Technology, en Guo Luo, nu aan de Hang Seng Universiteit van Hong Kong, stelde een scenario voor waarin de Euler-vergelijkingen zouden leiden tot een singulariteit. Ze ontwikkelden een computersimulatie van een vloeistof in een cilinder waarvan de bovenste helft met de klok mee draaide en de onderste helft tegen de klok in. Terwijl ze de simulatie uitvoerden, begonnen meer gecompliceerde stromingen op en neer te bewegen. Dat leidde op zijn beurt tot vreemd gedrag langs de grens van de cilinder waar tegengestelde stromen samenkwamen. De draaikolk van de vloeistof - een maatstaf voor rotatie - groeide zo snel dat het op het punt leek te ontploffen.
Het werk van Hou en Luo was suggestief, maar geen echt bewijs. Dat komt omdat het voor een computer onmogelijk is om oneindige waarden te berekenen. Het kan heel dicht bij het zien van een singulariteit komen, maar het kan het niet echt bereiken - wat betekent dat de oplossing misschien heel nauwkeurig is, maar het is nog steeds een benadering. Zonder de ondersteuning van een wiskundig bewijs lijkt de waarde van de vorticiteit alleen maar tot oneindig toe te nemen vanwege een artefact van de simulatie. De oplossingen kunnen in plaats daarvan uitgroeien tot enorme aantallen voordat ze weer afnemen.
Dergelijke omkeringen waren eerder gebeurd: een simulatie zou aangeven dat een waarde in de vergelijkingen was opgeblazen, alleen voor meer geavanceerde rekenmethoden om het tegendeel te laten zien. "Deze problemen zijn zo delicaat dat de weg bezaaid ligt met de wrakstukken van eerdere simulaties", zei Fefferman. In feite is Hou zo begonnen op dit gebied: verschillende van zijn eerdere resultaten weerlegden de vorming van hypothetische singulariteiten.
Maar toen hij en Luo hun oplossing publiceerden, dachten de meeste wiskundigen dat het zeer waarschijnlijk een echte singulariteit was. "Het was heel nauwgezet, heel precies", zei hij Vladimir Sverak, een wiskundige aan de Universiteit van Minnesota. "Ze hebben echt veel moeite gedaan om vast te stellen dat dit een echt scenario is." Later werk van Elgindi, Sverak en anderen versterkte die overtuiging alleen maar.
Maar een bewijs bleef uit. 'Je hebt het beest gezien,' zei Fefferman. "Dan probeer je het vast te leggen." Dat betekende dat we moesten laten zien dat de geschatte oplossing die Hou en Luo zo zorgvuldig hebben gesimuleerd, in specifiek wiskundige zin heel, heel dicht bij een exacte oplossing van de vergelijkingen ligt.
Nu, negen jaar na die eerste waarneming, Hou en zijn voormalige afgestudeerde student Jiajie Chen zijn er eindelijk in geslaagd het bestaan van die nabije singulariteit te bewijzen.
De verhuizing naar zelfgelijkend land
Hou, later vergezeld door Chen, profiteerde van het feit dat bij nadere analyse de geschatte oplossing uit 2013 een speciale structuur leek te hebben. Naarmate de vergelijkingen in de loop van de tijd evolueerden, vertoonde de oplossing een zogenaamd zelfgelijkend patroon: de vorm leek later veel op de eerdere vorm, alleen op een specifieke manier opnieuw geschaald.
Als gevolg hiervan hoefden de wiskundigen niet te proberen naar de singulariteit zelf te kijken. In plaats daarvan zouden ze het indirect kunnen bestuderen door zich te concentreren op een eerder tijdstip. Door met de juiste snelheid in te zoomen op dat deel van de oplossing - bepaald op basis van de zelfgelijkende structuur van de oplossing - konden ze modelleren wat er later zou gebeuren, ook op de singulariteit zelf.
Het duurde een paar jaar voordat ze een analoog vonden dat vergelijkbaar was met het ontploffingsscenario van 2013. (Eerder dit jaar gebruikte een ander team van wiskundigen, waaronder Buckmaster, andere methoden om een vergelijkbare benaderde oplossing vinden. Ze gebruiken die oplossing momenteel om een onafhankelijk bewijs van singulariteitsvorming te ontwikkelen.)
Met een bij benadering gelijkaardige oplossing in de hand, moesten Hou en Chen aantonen dat er een exacte oplossing in de buurt bestaat. Wiskundig gezien komt dit overeen met het bewijzen dat hun benaderde zelf-vergelijkbare oplossing stabiel is - dat zelfs als je het enigszins zou verstoren en vervolgens de vergelijkingen zou ontwikkelen vanaf die verstoorde waarden, er geen manier zou zijn om te ontsnappen aan een kleine buurt rond de benaderende oplossing. "Het is als een zwart gat," zei Hou. “Als je begint met een profiel dichtbij, word je meegezogen.”
Maar het hebben van een algemene strategie was slechts een stap in de richting van de oplossing. "Kiestige details zijn belangrijk," zei Fefferman. Terwijl Hou en Chen de volgende jaren besteedden aan het uitwerken van die details, ontdekten ze dat ze opnieuw op computers moesten vertrouwen - maar deze keer op een geheel nieuwe manier.
Een hybride aanpak
Een van hun eerste uitdagingen was het uitzoeken van de exacte verklaring die ze moesten bewijzen. Ze wilden laten zien dat als ze een reeks waarden zouden nemen die dicht bij hun geschatte oplossing liggen en deze in de vergelijkingen zouden stoppen, de uitvoer niet ver zou kunnen afdwalen. Maar wat betekent het voor een invoer om "dichtbij" de benaderde oplossing te zijn? Ze moesten dit specificeren in een wiskundige verklaring - maar er zijn veel manieren om het begrip afstand in deze context te definiëren. Om hun bewijs te laten werken, moesten ze de juiste kiezen.
"Het moet verschillende fysieke effecten meten", zei Rafaël de la Llave, een wiskundige aan het Georgia Institute of Technology. "Dus het moet worden gekozen met een diep begrip van het probleem."
Toen ze eenmaal de juiste manier hadden om 'nabijheid' te beschrijven, moesten Hou en Chen de bewering bewijzen, wat neerkwam op een gecompliceerde ongelijkheid met termen uit zowel de opnieuw geschaalde vergelijkingen als de geschatte oplossing. De wiskundigen moesten ervoor zorgen dat de waarden van al die termen in evenwicht waren tot iets heel kleins: als één waarde groot bleek te zijn, moesten andere waarden negatief zijn of onder controle worden gehouden.
"Als je iets een beetje te groot of een beetje te klein maakt, gaat het allemaal kapot", zei hij Javier Gomez-Serrano, een wiskundige aan de Brown University. "Dus het is heel, heel zorgvuldig, delicaat werk."
"Het is echt een hevig gevecht," voegde Elgindi eraan toe.
Om de strakke grenzen te krijgen die ze nodig hadden op al deze verschillende voorwaarden, braken Hou en Chen de ongelijkheid in twee grote delen. Het eerste deel konden ze met de hand doen, met technieken die onder meer dateren uit de 18e eeuw, toen de Franse wiskundige Gaspard Monge een optimale manier zocht om grond te transporteren om vestingwerken te bouwen voor het leger van Napoleon. "Dit soort dingen is al eerder gedaan, maar ik vond het opvallend dat [Hou en Chen] het hiervoor gebruikten", zei Fefferman.
Dat liet het tweede deel van de ongelijkheid over. Om het aan te pakken zou computerhulp nodig zijn. Om te beginnen moesten er zoveel berekeningen worden uitgevoerd en was er zoveel precisie vereist dat "de hoeveelheid werk die je met potlood en papier zou moeten doen, enorm zou zijn", zei de la Llave. Om verschillende termen met elkaar in evenwicht te brengen, moesten de wiskundigen een reeks optimalisatieproblemen uitvoeren die relatief eenvoudig zijn voor computers, maar buitengewoon tijdrovend voor mensen. Sommige waarden waren ook afhankelijk van hoeveelheden uit de geschatte oplossing; aangezien dat werd berekend met behulp van een computer, was het eenvoudiger om ook een computer te gebruiken om deze aanvullende berekeningen uit te voeren.
"Als je sommige van deze schattingen handmatig probeert te doen, overschat je waarschijnlijk op een gegeven moment, en dan verlies je", zei Gómez-Serrano. "De cijfers zijn zo klein en krap... en de marge is ongelooflijk dun."
Maar omdat computers een oneindig aantal cijfers niet kunnen manipuleren, treden onvermijdelijk kleine fouten op. Hou en Chen moesten die fouten zorgvuldig volgen om er zeker van te zijn dat ze de rest van de evenwichtsoefening niet in de weg stonden.
Uiteindelijk waren ze in staat om grenzen te vinden voor alle termen, waarmee ze het bewijs voltooiden: de vergelijkingen hadden inderdaad een singulariteit geproduceerd.
Bewijs door computer
Het blijft open of meer gecompliceerde vergelijkingen - de Euler-vergelijkingen zonder de aanwezigheid van een cilindrische grens en de Navier-Stokes-vergelijkingen - een singulariteit kunnen ontwikkelen. "Maar [dit werk] geeft me in ieder geval hoop", zei Hou. "Ik zie een pad voorwaarts, een manier om uiteindelijk misschien zelfs het volledige millenniumprobleem op te lossen."
Ondertussen werken Buckmaster en Gómez-Serrano aan een eigen computerondersteund bewijs - waarvan ze hopen dat het algemener zal zijn en daarom niet alleen het probleem kan aanpakken dat Hou en Chen hebben opgelost, maar ook tientallen andere.
Deze inspanningen markeren een groeiende trend op het gebied van vloeistofdynamica: het gebruik van computers om belangrijke problemen op te lossen.
"In een aantal verschillende gebieden van de wiskunde komt het steeds vaker voor", zei hij Susan Friedlander, een wiskundige aan de Universiteit van Zuid-Californië.
Maar in de vloeistofmechanica zijn computerondersteunde bewijzen nog een relatief nieuwe techniek. Als het gaat om uitspraken over singulariteitsvorming, is het bewijs van Hou en Chen het eerste in zijn soort: eerdere computerondersteunde bewijzen waren alleen in staat om speelgoedproblemen in het gebied aan te pakken.
Dergelijke bewijzen zijn niet zozeer controversieel als wel 'een kwestie van smaak', zei hij Peter Constantijn van Princeton University. Wiskundigen zijn het er over het algemeen over eens dat een bewijs andere wiskundigen moet overtuigen dat een of andere redenering juist is. Maar, volgens velen, zou het ook hun begrip van waarom een bepaalde bewering waar is, moeten verbeteren, in plaats van simpelweg te valideren dat het correct is. "Leren we iets fundamenteel nieuws, of weten we gewoon het antwoord op de vraag?" zei Elgindi. "Als je wiskunde als een kunst ziet, dan is dit niet zo esthetisch."
“Een computer kan helpen. Het is fantastisch. Het geeft mij inzicht. Maar het geeft me geen volledig begrip,' voegde Constantin eraan toe. “Het begrip komt van ons.”
Van zijn kant hoopt Elgindi nog steeds met de hand een alternatief bewijs van ontploffing uit te werken. "Ik ben over het algemeen blij dat dit bestaat", zei hij over het werk van Hou en Chen. "Maar ik beschouw het meer als een motivatie om te proberen het op een minder computerafhankelijke manier te doen."
Andere wiskundigen zien computers als een essentieel nieuw hulpmiddel dat het mogelijk zal maken om eerder hardnekkige problemen aan te pakken. "Nu is het werk niet langer alleen papier en potlood," zei Chen. "Je hebt de mogelijkheid om iets krachtigers te gebruiken."
Volgens hem en anderen (waaronder Elgindi, ondanks zijn persoonlijke voorkeur om bewijzen met de hand te schrijven), is er een goede mogelijkheid dat de enige manier om grote problemen in de vloeistofdynamica op te lossen - dat wil zeggen problemen met steeds gecompliceerdere vergelijkingen - is om te vertrouwen op zwaar op computerhulp. "Het lijkt mij alsof dit proberen om dit te doen zonder veel gebruik te maken van computerondersteunde bewijzen, hetzelfde is als het vastbinden van een of mogelijk twee handen achter je rug," zei Fefferman.
Als dat uiteindelijk het geval is en "je hebt geen keus", zei Elgindi, "dan moeten mensen … zoals ikzelf, die zouden zeggen dat dit suboptimaal is, stil zijn." Dat zou ook betekenen dat meer wiskundigen de vaardigheden zouden moeten leren die nodig zijn om computerondersteunde bewijzen te schrijven - iets dat hopelijk door het werk van Hou en Chen zal worden geïnspireerd. "Ik denk dat er veel mensen waren die gewoon wachtten tot iemand zo'n probleem oploste voordat ze hun eigen tijd in deze aanpak investeerden," zei Buckmaster.
Dat gezegd hebbende, als het gaat om debatten over de mate waarin wiskundigen op computers zouden moeten vertrouwen, "is het niet dat je een kant moet kiezen", zei Gómez-Serrano. “[Hou en Chen's] bewijs zou niet werken zonder de analyse, en het bewijs zou niet werken zonder de hulp van de computer. … Ik denk dat de waarde is dat mensen de twee talen kunnen spreken.”
Daarmee zei De la Llave: "Er is een nieuw spel in de stad."
