Hoe kan iemand met zekerheid spreken over oneindigheid? Wat kunnen we echt weten over de mysterieuze priemgetallen zonder ze allemaal te kennen? Net zoals wetenschappers gegevens nodig hebben om hun hypothesen te beoordelen, hebben wiskundigen bewijs nodig om vermoedens te bewijzen of te weerleggen. Maar wat telt als bewijs in het immateriële rijk van de getaltheorie? In deze aflevering spreekt Steven Strogatz met Melanie Matchett Wood, een professor in de wiskunde aan de Harvard University, om te leren hoe waarschijnlijkheid en willekeur kunnen helpen bij het bewijzen van de waterdichte argumenten die van wiskundigen worden geëist.
Luister verder Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, stikster, TuneIn of je favoriete podcasting-app, of je kunt stream het van Quanta.
Afschrift
Steven Strogatz (00:02): Ik ben Steve Strogatz, en dit is De vreugde van waarom, een podcast van Quanta Magazine die je meeneemt naar enkele van de grootste onbeantwoorde vragen in wiskunde en wetenschap van vandaag. In deze aflevering gaan we het hebben over bewijs in de wiskunde. Wat voor soort bewijs gebruiken wiskundigen? Wat brengt hen ertoe te vermoeden dat iets waar zou kunnen zijn, voordat ze een waterdicht bewijs hebben?
(00:26) Het klinkt misschien als een paradox, maar het blijkt dat redeneren op basis van waarschijnlijkheidstheorie, de studie van toeval en willekeur, soms kan leiden tot waar wiskundigen echt naar op zoek zijn, namelijk zekerheid, niet alleen waarschijnlijkheid. Bijvoorbeeld, in de tak van wiskunde die bekend staat als getaltheorie, is er een lange geschiedenis van het gebruik van willekeur om wiskundigen te helpen raden wat waar is. Nu wordt waarschijnlijkheid gebruikt om hen te helpen bewijzen wat waar is.
(00:53) We concentreren ons hier op priemgetallen. Je herinnert je waarschijnlijk priemgetallen, toch? Je hebt er op school over geleerd. Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 dat alleen kan worden gedeeld door 1 en zichzelf. Bijvoorbeeld 7 of 11. Dat zijn priemgetallen, maar 15 is niet omdat 15 gelijkmatig kan worden gedeeld door 3 of door 5. Je zou priemgetallen kunnen zien als een soort van elementen in het periodiek systeem van de chemie, in de zin van dat zij de ondeelbare atomen zijn waaruit alle andere getallen bestaan.
(01:27) Priemgetallen lijken eenvoudig te zijn, maar enkele van de grootste mysteries in wiskunde zijn vragen over priemgetallen. In sommige gevallen vragen die er al honderden jaren zijn. Er is echt iets heel subtiels aan priemgetallen. Ze lijken te leven in een grensgebied tussen orde en willekeur. Mijn gast vandaag zal ons helpen meer te begrijpen over de aard van bewijs in wiskunde, en vooral hoe en waarom willekeur ons zoveel kan vertellen over priemgetallen, en waarom modellen op basis van waarschijnlijkheid zo nuttig kunnen zijn op het snijvlak van getaltheorie. Melanie Matchett Wood, professor in de wiskunde aan de universiteit van Harvard, voegt zich nu bij mij om dit alles te bespreken. Welkom Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Hallo, het is goed om met je te praten.
Strogatz (02:11): Het is heel goed om met je te praten, ik ben een grote fan. Laten we het hebben over wiskunde en wetenschap in relatie tot elkaar, want de woorden worden vaak door elkaar gebruikt, en toch zijn de technieken die we gebruiken om tot bewijs en zekerheid te komen in de wiskunde enigszins anders dan wat we proberen te doen in de wetenschap. Als we het bijvoorbeeld hebben over het verzamelen van bewijs in wiskunde, hoe is het dan hetzelfde of hoe is het anders dan het verzamelen van bewijs door de wetenschappelijke methode in de wetenschap?
Hout (02:38): Een wiskundig bewijs is een absoluut waterdicht, volledig logisch argument dat een wiskundige bewering zo moet zijn en niet anders kan. Dus in tegenstelling tot een wetenschappelijke theorie - die misschien wel de beste is die we hebben op basis van het bewijs dat we vandaag hebben, maar we zullen meer bewijs krijgen, weet je, in de komende 10 jaar en misschien komt er een nieuwe theorie - een wiskundig bewijs zegt dat een uitspraak zo moet zijn, kunnen we onmogelijk ontdekken dat het over 10 of 20 jaar fout is.
Strogatz (03:17): Nou, wat voor soort dingen tellen als bewijs in wiskunde?
Hout (03:19): Dus je zou kunnen zien dat iets waar is in veel voorbeelden. En op basis van het feit dat het waar is in veel voorbeelden, waarvan je zou kunnen zeggen dat het een bewijs zou zijn voor dat feit, je zou een vermoeden kunnen doen, wat wiskundigen een vermoeden zouden noemen, een vermoeden dat iets waar is. Maar wat wiskundigen zouden willen, zou een bewijs zijn dat dat ding dat je in zoveel voorbeelden hebt gezien, altijd zou werken zoals je beweerde.
Strogatz (03:49): Juist, heel anders dan alleen het gewicht van het bewijs. Dit is een verklaring dat er een reden is waarom iets voor altijd, voor altijd, in elk geval waar zal zijn.
Hout (03:58): En niet alleen "nou ja, ik heb een miljoen gevallen bekeken en het is waar in elk van hen." Dat is een reden om te raden of te vermoeden dat het altijd waar is. Maar in de wiskunde maken we een onderscheid tussen zo'n gissing die gebaseerd kan zijn op veel gevallen of bewijs, en een stelling of een bewijs, een argument dat je vertelt dat het in elk geval zal werken, zelfs degene die je hebt niet geprobeerd.
Strogatz (04:25): Nu, is het gewoon zo dat wiskundigen van nature kieskeurig zijn, of zijn er gevallen waarin iets dat leek alsof het waar was, tot een zeer groot aantal mogelijkheden, uiteindelijk niet waar was buiten een ander groot aantal ?
Hout (04:39): Oh, dat is, dat is een goede vraag. Nou, hier is een voorbeeld dat ik leuk vind, omdat ik de priemgetallen leuk vind. Dus als je door de priemgetallen gaat - 2, 3, 5, 7 - een van de dingen die je zou kunnen doen, zou je kunnen kijken en zeggen: "Hé, zijn ze deelbaar door 2?" En dat blijkt niet zo interessant. Na 2 is geen van hen deelbaar door 2. Ze zijn allemaal, ze zijn allemaal vreemd.
(05:10) En dan zou je kunnen denken, "nou, zijn ze deelbaar door 3?" En natuurlijk, na 3, kunnen ze ook niet deelbaar zijn door 3, omdat het priemgetallen zijn. Het kan je echter opvallen dat sommige ervan, als je ze deelt door 3, een rest van 1 krijgt, dat ze 1 meer zijn dan een veelvoud van 3. Dus dingen als 7, wat 1 meer is dan 6, of 13 , wat 1 meer is dan 12. En sommige van die priemgetallen, zoals 11 of 17, wat 2 meer is dan 15, hebben een rest van 2 als je ze deelt door 3, omdat ze 2 meer zijn dan een veelvoud van 3.
(05:47) En dus zou je aan deze priemgetallen in teams kunnen denken. Team 1 zijn alle die 1 meer zijn dan een veelvoud van 3 en Team 2 zijn alle die 2 meer zijn dan een veelvoud van 3. En terwijl je door de priemgetallen gaat en je de priemgetallen opsomt, zou je alle priemgetallen kunnen opsommen priemgetallen en je zou kunnen optellen, en zien hoeveel er in team 1 zitten en hoeveel in team 2. En als je dat zou optellen tot 600 miljard, op elk punt, elk getal tot 600 miljard, zou je vinden dat er zijn meer priemgetallen van team 2 dan priemgetallen van team 1. Dus je zou natuurlijk kunnen vermoeden, op basis van dat bewijs, dat er altijd meer Team 2-priemgetallen zullen zijn dan Team 1-priemgetallen.
Strogatz (06:33): Zeker. Klinkt er helemaal naar uit.
Hout: Blijkt dat bij een getal van ongeveer 608 miljard, ik het exacte aantal ben vergeten, het verandert.
Strogatz (06:46): Oh, kom op.
Hout: Ja, het verandert echt. En nu staat Team 1 ineens aan de leiding. Dus dat is een —
Strogatz (06:53): Wacht even. Wacht, maar dit is verbazingwekkend. Wat - nu, blijven ze veranderen? Weten we wat er gebeurt als je doorgaat? Veranderen ze steeds?
Hout (07:01): Ja, goede vraag. Dus, inderdaad, het is een stelling dat ze oneindig vaak van lead zullen veranderen.
Strogatz (07:07): Echt waar?
Hout: Dus ze zullen de leads blijven verhandelen. Maar het is echt een geweldig voorbeeld om in je achterhoofd te houden als je priemgetallen bestudeert, dat alleen omdat iets waar was voor de eerste 600 miljard gevallen, niet betekent dat het altijd waar zal zijn.
Strogatz (07:25): Oh, wauw. Mooi hoor. Oké. Dus, zoals in het algemeen, hoe kom je van een vermoeden naar een bewijs?
Hout (07:31): Het hangt sterk van de zaak af. Ik bedoel, er zijn veel gevallen van wiskunde waar we vermoedens hebben en we hebben geen bewijzen. Dus er is geen eenvoudig recept om van een vermoeden naar een bewijs te komen, anders zouden we niet zoveel beroemde open problemen hebben waar, weet je, er is een - een vermoeden dat mensen denken dat iets op een bepaalde manier werkt, maar dat doen we niet' weet het niet zeker. Maar weet je, soms suggereert het vermoeden redenen dat iets waar is. Soms is het gewoon een wiskundige theorie, die is gebaseerd op steeds meer wiskundige theorie die mensen al honderden jaren ontwikkelen, die ons genoeg hulpmiddelen en structuur geeft om mee te werken om dingen te begrijpen, dat we met een bewijs komen. Maar het is niet zo dat het vermoeden noodzakelijkerwijs tot het bewijs leidt. Het vermoeden kan mensen inspireren om te proberen het bewijs te vinden, maar de manier waarop het bewijs tot stand komt, kan geheel los staan van, van het vermoeden zelf.
Strogatz (08:31): Ja, ik ben geïnteresseerd in het opsommen of opsommen van het soort bewijs dat niet voldoet aan een bewijs, waardoor mensen het vertrouwen krijgen dat het de moeite waard is om voor een bewijs te gaan.
Hout (08:41): Ja, een ander ding dat we zouden kunnen noemen als bewijs dat niet alleen voorbeelden is, zou een heuristiek zijn. Een heuristiek zou zoiets als een argument kunnen zijn, maar dan met een veel lagere mate van strengheid. Het is net als, lijkt dat oké? Niet "heb ik dit feit absoluut zonder enige twijfel vastgesteld?" maar "doet dat - ja, het lijkt redelijk aannemelijk." Dus een heuristiek kan een redenering zijn die redelijk plausibel lijkt, weet je, maar eigenlijk geen rigoureus argument is. Dus dat is een soort bewijs.
(09:12) Soms heb je een model waarvan we denken dat het de essentiële elementen weergeeft van het wiskundige systeem dat we proberen te begrijpen, en dan zou je veronderstellen dat jouw systeem hetzelfde gedrag vertoont als jouw model.
Strogatz (09:30): Oké. Op een gegeven moment wil ik wat voorbeelden horen van modellen en vermoedens en, weet je, in hoeverre ze wel of niet werken op sommige vragen of niet op andere, maar als je het niet erg vindt, zou ik Ik wil graag teruggaan naar een paar kleine persoonlijke dingen, een beetje, want we hebben het hier over getallen, en jij bent een getaltheoreticus. Mensen kennen in hun dagelijks leven misschien niet veel getaltheoretici. Dus ik vraag me af of je het ons zou kunnen vertellen wat is getaltheorie?, en ook, waarom vind je het interessant? Waarom ben je het komen studeren?
Hout (10:02) Welnu, getaltheorie is de wiskundige studie van de gehele getallen. Dus denk aan 1, 2, 3, 4, 5. En, in het bijzonder, een van de belangrijke dingen in de gehele getallen zijn de priemgetallen. Zoals je al aan het begin hebt uitgelegd, zijn dit de bouwstenen van waaruit we, door middel van vermenigvuldiging, alle andere getallen kunnen opbouwen. Dus omdat de getaltheorie zich bezighoudt met al die hele getallen, houdt ze zich ook bezig met hun bouwstenen, de priemgetallen en hoe andere getallen in priemgetallen verdisconteren en hoe ze zijn opgebouwd uit - uit priemgetallen.
Strogatz (10:37): Dus, getaltheorie, voor onze doeleinden vandaag, denk ik, zal de studie van de gehele getallen zijn, met een bijzondere interesse in priemgetallen. Dat lijkt me een aardig begin. Ik veronderstel dat het meer is dan dat. Maar misschien is dat nu een goede definitie voor ons. Denk je dat?
Hout (10:50): Dat is een goed, dat is een goed begin. Ik bedoel, van daaruit onderzoek je verdere dingen zoals, nou, wat als je getalsystemen gaat overwegen die ingewikkelder zijn dan alleen de hele getallen? Als je andere getallen begint in te voeren, zoals de vierkantswortel van 2, wat gebeurt er dan met priemgetallen en ontbinden in factoren? Je wordt naar verdere vragen geleid. Maar eerlijk gezegd, er is veel rijke en mooie wiskunde alleen in de gehele getallen en de priemgetallen.
Strogatz (11:16): Dus met dat in gedachten, waarom vind je het dan dwingend? Waarom vind je de studie van getaltheorie leuk? Wat trok je erin?
Hout (11:22): Ik denk dat ik het leuk vind dat de vragen zo concreet kunnen zijn. Weet je, ik ga praten met basisschoolkinderen. En ik kan ze vertellen over, weet je, sommige dingen waar ik aan denk. Het is dus leuk voor mij om aan iets te werken waarvan aan de ene kant de vragen zo concreet kunnen zijn, maar aan de andere kant kan de puzzel om het op te lossen zo moeilijk zijn. Ik bedoel, mensen proberen al duizenden jaren vragen te beantwoorden over de hele getallen, over de priemgetallen.
(11:54) En er zijn veel takken van wiskunde. Een van de belangrijke onderdelen van de moderne getaltheorie is dat om vooruitgang te boeken met deze hardnekkige oude vragen waar mensen al zo lang aan werken, je nieuwe ideeën moet inbrengen en verbanden moet leggen met andere delen van de wiskunde. Dus ook al zou ik mezelf een getaltheoreticus noemen, ik gebruik wiskunde uit allerlei verschillende vakgebieden. Van studeren, je weet wel, meetkunde en topologie en de vormen van ruimten tot waarschijnlijkheid en het bestuderen van willekeur. Ik gebruik allerlei soorten wiskunde, maar om te proberen iets te zeggen over zaken als hele getallen en priemgetallen en ontbinden in factoren.
Strogatz (12:36): Ja, ik hou van die visie op wiskunde als dit gigantische onderling verbonden web van ideeën, en je kunt in een bepaald deel ervan willen leven dat je favoriet is. Maar je hebt priemgetallen genoemd als een specifiek interessegebied in de getaltheorie, het meest fundamentele onderdeel ervan, eigenlijk. Wat is er moeilijk aan hen? Het is in onze discussie nog niet duidelijk wat daar zo mysterieus is? Zoals we ze hebben gedefinieerd, kunnen we ze waarschijnlijk blijven opsommen, denk ik. Wat zijn enkele van die problemen waarnaar u verwijst die honderden jaren oud zijn?
Hout (13:05): Nou, een van de grootste en belangrijkste vragen, die misschien ongeveer 120 jaar oud is, is, zei je, "oh, je zou ze kunnen opsommen. Als je dat zou doen, hoeveel zou je er dan vinden?” Dus laten we zeggen dat je de priemgetallen hebt opgesomd, tot honderd, of duizend, of honderdduizend, of een miljoen, een miljard. Als je priemgetallen opsomt tot steeds grotere getallen, hoeveel van die getallen die je doorloopt, zullen dan eigenlijk priemgetallen zijn? Dus het begrijpen van die kwantiteit is echt het hart van de Riemann-hypothese, een van de Clay Math Institute Problemen met de millenniumprijs, is er een prijs van een miljoen dollar voor een antwoord. Het is een van de meest bekende vragen en we hebben geen idee hoe we het moeten doen, en het gaat eigenlijk alleen maar over de vraag, als je die priemgetallen opsomt, hoeveel zul je er dan vinden?
Strogatz (13:58): Oké. Het is grappig, toch? Want als je begint met het maken van de lijst, zelfs als iemand gewoon terloops begon met het opsommen van de getallen die priemgetallen zijn tot 100, zie je een aantal grappige dingen. Zoals, eerst 11 en 13, ze zijn 2 uit elkaar. Vijftien, nou, dat werkt niet, want het is deelbaar door 5 en 3. Dan 17, dus er is een gat van 4 nu, tussen 13 en 17. Maar dan is 19 weer dichtbij. Ik weet het niet, ik bedoel, dus de afstand tussen de priemgetallen kan nogal wankel zijn. Soms zit er een behoorlijk grote opening in, en soms staan ze vlak naast elkaar, slechts 2 van elkaar.
Hout (14:31): Ja, dus het begrijpen van die spatiëring en die gaten was ook een grote vraag van belang. Er is de afgelopen tien jaar opmerkelijke vooruitgang geboekt in het begrijpen van de afstand tussen de priemgetallen. Maar er is nog steeds een heel verleidelijke, fundamentele vraag waarop we het antwoord niet weten. Dus je zei dat deze priemgetallen, 11 en 13, slechts 2 van elkaar verwijderd zijn. Zulke priemgetallen worden dus priemtweelingen genoemd. We konden niet verwachten dat priemgetallen dichter dan 2 uit elkaar zouden komen, want na 2 moeten ze allemaal vreemd zijn. Hier is een open vraag in de wiskunde, wat betekent dat we het antwoord niet weten, en dat is: Zijn er oneindig veel paren priemtweeling? En dus hier is er een vermoeden, het vermoeden zou zijn, ja. Ik bedoel, er is niet alleen een vermoeden dat "ja, ze zouden voor altijd moeten doorgaan, en er zouden er altijd meer moeten zijn", maar er is zelfs een vermoeden over hoeveel je er gaandeweg zult vinden. Maar dat is helemaal open. Voor zover we weten, kan het zijn dat als je eenmaal een heel groot getal hebt bereikt, ze gewoon stoppen en je helemaal geen paren van priemtweelingen meer vindt.
Strogatz (15:40): Dat heeft iets heel poëtisch, aangrijpends, die gedachte dat dat op een gegeven moment het einde van de regel zou kunnen zijn. Ik bedoel, geen van ons gelooft dat waarschijnlijk. Maar het is mogelijk, denk ik, het is denkbaar dat er een laatste eenzame tweeling is die zich in de duisternis nestelt, ver weg, weet je, op de getallenlijn.
Hout (15:57): Ja, dat zou kunnen. En, weet je, als wiskundigen zouden we zeggen, weet je, we weten het niet. Zelfs als je gaandeweg een grafiek zou kunnen maken van hoeveel je er hebt gevonden, als je die grafiek uitzet, lijkt het alsof het echt absoluut stijgt en stijgt met een snelheid die nooit - nooit zou omdraaien. Maar ik denk dat dat een deel van het verschil is tussen wiskunde en wetenschap, we houden die scepsis in stand en zeggen, nou, we weten het niet. Ik bedoel, misschien draait de grafiek op een gegeven moment gewoon om en zijn er niet meer.
Strogatz (16:29): Dus, dat - ik vind je afbeelding daar van een grafiek leuk, omdat ik denk dat iedereen zich kan vinden in dit idee, om een grafiek te maken, een soort grafiek te maken. Je weet wel, de priemgetallen zien als een soort data. En dus denk ik dat dit misschien een goed moment is om ons om te draaien, om te beginnen met praten over waarschijnlijkheidstheorie. En het lijkt een beetje raar om te praten over waarschijnlijkheid en statistieken in verband met de priemgetallen, omdat hier geen kans is. De priemgetallen worden bepaald door de definitie die we gaven, dat ze niet deelbaar zijn. Maar toch hebben wiskundigen en getaltheoretici, zoals jij, statistische of probabilistische argumenten gebruikt om over de priemgetallen na te denken. Ik vraag me af of je zoiets voor mij zou kunnen schetsen met het opgooien van munten, en terug naar de - waar we het in het begin over hadden, oneven getallen en even getallen.
Hout (17:14): Oké. Dus in tegenstelling tot de priemgetallen, begrijpen we eigenlijk heel goed het patroon van oneven en even getallen. Ze gaan oneven, even, oneven, even natuurlijk. Maar stel dat we dat patroon niet begrepen. En we gebruiken dit om te begrijpen hoeveel oneven getallen je zou kunnen vinden als je naar alle getallen tot een miljoen zou kijken. Je zou je kunnen voorstellen, aangezien er twee mogelijkheden zijn, een getal kan oneven zijn of een getal kan even zijn, dat misschien iemand meeging en een munt opgooide voor elk getal, en als de munt opkwam, was het getal oneven. En als de munt opkwam, was het aantal even. En dus zou je iemand die munten opgooit een soort van langs de getallenlijn kunnen laten lopen, een muntje opgooien bij elk getal, en het komt op, bijvoorbeeld, om dat getal even of oneven te verklaren.
(18:03) Aan de ene kant is dat onzin. Aan de andere kant zal het coin-flipping-model sommige dingen goed doen. Als u bijvoorbeeld zegt, weet u ongeveer hoeveel van de getallen tot een miljoen even zijn? We weten dat ongeveer de helft van het aantal coinflips dat, laten we zeggen, een munt zal opleveren, als je een enorm aantal coinflips doet, zoals een miljoen. En dus kan dat model, hoe dwaas het ook is, nog steeds een aantal voorspellingen correct doen. En ik moet zeggen, dat klinkt misschien gek, want het antwoord op die vraag weten we al. Het idee is dat we modellen bouwen voor meer gecompliceerde patronen, zoals waar de priemgetallen tussen de getallen verschijnen, in plaats van alleen waar de kansen verschijnen.
Strogatz (18:55): Ja. Ik bedoel, ik denk dat we dat moeten onderstrepen - hoe diep mysterieus de priemgetallen zijn. Er is geen formule voor de priemgetallen, zoals er een formule is voor oneven getallen. Alsof je denkt, oh, kom op, dit is - we hebben het hier echt over absurde dingen, het is eigenlijk heel waardevol om deze statistische modellen te hebben die eigenschappen kunnen voorspellen die gemiddelde eigenschappen zijn. Net als de analoog van, zal de helft van de getallen minder dan een groot getal oneven zijn. Dit is iets dat, in het geval van priemgetallen, een zeer serieuze, interessante vraag is. Welke fractie van getallen kleiner dan een groot getal zijn priemgetallen? En, zoals je zegt, je kunt een statistisch model maken dat dat goed doet. En wat dan, datzelfde model kan worden gebruikt om te voorspellen hoeveel priemtweelingen er minder dan een groot aantal zouden zijn? Doet hetzelfde model het in dat geval goed?
Hout (19:41): Dus in het geval van priemgetallen, als we een model zouden bouwen - weet je, en er is een model dat wiskundigen gebruiken genaamd het Cramer-model van de priemgetallen - als we een muntstukmodel zouden bouwen van de priemgetallen waarbij we ons voorstellen dat iemand langs de getallenlijn loopt, en bij elk getal, je weet wel, een munt opgooien, bijvoorbeeld, om te beslissen of dat getal een priemgetal was of geen priemgetal, dan zouden we zoveel als we weten over de priemgetallen in dat model opnemen. Dus allereerst weten we dat grote getallen minder snel priem zijn dan kleinere getallen. Dus die munten zouden gewogen moeten worden. En we zouden - we zouden moeten proberen om precies de wegingen in te voeren die we verwachten. En we weten dingen als, je kunt geen twee priemgetallen naast elkaar hebben, omdat een van hen oneven zou moeten zijn en een van hen zou even moeten zijn. Dus dat hebben we in het model verwerkt. En dan zijn er nog meer dingen die we weten over de priemgetallen.
(20:37) Dus het model is iets dat begint met dit muntmodel, maar dan wordt het aangepast door al deze andere regels en alle andere dingen die we weten over de priemgetallen. En als je eenmaal al die dingen die we wel weten in het model hebt gestopt, dan vraag je dit munt-opgooien, je weet wel, model, nou, zie je, oneindig vaak, munten prime opkomen met slechts 2 tussenruimten? En het model vertelt je, oh ja, dat zien we wel. In feite zien we het in dit zeer specifieke tempo waarvoor we u een formule kunnen geven. En dan, als je het aantal werkelijke tweelingpriemgetallen in een grafiek uitzet, in de werkelijke aantallen, waar er geen munten zijn omgedraaid, tegen wat het model voorspelt, zie je dat het model je een zeer nauwkeurige voorspelling geeft voor het aantal paren priemtweeling je zult ontdekken als je verder gaat. En dan denk je, weet je, misschien weet dit model waar het over praat.
Strogatz (21:31): Dat is geweldig. Ik bedoel, dat is nogal belangrijk, wat we daar net hebben bereikt, dat - je hebt het woord computers nog niet gebruikt. Maar ik neem aan dat je dit niet met de hand doet. De mensen die priemtweelingen opsommen, ik weet het niet, waar hebben we het over? Triljoen biljoen biljoen? Ik bedoel, dit zijn grote aantallen waar we het over hebben, nietwaar?
Hout (21:49): Nou, voor de lijst van de priemtweeling, dat wil zeggen - zou absoluut met de computer worden gedaan. Maar voor het bouwen van dit model en het bedenken van de formule die het model geeft. Weet je, dat wordt in wezen met de hand gedaan door wiskundigen die over het model nadenken en ermee aan de slag gaan.
Strogatz (22:07): Dat is zo cool. Dus dat is waar het model zijn spullen laat zien, zodat het model daadwerkelijk kan voorspellen wat de computer ziet. En er is geen computer voor nodig om die voorspelling te doen. Dat kan met de hand, door mensen, en kan zelfs tot bewijzen leiden. Behalve dat het bewijzen zijn van eigenschappen van het model, niet noodzakelijkerwijs nog bewijzen van datgene waarin je geïnteresseerd bent.
Hout (22:28): Juist. En op een gegeven moment stopt de computer. Weet je, er is maar zoveel rekenkracht. Maar die formule die je zou krijgen, die het model je zou geven, die je zou kunnen bewijzen, nogmaals, over deze situatie van het omdraaien van een muntstuk, die formule zal blijven bestaan. Je kunt steeds grotere getallen in die formule stoppen, veel groter dan je computer ooit zou kunnen berekenen.
Strogatz (22:53): Dus je hebt ons iets verteld over hoe willekeur kan helpen bij het geven van modellen van interessante fenomenen in de getaltheorie, en ik weet zeker dat het ook waar is in andere delen van de wiskunde. Zijn er gevallen waarin u willekeur kunt gebruiken om echte bewijzen te leveren, niet alleen modellen?
Hout (23:10): Absoluut. Een andere tak van de wiskunde wordt kansrekening genoemd. En in de kansrekening bewijzen ze stellingen over willekeurige systemen en hoe ze zich gedragen. En je zou kunnen denken dat als je begint met iets willekeurigs, en je doet er iets mee, je altijd iets willekeurigs zult hebben. Maar een van de opmerkelijk mooie dingen die je in de kansrekening vindt, is dat je soms iets deterministisch uit iets willekeurigs kunt halen.
Strogatz (23:45): Nou, hoe werkt dat? Zoals?
Hout (23:48): Ja. Dus je hebt de klokkromme gezien, of de normale verdeling, zouden wiskundigen het noemen. Het komt overal in de natuur voor. Zoals het lijkt als je kijkt naar de bloeddruk van mensen, of het geboortegewicht van de baby, of zoiets. En je zou kunnen denken, oh, deze klokkromme, dat dit een, het is een feit van, van de natuur. Maar in feite is er een stelling, de centrale limietstelling in de kanstheorie genoemd, die je vertelt dat deze klokkromme in zekere zin geen natuurfeit is, maar een feit uit de wiskunde. De centrale limietstelling vertelt je dat als je een hele reeks kleine willekeurige effecten onafhankelijk van elkaar combineert, de uitvoer daarvan altijd overeenkomt met een bepaalde verdeling. Deze vorm, deze klokkromme. Wiskunde en de waarschijnlijkheidstheorie kunnen bewijzen dat als je - als je een heleboel kleine onafhankelijke willekeurige dingen combineert, de uitkomst van al die combinaties je een verdeling zal geven die eruitziet als deze klokkromme. En dus - zelfs als je niet weet hoe de ingangen waren. En dat is een heel krachtige stelling en een heel krachtig hulpmiddel in de wiskunde.
Strogatz (25:05): Ja, dat is het zeker. En ik vond je nadruk erop dat je niet hoeft te weten wat er aan de hand is met de kleine effecten. Dat dat op de een of andere manier wordt weggespoeld. Die informatie is niet nodig. De belcurve is voorspelbaar, zelfs als je niet weet wat de aard van de kleine effecten is. Zolang het er maar veel zijn en ze weinig. En ze hebben geen invloed op elkaar, toch, ze zijn in zekere zin onafhankelijk.
Hout (25:27): Ja, absoluut. Dat is dus een idee, weet je, soms wordt het universaliteit genoemd in de kanstheorie, dat er bepaalde soorten machines zijn die als je veel willekeurige invoer invoert, de uitvoer kunt voorspellen. Bijvoorbeeld dat je deze klokkromme of deze normale verdeling zou krijgen, zelfs als je niet weet wat je in de machine stopt. En dat is ongelooflijk krachtig als er dingen zijn die we niet zo goed begrijpen, omdat —
Strogatz (25:56): Maar dus, vertel je me - oh, sorry dat ik je onderbreek - maar vertel je me dat dit nu ook in de getaltheorie gebeurt? Dat we op de een of andere manier het idee krijgen van universaliteit in de getaltheorie? Of droom ik?
Hout (26:09): Nou, tot op zekere hoogte zou ik zeggen dat dit een droom van mij is die begint. Weet je, we nemen gewoon de eerste stappen om het gerealiseerd te zien worden. Dus het is niet alleen jouw droom, het is ook mijn droom. Een deel van het werk dat ik vandaag doe en waar mijn medewerkers en ik aan werken, is proberen om dat soort dromen waar te maken, zodat sommige van deze raadselachtige vragen over getallen waar we het antwoord niet op weten, misschien kunnen begrijpen dat er patronen naar buiten komen, zoals een klokkromme, zoals een normale verdeling, waarvan we kunnen bewijzen dat ze uit de machine kwamen, zelfs als we niet weten welke mysteries erin zijn gestopt.
Strogatz (26:55): Nou, het is eigenlijk een heel inspirerend, opwindend visioen, en ik hoop dat het allemaal uitkomt. Heel erg bedankt dat je vandaag met ons hebt gesproken, Melanie.
Hout (27:03): Dank je. Dit was erg leuk.
Omroeper (27:06): Als je wilt De vreugde van waarom, bekijk de Quanta Magazine Wetenschap Podcast, gehost door mij, Susan Valot, een van de producenten van deze show. Vertel ook je vrienden over deze podcast, en geef ons een like of volg waar je luistert. Het helpt mensen vinden De vreugde van waarom podcast.
Strogatz (27: 26): De vreugde van waarom is een podcast van Quanta Magazine, een redactioneel onafhankelijke publicatie ondersteund door de Simons Foundation. Financieringsbeslissingen van de Simons Stichting hebben geen invloed op de selectie van onderwerpen, gasten of andere redactionele beslissingen in deze podcast of in Quanta Magazine. De vreugde van waarom wordt geproduceerd door Susan Valot en Polly Stryker. Onze redacteuren zijn John Rennie en Thomas Lin, met ondersteuning door Matt Carlstrom, Annie Melchor en Leila Sloman. Onze themamuziek is gecomponeerd door Richie Johnson. Ons logo is van Jackie King en het artwork voor de afleveringen is van Michael Driver en Samuel Velasco. Ik ben je gastheer, Steve Strogatz. Als je vragen of opmerkingen voor ons hebt, stuur dan een e-mail naar quanta@simonsfoundation.org. Bedankt voor het luisteren.
