Wiskundigen kraken een eenvoudige maar koppige klasse van vergelijkingen

In de derde eeuw v.Chr., Archimedes gesteld een raadsel over het hoeden van vee dat, beweerde hij, alleen een echt wijs persoon kon oplossen. Zijn probleem kwam uiteindelijk neer op een vergelijking die het verschil tussen twee gekwadrateerde termen omvat, die kan worden geschreven als x² - dy² = 1. Hier, d is een geheel getal — een positief of negatief telgetal — en Archimedes was op zoek naar oplossingen waarbij beide x en y zijn ook gehele getallen.

Deze klasse van vergelijkingen, de Pell-vergelijkingen genoemd, heeft wiskundigen sindsdien gefascineerd gedurende de millennia.

Enkele eeuwen na Archimedes leverden de Indiase wiskundige Brahmagupta, en later de wiskundige Bhāskara II, algoritmen om gehele oplossingen voor deze vergelijkingen te vinden. Halverwege de jaren 1600 herontdekte de Franse wiskundige Pierre de Fermat (die niet op de hoogte was van dat werk) dat in sommige gevallen, zelfs wanneer d kreeg een relatief kleine waarde toegewezen, de kleinst mogelijke geheeltallige oplossingen voor x en y enorm zou kunnen zijn. Toen hij een reeks uitdagingsproblemen naar rivaliserende wiskundigen stuurde, voegden ze de vergelijking toe x² - 61y² = 1, waarvan de kleinste oplossingen negen of tien cijfers hebben. (Wat Archimedes betreft, zijn raadsel vroeg in wezen om gehele oplossingen voor de vergelijking) x² - 4,729,494y² = 1. "Om de kleinste oplossing af te drukken, heb je 50 pagina's nodig", zei Peter Koijmans, een wiskundige aan de Universiteit van Michigan. "In zekere zin is het een gigantische trol van Archimedes.")

Maar de oplossingen van de Pell-vergelijkingen kunnen veel meer. Stel bijvoorbeeld dat u $latex sqrt{2}$, een irrationeel getal, wilt benaderen als een verhouding van gehele getallen. Het blijkt dat het oplossen van de Pell-vergelijking x² - 2y² = 1 kan u daarbij helpen: $latex sqrt{2}$ (of, meer in het algemeen, $latex sqrt{d}$) kan goed worden benaderd door de oplossing te herschrijven als een fractie van het formulier x/y.

Misschien nog intrigerender, die oplossingen vertellen je ook iets over bepaalde getalsystemen, die wiskundigen ringen noemen. In zo'n getalsysteem kunnen wiskundigen $latex sqrt{2}$ aan de gehele getallen toevoegen. Ringen hebben bepaalde eigenschappen en wiskundigen willen die eigenschappen begrijpen. De Pell-vergelijking, zo blijkt, kan hen daarbij helpen.

En dus "hebben veel zeer beroemde wiskundigen - bijna elke wiskundige in een bepaalde periode - deze vergelijking daadwerkelijk bestudeerd vanwege hoe eenvoudig het is", zei Mark Schusterman, een wiskundige aan de Harvard University. Die wiskundigen waren onder meer Fermat, Euler, Lagrange en Dirichlet. (John Pell, niet zozeer; de vergelijking is ten onrechte naar hem vernoemd.)

Nu Koymans en Carlo Pagano, een wiskundige aan de Concordia University in Montreal, hebben bleek een decennia-oud vermoeden gerelateerd aan de Pell-vergelijking, een die kwantificeert hoe vaak een bepaalde vorm van de vergelijking gehele oplossingen heeft. Om dit te doen, importeerden ze ideeën uit een ander veld - groepstheorie - terwijl ze tegelijkertijd een beter begrip kregen van een belangrijk maar mysterieus studieobject op dat gebied. "Ze gebruikten echt diepe en mooie ideeën", zei Andreas Granville, een wiskundige aan de Universiteit van Montreal. "Ze hebben het echt gesnapt."

Gebroken rekenkunde

In de vroege 1990s, Pieter Stevenhagen, een wiskundige aan de Universiteit Leiden in Nederland, werd geïnspireerd door enkele van de verbanden die hij zag tussen de Pell-vergelijkingen en de groepentheorie om een ​​vermoeden te doen over hoe vaak deze vergelijkingen gehele oplossingen hebben. Maar "Ik had niet verwacht dat het snel zou worden bewezen", zei hij - of zelfs tijdens zijn leven. Beschikbare technieken leken niet sterk genoeg om het probleem aan te pakken.

Zijn vermoeden hangt af van een bepaald kenmerk van ringen. In de ring van getallen waar bijvoorbeeld $latex sqrt{-5}$ is toegevoegd aan de gehele getallen (wiskundigen werken vaak met "denkbeeldige" getallen zoals $latex sqrt{-5}$), zijn er twee verschillende manieren om een getal in zijn priemfactoren splitsen. Het getal 6 kan bijvoorbeeld niet alleen als 2 × 3 worden geschreven, maar ook als (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Het resultaat is dat in deze ring de unieke priemfactorisatie - een centraal principe van rekenkunde, een principe dat praktisch als vanzelfsprekend wordt beschouwd in de normale gehele getallen - wordt afgebroken. De mate waarin dit gebeurt, is gecodeerd in een object dat bij die ring hoort, een klassegroep genoemd.

Een manier waarop wiskundigen dieper inzicht proberen te krijgen in een getalsysteem waarin ze geïnteresseerd zijn, bijvoorbeeld $latex sqrt{2}$ aangrenzend aan de gehele getallen, is door de klassengroep te berekenen en te bestuderen. Toch is het bijna onbetaalbaar om algemene regels vast te stellen voor hoe klassengroepen zich gedragen in al deze verschillende nummersystemen.

In de jaren tachtig hebben de wiskundigen Hendrik Cohen en Hendrik Lenstra een brede reeks gissingen naar voren over hoe die regels eruit zouden moeten zien. Deze "Cohen-Lenstra-heuristieken" kunnen je veel vertellen over klassengroepen, die op hun beurt eigenschappen van hun onderliggende getalsystemen zouden moeten onthullen.

Er was alleen een probleem. Hoewel veel berekeningen de Cohen-Lenstra-heuristiek lijken te ondersteunen, zijn het nog steeds vermoedens, geen bewijzen. "Wat stellingen betreft, wisten we tot voor kort bijna niets", zei Alex Bartel, een wiskundige aan de Universiteit van Glasgow.

Intrigerend genoeg is het typische gedrag van een klasgroep onlosmakelijk verweven met het gedrag van Pell-vergelijkingen. Het begrijpen van het ene probleem helpt het andere te begrijpen - zozeer zelfs dat het vermoeden van Stevenhagen "ook een testprobleem is geweest voor de vooruitgang die is geboekt met de Cohen-Lenstra-heuristiek", zei Pagano.

Het nieuwe werk omvat de negatieve Pell-vergelijking, waarbij: x² - dy² is ingesteld op -1 in plaats van 1. In tegenstelling tot de oorspronkelijke Pell-vergelijking, die altijd een oneindig aantal gehele oplossingen heeft voor d, niet alle waarden van d in de negatieve Pell-vergelijking levert een vergelijking op die kan worden opgelost. Nemen x² - 3y² = −1: Hoe ver je ook op de getallenlijn kijkt, je zult nooit een oplossing vinden, ook al x² - 3y² = 1 heeft oneindig veel oplossingen.

In feite zijn er veel waarden van d waarvoor de negatieve Pell-vergelijking niet kan worden opgelost: op basis van bekende regels over hoe bepaalde getallen zich tot elkaar verhouden, d mag geen veelvoud zijn van 3, 7, 11, 15 enzovoort.

Maar zelfs als je die waarden van vermijdt d en alleen de resterende negatieve Pell-vergelijkingen beschouwen, is het nog steeds niet altijd mogelijk om oplossingen te vinden. In die kleinere set van mogelijke waarden van d, welk aandeel werkt eigenlijk?

In 1993 stelde Stevenhagen een formule voor die een precies antwoord op die vraag gaf. Van de waarden voor d dat zou kunnen werken (dat wil zeggen waarden die geen veelvouden zijn van 3, 7, enz.), voorspelde hij dat ongeveer 58% aanleiding zou geven tot negatieve Pell-vergelijkingen met oplossingen van gehele getallen.

De gissing van Stevenhagen werd in het bijzonder gemotiveerd door het verband tussen de negatieve Pell-vergelijking en de Cohen-Lenstra-heuristieken over klassengroepen - een verband dat Koymans en Pagano uitbuitten toen ze 30 jaar later eindelijk bewezen dat hij gelijk had.

Een beter kanon

In 2010 waren Koymans en Pagano nog studenten - nog niet bekend met het vermoeden van Stevenhagen - toen een paper uitkwam die een van de eerste vorderingen in het probleem in jaren maakte.

In dat werk, dat was in het Annalen van de wiskunde, de wiskundigen Etienne Fouvry en Jürgen Klüners toonde aan dat het aandeel van de waarden van d dat zou werken voor de negatieve Pell-vergelijking viel binnen een bepaald bereik. Om dat te doen, kregen ze grip op het gedrag van enkele elementen van de relevante klasgroepen. Maar ze zouden veel meer elementen moeten begrijpen om zich te kunnen nestelen in Stevenhagens veel nauwkeurigere schatting van 58%. Helaas bleven die elementen ondoorgrondelijk: er waren nog steeds nieuwe methoden nodig om hun structuur te begrijpen. Verdere vooruitgang leek onmogelijk.

Toen, in 2017, toen Koymans en Pagano samen aan de Universiteit Leiden studeerden, er verscheen een krant dat veranderde alles. "Toen ik dit zag, herkende ik meteen dat het een heel, heel indrukwekkend resultaat was", zei Koymans. "Het was alsof, oké, nu heb ik een kanon waarmee ik op dit probleem kan schieten en hoop dat ik vooruitgang kan boeken." (Destijds waren Stevenhagen en Lenstra ook professoren in Leiden, waardoor de interesse van Koymans en Pagano voor het probleem werd gewekt.)

Het papier was van een afgestudeerde student aan Harvard, Alexander Smith (die nu Clay fellow is aan Stanford). Koymans en Pagano waren niet de enigen die het werk als een doorbraak zagen. "De ideeën waren geweldig", zei Granville. "Revolutionair."

Smith had geprobeerd eigenschappen te begrijpen van oplossingen voor vergelijkingen die elliptische krommen worden genoemd. Daarbij werkte hij een specifiek onderdeel van de Cohen-Lenstra-heuristiek uit. Het was niet alleen de eerste grote stap om die bredere vermoedens als wiskundig feit te bevestigen, maar het betrof precies het deel van de klasgroep dat Koymans en Pagano moesten begrijpen in hun werk aan het vermoeden van Stevenhagen. (Dit stuk bevatte de elementen die Fouvry en Klüners hadden bestudeerd in hun deelresultaat, maar het ging ook veel verder.)

Koymans en Pagano konden echter niet meteen de methodes van Smith toepassen. (Als dat mogelijk was geweest, had Smith dat waarschijnlijk zelf gedaan.) Smiths bewijs ging over klassengroepen die bij de juiste cijferringen hoorden (degene waarin $latex sqrt{d}$ aan de gehele getallen wordt toegevoegd) — maar hij overwoog alle gehele waarden van d. Koymans en Pagano, aan de andere kant, dachten slechts aan een kleine subset van die waarden van d. Als gevolg hiervan moesten ze het gemiddelde gedrag van een veel kleinere fractie van de klasgroepen beoordelen.

Die klasgroepen vormden in wezen 0% van Smith's klasgroepen - wat betekent dat Smith ze kon weggooien toen hij zijn bewijs aan het schrijven was. Ze droegen helemaal niet bij aan het gemiddelde gedrag dat hij bestudeerde.

En toen Koymans en Pagano zijn technieken probeerden toe te passen op alleen de klasgroepen waar ze om gaven, braken de methoden onmiddellijk af. Het paar zou belangrijke veranderingen moeten doorvoeren om ze aan het werk te krijgen. Bovendien karakteriseerden ze niet slechts één klasgroep, maar eerder de discrepantie die zou kunnen bestaan ​​tussen twee verschillende klasgroepen (dit zou een belangrijk onderdeel zijn van hun bewijs van het vermoeden van Stevenhagen) - waarvoor ook andere hulpmiddelen nodig zouden zijn.

Dus begonnen Koymans en Pagano zorgvuldiger door Smiths papier te bladeren in de hoop precies te kunnen lokaliseren waar de zaken ontspoorden. Het was moeilijk, nauwgezet werk, niet alleen omdat het materiaal zo ingewikkeld was, maar ook omdat Smith op dat moment zijn voordruk nog aan het verfijnen was en de nodige correcties en verduidelijkingen aanbracht. (Hij plaatste de nieuwe versie van zijn paper vorige maand online.)

Een jaar lang leerden Koymans en Pagano samen het bewijs, regel voor regel. Ze ontmoetten elkaar elke dag, bespraken een bepaald gedeelte tijdens de lunch voordat ze een paar uur op een schoolbord doorbrachten en elkaar hielpen om de relevante ideeën uit te werken. Als een van hen alleen vooruitgang boekte, sms'te hij de ander om hem op de hoogte te houden. Shusterman herinnert zich dat hij ze soms tot diep in de nacht aan het werk zag. Ondanks (of misschien wel dankzij) de uitdagingen die het met zich meebracht, "was dat erg leuk om samen te doen", aldus Koymans.

Uiteindelijk identificeerden ze waar ze een nieuwe aanpak moesten proberen. Aanvankelijk konden ze slechts bescheiden verbeteringen aanbrengen. Samen met de wiskundigen Stephanie Kan en Djordjo Milovic, kwamen ze erachter hoe ze greep konden krijgen op enkele extra elementen in de klasgroep, waardoor ze betere grenzen konden halen dan Fouvry en Klüners hadden. Maar belangrijke delen van de structuur van de klasgroep ontgingen hen nog steeds.

Een groot probleem dat ze moesten aanpakken - iets waarvoor de methode van Smith in deze nieuwe context niet langer werkte - was ervoor te zorgen dat ze echt 'gemiddeld' gedrag voor klasgroepen analyseerden als de waarden van d werd groter en groter. Om de juiste mate van willekeur vast te stellen, bewezen Koymans en Pagano een ingewikkelde reeks regels, de zogenaamde wederkerigheidswetten. Uiteindelijk konden ze daardoor de controle krijgen die ze nodig hadden over het verschil tussen de twee klassen.

Die vooruitgang, in combinatie met andere, stelde hen in staat om eerder dit jaar eindelijk het bewijs van Stevenhagens vermoeden af ​​te ronden. "Het is verbazingwekkend dat ze het volledig hebben kunnen oplossen", zei Chan. "Vroeger hadden we al deze problemen."

Wat ze deden 'verbaasde me', zei Smith. "Koymans en Pagano hebben mijn oude taal min of meer behouden en gebruikten het gewoon om steeds verder te duwen in een richting die ik nauwelijks meer begrijp."

Het scherpste gereedschap

Vanaf het moment dat hij het vijf jaar geleden introduceerde, werd Smiths bewijs van een deel van de Cohen-Lenstra-heuristiek gezien als een manier om deuren te openen voor tal van andere problemen, waaronder vragen over elliptische krommen en andere interessante structuren. (In hun artikel noemen Koymans en Pagano een tiental vermoedens waarop ze hun methoden hopen te gebruiken. Velen hebben niets te maken met de negatieve Pell-vergelijking of zelfs klassengroepen.)

"Veel objecten hebben structuren die niet verschillen van dit soort algebraïsche groepen," zei Granville. Maar veel van dezelfde wegversperringen die Koymans en Pagano het hoofd moesten bieden, zijn ook aanwezig in deze andere contexten. Het nieuwe werk aan de negatieve Pell-vergelijking heeft geholpen deze wegversperringen te ontmantelen. "Alexander Smith heeft ons verteld hoe we deze zagen en hamers moeten bouwen, maar nu moeten we ze zo scherp mogelijk en zo hard mogelijk maken en zo aanpasbaar mogelijk maken aan verschillende situaties", zei Bartel. "Een van de dingen die deze krant doet, is veel in die richting."

Al dit werk heeft ondertussen het begrip van wiskundigen van slechts één facet van klassengroepen verfijnd. De rest van de vermoedens van Cohen-Lenstra blijven buiten bereik, althans voorlopig. Maar het artikel van Koymans en Pagano 'is een indicatie dat de technieken die we hebben om problemen in Cohen-Lenstra aan te pakken, een soort van volwassen worden', zei Smith.

Lenstra zelf was even optimistisch. Het is "absoluut spectaculair", schreef hij in een e-mail. "Het opent echt een nieuw hoofdstuk in een tak van de getaltheorie die net zo oud is als de getaltheorie zelf."