Twee studenten ontrafelen een wijdverbreid wiskundig vermoeden | Quanta-tijdschrift

Summer Haag en Clyde Kertzer hadden hoge verwachtingen van hun zomeronderzoeksproject. Een heel deelgebied van de wiskunde verblinden was daar niet één van.

In mei rondde Haag haar eerste jaar af van de graduate school aan de University of Colorado, Boulder, waar Kertzer een student was. Beiden keken uit naar een pauze van de lessen. Haag was van plan nieuwe wandelingen en klimroutes te verkennen. Kertzer, geboren in Boulder, wilde voetballen en zijn aanvraag voor een middelbare school voorbereiden. Maar als aspirant-onderzoekswiskundigen hadden ze zich ook aangemeld voor een halftijds zomeronderzoeksprogramma in de groep van de wiskundige Katherine Stang.

Stange is een getaltheoreticus die zichzelf omschrijft als een wiskundig “kikker” - iemand die diep in de complexiteit van het ene probleem duikt voordat hij naar het andere springt. Ze is geïnteresseerd in 'eenvoudig ogende vragen die leiden tot een rijkdom aan structuur', zei ze. Haar projecten prikken vaak in de ongrijpbare open problemen van de getaltheorie door computers te gebruiken om grote datasets te genereren.

Haag en Kertzer begonnen het programma op de 23e verjaardag van Haag met een inleiding van een week over Apollinische cirkelverpakkingen - de oude studie van hoe cirkels harmonieus in één grotere cirkel kunnen worden geperst.

Stel je voor dat je drie munten zo rangschikt dat ze elkaar raken. Je kunt er altijd een cirkel omheen tekenen die alle drie van buitenaf raakt. Dan kun je vragen gaan stellen: hoe verhoudt de grootte van die grotere cirkel zich tot die van de drie munten? Welke maat cirkel past in de opening tussen de drie munten? En als je cirkels begint te tekenen die steeds kleinere en kleinere openingen tussen cirkels opvullen - waardoor een fractaal patroon ontstaat dat bekend staat als een pakking - hoe verhouden de afmetingen van die cirkels zich tot elkaar?

In plaats van na te denken over de diameter van deze cirkels, gebruiken wiskundigen een maat die kromming wordt genoemd - het omgekeerde van de straal. Dus een cirkel met straal 2 heeft kromming 1/2, en een cirkel met straal 1/3 heeft kromming 3. Hoe kleiner de cirkel, hoe groter de kromming.

Renaissancistische wiskundigen bewezen dat als de eerste vier cirkels een kromming hebben die een geheel getal is, de krommingen van alle volgende cirkels in de pakking gegarandeerd hele getallen zijn. Dat is op zich al opmerkelijk. Maar wiskundigen hebben het probleem een ​​stap verder gebracht door vragen te stellen over welke gehele getallen verschijnen naarmate de cirkels kleiner en kleiner worden en de krommingen groter en groter worden.

In 2010, Elena Fuchs, een getaltheoreticus nu aan de Universiteit van Californië, Davis, bewezen dat krommingen een bepaalde relatie volgen die hen in bepaalde numerieke emmers dwingt. Kort daarna raakten wiskundigen ervan overtuigd dat de krommingen niet alleen in de ene of de andere emmer moesten vallen, maar ook dat elk mogelijk getal in elke emmer moest worden gebruikt. Het idee werd bekend als het lokaal-globale vermoeden.

"Veel werken verwezen ernaar alsof het al een feit was," zei Kertzer. "We bespraken het alsof het op een bepaald moment in de nabije toekomst zou worden bewezen."

James Rickards, een wiskundige bij Boulder die met Stange en de studenten werkt, had code geschreven om elke gewenste opstelling van cirkelverpakkingen te onderzoeken. Dus toen Haag en Kertzer zich op 15 mei bij de groep voegden, dachten ze dat ze coole complotten zouden maken van de betrouwbare lokale-naar-globale heerschappij.

Stange vloog begin juni naar Frankrijk voor een conferentie. Toen ze op 12 juni terugkeerde, kroop het team rond grafieken die aantoonden hoe een paar emmers bepaalde nummers leken te missen.

"We waren dit fenomeen niet aan het onderzoeken," zei Rickards. 'Ik probeerde niet te testen of het waar is. Ik wist dat het waar was - ik nam gewoon aan dat het waar was. En dan worden we plotseling geconfronteerd met gegevens die zeggen dat dit niet zo is.”

Tegen het einde van de week was het team ervan overtuigd dat het vermoeden onjuist was. Nummers waarvan ze verwachtten dat ze zouden verschijnen, zijn nooit verschenen. Ze werkten een bewijs uit en op 6 juli deden ze dat hun werk geplaatst naar de wetenschappelijke preprint-site arxiv.org.

Fuchs herinnert zich dat hij met Stange sprak kort nadat het bewijs op zijn plaats klikte. "Hoeveel geloof je in het lokaal-naar-global vermoeden?" vroeg Stange. Fuchs antwoordde dat ze het natuurlijk geloofde. "Toen liet ze me al deze gegevens zien en ik zei: 'Oh mijn god, dat is geweldig'," zei Fuchs. "Ik bedoel, ik geloofde echt dat het lokaal-naar-global vermoeden waar was."

“Als je het eenmaal ziet, zeg je gewoon 'Aha! Natuurlijk!'” zei Peter Sarnak, een wiskundige aan het Institute for Advanced Study en Princeton University wiens vroege waarnemingen hielp het lokaal-globale vermoeden aanwakkeren.

"Het is een fantastisch inzicht," voegde toe Alex Kontorovich van de Rutgersuniversiteit. "We slaan onszelf allemaal voor het hoofd dat we het 20 jaar geleden niet hebben gevonden, toen mensen hier voor het eerst mee begonnen te spelen."

Te midden van het puin dat het resultaat heeft achtergelaten, heeft het werk een scheur blootgelegd in de basis van andere vermoedens in de getaltheorie. Wiskundigen hebben zich afgevraagd welk wijdverbreid geloof het volgende zou kunnen zijn dat zou vallen.

Geschiedenis van de rotonde

Apollinische cirkelverpakkingen ontlenen hun naam aan hun waarschijnlijke maker, Apollonius van Perge. Ongeveer 2,200 jaar geleden schreef de Griekse meetkundige een boek genaamd Tangenties over hoe je een cirkel construeert die raakt aan drie willekeurige andere. Het boek is verloren gegaan in de tijd. Maar ongeveer 500 jaar later stelde de Griekse wiskundige Pappus van Alexandrië een compendium samen dat de ineenstorting van het Byzantijnse rijk zou overleven.

Gebruik alleen Pappus' beschrijving van Tangenties, probeerden renaissancistische wiskundigen het oorspronkelijke werk te achterhalen. In 1643 had René Descartes een eenvoudig verband ontdekt tussen de krommingen van vier willekeurige cirkels die elkaar raken. Descartes beweerde dat de som van alle gekwadrateerde krommingen gelijk is aan de helft van het kwadraat van de som van de krommingen. Dit betekent dat, gegeven drie cirkels, het mogelijk is om de straal van een vierde raakcirkel te berekenen. Als je bijvoorbeeld drie cirkels hebt met krommingen van 11, 14 en 15, kun je die getallen in de vergelijking van Descartes stoppen en de kromming van de cirkel berekenen die erin past: 86.

In 1936, de Nobelprijswinnende radiochemicus Frederik Soddie merkte iets vreemds op toen hij pakkingen bouwde met de relatie van Descartes. Naarmate de cirkels kleiner werden en krommingen groter, verwachtte hij knoestige getallen met vierkantswortels of oneindige decimalen. In plaats daarvan waren alle krommingen gehele getallen. Dit was een vrij eenvoudig gevolg van de vergelijking van Descartes, maar honderden jaren lang had niemand het opgemerkt. Het inspireerde Soddy tot publiceer een gedicht in het wetenschappelijke tijdschrift NATUUR, die begon:

Voor paar lippen om te kussen misschien
Bevat geen trigonometrie.
'Het is niet zo als vier cirkels elkaar kussen
Elk de andere drie.

Het mogelijke en het onvermijdelijke

Toen eenmaal was vastgesteld dat er pakjes vol gehele getallen zijn, probeerden wiskundigen patronen in die gehele getallen te vinden.

In 2010, Fuchs en Katharina Sanden begonnen te bouwen op een papier van 2003. Het duo merkte op dat als je elke kromming in een bepaalde verpakking deelt door 24, er een regel ontstaat. Sommige pakkingen hebben alleen krommingen met restanten van bijvoorbeeld 0, 1, 4, 9, 12 of 16. Anderen laten alleen restanten van 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 of 22 over. Er waren zes verschillende mogelijke groepen.

Terwijl wiskundigen de verschillende categorieën pakkingen onderzochten, begonnen ze op te merken dat voor cirkels die klein genoeg waren - die met grote krommingen - het leek alsof elk mogelijk aantal binnen elke categorie verscheen voor pakkingen van dat type. Dit idee werd het lokaal-globale vermoeden genoemd. Bewijzen dat het "een van de dromen van deze kleine wiskundigen van mij" werd, zei Fuchs. "Zoals, misschien zal ik het op een gegeven moment over vele jaren kunnen oplossen."

In 2012, Kontorovich en Jean Bourgain (wie stierf in 2018) bewees dat vrijwel elk nummer voorspeld door het vermoeden komt voor. Maar 'vrijwel allemaal' betekent niet 'alles'. Perfecte kwadraten zijn bijvoorbeeld zo zeldzaam dat, wiskundig gezien, "vrijwel alle" gehele getallen geen perfecte kwadraten zijn, ook al zijn bijvoorbeeld 25 en 49 dat wel. Wiskundigen dachten dat de zeldzame tegenvoorbeelden die mogelijk bleven na het artikel van Kontorovich en Bourgain eigenlijk niet bestonden, vooral omdat de twee of drie best bestudeerde cirkelpakkingen het lokaal-globale vermoeden zo goed leken te volgen, zei Kontorovich.

Die wijzerplaat aanzwengelen

Toen Haag en Kertzer deze zomer in Boulder begonnen, krabbelde Rickards ideeën op een schoolbord in het kantoor van Stange. "We hadden een hele lijst", zei Rickards. Ze hadden vier of vijf uitgangspunten om mee te experimenteren. "Dingen waar je gewoon mee kunt spelen en zien wat er gebeurt."

Een idee was om alle mogelijke cirkelpakkingen te berekenen die twee willekeurige krommingen A en B bevatten. Rickards schreef een programma dat een soort grootboek uitvoert dat rapporteert welke gehele getallen aan de partij verschijnen wanneer A gastheer is.

Op basis van dit programma ritselde Haag een Python-script in elkaar dat talloze simulaties tegelijk uitzette. Het was als een tafel van vermenigvuldiging: Haag koos welke rijen en kolommen moesten worden opgenomen op basis van hun resten wanneer ze werden gedeeld door 24. Paren van getallen die in een Apollinische pakking verschijnen, kregen samen witte pixels; degenen die geen zwarte pixels hebben.

Haag ploegde door tientallen percelen - één voor elk paar restanten in elk van de zes groepen.

Ze zagen er precies uit zoals verwacht: een witte muur, doorspekt met zwarte stippen voor kleinere gehele getallen. "We hadden verwacht dat de zwarte stippen zouden verdwijnen," zei Stange. Rickards voegde eraan toe: "Ik dacht dat het misschien zelfs mogelijk zou zijn om te bewijzen dat ze doodgaan." Hij speculeerde dat het team resultaten zou kunnen bewijzen die niet mogelijk waren als ze naar een afzonderlijke verpakking keken door naar grafieken te kijken die veel verpakkingen samenvoegden.

Terwijl Stange weg was, beraamde Haag uiteindelijk elk paar restanten - ongeveer 120. Geen verrassingen daar. Toen werd ze groot.

Haag had uitgezet hoe 1,000 gehele getallen op elkaar inwerken. (De grafiek is groter dan het klinkt, aangezien het om 1 miljoen mogelijke paren gaat.) Toen draaide ze de knop naar 10,000 keer 10,000. In één grafiek weigerden regelmatige rijen en kolommen met zwarte stippen op te lossen. Het leek in niets op wat het lokaal-globale vermoeden zou voorspellen.

Het team ontmoette elkaar op een maandag nadat Stange was teruggekeerd. Haag presenteerde haar grafieken en ze concentreerden zich allemaal op degene met de rare stippen. "Het was gewoon een continu patroon," zei Haag. "En dat was toen Kate zei: 'Wat als het lokaal-globale vermoeden niet waar is?'"

“Dit lijkt op een patroon. Het moet doorgaan. Dus het lokaal-globale vermoeden moet onjuist zijn, 'herinnerde Stange zich. "James was sceptischer."

"Mijn eerste gedachte was dat er een fout in mijn code zat", zei Rickards. "Ik bedoel, dat was het enige redelijke dat ik kon bedenken."

Binnen een halve dag kwam Rickards langs. Het patroon sloot alle paren uit waarvan het eerste getal de vorm 8 × (3n ± 1)² en de tweede is 24 keer een willekeurig vierkant. Dit betekent dat 24 en 8 nooit in dezelfde verpakking verschijnen. Getallen waarvan je zou verwachten dat ze niet voorkomen.

“Ik was een beetje duizelig. Het komt niet vaak voor dat iets je echt verrast,' zei Stange. "Maar dat is de magie van spelen met data."

De Papier van juli schetst een rigoureus bewijs dat het patroon dat ze waarnamen voor onbepaalde tijd voortduurt, waardoor het vermoeden wordt weerlegd. Het bewijs hangt af van een eeuwenoud principe genaamd kwadratische reciprociteit, waarbij de kwadraten van twee priemgetallen betrokken zijn. Het team van Stange ontdekte hoe wederkerigheid van toepassing is op cirkelverpakkingen. Het verklaart waarom bepaalde krommingen elkaar niet kunnen raken. De regel, een obstructie genoemd, verspreidt zich door de hele verpakking. "Het is gewoon een geheel nieuw ding," zei Jeffrey Lagarias, een wiskundige aan de Universiteit van Michigan die co-auteur was van het cirkelverpakkingsdocument uit 2003. 'Ze hebben het ingenieus gevonden,' zei Sarnak. "Als deze cijfers zouden verschijnen, zouden ze de wederkerigheid schenden."

De neerslag

Een aantal andere vermoedens in de getaltheorie kan nu in twijfel worden getrokken. Net als het lokaal-globale vermoeden zijn ze moeilijk te bewijzen, maar er is al aangetoond dat ze voor vrijwel alle gevallen gelden en er wordt algemeen aangenomen dat ze waar zijn.

Fuchs bestudeert bijvoorbeeld Markov-drietallen, getallenreeksen die aan de vergelijking voldoen x² + y² + z² = 3xyz. Zij en anderen hebben aangetoond dat bepaalde soorten oplossingen verbonden zijn voor priemgetallen groter dan 10³⁹². Iedereen gelooft dat het patroon tot in het oneindige moet doorgaan. Maar in het licht van het nieuwe resultaat heeft Fuchs zichzelf een steek van twijfel toegestaan. 'Misschien mis ik iets,' zei ze. "Misschien mist iedereen iets."

"Nu we een enkel voorbeeld hebben waar het onwaar is, is de vraag: is het ook onwaar voor deze andere voorbeelden?" zei Rickards.

Er is ook het vermoeden van Zaremba. Er staat dat een breuk met elke noemer kan worden uitgedrukt als een kettingbreuk die alleen de getallen tussen 1 en 5 gebruikt. In 2014 toonden Kontorovich en Bourgain aan dat Zaremba's vermoeden voor bijna alle getallen geldt. Maar de verrassing over het inpakken van cirkels heeft het vertrouwen in Zaremba's vermoeden ondermijnd.

Als het verpakkingsprobleem een ​​voorbode is van wat komen gaat, kunnen computationele gegevens het hulpmiddel zijn om het ongedaan te maken.

"Ik vind het altijd fascinerend wanneer nieuwe wiskunde wordt geboren door alleen maar naar gegevens te kijken", zei Fuchs. "Zonder dit is het echt moeilijk voor te stellen dat [ze] dit zouden zijn tegengekomen."

Stange voegde eraan toe dat dit allemaal niet zou zijn gebeurd zonder het low-stakes zomerproject. "Serendipiteit en een houding van speelse verkenning spelen beide zo'n grote rol bij ontdekkingen," zei ze.

'Het was puur toeval', zei Haag. "Als ik niet groot genoeg was gegaan, hadden we het niet gemerkt." Het werk belooft veel goeds voor de toekomst van de getaltheorie. "Je kunt wiskunde begrijpen door je intuïtie, door bewijzen", zei Stange. “En daar vertrouw je veel op omdat je er lang over hebt nagedacht. Maar je kunt niet discussiëren met de gegevens.”

Opmerking van de uitgever: Alex Kontorovich is lid van Quanta Magazinede wetenschappelijke adviesraad. Hij werd geïnterviewd voor dit verhaal, maar droeg verder niet bij aan de productie ervan.