Introductie
In december 1977 een revolutionair papier stilletjes verscheen in de Journal d'Analyse Mathématique, een gespecialiseerd wiskundetijdschrift. De auteur, Hillel Furstenberg, claimde geen spannende - of zelfs maar nieuwe - resultaten. Hij had simpelweg een bewijs geleverd van een stelling die een andere wiskundige, Endre Szemerédi, al twee jaar eerder had bewezen.
Desondanks heeft het artikel van Furstenberg een blijvende indruk achtergelaten op de wiskunde. Zijn nieuwe argument bevatte een kern van inzicht met verstrekkende gevolgen: je zou problemen zoals die van Szemerédi, over verzamelingen van gehele getallen, kunnen herformuleren tot vragen over punten die in de ruimte bewegen.
In de jaren daarna zijn de technieken van Furstenberg keer op keer gebruikt en beetje bij beetje aangepast en verbeterd. Eerder dit jaar waren ze supercharged en verschenen ze in twee nieuwe artikelen die oneindige patronen in reeksen gehele getallen blootleggen - met sprongen vooruitgaand voorbij de nu 47 jaar oude stelling van Szemerédi.
Furstenbergs bewijs
Szemerédi had sets onderzocht die een "positieve fractie" van alle gehele getallen bevatten. Neem bijvoorbeeld de set met alle veelvouden van 5. Terwijl je naar steeds grotere delen van de getallenlijn kijkt, blijven veelvouden van 5 regelmatig verschijnen. Wiskundigen zeggen dat de verzameling die alle veelvouden van 5 bevat, de fractie van een vijfde van alle gehele getallen heeft.
Daarentegen, hoewel er een oneindig aantal priemgetallen is, worden ze zo zeldzaam naarmate getallen groter worden dat de verzameling van alle priemgetallen geen positieve fractie van de gehele getallen bevat, of anders gezegd, geen positieve dichtheid heeft. . In plaats daarvan wordt gezegd dat de priemgetallen dichtheid nul hebben.
Szemerédi was op zoek naar voorbeelden van zogenaamde rekenkundige reeksen, of kettingen van gelijkmatig verdeelde getallen. Stel je bijvoorbeeld voor dat je een oneindige reeks getallen hebt, zoals de perfecte vierkanten: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. De perfecte vierkanten hebben een rekenkundige reeks van lengte drie die zich verbergt in de eerste paar termen: {1, 25, 49}. Elk nummer in deze progressie is 24 meer dan zijn voorganger.
Szemerédi bewees dat elke verzameling die een positieve fractie van de gehele getallen omvat, willekeurig lange rekenkundige reeksen moet bevatten. Het resultaat was een mijlpaal in het deelgebied van de wiskunde genaamd additieve combinatoriek.
Szémeredi's bewijs, hoewel briljant, was bijna onmogelijk te volgen. "Tot op de dag van vandaag denk ik dat er misschien maar drie of vier mensen zijn die [Szemerédi's] bewijs echt begrijpen", zei Terence tao, een wiskundige aan de Universiteit van Californië, Los Angeles.
Het meer begrijpelijke argument van Furstenberg was dus welkom. Om het te schrijven, vertrouwde Furstenberg op methoden uit zijn eigen gebied van wiskunde, dynamische systemen. Een dynamisch systeem is elk proces dat in de loop van de tijd verandert. Dit kan zoiets eenvoudigs zijn als een biljartbal die rond een pooltafel rolt. Alles wat je nodig hebt is een manier om je systeem wiskundig weer te geven en een regel voor hoe het zich ontwikkelt. Een bal kan bijvoorbeeld worden beschreven aan de hand van zijn positie en snelheid. Dat systeem ontwikkelt zich op een voorgeschreven manier in de tijd, volgens de wetten van de klassieke natuurkunde.
Furstenberg was het meest geïnteresseerd in iets dat ergodische theorie wordt genoemd. In plaats van te kijken naar de toestand van een systeem op een bepaald moment, bestuderen ergodische theoretici statistieken over lange perioden. Voor een biljartbal kan dat betekenen dat je moet uitzoeken of de bal op sommige plekken op de tafel vaker terechtkomt dan op andere vanwege de manier waarop hij tegen de muren stuitert.
Het belangrijkste idee van Furstenberg was om verzamelingen van gehele getallen niet als vaste objecten te zien, maar als tijdelijke toestanden in een dynamisch systeem. Het lijkt misschien een kleine verandering in perspectief, maar het stelde hem in staat om tools uit de ergodische theorie te gebruiken om resultaten in combinatoriek te bewijzen. Furstenberg had toen nog geen idee dat zijn ideeën een eigen leven zouden gaan leiden. "Het was gewoon, ik wilde graag dit andere bewijs hebben," zei hij. Maar anderen zagen de belofte in van het verband tussen ergodische theorie en combinatoriek. "Een hele generatie ergodische theoretici begon zich min of meer te storten op combinatoriek en al deze problemen op te lossen, en vice versa", zei Tao.
De afgelopen jaren hebben vier wiskundigen — Bryan Kra, Joël Moreira, Florian Richter en Donald Robertson - hebben de technieken van Furstenberg ontwikkeld om niet alleen willekeurig lange progressies te vinden binnen elke set die een positieve fractie van de gehele getallen bevat, maar oneindige versies van structuren die somsets worden genoemd.
“Sumsets zijn veel minder specifiek dan progressies; ze zien er veel minder speciaal uit,' zei Robertson. "Maar het is interessanter en delicater, omdat somsets oneindige configuraties zijn, terwijl progressies eindig zijn."
Als Furstenberg een brug heeft geslagen tussen ergodische theorie en combinatoriek, hebben Kra, Moreira, Richter en Robertson die vergroot tot "een snelweg met zes rijstroken", zei Tao.
B + C Vermoeden
De stelling van Szemerédi werd voor het eerst voorgesteld, maar niet bewezen, in 1936 door twee wiskundigen. Een van hen was een Hongaarse wiskundige die beroemd was om zijn vermoedens: Paul Erdős. In 2016, toen Moreira aan zijn proefschrift werkte aan de Ohio State University, kwam hij een ander vermoeden dat Erdős had gemaakt over de structuren die somsets worden genoemd.
Een somset wordt gemaakt van twee andere sets; bel die B en C. De somset, geschreven als B + C, wordt opgebouwd door elk mogelijk paar getallen bij elkaar op te tellen en er één getal uit te nemen B en de andere uit C. Erdős vermoedde dat voor elke set A die een positieve fractie van gehele getallen bevat, bestaan er andere oneindige verzamelingen B en C waarvan de som binnen is vervat A. In de krant die Moreira aan het lezen was, hadden de auteurs het vermoeden van Erdős bewezen wanneer A een groot deel van de gehele getallen bevat. Maar voor kleinere sets met positieve dichtheid was het resultaat nog onbekend. "Zodra ik de verklaring las, dacht ik dat het een heel goede vraag was, omdat het zo simpel is", zei Moreira. 'Het is of onwaar, of het zou niet moeilijk moeten zijn. Wat natuurlijk fout was. Het was niet vals of gemakkelijk.”
Moreira haalde Richter en Robertson, vrienden van hem van de graduate school, bij het project. Robertson, nu aan de Universiteit van Manchester, was een jaar eerder afgestudeerd dan Moreira, en Richter liep een paar jaar achter. Alle drie waren goed thuis in het toepassen van ergodische theorietechnieken op combinatoriek. Maar dit probleem zorgde voor nieuwe uitdagingen.
"Er was vrijwel geen precedent voor het vinden van oneindige somsets binnen een set met positieve dichtheid", zei Daniël Glasscock, een wiskundige aan de Universiteit van Massachusetts, Lowell, die de graduate school bijwoonde bij Moreira, Richter en Robertson.
Misschien om die reden bleek het somset-probleem moeilijk te corrigeren. "We moeten de ergodische theorie een beetje forceren om door te komen", zei Moreira. Hun inspanningen hebben uiteindelijk hun vruchten afgeworpen, en waarin Marcin Sabok van McGill University een "verbazingwekkende prestatie" genoemd, slaagden ze erin het vermoeden van Erdős in 2018 te bewijzen. Hun bewijs werd later in het Annalen van de wiskunde, een van de meest prestigieuze wiskundetijdschriften.
De nieuwe bewijzen
Dat document liet twee grote vragen open. Een daarvan was een ander samenvattend vermoeden van Erdős, genaamd de B + B + t vermoeden.
Moreira, Richter en Robertson hadden zelf ook een vraag bedacht: als je een set met positieve dichtheid hebt A, kun je drie oneindige sets vinden — B, C en nu D - WAAR B + C + D is binnen A? Hoe zit het met vier oneindige verzamelingen? Vijf?
Nadat ze de multi-set-versie hadden opgesteld, zaten de wiskundigen een tijdje vast. Het leek erop dat de technieken die ze hadden gebruikt voor het vermoeden van twee sets hun limiet hadden bereikt.
"We konden geen dynamische herformulering van dit probleem vinden", zei Richter. Hun aanpak, zei hij, "faalde gewoon vanaf het allereerste begin."
Er gingen twee jaar voorbij voordat ze echte vooruitgang zagen. Tegen die tijd was Richter een postdoctoraal onderzoeker aan de Northwestern University, waar Bryan Kra was een professor. In 2020, toen Kra en Richter elkaar niet persoonlijk konden ontmoeten door de pandemie van Covid-19, bespraken ze het somprobleem via Zoom.
"Uiteindelijk kwamen we met een aantal andere variaties die we begrepen," zei Kra.
Kra en Richter begonnen elke week met Moreira en Robertson te praten om het bewijs uit 2018 opnieuw te bekijken.
"Wat we moesten doen, is elke stap van het bewijs heroverwegen, te beginnen met die vertaling naar een dynamisch systeem", zei Kra.
Behulpzaam voor hun zaak was een 2019 papier door een Franse wiskundige genaamd Bernard gastheer. Host had het resultaat van Moreira, Richter en Robertson opnieuw bewezen en had bedacht hoe hij de ergodische theorie kon laten zingen. Volgens Moreira zag Host "hoe hij ons bewijs moest schrijven zoals het had moeten worden geschreven."
Met de verbeteringen van Host in handen, gingen Kra, Moreira, Richter en Robertson door met het verfijnen van hun bewijs, in een poging het eenvoudigste, meest elegante argument mogelijk te maken. "We waren het gewoon aan het ontleden, denk ik, keer op keer, om echt te zien: wat is de kern van het probleem?" zei Richter. "Aan het einde hadden we een bewijs dat heel weinig leek op het oorspronkelijke bewijs."
Het bewijs waarmee ze eindigden, zoals dat van Furstenberg, beschouwde de oneindige reeksen gehele getallen als tijdstempels in een dynamisch systeem. Dit dynamische systeem kan echter beter worden voorgesteld als punten die in de ruimte rondspringen.
Hier is een globaal beeld van hoe het werkt: Begin door in een hoek van een afgesloten kamer te gaan staan, noem het Hoek 0. Je hebt een lijst met tijden A. dat stel, A, is een verzameling gehele getallen met een positieve dichtheid.
Je bent ook uitgerust met een regel om door de kamer te bewegen. Elke seconde ga je naar een nieuwe plek, op basis van waar je net stond. De exacte regel die u volgt, zal worden ontworpen om overeen te komen met uw reeks tijden A - wanneer de tijdstempel binnen is A, bevind je je in een speciaal gedeelte van de kamer.
Zeg bijvoorbeeld A bestaat uit alle getallen die deelbaar zijn door 4, en elke seconde ga je met de klok mee naar de volgende hoek van de kamer. Na een seconde ga je naar hoek 1; na twee seconden, Corner 2, enzovoort. Vervolgens elke vier stappen - wat betekent voor elke keer dat het binnen is EEN - je bent teruggekeerd naar de oorspronkelijke Hoek 0.
Dit proces gaat eeuwig door. Als je met de klok mee van hoek naar hoek reist, bezoek je elke hoek oneindig vaak. Een punt dat je een oneindig aantal keer dichtbij komt, wordt een accumulatiepunt genoemd.
Kra, Moreira, Richter en Robertson hebben bewezen dat je slim een van deze plekken kunt kiezen om je som te vinden B + C. Neem in het hoekvoorbeeld Hoek 1. Je komt daar aan op tijden 1, 5, 9 en 13 — tijden die lijken op 4n + 1 voor een geheel getal n. Laat B wees de set van die tijd.
Stel je nu voor dat je in plaats van te beginnen bij hoek 0, begint bij hoek 1. Dit betekent dat je soms deelbaar door 4 bent, je weer terugkomt bij hoek 1 en drie stappen later bij hoek 0 komt: soms 3, 7, 11 of een willekeurig getal van de vorm 4n + 3. Noem de set van die tijden C.
Start nu uw proces opnieuw vanuit Hoek 0. Kijk deze keer wat er gebeurt als je een getal uit neemt B en een nummer van C - zeg, 13 van B en 3 vanaf C - en tel ze op.
Dit zou 13 + 3 = 16 seconden duren. Aangezien 16 een veelvoud is van 4, is het binnen A. Maar je kunt ook voorspellen dat 13 + 3 deelbaar is door 4, en dus in A, zonder daadwerkelijk 13 en 3 bij elkaar op te tellen. Volg gewoon wat er in het dynamische systeem gebeurt als je 13 + 3 seconden wacht: Eerst gaan er 13 seconden voorbij. Op dat moment bevind je je in Hoek 1. Vervolgens, beginnend bij Hoek 1, zet je nog drie stappen, waarmee je teruggaat naar Hoek 0. Aangezien je begon vanuit Hoek 0 en daar weer eindigde, moet je gewacht hebben op een veelvoud van vier seconden, wat betekent dat de totale hoeveelheid tijd een getal was in de originele set A.
Om dit argument te laten werken, moest de groep omgaan met veel kieskeurige wiskundige details. In de meeste gevallen heb je bijvoorbeeld een oneindig aantal plekken om naartoe te verhuizen, niet slechts vier hoeken. Dat betekent dat je niet oneindig vaak naar een plek zult terugkeren; je komt er maar oneindig vaak dichtbij. Dat introduceerde nieuwe wiskundige complicaties in het argument. Maar toen ze eenmaal doorhadden hoe het proces zou werken, wisten ze dat ze de moeilijkere vragen die ze zochten zouden kunnen oplossen.
"We kwamen hier met dit bewijs en het was meteen duidelijk hoe we het moesten generaliseren", zei Richter, die nu verbonden is aan het Zwitserse Federale Instituut voor Technologie in Lausanne. Om bijvoorbeeld de meervoudige versie van het vermoeden te bewijzen, zouden de onderzoekers gewoon een accumulatiepunt aan het pad kunnen toevoegen. Het algemene argument was hetzelfde, alleen met een nieuwe laag complicaties.
Het was niet eenvoudig om alle technische details eruit te hameren. Nadat ze hun dynamische opstelling hadden bepaald, kostte het Kra, Moreira, Richter en Robertson meer dan een jaar om bewijzen van de moeilijkere vermoedens uit te werken. In juni van dit jaar plaatste de groep eindelijk twee kranten. Een bewees de multi-set versie van het vermoeden van de somset. Andere bewees de B + B + t versie van het vermoeden, dat vereist dat de tweede set C gelijk zijn aan de eerste set B, verschoven door een constante, t.
Volgende stappen
Hoewel de kranten van juni twee vragen over somsets oplossen, zien Kra, Moreira, Richter en Robertson een lange toekomst voor hun onderzoekslijn. "Zoals met alles wat Erdős vroeg, wil hij gewoon dat we onze voet tussen de deur zetten", zei Moreira, nu aan de Universiteit van Warwick. "Maar nu moeten we de deur openen en gaan onderzoeken wat er nog meer is."
In hun nieuwe papers schetsen de vier wiskundigen verschillende mogelijke onderzoeksrichtingen, in de vorm van nog onbeantwoorde vragen. Men vertrouwt op het feit dat, hoewel elke set met positieve dichtheid A bevat een oneindige som B + C, bevat het niet noodzakelijkerwijs de twee componenten B en C. Wanneer kun je daarop aandringen B en C moet ook binnen zijn A? De auteurs dagen wiskundigen ook uit om erachter te komen of ze een oneindige reeks van oneindige verzamelingen kunnen vinden waarvan de somverzamelingen zijn vervat in A.
Een andere open vraag in het veld is al beantwoord door Matt Bowen, een afgestudeerde student van Sabok's aan de McGill University. In oktober heeft hij geplaatst een bewijs dat als je elk geheel getal een van een paar kleuren toewijst, je een somset kunt vinden B+C en een product van sets BC binnen slechts één van de kleuren.
Waar het nieuwe werk van Kra, Moreira, Richter en Robertson precies toe zal leiden, is nog onbekend. Maar Tao is in ieder geval optimistisch over de nieuwe technieken die de groep heeft ontwikkeld. Wat ze met hun methoden bereiken, is "eigenlijk best verbazingwekkend", zei hij. "Er zijn andere vragen over oneindige sets die voorheen als hopeloos werden beschouwd, maar nu binnen handbereik."
