Een paar minuten na een lezing in 2018 aan de Universiteit van Michigan, Ian Tobasco pakte een groot stuk papier en verfrommelde het tot een schijnbaar ongeordende bal van chaos. Hij hield het omhoog zodat het publiek het kon zien, kneep er voorzichtig in en spreidde het toen weer uit.
"Ik krijg een wilde massa plooien die tevoorschijn komen, en dat is de puzzel," zei hij. "Wat selecteert dit patroon uit een ander, meer geordend patroon?"
Vervolgens hield hij een tweede groot stuk papier omhoog - dit voorgevouwen tot een beroemd origamipatroon van parallellogrammen dat bekend staat als de Miura-ori - en drukte het plat. De kracht die hij op elk vel papier gebruikte was ongeveer hetzelfde, zei hij, maar de resultaten hadden niet meer kunnen verschillen. De Miura-ori was netjes verdeeld in geometrische gebieden; de verfrommelde bal was een warboel van gekartelde lijnen.
'Je krijgt het gevoel dat dit,' zei hij, wijzend op de verspreide plooien op het verfrommelde vel, 'slechts een willekeurige ongeordende versie hiervan is.' Hij wees naar de nette, ordelijke Miura-ori. "Maar we hebben onze vinger er niet op gelegd of dat waar is of niet."
Om die verbinding te maken, zou niets minder nodig zijn dan het vaststellen van universele wiskundige regels van elastische patronen. Tobasco werkt hier al jaren aan en bestudeert vergelijkingen die dunne elastische materialen beschrijven - dingen die reageren op een vervorming door te proberen terug te springen naar zijn oorspronkelijke vorm. Prik hard genoeg in een ballon en er ontstaat een starburstpatroon van radiale rimpels; verwijder uw vinger en ze zullen weer gladstrijken. Knijp in een verkreukelde bal papier en deze zal uitzetten als je hem loslaat (hoewel hij niet helemaal zal uitkreukelen). Ingenieurs en natuurkundigen hebben onderzocht hoe deze patronen onder bepaalde omstandigheden ontstaan, maar voor een wiskundige suggereren die praktische resultaten een meer fundamentele vraag: is het mogelijk om in het algemeen te begrijpen wat het ene patroon selecteert in plaats van het andere?
In januari 2021 publiceerde Tobasco een krant die die vraag bevestigend beantwoordde - althans in het geval van een gladde, gebogen, elastische plaat die plat werd gedrukt (een situatie die een duidelijke manier biedt om de vraag te onderzoeken). Zijn vergelijkingen voorspellen hoe schijnbaar willekeurige rimpels "ordentelijke" domeinen bevatten, die een herhalend, identificeerbaar patroon hebben. En hij schreef mee aan een paper, dat vorige maand werd gepubliceerd, dat een nieuwe natuurkundige theorie laat zien, gebaseerd op rigoureuze wiskunde, die patronen in realistische scenario's kan voorspellen.
Het werk van Tobasco suggereert met name dat rimpels, in zijn vele gedaanten, gezien kunnen worden als de oplossing voor een geometrisch probleem. "Het is een prachtig stuk wiskundige analyse," zei Stefan Müller van het Hausdorff Centrum voor Wiskunde van de Universiteit van Bonn in Duitsland.
Het legt voor het eerst op elegante wijze de wiskundige regels - en een nieuw begrip - achter dit veelvoorkomende fenomeen. "De rol van de wiskunde hier was niet om een vermoeden te bewijzen dat natuurkundigen al hadden gemaakt," zei Robert Kohn, een wiskundige aan het Courant Institute van de New York University, en Tobasco's graduate school-adviseur, "maar eerder om een theorie te bieden waar er voorheen geen systematisch begrip was."
Uitrekken
Het doel van het ontwikkelen van een theorie van rimpels en elastische patronen is een oud doel. In 1894, in een recensie in NATUUR, wees de wiskundige George Greenhill op het verschil tussen theoretici ("Wat moeten we denken?") en de nuttige toepassingen die ze konden bedenken ("Wat moeten we doen?").
In de 19e en 20e eeuw boekten wetenschappers grotendeels vooruitgang op de laatste, door problemen met rimpels te bestuderen in specifieke objecten die worden vervormd. Vroege voorbeelden zijn onder meer het probleem van het smeden van gladde, gebogen metalen platen voor zeevarende schepen en het proberen om de vorming van bergen te verbinden met de verwarming van de aardkorst.
Meer recentelijk hebben wiskundigen en natuurkundigen de inspanningen uitgebreid om theorie en observatie te verbinden met een breed scala aan rimpelige situaties, geometrieën en materialen. "Dit is al ongeveer de laatste 10 jaar aan de gang, waarbij we eerst experimenten doen en vervolgens proberen de theorie te vinden om ze te begrijpen", zei de wiskundige Dominicus Vella van de Universiteit van Oxford. "Het is pas sinds kort dat we een goed begrip beginnen te krijgen."
Er zijn spannende mijlpalen geweest. In 2015, Pedro Reis, een werktuigbouwkundig ingenieur aan het Massachusetts Institute of Technology, beschreven natuurkundige wetten voor de geometrische patronen die zich vormen op leeggelopen siliconenballen. Zijn werk verbond die rimpels met de dikte van de binnen- en buitenlaag van het elastische materiaal. Reis merkte ook op dat rimpels, in plaats van als defecten te worden beschouwd, kansen kunnen bieden om nieuw mechanisch gedrag te ontwerpen. Toen, in 2017, Vella leidde de analyse van de rimpelinstabiliteiten van een dunne elastische film onder druk, kenmerkend hoe het aantal rimpels veranderde naargelang de diepte van de initiële por en andere specifieke details.
Maar deze ontwikkelingen hebben nog steeds slechts een deel van het probleem opgelost. Voor een meer algemeen wiskundig begrip van hoe rimpels ontstaan, was een andere benadering nodig. Tobasco zou degene zijn die het vooruit zou helpen.
Nieuwsgierigheid volgen
Toen hij jonger was, dacht Tobasco dat hij in de lucht- en ruimtevaarttechniek zou gaan. Hij studeerde in 2011 af aan de Universiteit van Michigan met een bachelor's degree in het veld, maar op dat moment was hij al diep gaan nadenken over wiskundig redeneren en fysieke systemen. Hij behaalde een doctoraat in wiskunde, maar hij verwijt Joey Paulsen, een fysicus nu aan de Universiteit van Syracuse, hem op het specifieke pad van rimpels.
Eerder in de carrière van Paulsen, toen hij de eigenschappen van ongebruikelijke materialen bestudeerde, leerde hij ultradunne polymeerfilms te fabriceren en te analyseren met behulp van een techniek die spincoating wordt genoemd. Eerst zou hij een speciaal vloeibaar materiaal maken dat sporen van opgelost polymeer bevat; dan zou hij het materiaal op een draaiende plaat plaatsen. Het grootste deel van de vloeistof zou verdampen, terwijl het polymeer zich tot een gelijkmatige dikte zou verspreiden voordat het stolde. Toen hij eenmaal zijn eigen laboratorium in Syracuse had, leerde Paulsen hoe hij spincoating moest aanpassen om gebogen films te maken - zoals ultradunne schildpadden.
Op een dag plaatste hij enkele van deze gebogen films op stilstaand water en fotografeerde hij hoe ze op het oppervlak terechtkwamen. "Het was puur uit nieuwsgierigheid", zei hij. De foto's trokken Tobasco's aandacht tijdens een informele ontmoeting met Paulsen in 2017.
"Ze toonden aan dat je deze willekeurige ongeordende rimpelpatronen kon krijgen - toen je het experiment twee keer deed, kreeg je twee verschillende patronen", zei Tobasco, die nu een assistent-professor is aan de Universiteit van Illinois, Chicago. "Ik wilde zien of ik een afleidbare manier kon bedenken [om die patronen te voorspellen] uit elasticiteit, waarbij de vorm van de schaal werd opgenomen. En dat het model niet van schaal tot schaal zou veranderen.”
Rimpelpatronen zijn configuraties met zo min mogelijk energie. Dat wil zeggen, als de dunne film zich op een plat oppervlak vestigt, verandert hij totdat hij de opstelling van rimpels vindt, al dan niet wanordelijk, die de minste hoeveelheid energie kost om in stand te houden. "Je kunt patronen ordenen op basis van de hoeveelheid energie die wordt opgeslagen wanneer [het patroon] zich manifesteert," zei Tobasco.
Geleid door dat leidende principe, isoleerde hij een paar kenmerken van de film die degenen bleken te zijn die het patroon selecteerden, waaronder een maat voor de vorm die de Gauss-kromming werd genoemd. Een oppervlak met een positieve Gauss-kromming buigt van zichzelf af, zoals de buitenkant van een bal. Negatief gebogen oppervlakken daarentegen zijn zadelvormig, zoals een Pringles-chip: als je in de ene richting gaat, ga je omhoog, maar als je in een andere richting gaat, ga je naar beneden.
Tobasco ontdekte dat gebieden met positieve Gauss-kromming één soort rangschikking van geordende en ongeordende domeinen produceren, en gebieden met negatieve kromming andere soorten. "De gedetailleerde geometrie is niet zo belangrijk," zei Vella. "Het hangt echt gewoon af van het teken van de Gauss-kromming."
Ze hadden vermoed dat de Gauss-kromming belangrijk was voor rimpels, maar Vella zei dat het een verrassing was dat de domeinen zo sterk afhankelijk waren van het teken. Bovendien is Tobasco's theorie ook van toepassing op een breed spectrum van elastische materialen, niet alleen op de vormen van Paulsen. "Het is een mooie geometrische constructie die laat zien waar rimpels zullen verschijnen," zei Vella. "Maar begrijpen waar dat vandaan komt, is heel diep en is nogal verrassend."
Paulsen was het daarmee eens. "Wat Ians theorie heel mooi doet, is je het hele patroon in één keer te geven."
Echte rimpels
Begin 2018 had Tobasco zijn theorie grotendeels geregeld - maar hoewel het op papier werkte, kon hij er niet zeker van zijn dat het in de echte wereld juist zou zijn. Tobasco nam contact op met Paulsen en vroeg of hij interesse had om samen te werken. "Iets werkte gewoon meteen," zei Paulsen. "Met sommige van Ian's voorspellingen, bovenop experimentele foto's, konden we meteen zien dat ze in de rij stonden."
Op de Society for Industrial and Applied Mathematics Conference on Mathematical Aspects of Materials Science van dat jaar maakte Tobasco kennis met Eleni Katifori, een natuurkundige aan de Universiteit van Pennsylvania die het probleem van rimpelpatronen in opgesloten schelpen onderzocht en een database met resultaten opbouwde. Het was een moment van serendipiteit. "We konden de domeinen [in de simulaties] zien die Ian's werk uitlegde," zei ze. De wedstrijd was griezelig. Zelfs tijdens hun eerste discussies was het duidelijk dat Tobasco's theorie, Paulsens experimentele beelden en Katifori's simulaties allemaal dezelfde fenomenen beschreven. "Zelfs in de vroege stadia, toen we nog niets concreets hadden, konden we het verband zien."
Die vroege opwinding leidde al snel tot scepsis. Het leek bijna te mooi om waar te zijn. "Hij is een wiskundige en maakt al deze dingen niet-dimensionaal," zei Paulsen, verwijzend naar hoe Tobasco's ideeën over kromming veel verder konden worden uitgebreid dan tweedimensionale platte materialen. “Kijken we echt naar hetzelfde systeem? Hij is het ermee eens, maar had hij het ermee eens moeten zijn?”
De volgende twee jaar hebben de drie onderzoekers de details uitgeplozen, wat aantoont dat Tobasco's theorie echt - precies - de rangschikking van rimpels voorspelde die Paulsen in zijn experimenten zag en Katifori in haar computermodellen vond. Op 25 augustus publiceerden ze een paper in Natuurfysica tonen hoe de drie benaderingen allemaal samenkomen op dezelfde, ongecompliceerde geometrische rangschikking van rimpels. Ze ontdekten met name dat de patronen vallen in nette families van gelijkbenige driehoeken die domeinen van orde en wanorde afbakenden. Bovendien zijn de resultaten niet beperkt tot wiskundige abstracties van onmogelijk dunne materialen, maar hebben ze betrekking op meerdere ordes van grootte van dikte.
Hun werk suggereert ook mogelijkheden om de theorie en haar toepassingen uit te breiden. Katifori zei dat ze als natuurkundige geïnteresseerd is in het benutten van de voorspellingen om nieuwe materialen te ontwerpen. "Ik wil begrijpen hoe je oppervlakken kunt ontwerpen zodat ze de rimpelpatronen zelf organiseren tot iets dat je wilt."
Een andere open vraag is hoe de theorie in het algemeen kan worden toegepast op verschillende soorten gebogen oppervlakken. "Het is erg gericht op situaties waarin [Gaussiaanse kromming] positief of negatief is, maar er zijn veel situaties met sommige regio's die positief en sommige negatief zijn," zei Vella.
Paulsen was het ermee eens dat dit een opwindende mogelijkheid is, en Tobasco zei dat hij actief op dit gebied werkt en andere vormen van schelpen overweegt, zoals die met gaten.
Maar Paulsen zei dat de theorie, zelfs zoals die er nu uitziet, mooi en verrassend is. "Als ik je een schelp en een grensvorm geef en deze eenvoudige set regels die de theorie van Ian voorspelde, dan kun je een kompas en een liniaal nemen en in feite de rimpels tekenen," zei hij. “Zo had het niet hoeven gebeuren. Het had helemaal afschuwelijk kunnen zijn.”
