Introductie
In 2012 beweerde de wiskundige Shinichi Mochizuki dat hij het probleem had opgelost abc vermoeden, een belangrijke open vraag in de getaltheorie over de relatie tussen optellen en vermenigvuldigen. Er was alleen รฉรฉn probleem: zijn proefdruk, die meer dan 500 pagina's lang was, was volkomen ondoordringbaar. Het berustte op een hele reeks nieuwe definities, notaties en theorieรซn die voor bijna alle wiskundigen onmogelijk te begrijpen waren. Jaren later, toen twee wiskundigen grote delen van het bewijs in meer bekende termen vertaalden, wezen ze op wat men een โernstige, onherstelbare kloof'in zijn logica - alleen voor Mochizuki om hun argument te verwerpen op grond van het feit dat ze zijn werk eenvoudigweg niet hadden begrepen.
Het incident roept een fundamentele vraag op: wat is een wiskundig bewijs? We hebben de neiging om het te zien als een openbaring van een eeuwige waarheid, maar misschien kan het beter worden begrepen als iets van een sociale constructie.
Andreas Granville, een wiskundige aan de Universiteit van Montreal, heeft daar de laatste tijd veel over nagedacht. Nadat hij door een filosoof was benaderd over een deel van zijn geschriften, โbegon ik na te denken over hoe we tot onze waarheden komenโ, zei hij. "En als je eenmaal aan die deur begint te duwen, merk je dat het een uitgebreid onderwerp is."
Granville hield al op jonge leeftijd van rekenen, maar hij heeft nooit een carriรจre in wiskundeonderzoek overwogen, omdat hij niet wist dat zoiets bestond. โMijn vader verliet de school op 14-jarige leeftijd, mijn moeder op 15- of 16-jarige leeftijdโ, zei hij. โZe zijn geboren in wat toen de arbeiderswijk van Londen was, en de universiteit ging net verder dan wat zij voor mogelijk hielden. Wij hadden dus geen idee.โ
Nadat hij was afgestudeerd aan de Universiteit van Cambridge, waar hij wiskunde studeerde, begon hij zich aan te passen De Rachel Papers, een roman van Martin Amis, naar een scenario. Terwijl hij aan het project werkte en financiering zocht, wilde hij voorkomen dat hij een bureaubaan zou aannemen โ hij had tijdens een tussenjaar tussen de middelbare school en de universiteit bij een verzekeringsmaatschappij gewerkt en wilde er niet meer naar terugkeren โ โdus ging ik naar de middelbare schoolโ, zei hij. De film kwam nooit van de grond (de roman werd later zelfstandig verfilmd), maar Granville behaalde een masterdiploma in wiskunde en verhuisde vervolgens naar Canada om zijn doctoraat af te ronden. Hij keek nooit achterom.
Introductie
โHet was echt een avontuurโ, zei hij. โIk had niet echt veel verwachtingen. Ik wist niet echt wat een Ph.D. was."
In de decennia daarna heeft hij meer dan 175 artikelen geschreven, voornamelijk op het gebied van de getaltheorie. Hij is ook bekend geworden door het schrijven over wiskunde voor een populair publiek: in 2019 was hij co-auteur van een stripboek over priemgetallen en aanverwante concepten met zijn oudere zus, Jennifer, een scenarioschrijver. Vorige maand was een van zijn artikelen over โhoe we tot onze waarheden komenโ gepubliceerde in de Annalen van Wiskunde en Filosofie. En samen met andere wiskundigen, computerwetenschappers en filosofen is hij van plan om volgend jaar een verzameling artikelen te publiceren Bulletin van de American Mathematical Society over hoe machines de wiskunde kunnen veranderen.
Quanta sprak met Granville over de aard van wiskundig bewijs โ van hoe bewijzen in de praktijk werken, tot populaire misvattingen daarover, tot hoe het schrijven van proefdrukken zou kunnen evolueren in het tijdperk van kunstmatige intelligentie. Het interview is voor de duidelijkheid bewerkt en ingekort.
U hebt onlangs een artikel gepubliceerd over de aard van wiskundig bewijs. Waarom besloot je dat dit belangrijk was om over te schrijven?
Hoe wiskundigen onderzoek doen, wordt in de populaire media over het algemeen niet goed beschreven. Mensen hebben de neiging om wiskunde te zien als een pure zoektocht, waarbij we alleen door puur denken tot grote waarheden komen. Maar wiskunde gaat over gissingen โ vaak verkeerde gissingen. Het is een experimenteel proces. Wij leren in fasen.
Toen de Riemann-hypothese bijvoorbeeld voor het eerst in een artikel verscheen in 1859, was het als magie: hier is dit verbazingwekkende vermoeden, uit het niets. Zeventig jaar lang spraken mensen over wat een groot denker kan doen door puur te denken. Toen vond de wiskundige Carl Siegel Riemanns notities in de archieven van Gรถttingen. Riemann had feitelijk pagina's met berekeningen gemaakt van nullen van de Riemann-zetafunctie. De beroemde woorden van Siegel waren: โTot zover het pure denken alleen.โ
Er zit dus een spanning in de manier waarop mensen over wiskunde schrijven โ sommige filosofen en historici in het bijzonder. Ze lijken te denken dat we een puur magisch wezen zijn, een eenhoorn van de wetenschap. Maar dat zijn we normaal gesproken niet. Het is zelden puur denken alleen.
Introductie
Hoe zou je karakteriseren wat wiskundigen doen?
In de wiskundecultuur draait alles om bewijs. We zitten rond en denken na, en 95% van wat we doen is bewijs. Een groot deel van het inzicht dat we verwerven, komt voort uit het worstelen met bewijzen en het interpreteren van de problemen die naar voren komen als we ermee worstelen.
We beschouwen een bewijs vaak als een wiskundig argument. Via een reeks logische stappen wordt aangetoond dat een bepaalde bewering waar is. Maar u schrijft dat dit niet mag worden aangezien voor pure, objectieve waarheid. Wat bedoel je daarmee?
Het belangrijkste doel van een bewijs is om de lezer te overtuigen van de waarheid van een bewering. Dat betekent dat verificatie essentieel is. Het beste verificatiesysteem dat we in de wiskunde hebben, is dat veel mensen vanuit verschillende perspectieven naar een bewijs kijken, en dat het goed past in een context die ze kennen en geloven. In zekere zin zeggen we niet dat we weten dat het waar is. We zeggen dat we hopen dat het juist is, omdat veel mensen het vanuit verschillende perspectieven hebben geprobeerd. Bewijzen worden door deze gemeenschapsnormen geaccepteerd.
Dan is er nog het idee van objectiviteit: er zeker van zijn dat wat wordt beweerd juist is, en het gevoel hebben dat je de ultieme waarheid hebt. Maar hoe kunnen we weten dat we objectief zijn? Het is moeilijk om jezelf uit de context te halen waarin je een verklaring hebt afgelegd โ om een โโperspectief te hebben buiten het paradigma dat door de samenleving is ingevoerd. Dit geldt net zo goed voor wetenschappelijke ideeรซn als voor al het andere.
Je kunt je ook afvragen wat objectief interessant of belangrijk is in de wiskunde. Maar dit is ook duidelijk subjectief. Waarom beschouwen we Shakespeare als een goede schrijver? Shakespeare was in zijn eigen tijd niet zo populair als nu. Er bestaan โโuiteraard sociale conventies rond wat interessant en belangrijk is. En dat hangt af van het huidige paradigma.
Introductie
Hoe ziet dat eruit in wiskunde?
Een van de bekendste voorbeelden van een paradigmaverandering is calculus. Toen de calculus werd uitgevonden, betekende dit dat we iets dat naar nul ging, moesten delen door iets anders dat naar nul ging. Dit leidde tot nul gedeeld door nul, wat geen enkele betekenis heeft. Aanvankelijk bedachten Newton en Leibniz objecten die 'infinisimalen' werden genoemd. Het zorgde ervoor dat hun vergelijkingen werkten, maar volgens de huidige normen was het niet verstandig of rigoureus.
We hebben nu de epsilon-delta-formulering, die aan het einde van de 19e eeuw werd geรฏntroduceerd. Deze moderne formulering is zo verbluffend en duidelijk goed om deze concepten goed te krijgen dat als je naar de oude formuleringen kijkt, je denkt: wat dachten ze? Maar destijds werd aangenomen dat dit de enige manier was waarop je het kon doen. Om eerlijk te zijn tegenover Leibniz en Newton zouden ze waarschijnlijk dol zijn geweest op de moderne manier. Ze dachten er niet aan om het te doen, vanwege de paradigma's van hun tijd. Het duurde dus ontzettend lang voordat we er waren.
Het probleem is dat we niet weten wanneer we ons zo gedragen. We zitten gevangen in de samenleving waarin we ons bevinden. We hebben geen perspectief van buitenaf om te zeggen welke aannames we maken. Een van de gevaren in de wiskunde is dat je kunt denken dat iets niet belangrijk is, omdat het niet gemakkelijk kan worden uitgedrukt of besproken in de taal die je hebt gekozen. Het betekent niet dat je gelijk hebt.
Ik hou echt van dit citaat van Descartes, waar hij in essentie zegt: โIk denk dat ik alles weet wat er te weten valt over een driehoek, maar wie zal zeggen dat ik dat weet? Ik bedoel, iemand in de toekomst zou met een radicaal ander perspectief kunnen komen, wat zou leiden tot een veel betere manier van denken over een driehoek.โ En ik denk dat hij gelijk heeft. Dat zie je in de wiskunde.
Zoals je in je artikel schreef, kun je een bewijs beschouwen als een sociale overeenkomst: een soort wederzijdse overeenkomst tussen de auteur en zijn wiskundige gemeenschap. We hebben een extreem voorbeeld gezien waarin dit niet werkte, met Mochizuki's geclaimde bewijs van de abc vermoeden.
Het is extreem, omdat Mochizuki het spel niet wilde spelen zoals het wordt gespeeld. Hij heeft deze keuze gemaakt om onduidelijk te zijn. Als mensen grote doorbraken maken, met echt nieuwe en moeilijke ideeรซn, vind ik dat het hun plicht is om te proberen andere mensen erbij te betrekken door hun ideeรซn op een zo toegankelijk mogelijke manier uit te leggen. En hij zei meer: โโals je het niet wilt lezen zoals ik het heb geschreven, is dat niet mijn probleem. Hij heeft het recht om het spel te spelen dat hij wil spelen. Maar het heeft niets met gemeenschap te maken. Het heeft niets te maken met de manier waarop we vooruitgang boeken.
Introductie
Als er bewijzen bestaan โโin een sociale context, hoe zijn ze dan in de loop van de tijd veranderd?
Het begint allemaal bij Aristoteles. Hij zei dat er een soort deductief systeem moet zijn โ dat je nieuwe dingen alleen kunt bewijzen door ze te baseren op dingen die je al weet en waar je zeker van bent, en daarbij terug te gaan op bepaalde โprimitieve uitsprakenโ of axiomaโs.
De vraag is dus: wat zijn die fundamentele dingen waarvan je weet dat ze waar zijn? Heel lang zeiden mensen gewoon: een lijn is een lijn, een cirkel is een cirkel; Er zijn een paar dingen die eenvoudig en voor de hand liggend zijn, en dat zouden de aannames moeten zijn waar we van uitgaan.
Dat perspectief heeft eeuwig geduurd. Het bestaat nog steeds voor een groot deel. Maar het Euclidische axiomatische systeem dat zich ontwikkelde โ โeen lijn is een lijnโ โ kende zijn problemen. Er waren deze paradoxen ontdekt door Bertrand Russell, gebaseerd op het idee van een verzameling. Bovendien zou je woordspelletjes kunnen spelen met de wiskundige taal, waardoor problematische uitspraken kunnen worden gedaan als 'deze bewering is onwaar' (als het waar is, dan is het onwaar; als het onwaar is, dan is het waar), wat erop wijst dat er problemen zijn met het axiomatische systeem.
Dus probeerden Russell en Alfred Whitehead een nieuw wiskundesysteem te creรซren dat al deze problemen kon vermijden. Maar het was belachelijk ingewikkeld, en het was moeilijk te geloven dat dit de juiste primitieven waren om mee te beginnen. Niemand voelde zich er prettig bij. Zoiets als het bewijzen van 2 + 2 = 4 kostte vanaf het begin enorm veel ruimte. Wat is het nut van zo'n systeem?
Toen kwam David Hilbert langs en had dit geweldige idee: dat we misschien helemaal niemand zouden moeten vertellen wat het juiste is om mee te beginnen. In plaats daarvan is alles wat werkt โ een uitgangspunt dat eenvoudig, samenhangend en consistent is โ het ontdekken waard. Je kunt uit je axioma's geen twee dingen afleiden die elkaar tegenspreken, en je zou het grootste deel van de wiskunde moeten kunnen beschrijven in termen van de geselecteerde axioma's. Maar je moet niet a priori zeggen wat ze zijn.
Ook dit lijkt te passen in onze eerdere discussie over objectieve waarheid in de wiskunde. Dus aan het begin van de 20e eeuw realiseerden wiskundigen zich dat er meerdere axiomatische systemen konden bestaan โโโ dat een gegeven reeks axioma's niet als een universele of vanzelfsprekende waarheid mocht worden opgevat?
Rechts. En ik moet zeggen dat Hilbert dit niet om abstracte redenen begon te doen. Hij was zeer geรฏnteresseerd in verschillende noties van meetkunde: niet-Euclidische meetkunde. Het was zeer controversieel. Mensen zeiden destijds: als je mij deze definitie geeft van een lijn die om de hoeken van een doos gaat, waarom zou ik dan in hemelsnaam naar jou luisteren? En Hilbert zei dat als hij het coherent en consistent kon maken, je zou moeten luisteren, omdat dit misschien een andere geometrie is die we moeten begrijpen. En deze verandering in gezichtspunt โ dat je elk axiomatisch systeem kunt toestaan โโโ gold niet alleen voor de meetkunde; het gold voor de hele wiskunde.
Maar sommige dingen zijn natuurlijk nuttiger dan andere. De meesten van ons werken dus met dezelfde 10 axioma's, een systeem genaamd ZFC.
Dat leidt tot de vraag wat er wel en niet uit kan worden afgeleid. Er zijn uitspraken, zoals de continuรผmhypothese, die niet kunnen worden bewezen met behulp van ZFC. Er moet een elfde axioma zijn. En u kunt het hoe dan ook oplossen, omdat u uw axiomatisch systeem kunt kiezen. Het is best cool. We gaan door met dit soort pluraliteit. Het is niet duidelijk wat goed is, wat fout is. Volgens Kurt Gรถdel moeten we nog steeds keuzes maken op basis van smaak, en hebben we hopelijk een goede smaak. We moeten dingen doen die zinvol zijn. En dat doen we ook.
Over Gรถdel gesproken, hij speelt hier ook een behoorlijk grote rol.
Om wiskunde te bespreken heb je een taal nodig, en een reeks regels die je in die taal moet volgen. In de jaren dertig bewees Gรถdel dat, hoe je je taal ook kiest, er altijd uitspraken in die taal zijn die waar zijn, maar die niet kunnen worden bewezen op basis van je uitgangspunten. Het is eigenlijk ingewikkelder dan dat, maar toch heb je meteen dit filosofische dilemma: wat is een ware uitspraak als je die niet kunt rechtvaardigen? Het is gek.
Er is dus een grote puinhoop. We zijn beperkt in wat we kunnen doen.
Professionele wiskundigen negeren dit grotendeels. Wij concentreren ons op wat haalbaar is. Zoals Peter Sarnak graag zegt: โWij zijn werkende mensen.โ We gaan door en proberen te bewijzen wat we kunnen.
Introductie
Hoe verandert het idee van bewijs nu, met het gebruik van niet alleen computers maar zelfs AI?
We zijn verhuisd naar een andere plek, waar computers wilde dingen kunnen doen. Nu zeggen mensen: oh, we hebben deze computer, hij kan dingen die mensen niet kunnen. Maar kan het? Kan het daadwerkelijk dingen doen die mensen niet kunnen? Al in de jaren vijftig zei Alan Turing dat een computer is ontworpen om te doen wat mensen kunnen, maar dan sneller. Er is niet veel veranderd.
Wiskundigen gebruiken al tientallen jaren computers, bijvoorbeeld om berekeningen te maken die hun begrip kunnen helpen sturen. Het nieuwe wat AI kan doen, is verifiรซren wat volgens ons waar is. Er zijn een aantal geweldige ontwikkelingen gebeurd op het gebied van bewijsverificatie. Zoals [de bewijsassistent] Lean, waarmee wiskundigen veel bewijzen konden verifiรซren, terwijl de auteurs ook hun eigen werk beter konden begrijpen, omdat ze sommige van hun ideeรซn in eenvoudiger stappen moesten opsplitsen en ter verificatie in Lean konden invoeren.
Maar is dit waterdicht? Is een bewijs een bewijs alleen maar omdat Lean het ermee eens is dat het een bewijs is? In sommige opzichten is het net zo goed als de mensen die het bewijs omzetten in input voor Lean. Dat lijkt heel erg op de manier waarop we traditionele wiskunde beoefenen. Ik zeg dus niet dat ik geloof dat zoiets als Lean veel fouten gaat maken. Ik weet alleen niet zeker of het veiliger is dan de meeste dingen die door mensen worden gedaan.
Ik ben bang dat ik veel scepsis heb over de rol van computers. Ze kunnen een zeer waardevol hulpmiddel zijn om zaken op de juiste manier te doen, vooral voor het verifiรซren van wiskunde die zwaar leunt op nieuwe definities die op het eerste gezicht niet gemakkelijk te analyseren zijn. Er is geen discussie over de vraag of het nuttig is om nieuwe perspectieven, nieuwe hulpmiddelen en nieuwe technologie in ons arsenaal te hebben. Maar waar ik voor terugdeinst is het concept dat we nu perfecte logische machines zullen hebben die correcte stellingen produceren.
Je moet erkennen dat we er niet zeker van kunnen zijn dat alles klopt met computers. Onze toekomst moet afhangen van het gemeenschapsgevoel waar we in de hele geschiedenis van de wetenschap op hebben vertrouwd: dat we dingen met elkaar botsen. Dat we praten met mensen die vanuit een heel ander perspectief naar hetzelfde kijken. Enzovoort.
Maar hoe ziet u dit in de toekomst gebeuren, nu deze technologieรซn steeds geavanceerder worden?
Misschien kan het helpen bij het maken van een bewijs. Misschien zeg ik over vijf jaar tegen een AI-model als ChatGPT: โIk ben er vrij zeker van dat ik dit ergens heb gezien. Wil je het eens bekijken?โ En het zal terugkomen met een soortgelijke verklaring die correct is.
En als het daar dan heel, heel goed in wordt, kun je misschien nog een stap verder gaan en zeggen: "Ik weet niet hoe ik dit moet doen, maar is er iemand die zoiets als dit heeft gedaan?" Misschien zou een AI-model uiteindelijk bekwame manieren kunnen vinden om in de literatuur te zoeken naar instrumenten die elders zijn gebruikt โ op een manier die een wiskundige misschien niet had voorzien.
Ik begrijp echter niet hoe ChatGPT verder kan gaan dan een bepaald niveau om bewijzen te maken op een manier die ons te boven gaat. ChatGPT en andere machine learning-programma's denken niet na. Ze gebruiken woordassociaties op basis van vele voorbeelden. Het lijkt dus onwaarschijnlijk dat ze hun trainingsgegevens zullen overstijgen. Maar als dat zou gebeuren, wat zullen wiskundigen dan doen? Veel van wat we doen is bewijs. Als je de bewijzen van ons afneemt, weet ik niet zeker wie we worden.
Hoe dan ook, als we nadenken over waar we computerondersteuning gaan inzetten, moeten we rekening houden met alle lessen die we hebben geleerd van menselijke inspanningen: het belang van het gebruiken van verschillende talen, samenwerken en verschillende perspectieven hanteren. Er schuilt een robuustheid, een gezondheid in de manier waarop verschillende gemeenschappen samenkomen om aan een bewijs te werken en het te begrijpen. Als we computerondersteuning in de wiskunde willen hebben, moeten we die op dezelfde manier verrijken.
- Door SEO aangedreven content en PR-distributie. Word vandaag nog versterkt.
- PlatoData.Network Verticale generatieve AI. Versterk jezelf. Toegang hier.
- PlatoAiStream. Web3-intelligentie. Kennis versterkt. Toegang hier.
- PlatoESG. Automotive / EV's, carbon, CleanTech, Energie, Milieu, Zonne, Afvalbeheer. Toegang hier.
- Plato Gezondheid. Intelligentie op het gebied van biotech en klinische proeven. Toegang hier.
- ChartPrime. Verhoog uw handelsspel met ChartPrime. Toegang hier.
- BlockOffsets. Eigendom voor milieucompensatie moderniseren. Toegang hier.
- Bron: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- : heeft
- :is
- :niet
- :waar
- ][P
- $UP
- 10
- 14
- 15%
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95%
- a
- in staat
- Over
- SAMENVATTING
- aanvaard
- beschikbaar
- Volgens
- Account
- erkennen
- werkelijk
- toevoeging
- Avontuur
- bang
- Na
- leeftijd
- Overeenkomst
- AI
- Alan
- Alan Turing
- Alles
- toelaten
- toegestaan
- alleen
- langs
- al
- ook
- altijd
- verbazingwekkend
- Amazone
- Amerikaans
- bedragen
- an
- analyseren
- en
- Nog een
- elke
- iedereen
- iets
- verscheen
- toegepast
- Solliciteer
- archief
- ZIJN
- GEBIED
- argument
- rond
- artikelen
- kunstmatig
- kunstmatige intelligentie
- AS
- helpen
- Hulp
- Assistent
- verenigingen
- veronderstellingen
- At
- gehoor
- auteur
- Geschreven
- auteurs
- vermijd
- weg
- terug
- gebaseerde
- basis-
- basis
- BE
- Beer
- omdat
- worden
- geweest
- wezen
- geloofd wie en wat je bent
- Bertrand
- BEST
- Betere
- tussen
- Verder
- Groot
- geboren
- Stuiteren
- Box camera's
- Breken
- doorbraken
- brengen
- maar
- by
- berekeningen
- Dit betekent dat we onszelf en onze geliefden praktisch vergiftigen.
- Cambridge
- kwam
- CAN
- Canada
- kan niet
- Carriรจre
- Carl
- vervoer
- Eeuw
- zeker
- verandering
- veranderd
- veranderende
- karakteriseren
- ChatGPT
- controle
- keuze
- keuzes
- Kies
- uitgekozen
- Circle
- beweerde
- helderheid
- duidelijk
- duidelijk
- SAMENHANGEND
- Collectie
- College
- hoe
- comfortabel
- Gemeenschappen
- gemeenschap
- compact
- afstand
- compleet
- compleet
- ingewikkeld
- computer
- computers
- concept
- concepten
- vermoeden
- Overwegen
- beschouwd
- consequent
- bouwen
- verband
- voortzetten
- Continuum
- controversieel
- converteren
- Coole
- hoeken
- te corrigeren
- kon
- Type cursus
- gek
- en je merk te creรซren
- Wij creรซren
- schepsel
- Culture
- Actueel
- gevaren
- gegevens
- David
- debat
- decennia
- beslissen
- definitie
- definities
- Mate
- demonstreert
- afhankelijk
- beschrijven
- ontworpen
- desk
- ontwikkelde
- ontwikkelingen
- DEED
- anders
- moeilijk
- ontdekt
- bespreken
- besproken
- discussie
- Verdeeld
- do
- doet
- Nee
- doen
- gedaan
- Dont
- Deur
- beneden
- gedurende
- elk
- Vroeger
- Vroeg
- aarde
- gemakkelijk
- En het is heel gemakkelijk
- beide
- anders
- elders
- einde
- toekomst
- verrijken
- vergelijkingen
- Tijdperk
- fouten
- in wezen
- Zelfs
- uiteindelijk
- alles
- ontwikkelen
- voorbeeld
- voorbeelden
- bestaan
- verwacht
- experimenteel
- uitleggen
- Verkennen
- uitgedrukt
- extreem
- Mislukt
- eerlijk
- vals
- vertrouwd
- beroemd
- sneller
- voelen
- weinig
- Film
- VIND DE PLEK DIE PERFECT VOOR JOU IS
- Voornaam*
- geschikt
- vijf
- Focus
- volgen
- Voor
- voorzien
- altijd
- gevonden
- oppompen van
- functie
- fundamenteel
- financiering
- verder
- toekomst
- Krijgen
- spel
- Spellen
- kloof
- algemeen
- krijgen
- het krijgen van
- Geven
- gegeven
- Go
- Goes
- gaan
- goed
- groot
- Ground
- gids
- HAD
- gebeuren
- gebeurd
- Hard
- Hebben
- he
- Gezondheid
- hard
- hulp
- nuttig
- het helpen van
- hier
- Hoge
- zijn
- geschiedenis
- hoop
- Hopelijk
- Hoe
- How To
- HTTPS
- menselijk
- Mensen
- i
- ZIEK
- idee
- ideeรซn
- if
- per direct
- belang
- belangrijk
- onmogelijk
- in
- incident
- omvatten
- zittende
- onafhankelijk
- aangegeven
- eerste
- ingangen
- instantie
- verkrijgen in plaats daarvan
- verzekering
- Intelligentie
- geรฏnteresseerd
- interessant
- Interview
- in
- geรฏntroduceerd
- Uitgevonden
- betrokken zijn
- problemen
- IT
- HAAR
- Jennifer
- Jobomschrijving:
- voor slechts
- eentje maar
- sleutel
- blijven
- bekend
- kurt
- taal
- Talen
- Groot
- grotendeels
- Achternaam*
- later
- leidend
- Leads
- LEARN
- geleerd
- leren
- links
- Lessen
- Niveau
- als
- sympathieรซn
- Beperkt
- Lijn
- literatuur
- logica
- logisch
- London
- lang
- lange tijd
- Kijk
- ziet eruit als
- keek
- lot
- hield
- machine
- machine learning
- Machines
- gemaakt
- magazine
- magie
- Hoofd
- groot
- maken
- maken
- veel
- Martin
- master's
- wiskunde
- wiskundig
- wiskunde
- Materie
- Mei..
- kan zijn
- me
- gemiddelde
- betekenis
- middel
- Media
- macht
- misvattingen
- model
- Modern
- Maand
- meer
- Bovendien
- meest
- meestal
- moeder
- verplaatst
- filmpje
- veel
- Dan moet je
- wederzijds
- my
- NATUUR
- bijna
- Noodzaak
- behoeften
- nooit
- New
- Newton
- volgende
- geen
- Opmerkingen
- niets
- notie
- roman
- nu
- aantal
- nummers
- doel van de persoon
- objectief
- objecten
- Voor de hand liggend
- of
- korting
- vaak
- oh
- Oud
- on
- eens
- EEN
- Slechts
- open
- or
- Overige
- Overig
- onze
- uit
- buiten
- overtreft
- over
- het te bezitten.
- paginas
- Papier
- papieren
- paradigma
- bijzonder
- vooral
- onderdelen
- Mensen
- misschien
- perspectief
- perspectieven
- Peter
- filosofie
- PHP
- plaats
- planning
- Plato
- Plato gegevensintelligentie
- PlatoData
- Spelen
- gespeeld
- speelt
- punt
- Populair
- mogelijk
- praktijk
- mooi
- Prime
- waarschijnlijk
- probleem
- problemen
- produceren
- Programma's
- Voortgang
- project
- bewijs
- bewijzen
- Bewijzen
- bewezen
- publiceren
- gepubliceerde
- voortvarend
- zetten
- Quanta tijdschrift
- zoektocht
- vraag
- citeren
- radicaal
- verhoogt
- zelden
- Lees
- Lezer
- realiseren
- werkelijk
- redenen
- onlangs
- verwant
- verwantschap
- vertrouwen
- onderzoek
- terugkeer
- rechts
- streng
- robuustheid
- Rol
- reglement
- Zei
- dezelfde
- zagen
- ervaren
- gezegde
- zegt
- School
- Wetenschap
- wetenschappelijk
- wetenschappers
- krassen
- Ontdek
- beveiligen
- zien
- op zoek naar
- lijken
- lijkt
- gezien
- gekozen
- zin
- -Series
- reeks
- moet
- verlegen
- Zicht
- gelijk
- Eenvoudig
- eenvoudiger
- eenvoudigweg
- sinds
- zus
- zitten
- Scepticisme
- geschoold
- So
- Social
- Maatschappij
- sommige
- iets
- ergens
- geraffineerd
- Tussenruimte
- stadia
- normen
- begin
- gestart
- Start
- starts
- Statement
- verklaringen
- Stap voor
- Stappen
- Still
- Worstelen
- bestudeerd
- onderwerpen
- dergelijk
- zeker
- system
- Systems
- Nemen
- ingenomen
- het nemen
- Talk
- smaak
- Technologies
- Technologie
- termen
- neem contact
- dat
- De
- De toekomst
- hun
- Ze
- harte
- theorie
- Er.
- Deze
- ze
- ding
- spullen
- denken
- denker
- het denken
- dit
- die
- toch?
- gedachte
- Door
- overal
- niet de tijd of
- naar
- vandaag
- vandaag
- samen
- ook
- nam
- tools
- tools
- in de richting van
- traditioneel
- Trainingen
- probeerden
- waar
- waarheid
- proberen
- Turing
- BEURT
- twee
- typisch
- ultieme
- begrijpen
- begrip
- begrijpelijk
- eenhoorn
- Universeel
- universiteit-
- Universiteit van Cambridge
- onwaarschijnlijk
- us
- .
- gebruikt
- gebruik
- waardevol
- groot
- Verificatie
- controleren
- het verifiรซren
- zeer
- willen
- gezocht
- wil
- was
- Manier..
- manieren
- we
- webp
- GOED
- gegaan
- waren
- Wat
- Wat is
- wanneer
- welke
- en
- WIE
- Waarom
- Wild
- wil
- Met
- Woord
- woorden
- Mijn werk
- werkte
- werkzaam
- Bedrijven
- waard
- zou
- schrijven
- schrijver
- het schrijven van
- Verkeerd
- schreef
- jaar
- jaar
- You
- Your
- jezelf
- zephyrnet
- nul
- Zeta