Introductie
Knooptheorie begon als een poging om de fundamentele samenstelling van het universum te begrijpen. In 1867, toen wetenschappers gretig probeerden uit te zoeken wat de verschillende soorten materie zou kunnen verklaren, toonde de Schotse wiskundige en natuurkundige Peter Guthrie Tait zijn vriend en landgenoot Sir William Thomson zijn apparaat voor het genereren van rookringen. Thomson - later Lord Kelvin (naamgenoot van de temperatuurschaal) - was gefascineerd door de verleidelijke vormen van de ringen, hun stabiliteit en hun interacties. Zijn inspiratie leidde hem in een verrassende richting: misschien, dacht hij, net zoals de rookringen wervelingen in de lucht waren, waren atomen geknoopte vortexringen in de lichtgevende ether, een onzichtbaar medium waardoor, geloofden natuurkundigen, licht zich voortplantte.
Hoewel dit idee uit het Victoriaanse tijdperk nu misschien belachelijk klinkt, was het geen lichtzinnig onderzoek. Deze vortextheorie had veel aan te bevelen: de enorme diversiteit aan knopen, elk iets anders, leek de verschillende eigenschappen van de vele chemische elementen te weerspiegelen. De stabiliteit van vortexringen kan ook de duurzaamheid bieden die atomen nodig hebben.
De vortextheorie kreeg grip in de wetenschappelijke gemeenschap en inspireerde Tait om alle knopen in een tabel te zetten, en creëerde wat hij hoopte dat het equivalent zou zijn van een tabel met elementen. Natuurlijk zijn atomen geen knopen en is er geen ether. Tegen het einde van de jaren 1880 verliet Thomson geleidelijk zijn vortextheorie, maar tegen die tijd was Tait gefascineerd door de wiskundige elegantie van zijn knopen, en hij zette zijn tabelleerproject voort. In het proces vestigde hij het wiskundige gebied van knopentheorie.
We kennen allemaal knopen - ze houden schoenen aan onze voeten, boten worden vastgemaakt aan dokken en bergbeklimmers van de rotsen beneden. Maar die knopen zijn niet precies wat wiskundigen (inclusief Tait) een knoop zouden noemen. Hoewel een verward verlengsnoer geknoopt kan lijken, is het altijd mogelijk om het te ontwarren. Om een wiskundige knoop te krijgen, moet je de vrije uiteinden van het koord in elkaar steken om een gesloten lus te vormen.
Omdat de strengen van een knoop flexibel zijn als een touwtje, beschouwen wiskundigen de knooptheorie als een subveld van topologie, de studie van kneedbare vormen. Soms is het mogelijk om een knoop te ontwarren, zodat het een eenvoudige cirkel wordt, die we de "niet-geknoopte" noemen. Maar vaker is het ontwarren van een knoop onmogelijk.
Knopen kunnen ook worden gecombineerd om nieuwe knopen te vormen. Bijvoorbeeld, het combineren van een eenvoudige knoop die bekend staat als de klaverblad met zijn spiegelbeeld produceert een vierkante knoop. (En als je twee identieke klaverbladknopen samenvoegt, maak je een oma-knoop.)
Gebruikmakend van terminologie uit de wereld van getallen, zeggen wiskundigen dat de klaver een priemgetal is, de vierkante knoop is samengesteld en, net als het getal 1, is de knoop geen van beide. Deze analogie werd verder ondersteund in 1949 toen Horst Schubert bewees dat elke knoop ofwel priem is ofwel op unieke wijze kan worden ontleed in priemknopen.
Een andere manier om nieuwe knopen te maken, is door twee of meer knopen met elkaar te verstrengelen en zo een schakel te vormen. De Borromeïsche ringen, zo genoemd omdat ze voorkomen op het wapen van het Italiaanse huis Borromeo, zijn een eenvoudig voorbeeld.
Thomson en Tate waren niet de eersten die op een wiskundige manier naar knopen keken. Al in 1794 schreef en tekende Carl Friedrich Gauss over knopen in zijn persoonlijke notitieboekje. En Gauss' leerling Johann Listing schreef over knopen in zijn monografie uit 1847 Vorstudies zur Topologie ("Preliminary Studies of Topology") - wat ook de oorsprong is van de term topologie.
Maar Tait was de eerste geleerde die werkte aan wat het fundamentele probleem in de knopentheorie werd: de classificatie en tabellering van alle mogelijke knopen. Door jarenlang nauwgezet werk te doen met alleen zijn geometrische intuïtie, vond en classificeerde hij alle priemknopen die, wanneer ze op een vlak worden geprojecteerd, ten hoogste zeven kruisingen hebben.
Aan het einde van de 19e eeuw hoorde Tait dat twee andere mensen - de eerwaarde Thomas Kirkman en de Amerikaanse wiskundige Charles Little - ook dit probleem bestudeerden. Met hun gezamenlijke inspanningen hebben ze alle prime knopen geclassificeerd met maximaal 10 kruisingen en veel van die met 11 kruisingen. Verbazingwekkend genoeg waren hun tafels tot 10 compleet: ze misten geen enkele knoop.
Het is opmerkelijk dat Tait, Kirkman en Little zoveel bereikt hebben zonder de stellingen en technieken die in de komende jaren zouden worden ontdekt. Maar een ding dat in hun voordeel werkte, was het feit dat de meeste kleine knopen "afwisselend" zijn, wat betekent dat ze een projectie hebben waarin de kruisingen een consistent patroon van over-onder-over-onder vertonen.
Wisselknopen hebben eigenschappen waardoor ze gemakkelijker te classificeren zijn dan niet-wisselende knopen. Het vinden van het minimum aantal kruisingen voor een projectie van een knoop is bijvoorbeeld moeilijk. Maar Tait, die jarenlang ten onrechte aannam dat alle knopen afwisselend waren, bedacht een manier om te bepalen of je dat minimumaantal hebt gevonden: als een alternerende projectie geen kruisingen heeft die kunnen worden verwijderd door een deel van de knoop om te draaien, dan moet het de projectie met het minimum aantal kruisingen.
Dit en nog twee andere gissingen van Tait over afwisselende knopen bleken waar te zijn. Toch werden deze beroemde vermoedens pas eind jaren tachtig en begin jaren negentig bewezen met behulp van een wiskundig hulpmiddel dat in 1980 werd ontwikkeld door Vaughan Jones, die de Fields-medaille won voor zijn werk in knopentheorie.
Helaas brengen afwisselende knopen je maar zo ver. Als we eenmaal in de knoop raken met acht of meer kruisingen, groeit het aantal niet-afwisselende knopen snel, waardoor de technieken van Tait minder bruikbaar zijn.
De oorspronkelijke tabel van alle 10-kruisende knopen was compleet, maar Tait, Kirkman en Little telden dubbel. Pas in de jaren zeventig merkte Kenneth Perko, een advocaat die knopentheorie aan Princeton had gestudeerd, op dat twee van de knopen spiegelbeelden van elkaar zijn. Ze zijn nu bekend als het Perko-paar ter ere van hem.
In de afgelopen eeuw hebben wiskundigen veel slimme manieren gevonden om te bepalen of knopen echt anders zijn. In wezen is het idee om identificeer een invariant — een eigenschap, hoeveelheid of algebraïsche entiteit die bij de knoop hoort en vaak eenvoudig kan worden berekend. (Deze eigenschappen hebben namen als kleurbaarheid, brugnummer of kronkel.) Gewapend met deze labels kunnen wiskundigen nu gemakkelijk twee knopen vergelijken: als ze verschillen in een bepaald kenmerk, dan zijn ze niet dezelfde knoop. Geen van deze eigenschappen is echter wat wiskundigen een volledige invariant noemen, wat betekent dat twee verschillende knopen dezelfde eigenschap kunnen hebben.
Vanwege al deze complexiteit is het misschien geen verrassing dat de tabellering van knopen nog steeds aan de gang is. Meest recentelijk, in 2020, Benjamin Burton geclassificeerd alle prime knopen tot 19 overtochten (waarvan er bijna 300 miljoen zijn).
Traditionele knooptheorie heeft alleen zin in drie dimensies: in twee dimensies is alleen de niet-geknoopte mogelijk, en in vier dimensies zorgt de extra ruimte ervoor dat knopen zichzelf kunnen losmaken, dus elke knoop is hetzelfde als de niet-geknoopte.
In de vierdimensionale ruimte kunnen we echter bollen knopen. Om een idee te krijgen van wat dit betekent, stelt u zich voor dat u met regelmatige tussenpozen een gewone bol snijdt. Als je dit doet, krijg je cirkels, zoals breedtegraden. Als we echter een extra dimensie hadden, zouden we de bol kunnen knopen zodat de plakjes, nu driedimensionaal in plaats van twee, knopen kunnen zijn.
Dit idee lag aan de basis van een van de grootste recente resultaten in de knopentheorie. In 2018, toenmalig afgestudeerde studente Lisa Piccirillo een 50 jaar oude vraag opgelost over een 11-kruisende knoop die voor het eerst werd ontdekt door John Conway. De vraag had te maken met een eigenschap genaamd sliceness. Zoals we hebben gezien, krijgen we een knoop of schakel in drie dimensies als we een geknoopte bol in vier dimensies snijden. Soms kunnen we een bepaalde knoop uit een mooie soepel geknoopte bol halen, maar voor andere knopen moet de bol worden geknoopt en gekreukt als een stuk oud papier. Piccirillo bewees in wezen dat de knoop van Conway van het laatste type was. In technisch jargon bewees ze dat het geen 'soepel plakje' is.
De knooptheorie heeft door de eeuwen heen het wiskundige landschap doorkruist. Het begon als een toegepast gebied van de wiskunde, waarbij Thomson probeerde knopen te gebruiken om de samenstelling van materie te begrijpen. Toen dat idee vervaagde, werd het een gebied van pure wiskunde, een tak van het intrigerende en nog steeds onpraktische domein van de topologie. Maar de laatste jaren is de knooptheorie weer een toegepast gebied van de wiskunde geworden, omdat wetenschappers ideeën uit de knopentheorie gebruiken om te onderzoeken vloeistofdynamica, elektrodynamica, geknoopte moleculen zoals DNA enzovoort. Gelukkig, terwijl wetenschappers andere dingen bestudeerden, bouwden wiskundigen catalogi van knopen en de hulpmiddelen om hun geheimen te ontwarren.
