Introductie
Het idee van oneindigheid is waarschijnlijk zo oud als de getallen zelf, en gaat terug tot de tijd dat mensen voor het eerst beseften dat ze voor altijd konden blijven tellen. Maar ook al hebben we een teken voor oneindigheid en kunnen we in een informeel gesprek naar het concept verwijzen, oneindigheid blijft diep mysterieus, zelfs voor wiskundigen. In deze aflevering praat Steven Strogatz met zijn collega-wiskundige Justin Moore van Cornell University over hoe de ene oneindigheid groter kan zijn dan de andere (en of we er zeker van kunnen zijn dat er geen tussenliggende oneindigheid tussen zit). Ze bespreken ook hoe natuurkundigen en wiskundigen oneindigheid anders gebruiken en het belang van oneindigheid voor de basis van de wiskunde.
Luister verder Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, stikster, TuneIn of je favoriete podcasting-app, of je kunt stream het van Quanta.
Afschrift
Steven Strogatz (00:03): Ik ben Steve Strogatz, en dit is De vreugde van waarom, een podcast van Quanta Magazine die je meeneemt naar enkele van de grootste onbeantwoorde vragen in wiskunde en wetenschap van vandaag.
(00:13) In deze aflevering gaan we het hebben over oneindigheid. Niemand weet echt waar het idee van oneindigheid vandaan komt, maar het moet heel oud zijn - zo oud als de hoop en angst van mensen over dingen die mogelijk eeuwig zouden kunnen duren. Sommige zijn eng, zoals bodemloze putten, en sommige zijn opbeurend, zoals eindeloze liefde. Binnen de wiskunde is het idee van oneindigheid waarschijnlijk zo oud als de getallen zelf. Eens realiseerden mensen zich dat ze gewoon eeuwig konden blijven tellen - 1, 2, 3 enzovoort. Maar ook al is oneindigheid een heel oud idee, het blijft diep mysterieus. Mensen krabben nu al duizenden jaren hun hoofd over oneindigheid, tenminste sinds Zeno en Aristoteles in het oude Griekenland.
(00:57) Maar hoe begrijpen wiskundigen vandaag de dag oneindigheid? Zijn er verschillende groottes van oneindigheid? Is oneindigheid nuttig voor wiskundigen? En zo ja, hoe precies? En wat heeft dit alles te maken met de grondslagen van de wiskunde zelf?
(01:14) Justin Moore, professor in de wiskunde aan de Cornell Universiteit, is vandaag aanwezig om over oneindigheid te praten. Zijn onderzoeksinteresses omvatten verzamelingenleer, wiskundige logica en oneindige combinatoriek en hun toepassingen op andere gebieden van de wiskunde, zoals topologie, functionele analyse en algebra. Welkom, Justin.
Justin Moore (01:33): Hé, Steve. Bedankt dat je me hebt.
Strogatz (01:35): Ja, ik ben erg opgewonden om met je te praten. Ik zou moeten zeggen, misschien voor volledige openheid, Justin is mijn vriend en collega op de wiskundeafdeling van Cornell. OK, dus daar gaan we dan denken over oneindigheid zoals wiskundigen erover denken. Laten we, voordat we in het wiskundegedeelte duiken, misschien even praten over de echte wereld, want we zullen er niet lang zijn. Klopt het dat u ooit bent opgeleid in de wereld van de natuurkunde?
Moore (02:02): Ja, het was een dubbele hoofdvak natuurkunde met wiskunde, toen ik een student was. Ik raakte een beetje opgebrand door natuurkunde. Ik begon de voorkeur te geven aan natuurkunde en was ook enigszins recreatief geïnteresseerd in wiskunde. En op de een of andere manier raakte ik gaandeweg meer geïnteresseerd in wiskunde en natuurkunde.
Strogatz (02:18): Oké. Nou, hoe zit het met de fysica van oneindigheid? Heeft het zelfs zin? Zijn er oneindige dingen in de echte wereld waarvan we weten?
Moore (02:26): Weet je Deze video, De machten van 10, dat is gemaakt door Charles en Ray Eames? Waar eigenlijk elke - ik denk dat het elke 10 seconden is, ben je een macht van 10 kleiner. Nou, in eerste instantie denk ik een macht van 10 groter. Je zoomt uit. En dan ben je elke 10 seconden een macht van 10 kleiner, en ga je van de grootste schaal van het universum naar de kleinste schaal van subatomaire deeltjes. Weet je, dit is gemaakt in, ik wil zeggen, eind jaren '70 of begin jaren '80. En ik denk dat ons begrip van sommige dingen sindsdien een beetje is geëvolueerd, maar niet enorm. Maar ik bedoel, het punt is dat er ongeveer 40 machten van 10 zijn die de kleinste lengteschaal scheiden van de grootste lengteschaal, en misschien kun je genereus zijn en voor de zekerheid een aantal extra machten van 10 toevoegen. Maar het is redelijk om te zeggen dat er niets dat je kunt meten in de natuurkunde groter is dan, weet je, 10100 of 10200 of zoiets.
(03:22) En misschien is ons concept dat dingen continu zijn - continue beweging of wat dan ook - misschien is dit allemaal slechts een illusie. Misschien is alles echt korrelig en eindig. Maar wat waar is, is dat natuurkundigen zeker veel hebben ontdekt over de wereld waarin we leven, door zich voor te stellen dat dingen soepel en continu zijn, en dat oneindigheid logisch is. Als je naar de delen van de natuurkunde gaat waar ze de dingen nog niet echt hebben geformaliseerd, komen veel van de problemen die wiskundigen hiermee hebben erop neer dat de natuurkundigen oneindigheid op verschillende arrogante manieren behandelen en oneindigheden aftrekken van oneindigheden. , en misschien niet zo verantwoordelijk zijn als een wiskundige zou willen. Ik denk niet dat dat echt een controversiële uitspraak is. Ik denk dat een natuurkundige - de meeste natuurkundigen waarschijnlijk - ik bedoel, oké, misschien zou jij beter weten. Maar ik geloof dat de meeste natuurkundigen zouden zeggen dat dat een redelijk correcte bewering is.
Strogatz (04:20): Dus, in termen van je eigen persoonlijke verhaal - ik beloof dat ik niet te diep zal gaan om je hiervoor in verlegenheid te brengen - maar wat was het dat je naar het oneindige trok? Was het op de een of andere manier dat natuurkunde te klein voor je voelde? Of hou je gewoon van de strengheid van wiskunde, of...?
Moore (04:33): Ik bedoel, ik denk dat ik geïnteresseerd raakte in wiskunde als geheel en weggroeide van de natuurkunde voordat ik specifiek geïnteresseerd raakte in de verzamelingenleer. Ironisch genoeg was het omdat ik - nou ja, als je een natuurkundeles volgt, word je op een gegeven moment redelijk snel en losjes met de wiskunde. En daar ben je het mee eens, of niet. Ik was een van de mensen die het daar niet mee eens was.
Strogatz (04:56): Huh. En ik was er een die in orde was, en ik doe het nog steeds. Weet je, ik bedoel, die dingen hebben me niet al te veel zorgen gemaakt, hoewel ik de zorg respecteer dat - de intellectuele integriteit die zuivere wiskundigen hebben, weet je, zich zorgen maken over deze dingen.
(05:11): Oké, dus stel dat ik gewoon, ik weet het niet, een nieuwsgierige tiener was, en ik weet niet eens wat oneindigheid is. Wat zou je zeggen dat het is? Moet ik het als een heel groot aantal beschouwen? Is het een symbool? Is het een eigendom? Wat is een goede manier om na te denken over wat oneindigheid is?
Moore (05:26): Ja, ik bedoel, ik denk dat het — het kan een geïdealiseerd punt aan het eind van de regel zijn, oké? Het kan een formeel symbool zijn. Weet je, je kunt het een beetje zien als … een formeel symbool in dezelfde zin als laten we zeggen, we introduceren -1, toch? En ik herinner me dat toen ik een klein kind was, leraren niet bereid waren om duidelijk te maken of het veilig was om over negatieve getallen te praten. En ja, dat klinkt achteraf gezien gek, maar op een bepaald niveau, toch, bestaat -1 in de echte wereld? Maar je kunt het formeel manipuleren en je kunt oneindigheid op een bepaald niveau formeel manipuleren, maar je moet misschien wat meer zorg aan de dag leggen. Je kunt oneindigheid ook gebruiken om te kwantificeren hoeveel er van iets zijn. En dat opent daar meer deuren, omdat je kunt praten over oneindige verzamelingen, waarvan sommige groter zijn dan andere.
Strogatz (06:15): Oké. Oke. Dus je hebt het woord 'sets' genoemd, en we gaan het vandaag zeker veel over sets hebben. Ik heb wel gezegd dat verzamelingenleer je interesseert. Wil je nog iets zeggen over wat je onder een set verstaat?
Moore (06:26): Ik denk dat ik... Het antwoord is zowel ja als nee. Dus ik denk dat het oké is om langs de stoel van je broek te vliegen en het gewoon te zien als een gewoon, weet je, een ongedefinieerd begrip en het een beetje intuïtief te gebruiken. Maar het werd ook min of meer gebruikt als een mechanisme om de basis voor wiskunde te leggen, toen mensen zich realiseerden dat we wat nodig hadden, een zorgvuldige basis moesten leggen voor wat wiskunde is.
Strogatz (06:49): Uh huh. Dat is interessant. Omdat ik - zo graag, als kleine kinderen leren we op onze vingers te tellen, of onze ouders beginnen waarschijnlijk woorden te zeggen, en dan kunnen ze dingen aanwijzen en zeggen: "1, 2, 3 ..." En we leerden geluiden - kinderen zoals dat als ze heel klein zijn, ik weet het, toch? Ik bedoel, als je zelf kleine kinderen hebt, of familieleden. Dus er is die kant van de dingen. En ik denk dat de meeste mensen zich voorstellen dat getallen de basis vormen van wiskunde. Maar je zegt, en ik denk dat de meeste wiskundigen het erover eens zijn, dat er iets diepers is dan getallen, en dat is dit concept van verzamelingen, toch?
Moore (07:22): Ik denk dat het concept 'set' tot stand is gekomen als een fundamenteel concept omdat het zo basaal en zo primitief is. En als je iets wilt hebben om als stof voor wiskunde te gebruiken, wil je beginnen met iets waarvan de basiseigenschappen erg primitief lijken, en dan vanaf daar beginnen. En dan is het idee dat je sets gebruikt om dingen te coderen zoals de telgetallen, en dingen als de rationele getallen, en de reële getallen, enzovoort. En dan van daaruit allerlei andere, meer gecompliceerde wiskundige constructies, zoals variëteiten, of wat dan ook.
Strogatz (07:57): Dus ik kan me herinneren, in een Sesam Straat aflevering die ik vroeger met mijn kinderen keek. Het was in een film; Ik denk dat het ... was. Dat er een personage is dat vis bestelt voor een kamer vol hongerige pinguïns. En hij vroeg de pinguïns om te roepen en ze zeiden: "Vis, vis, vis, vis, vis, vis." En dus roept de ober naar beneden naar de keuken: "Vis, vis, vis, vis, vis." En dan zegt iemand anders: "Nee, dat heb je verkeerd begrepen." En iemand anders zegt: "Waarom zei je niet gewoon dat ze zes vissen bestelden?" Maar het maakt duidelijk dat dit idee van een soort getal na deze verzameling vissenvoorwerpen komt. En dan is een ander personage verrast en zegt: “Werkt het voor bougies? En kaneelbroodjes?”
Moore (08:42): Ik bedoel, ik denk ook, het is alleen als je geïnteresseerd bent om het te proberen te begrijpen, kun je dit dan bewijzen? Of kun je dat bewijzen? En je probeert de regels op te stellen voor hoe je dingen zou bewijzen of wat dan ook, je zou willen dat de basisprincipes zo eenvoudig mogelijk zijn. En dus in plaats van te proberen regels op te schrijven voor hoe rekenen werkt, begin je met het opschrijven van eenvoudigere regels voor eenvoudigere dingen, en bouw je vervolgens rekenkunde op uit deze meer basale bouwstenen.
Strogatz (09:08): Oké. Dus dan, en dit doet me ook denken aan 'New Math', toen we als kind in de jaren '60 leerden over intersecties en Venn-diagrammen en vakbonden, toch? Dat was het begin van de verzamelingenleer. Ze leerden het ons in – ik weet het niet meer – het was de tweede of derde klas; mijn ouders wisten niet waarom. Maar het waren, denk ik, wiskundigen van jouw type, of anderen die vonden dat kinderen verzamelingen moesten leren, voor of tegelijk met rekenen.
Moore (09:33): Ja, het meeste van wat mensen bestuderen in de verzamelingenleer, ik bedoel, tegenwoordig is hoe oneindige verzamelingen werken. Omdat onze intuïtie over oneindige verzamelingen niet zo goed is als onze intuïtie over eindige verzamelingen. En ik denk dat dat een groot deel van de reden is waarom de drang naar stichtingen er was. Het was gedeeltelijk omdat we wilden opschrijven, OK, waarvan we vrij zeker weten dat ze de eigenschappen moeten zijn van oneindige verzamelingen en verzamelingen in het algemeen, en dan proberen te ontwikkelen wat waar is over oneindige verzamelingen van daaruit?
Strogatz (10:03): Oké, dus waarom hebben we niet een paar voorbeelden? Kun je me enkele voorbeelden geven van dingen die oneindige verzamelingen zijn?
Moore (10:08): Nou, zoals de natuurlijke getallen. Zoals je zei - zoals 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 enzovoort - maar ook dingen zoals de rationale getallen. Je weet wel, breuken zoals twee natuurlijke getallen boven elkaar, of misschien een negatieve breuk. Maar dan zijn er ook dingen als de reële getallen, waar — je weet wel, alles wat je kunt uitdrukken met een decimaal getal, inclusief dingen als pi en e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Ze kunnen dus oneindig veel cijfers achter de komma hebben.
Moore (10:32): Ja, ja, oneindig veel cijfers. Ze hoeven niet te herhalen.
Strogatz (10:35): Uh huh. En hoe zit het met dingen als vormen of punten of geometrische dingen, niet alleen numerieke dingen?
Moore (10:41): Ja, je kunt ook praten over verzamelingen geometrische vormen.
Strogatz (10:45): OK, dus dit is een leuke eigenschap van verzamelingen: dat we met verzamelingen kunnen verenigen of op zijn minst een gemeenschappelijke taal kunnen hebben om over rekenen, meetkunde, … te praten.
Moore (10:54): Juist.
Strogatz (10:55): Ik veronderstel dat we zouden kunnen praten over een reeks functies, als we een precalculuscursus zouden volgen. Je weet wel, zoals de verzameling continue functies, als we in een calculuscursus zaten.
Moore (11:04): Zeker. Ja.
Strogatz (11:05): Of wat dan ook. Dus ja, dus dit geeft ons een gemeenschappelijke taal voor alle verschillende onderdelen van wiskunde.
Moore (11:09): Juist.
Strogatz (11:10): En - maar het is een relatief nieuw idee als basis van wiskunde in termen van de algemene geschiedenis van wiskunde, vind je niet?
Moore (11:16): Ja, ik bedoel, ik... Nou, de moderne wiskunde zoals wij die kennen, is ongeveer tussen de 100 en 150 jaar oud. Maar ik associeer het meestal met - het eerste deel van de vorige eeuw was toen we echt begonnen te zien dat alle belangrijke onderdelen van de wiskunde zoals we die nu kennen zich beginnen te ontwikkelen en echt afzonderlijke onderwerpen op zich worden. En dat was ook rond dezelfde tijd dat [Bertrand]Russell zijn paradox ontdekte, die de behoefte aan een soort van rigoureuze basis voor wiskunde aanwakkerde.
Strogatz (11:49): Uh, huh. We moeten vermelden - ja. Dus Bertrand Russell, waar we het nu over hebben, is vaak beter bekend als filosoof of pacifist, en toch was hij een behoorlijk sterke wiskundige en logicus, iemand die geïnteresseerd was in logica als onderdeel van wiskunde.
Moore: Jaaa Jaaa.
Strogatz (12:04): Dus zoals je zegt, hij was een van de mensen die hielpen om de verzamelingenleer echt aan het rollen te krijgen. En zelfs vóór hem was er deze heer, Georg Kantor, waar we het nog veel over zullen hebben, in Duitsland aan het eind van de 1800e eeuw.
(12:17): OK, dus hoe binnen wiskunde, laten we zeggen, wiskundigen oneindigheid gebruiken? U noemde hoe nuttig het kan zijn. Waar wordt het gebruikt?
Moore (12:27): Ja, dus in een rekenles is het een handig symbool om bepaalde berekeningen uit te voeren. Praten over hoe een functie zich gedraagt als de invoer erg groot wordt. Je kunt praten over de limiet op oneindig, of verhoudingen van hoeveelheden als een getal naar nul of oneindig gaat of iets dergelijks. Dat is een notie van oneindigheid in de eerste zin die ik noemde, waarbij je oneindigheid ziet als een geïdealiseerd punt aan het einde van de regel.
(12:53) Maar je kunt er ook over praten als — weet je, je kunt, je kunt praten over het tellen van het aantal elementen van een verzameling of een set, en bijhouden hoeveel elementen het heeft of misschien, als het oneindig veel elementen heeft, probeer onderscheid te maken tussen verschillende maten van oneindigheid. Ik bedoel, iedereen begrijpt – of doet alsof hij begrijpt – het onderscheid tussen eindig zijn en oneindig zijn. En ik denk Cantors opmerkelijke ontdekking was dat je, voor een oneindige set, verder onderscheid kunt maken. Je kunt onderscheid maken tussen wat men telbaar noemt en wat men ontelbaar noemt. Of zelfs gewoon in het algemeen, hogere ontelbare kardinalen dan onderscheid tussen verschillende ontelbare kardinalen.
Strogatz (13:34): Dus oké, laten we daarheen gaan. Omdat dit zo is, brengt dit ons echt naar de kern van ons onderwerp. Ik denk dat de gemiddelde persoon die het woord 'telbaar' voor het eerst hoort, denkt dat het letterlijk telbaar betekent, zoals iets dat 10 heeft. Weet je, als er 10 bougies op tafel liggen, zou ik ze kunnen tellen - 1, 2, 3 , tot 10. Maar jij en andere wiskundigen gebruiken telbaar om iets anders te bedoelen.
Moore (13:56): Het betekent gewoon dat je een natuurlijk getal kunt toewijzen aan elk element van de set, zodat geen enkel natuurlijk getal tweemaal wordt gebruikt.
Strogatz (13:56): Iets kan dus telbaar en oneindig zijn.
Moore (13:57): En oneindig. Dus de natuurlijke getallen zijn duidelijk telbaar omdat ze zichzelf tellen. Maar misschien iets minder voor de hand liggend is dat de gehele getallen inclusief de negatieven van de natuurlijke getallen, die telbaar zijn.
Strogatz (14:18): Dus laten we daar even over praten. Dus als iemand daar nog niet eerder over heeft nagedacht, is het interessant. Omdat zoals - dus je zei, je gaat alle getallen overwegen, alle positieve gehele getallen, alle negatieve gehele getallen en nul.
Moore (14:29): Ja.
Strogatz (14:30): En je zou het verkeerd kunnen doen. Als je bijvoorbeeld bij nul begint en naar rechts begint te tellen, en je gaat 0, 1, 2, 3, dan kom je nooit meer terug bij de negatieve getallen. En dan zou je dus niet alle gehele getallen hebben geteld.
Moore (14:41): Ja.
Strogatz: Maar wat moet je in plaats daarvan doen?
Moore: Wat je kunt doen is, je kunt tellen, weet je, 0, 1, -1, en dan 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. En als je ze op deze manier opsomt, dan som je uiteindelijk alles op.
Strogatz (14:55): Mooi. Dus dit zigzaggende argument waarbij je heen en weer springt tussen de positieven en de negatieven is een mooie, georganiseerde, systematische manier om te laten zien dat als je aan een geheel getal denkt, het uiteindelijk op de lijst zal staan.
Moore: Ja. Ja.
Strogatz(15:07): Dus dat is geweldig. Dus OK, dus de gehele getallen zijn telbaar. Cantor ontdekte ook een aantal andere dingen die telbaar waren - ik weet niet of hij verrast was, maar velen van ons zijn verrast als we er voor het eerst over horen. Zoals, zoals wat?
Moore (15:21): Ja, ik denk dat twee goede voorbeelden die verrassend zijn, de — ten eerste, de beweegredenen zijn. Dus de verzameling van alle breuken van twee gehele getallen is telbaar. Dat is eigenlijk vrij eenvoudig te zien als je erover nadenkt, want je kunt gewoon alle breuken opsommen met noemer 1 - of teller en noemer absolute waarde maximaal 1. En dan, maximaal 2, maximaal 3, maximaal 4 En in elke fase zijn er slechts een eindig aantal breuken waarbij de teller en noemer ten minste in grootte zijn ten hoogste n. En dan kun je op die manier alle ratio's uitputten.
Strogatz (15:55): Dus als ik het getal n als 3 zou kiezen, zou je zeggen dat ik een getal zou kunnen hebben als 1/2 of 2/1, of 0/3, omdat de teller plus noemer optellen tot 3?
Moore (16:06): Ja. Een andere, wat weer een beetje verrassend is, is als je het aantal woorden neemt dat je kunt opschrijven in het Latijnse alfabet, of welk alfabet je maar wilt. Er zijn hoogstens aftelbaar veel eindige woorden, of eindige reeksen symbolen die uit dit alfabet komen. Als je nadenkt over alle woorden of alle zinnen, alle stukken literatuur, zo je wilt —
Strogatz: Oeh.
Moore (16:30): — alles wat niet alleen nu bestaat, maar mogelijk ooit in de toekomst zou kunnen bestaan. Weet je, je zet die oneindig veel apen achter de typemachine en kijkt wat de resultaten zijn die ze in een eindige tijd kunnen genereren. Dat is allemaal slechts een aftelbare set.
Strogatz (16:44): Wauw. Dus alle mogelijke boeken in totaal, laten we zeggen, in het Latijn, in alle mogelijke talen die we kennen?
Moore (16:50): In alle mogelijke talen. Ja. Ik bedoel, als je wilt, kun je een telbaar alfabet hebben als je wilt. Dat maakt niets groter.
Strogatz (16:56): Dus telbaar lijkt een heel grote oneindigheid. En toch -
Moore (16:59): Ja. Het eerste verrassende is dat die verzamelingen die groter lijken dan de natuurlijke getallen, in werkelijkheid even groot zijn als de natuurlijke getallen. Ze zijn telbaar. Maar dan is er nog de andere verrassing, namelijk dat de reële getallen, de reeks decimale getallen, ontelbaar zijn.
Strogatz (17:13): Er is dus een opmerkelijk punt dat je hebt genoemd, namelijk dat er verzamelingen kunnen zijn die niet telbaar zijn. En ik denk dat het eenvoudigste voorbeeld misschien zou zijn: denk aan een lijn die in beide richtingen naar het oneindige gaat. Dus als een oneindig lange, rechte lijn. De echte lijn zoals we het zouden noemen. Dat is ontelbaar.
Moore (17:32): Juist. Als je, als je mij een lijst overhandigt, een vermeende lijst van alle elementen op die lijn, is er een procedure die het diagonale argument wordt genoemd, waarmee je een nieuw punt kunt produceren dat op de lijn staat, maar niet op je lijst. Dat was de beroemde ontdekking van Cantor.
Strogatz (17:49): Dus dat was echt een totaal verbazingwekkende ontdekking, denk ik destijds, toch? Dat je nu ineens over twee oneindige verzamelingen zou kunnen praten en die kunt vergelijken.
Moore (17:58): Ja, ja. En het onderscheid tussen telbaar en ontelbaar is erg handig in wiskunde. Kortom, aftelbare verzamelingen, je kunt nog steeds praten over sommen die van aftelbaar oneindige lengte zijn. Dat is iets dat wordt onderwezen aan het einde van een standaard - einde van een calculuscursus van het tweede semester. Terwijl sommen over ontelbare verzamelingen minder betekenis hebben, of je moet ze in ieder geval op een delicatere manier definiëren. Dat gezegd hebbende, iets meer in de trant van een integraal of iets dergelijks.
Strogatz (18:30): OK, dus nu hebben we dit onderscheid tussen telbaar, zoals de hele getallen — 1, 2, 3, 4, 5 — en ontelbaar, zoals de punten op een lijn. Er is nog een vraag waarvan ik denk dat het goed zou zijn als we daar wat tijd aan zouden kunnen besteden. De continuümhypothese genoemd. Kunt u, kunt u ons vertellen wat dat is?
Moore (18:50): Ja. Dus Cantor vroeg zich af: is er, zit er iets tussenin? Je kunt - weet je, de natuurlijke getallen zitten binnen de reële getallen en de natuurlijke getallen zijn telbaar. De reële getallen zijn ontelbaar en groter dan de natuurlijke getallen. Is er een reeks reële getallen die groter is dan de natuurlijke getallen, maar kleiner dan de —
Strogatz (19:10): Kleiner in deze zin van tellen.
Moore (19:12): — kleiner dan de lijn? Is er een verzameling punten op die lijn, op de getallenlijn, die groter is dan de natuurlijke getallen, groter dan de rationale getallen, maar kleiner dan de hele lijn zelf? De bewering dat zo'n tussenliggende verzameling niet bestaat, wordt de continuümhypothese genoemd. En dat was Hilberts eerste probleem, of de continuümhypothese een waar of onwaar statement is.
Strogatz (19:35): Uh huh, dus Hilbert was een groot wiskundige hiervan - misschien een beetje latere generatie, maar niet veel later. En in het jaar - wat was het, 1900 of zo, denk ik - kondigde hij aan of gaf hij een lijst van wat hij dacht dat enkele van de grootste problemen voor de toekomst waren, op punt 20e-eeuwse wiskundigen om aan te werken. En ik denk dat dit de nummer één vraag op zijn lijst was?
Moore (19:58): Ja, dit was de eerste vraag.
Strogatz (20:00): Wauw. Dus het was groot om hierover na te denken. Cantor, zegt u, noemde het een hypothese. Hij dacht dat het waar zou blijken te zijn.
Moore: Ja.
Strogatz (20:07): Dat er geen oneindigheid tussen die twee was die hij al kende
Moore (20:11): Ja. En het punt is, het overleeft de test van het zoeken naar tegenvoorbeelden. Ik bedoel, als je begint te kijken naar alle sets van reals, subsets van de lijn waar je een beschrijving van kunt opschrijven of die je op de een of andere manier kunt construeren. Hij probeerde dit. En hij bewees, ik bedoel, nou, hij liet zien dat er geen tegenvoorbeelden zijn. Er zijn al vroeg stellingen die zeggen dat verzamelingen van dit of dat type geen tegenvoorbeelden kunnen zijn.
Strogatz (20:40): Dat is geweldig. Laat me ervoor zorgen dat ik dit krijg. Ik heb deze uitspraak nog nooit gehoord: alleen al het feit dat sommige ervan beschrijfbaar zijn, maakt ze in zekere zin niet goed genoeg.
Moore (20:49): Een set die gesloten is, heeft bijvoorbeeld al zijn limietpunten. Cantor bewees dat dit geen tegenvoorbeeld kan zijn. Het is of telbaar of het heeft dezelfde grootte als de reële getallen.
Strogatz (21:00): Dus als er een tegenvoorbeeld is, moet het onbeschrijfelijk zijn.
Moore (21:04): Ja, het moet ingewikkeld zijn.
Strogatz (21:06): Wauw. Maar het is natuurlijk mogelijk dat er een is, alleen dat het iets heel bizars zou zijn.
Moore (21:12): Ja. Dus dat brengt ons min of meer bij iets dat teruggaat naar deze fundamentele vraag. Weet je, rond die tijd begonnen ze te formaliseren wat de axioma's voor wiskunde waren. En enige tijd later, rond de - in de jaren 1930, bewees [Kurt] Gödel dat eigenlijk elk soort begrijpelijk axiomasysteem dat je zou kunnen hebben dat het bescheiden doel bereikt om rekenkunde op de natuurlijke getallen te formaliseren, noodzakelijkerwijs onvolledig is. Er zijn beweringen die je niet kunt bewijzen met dit axiomasysteem, en je kunt ze ook niet weerleggen met behulp van standaard eindige bewijzen.
(21:52) En dit was, denk ik, behoorlijk schokkend. Omdat het je vertelt dat het doel van het op de een of andere manier algoritmisch proberen om al je problemen in de wiskunde op te lossen en een soort algoritmische basis te leggen, een of andere volledige basis van wiskunde, in zekere zin gedoemd is te mislukken. Of moet in ieder geval worden geleid door een hogere intuïtie dan alleen - ik weet het niet - wat er op dat moment beschikbaar was.
(22:16) En wat Gödel bewees — een van de dingen die hij later bewees, was dat een van de beweringen die je niet kunt bewijzen of weerleggen de bewering is dat je axiomasysteem in de eerste plaats consistent is. Dat het niet tot tegenstrijdigheden leidt. Die bewering kan worden gecodeerd als een soort bewering over getaltheorie, over rekenen met natuurlijke getallen, maar niet op een bijzonder natuurlijke manier. Als je met een van de getaltheoretici van de afdeling gaat praten, zouden ze dat niet als een probleem of een verklaring van de getaltheorie beschouwen, ook al is dat technisch gezien wel zo. En zo was het - een vraag die overbleef uit de tijd van Gödel was of de continuümhypothese - of dat er een andere natuurlijke wiskundige verklaring is, die onbeslisbaar is op basis van het axiomasysteem waarbinnen we werkten.
Strogatz (23:02): Dus er is dit concept van axioma's. We moeten ons waarschijnlijk proberen te herinneren hoe die eruit zien. Want als we heel zorgvuldig rekenen, moeten we een aantal definities vastleggen, maar ook een aantal dingen die we aannemen — ik weet niet waarom ik niet wil zeggen "we nemen het als vanzelfsprekend aan", maar dat we accepteren als fundament.
Moore (23:19): Ja, ja. Dus dit is, ik bedoel, dit is iets dat de Grieken deden, dat was, weet je - een van de prestaties bij het formaliseren van geometrie - was om, in plaats van te proberen te definiëren wat geometrie is, het te zien als: je bent ik ga een paar ongedefinieerde termen opschrijven en vervolgens de regels of axioma's opschrijven die bepalen hoe deze ongedefinieerde termen zich gedragen. Voor hen waren het dingen als een punt en een lijn. En als een punt op een lijn ligt, zijn dat de ongedefinieerde concepten. En als een punt zich tussen twee andere punten op een lijn bevindt, zijn dat ongedefinieerde concepten. En dan schrijf je een reeks axioma's op die bepalen hoe deze concepten werken. En als je het goed hebt gedaan, dan is iedereen het erover eens dat deze eigenschappen duidelijk waar zijn voor deze, deze dingen. En daarom zijn deze axioma's dingen die min of meer vanzelfsprekend waar zijn.
(23:19) Dus voor meetkunde, weet je, is er dit beroemde parallellenpostulaat, dat — je zou het niet kunnen afleiden uit de andere. En het was enigszins revolutionair, toen werd ontdekt dat je werkelijk geometriemodellen kunt construeren die aan alle axioma's voldoen, maar niet aan het parallellenpostulaat. En daarom kan het parallellenpostulaat niet worden bewezen vanuit de andere axioma's. Dus in zekere zin had Gödel een methode ontwikkeld om dat te doen, maar op het niveau van wiskundige modellen, of in ieder geval modellen van dit axiomasysteem dat we hebben voor wiskunde.
Strogatz (24:45): Aha, dat is een interessante manier om het te zeggen. Dus, zoals, waar we Euclidische geometrie hebben en dan hebben we ook deze meer nieuwerwetse niet-Euclidische geometrieën die, beroemd, Einstein gebruikte in de algemene relativiteitstheorie, maar ze worden ook op andere plaatsen gebruikt. En ze zijn logischerwijs zo goed als de Euclidische meetkunde. Maar nu, in plaats van alleen maar over geometrie te praten, zeg je dat het een beetje is alsof we de traditionele - nou, ik weet niet zeker wat de woorden zijn. Wat is de analoog van Euclidische meetkunde? Bestaat er traditionele wiskunde?
Moore (25:16): Dat is een open vraag. Ik bedoel dat, ik bedoel - ik denk dat het deels een filosofische vraag is. Misschien is het een sociologische vraag, want het gaat erom wat wiskunde is, toch? Het komt terug op die fundamentele vraag. En ik denk dat de axioma's die we hebben, de ZFC-axioma's die iets meer dan 100 jaar geleden zijn ontwikkeld, de axioma's zijn waarvan we het er over het algemeen over eens zijn dat deze waar zijn, of deze zijn, dit zijn eigenschappen die "set" zou moeten hebben, maar ze' ben niet compleet.
Strogatz (25:44): Nou, wacht, laten we dat allemaal uitpakken. Dat klinkt goed. Dus ZFC, waarom beginnen we daar niet mee? Dat zijn de namen van sommige mensen en een ding.
Moore (25:51): Ja, ja. “Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer' met iets dat het 'axioma van keuze' wordt genoemd. Ja.
Strogatz (25:55): Oké. En dat zijn dus spelregels die algemeen geaccepteerd worden.
Moore (25:59): Ja, het is een lijst van axioma's die — het is vrij lang, maar niet zo lang. Dingen zoals, als je twee sets hebt, is er een set die ze allebei als hun, hun elementen heeft. Het koppelingsaxioma, dat je de vereniging van een verzameling sets kunt nemen, en dat is een set. Enzovoort.
Strogatz (26:15): Oké. Dus er is de ZFC-manier om verzamelingenleer te doen, en dat is, zegt u, op een bepaald moment voorgesteld en mensen vinden het leuk, maar toen zei u dat het niet compleet is?
Moore (26:26): Ja. Dus het is iets dat je kunt schrijven. Een computeralgoritme om de axioma's op te sommen. Het is een oneindige reeks axioma's. Maar met uitzondering van twee soorten clusters van axioma's, is het eindig. Als je niet oplet, zou je eigenlijk denken dat deze, elk van deze andere clusters van axioma's enkelvoudige axioma's zijn. Maar ze zijn eigenlijk een oneindige familie van axioma's. Je kunt een computerprogramma maken dat alle axioma's uitspuugt. We zijn geneigd te geloven dat ZFC consistent is omdat we geen tegenstrijdigheden hebben ontdekt. Als je dat gelooft, zal ZFC volgens de onvolledigheidsstelling van Gödel niet kunnen bewijzen dat het consistent is.
(27:03) En dus zijn er uitspraken, zoals de consistentie van ZFC, die ZFC niet kan bewijzen. Dat is een interessant punt. Want nogmaals, wij geloven dat ZFC consistent is. En dat is, ik bedoel, een van de redenen dat, ik bedoel... De meeste wiskundigen die gaan werken, zijn gebaseerd op het geloof dat CFC consistent is. Rechts? Maar dat is iets dat we beschouwen als een echte verklaring. Maar het is niet iets dat ZFC zelf voldoende kan bewijzen.
Strogatz (27:27): Ik ben aan het denken. Onderweg hebben we Gödel genoemd. Ik weet niet of we hebben gezegd wie hij is. Wil je het kort vertellen?
Moore (27:34) Ja, dat was hij. Ik bedoel, hij was een soort revolutionaire logicus. Dit, de onvolledigheidsstelling, was een van zijn belangrijkste prestaties. En zijn andere grote prestatie was om aan te tonen dat de continuümhypothese niet kan worden weerlegd met behulp van de ZFC-axioma's.
Strogatz (27:49): Sommige mensen beschouwen hem als de grootste logicus sinds Aristoteles. En Einstein, die zijn vriend en collega was aan het Institute for Advanced Study, zei dat hij het heerlijk vond om naar zijn werk te lopen Kurt Godel. Ik bedoel, hij zat in dezelfde intellectuele klasse als Einstein. Als je nog nooit van hem hebt gehoord, raad ik je aan om een boek over hem te lezen genaamd Reis naar de rand van de rede. Een geweldig boek over het leven van Gödel. Maar oké, dus hij is, juist, dus hij is een logicus uit het midden van de 20e eeuw, begin 20e eeuw. En u zegt dat hij dat heeft bewezen - nou, zeg het nog eens over de continuümhypothese?
Moore (28:23): Binnen elk model van de verzamelingenleer construeerde hij een kleiner model van de verzamelingenleer dat voldoet aan de continuümhypothese. Dat laat dus zien dat je de continuümhypothese niet kunt weerleggen binnen de axioma's van de verzamelingenleer. Van één model van de verzamelingenleer, als je er een hebt, kan ik een nieuw model produceren dat voldoet aan de continuümhypothese.
Strogatz (28:43): Ik begrijp het. Er kunnen dus versies van de verzamelingenleer zijn, een soort kleinere versies, die nog steeds geschikt zijn om te rekenen, neem ik aan.
Moore: Ja.
Strogatz (28:51): Maar waarin, oké, de continuümhypothese waar is, precies zoals Cantor vermoedde.
Moore: Ja.
Strogatz (28:56): En dan. Maar dan - er is een grote "maar" aan dit verhaal.
Moore (28:59): Ja. Zoveel, vele jaren later, [Paulus] Cohen ontwikkelde een techniek genaamd forceren waarmee hij modellen van de verzamelingenleer kon vergroten. En hiermee bewees hij dat je de continuümhypothese niet kunt bewijzen. Behalve dat zijn techniek ook kan worden gebruikt om te bewijzen dat je het niet kunt weerleggen. Deze, ja, deze techniek genaamd forceren is echt heel krachtig. Forceren en de techniek van het bouwen van een kleiner model binnen uw model van de verzamelingenleer. Dit zijn het soort twee tools die we hebben om nieuwe modellen van de verzamelingenleer te bouwen op basis van oude modellen van de verzamelingenleer.
Moore (29:32): Terug naar de geometrie-analogie. Ik bedoel, zelfs deze modellen van het hyperbolische vlak, die de niet-Euclidische modellen van geometrie waren - die zelf beginnen met het nemen van het Euclidische vlak of een subset ervan en het bouwen van het model van geometrie zoals de punten en lijnen daar. De punten zijn gewoon gewone punten op deze schijf. En de lijnen daar zijn cirkels in, bepaalde cirkels in de oorspronkelijke geometrie. Het punt dat ik probeer te maken is dat dit iets vruchtbaars is wat je doet in de wiskunde. Je begint vaak met een structuur die voldoet aan je axioma-systeem, zoals een geometrie die voldoet aan je axioma's van geometrie, en je manipuleert het op de een of andere manier en produceert iets nieuws, dat misschien voldoet aan een andere reeks axioma's. Dat is wat Cohen en Gödel aan het doen waren: ze namen een model van de axioma's van de verzamelingenleer - en dus in zekere zin een model van de wiskunde - en manipuleerden het met behulp van verschillende technieken om nieuwe modellen te produceren, die ervoor zorgden dat ofwel de continuümhypothese waar is, of dat de continuümhypothese onjuist is.
Strogatz (30:36): Dus dit is echt verbazingwekkend voor mij, en ik weet zeker dat veel mensen, weet je... Plato heeft bijvoorbeeld de filosofie dat er bepaalde ideale vormen zijn en waarheden die — misschien kunnen we Ik zie ze hier op aarde niet, maar in een of ander platonisch rijk bestaat hun waarheid.
Moore: Jaaa Jaaa.
Strogatz (30:57): En je zou het gevoel hebben dat de reële getallen bestaan, of mensen er nu over nadenken of niet, en dat de continuümhypothese waar is voor de reële getallen, of niet. Maar je vertelt het me?
Moore (31:09): Nou, ik bedoel, ja, er zijn verschillende stromingen hierover. Ik bedoel, je zou het niet kunnen - je kunt het zien als, er is iets waarvan ik denk dat het onder de naam valt, die generieke multiversum-weergave, dat er niets meer is dat je kunt zeggen. Er zijn gewoon al deze modellen van verzamelingenleer. En het beste wat we kunnen doen, is proberen te begrijpen wat er in elk van hen waar is en ertussen bewegen. En dat is een erg niet-platonische kijk op dingen, een soort formalistische kijk op dingen. Je zou ook het standpunt kunnen innemen dat er misschien een voorkeursmodel van de verzamelingenleer bestaat. Dat is, weet je, de realiteit waarin we leven, en al die andere modellen, het zijn modellen van de axioma's, maar ze zijn niet echt wat we proberen te beschrijven met de axioma's. Ik denk dat de analogie met geometrie daar enigszins illustratief is, toch? Ik bedoel, je kunt veel verschillende geometrische modellen maken. Maar we leven nog steeds in een fysieke wereld die een geometrie heeft en misschien is dat de geometrie waar we het meest om geven.
Strogatz (32:03): Ik begrijp het. Dus op dezelfde manier waarop we Euclidische meetkunde een voorkeursstatus zouden kunnen geven, omdat het de status is die we gewend zijn. Het is degene die al lang bestaat, omdat het de gemakkelijkste en meest voor de hand liggende is, maar we denken nog steeds dat deze anderen goed zijn, en ze hebben hun domeinen waar ze nuttig en interessant zijn.
Moore (32:20): Maar misschien is het ook de moeite waard om erop te wijzen dat zelfs ons begrip van — Ten eerste, ik weet niet zeker of we in een Euclidische meetkunde leven. Maar er is, daar is een vraag over. Maar zelfs ons begrip van de fysieke wereld wordt enorm verrijkt door al deze andere geometrieën te begrijpen, deze vrije verkenning van andere modellen van geometrie. En hetzelfde geldt voor de verzamelingenleer. Ik denk dat, zelfs als we in de toekomst enige consensus hebben bereikt over wat een nieuw axioma is voor de verzamelingenleer, het bereiken van die bestemming iets is dat zeker niet mogelijk zal zijn geweest zonder al dit onderzoek dat vooraf plaatsvindt.
Strogatz (33:00): Wat zou het bewijzen of weerleggen van de continuümhypothese betekenen? Voor elk van deze kampen? Wat staat er op het spel?
Moore (33:08): Ja, dat is — OK, dus ik denk dat het kamp dat dit soort 'alle werelden'-standpunt inneemt, gewoon zou zeggen dat dit een zinloze vraag is. Dat Cohen en Gödel en hun technieken voor het bouwen van veel modellen van de verzamelingenleer zo'n beetje het einde van de discussie zijn. En weet je, we gaan misschien veel nieuwe modellen van verzamelingenleer produceren, maar we zullen nooit een definitief antwoord hebben op de vraag of de continuümhypothese waar of onwaar is. De mensen die het standpunt innemen dat er een soort van waarheid of onwaarheid in die bewering zit, zouden vermoedelijk proberen een nieuw axioma te bedenken en vermoedelijk een heuristische rechtvaardiging voor waarom dit axioma waar zou moeten zijn - hetzij een heuristische of misschien een pragmatische rechtvaardiging. voor waarom het waar is. En als je dan eenmaal betoogt dat dit axioma geaccepteerd moet worden, dat het op de een of andere manier onze intuïtie over wiskunde of verzamelingen omvat, en als dit axioma ook de continuümhypothese in een soort formele zin van het woord bewijst of weerlegt, dan zou je zien dat CH waar of onwaar is.
Strogatz (34:12): Dus dat is ongeveer waar we nu zijn. Dat er op dit moment echt deze twee kampen zijn.
Moore (34:16): Ja, tot op zekere hoogte. Het is al zo lang geleden dat werd aangetoond dat de continuümhypothese onbeslisbaar was op basis van de axioma's, dat ik denk dat de meeste wiskundigen er min of meer aan gewend zijn geraakt dat dat misschien wel het meeste is wat je kunt zeggen. En ik denk dat het op dit moment verbazingwekkend zou zijn als wiskundigen als geheel een nieuwe heuristiek zouden kunnen verzamelen waarvan, weet je, iedereen het erover eens zou zijn dat die waar zou moeten zijn. En misschien gebeurt dat nooit. Misschien, misschien heeft de gemeenschap te veel verschillende standpunten. Om eerlijk te zijn, ik denk dat het - ik denk dat het een beetje een consensusvisie is, maar geen universele visie, dat ZFC de set van ware axioma's voor wiskunde is. Er zijn zeker mensen die van mening zijn dat alles wat oneindig is gewoon niet bestaat. En het heeft geen zin om erover te praten en we zouden het er ook niet over moeten hebben.
Strogatz (35:05): Nou, dat is een aloude traditie. Ik bedoel, dat is — Aristoteles zei ons dat we moesten oppassen voor oneindigheid. En in de geschiedenis van de wiskunde zijn mensen zelfs zo groot als [Carl Friedrich] Gauss waren erg voorzichtig met dit concept van voltooide oneindigheid, en dat is wat Cantor dit blik wormen voor ons opende. Maar ik weet niet of het wormen zijn. Het lijkt alsof het - weet je, wat is het kwaad? Het is dat we onze verbeelding de vrije loop laten en veel interessante dingen ontdekken.
(35:30) Maar ik heb wel een vraag. Als iemand die geen verzamelingentheoreticus is, wil ik het niet op een onbeleefde manier vragen. Maar het klinkt misschien een beetje onbeleefd, wat - je weet waar ik heen ga, toch? Wat voor invloed heeft dit op mij? Voelt de rest van de wiskunde de trillingen die plaatsvinden binnen de verzamelingenleer? Of zijn we een beetje geïsoleerd van wat jullie doen?
Moore (35:49): Dat is een goede vraag. Ik denk dat de meeste wiskundigen nooit een bewering tegenkomen die noch bewijsbaar noch weerlegbaar is binnen het gebruikelijke axiomasysteem voor wiskunde binnen ZFC. En de verzamelingentheoretici hebben daar tot op zekere hoogte een verklaring voor gevonden. Er is een model van de verzamelingenleer dat groter is dan het originele model van Gödel, maar kleiner dan het universum van alle verzamelingen, het solide basismodel genaamd, dat [Robert] Solovay ontdekt rond de tijd van het werk van Cohen. En de opmerkelijke ontdekking is dat dit model - wat erin waar is, niet kan worden beïnvloed door te forceren. En daarom, in wezen, als je iets kunt zeggen over wat waar is in dat model of onwaar in dat model, is dat iets dat grotendeels immuun is voor onafhankelijkheidsverschijnselen.
(36:35) Het addertje onder het gras is dat dit model van de verzamelingenleer niet – niet voldoet aan het keuzeaxioma. Dus het axioma van keuze is - dit is hier weer een blik wormen. Maar een van de redenen waarom het keuzeaxioma verschilt van de andere axioma's, is dat het niet constructief is. Alle andere axioma's vertellen je dat een set waarvan je een beschrijving hebt, in feite een set is. Dat is precies hoe de axioma's werken. Maar het keuzeaxioma vertelt je dat gegeven een verzameling verzamelingen die niet leeg zijn, je uit elk ervan iets kunt selecteren — vandaar keuze — maar het vertelt je niet hoe je de selectie gaat maken. Dit was een axioma waarmee we aan de ene kant allerlei rare, paradoxale dingen konden construeren. Weet je, denk ik, in de marge van 100 jaar geleden of zo, zoals niet-meetbare sets, wat dat ook is. Er is die beroemde ontbinding van de bol, dat Banach-Tarski-paradox, Dat -
Strogatz (37:29): Oh, dit is interessant.
Moore (37:32): — je zou de bol in eindig veel stukken kunnen snijden en ze dan weer in elkaar kunnen zetten tot twee bollen die dezelfde afmetingen hebben als de oorspronkelijke bol. En de reden waarom dat absurd is, is dat je in staat zou moeten zijn om een massa toe te wijzen aan elk van de - je weet wel, aan de oorspronkelijke bol, en dan een massa toe te kennen aan al deze stukken waar je het in kunt snijden, en die zou moeten optellen tot de oorspronkelijke massa. En als je ze dan herschikt, zou dat proces de massa niet moeten veranderen. Maar op de een of andere manier, als je ze weer in elkaar zet, heb je twee keer zoveel massa als waarmee je begon. Nu, het punt in dat argument - waar dingen fout gaan, is dit in stukken snijden van de bol dat je met het keuzeaxioma kunt doen, zo erg is dat je geen massa's kunt toekennen aan deze stukken die je hebt.
(38:11) Welnu, dat paradoxale gedrag bracht mensen ertoe te denken dat het keuzeaxioma op de een of andere manier misschien problematisch is. Misschien zal het leiden tot een soort paradox binnen de wiskunde zelf. En daarom moet het keuzeaxioma niet worden aanvaard. Een van de dingen die Gödel bewees terwijl hij bewees dat je de continuümhypothese niet kunt weerleggen, is dat het ook veilig is om het keuzeaxioma aan te nemen. Dat wil zeggen, als de axioma's van ZFC zonder het keuzeaxioma consistent zijn, dan geldt dat ook voor de reeks axioma's van ZFC met het keuzeaxioma. Het geeft je misschien een heleboel rare, exotische dingen, maar vanuit fundamenteel oogpunt vervuilt het het water niet.
(38:51) Enige tijd later was er de ontdekking van dit ding genaamd Zorn's lemma, dat gelijkwaardig bleek te zijn aan het axioma van keuze. En het is echt heel vruchtbaar voor het ontwikkelen van veel verschillende takken van de wiskunde. Het is iets dat - je leert erover als je een gevorderde student bent, of als je een afgestudeerde student wiskunde bent. Het maakt op de een of andere manier deel uit van het vereiste leren voor een graduaat in wiskunde. En vanwege dit extreme nut is het iets dat we tegenwoordig gewoon accepteren. Ik denk dat de meeste wiskundigen het niet prettig vinden om te werken zonder het keuzeaxioma, alleen omdat ze het in veel gevallen gebruiken zonder het te weten.
(39:31) Dus ik denk dat dit ook een voorbeeld is van hoe we de continuümhypothese kunnen vaststellen. Het is dat we in de toekomst een axioma ontdekken dat zo nuttig is bij het verder ontwikkelen van de wiskunde, dat we dit axioma gewoon tot op zekere hoogte als waar beschouwen. Dat is wat er gebeurde met het lemma van Zorn. En met het keuzeaxioma was het niet iets dat aanvankelijk als waar werd beschouwd. In feite werd het aanvankelijk met enige scepsis bekeken.
Strogatz (39:56): Maar eens kijken of ik het kan, want dat is het wel... We hebben het nu veel gehad over het keuzeaxioma: de relatie met de continuümhypothese. Is er een kernachtige manier om te zeggen wat dat is?
Moore (40:06): Weet je, het axioma van keuze en de continuümhypothese hebben een merkwaardige relatie omdat ze... OK, de continuümhypothese, vanuit het oogpunt van een verzamelingstheoreticus, stelt het je in staat om veel exotische dingen te construeren . Het stelt je in staat om een oneindig lange, zelfs ontelbaar lange constructie te doen, waarbij je alles op een zeer gecontroleerde manier doet, een algoritmische manier. En het bouwen van een raar object waar je onderweg veel controle over hebt gehouden. Bij gebrek aan het keuzeaxioma, is de continuümhypothese, zoals ik het oorspronkelijk stelde, dat er geen tussenliggende regels zijn, iets dat niet dezelfde beet heeft alsof het keuzeaxioma waar is. En de reden daarvoor is dat je bijvoorbeeld bij afwezigheid van het keuzeaxioma kunt praten over nog sterkere versies van de continuümhypothese. Elke deelverzameling van deze getallenlijn, de reële getallenlijn, is ofwel telbaar, of er zit een kopie van de Cantor-verzameling in. Er is bijvoorbeeld een soort puntenboom, een binaire puntenboom die in je set zit. En dit is een heel concrete manier om te zeggen dat het dezelfde grootte heeft als de reële getallen.
Strogatz (41:14): Dus voor de rest van ons in wiskunde buiten de verzamelingenleer, zouden we wakker moeten liggen over de - wat lijkt - soort van onbepaalde status op het moment van de continuümhypothese? Er is ons verteld dat het onbeslisbaar is in het standaardmodel van de verzamelingenleer. Weet je, maakt het uit? Heeft het invloed op de rest van wiskunde?
Moore (41:35): Het antwoord is meestal nee. Maar het is niet helemaal bekend. De continuümhypothese. Het is waar in de Solovay-model, bijvoorbeeld: Elke verzameling reële getallen is ofwel telbaar of er zit een gesloten verzameling reële getallen in die ontelbaar is en geen geïsoleerde punten heeft. Maar er zijn beweringen die opduiken in de wiskunde, vragen die van nature opduiken, min of meer organisch in andere gebieden, waar blijkt dat ze afhankelijk zijn van de continuümhypothese of iets anders, dat onafhankelijk is van de axioma's van ZFC. Een voorbeeld hiervan is iets dat een mediale limiet wordt genoemd, een apparaat dat nuttig is in waarschijnlijkheid en sommige delen van waarschijnlijkheid om limieten van dingen te nemen en toch te handhaven dat dingen meetbaar zijn. Mediale limieten zijn iets dat je kunt construeren met behulp van de continuümhypothese, maar ze zijn niet iets dat je kunt bouwen in ZFC.
Strogatz (42:27): Hier word ik blij van, moet ik zeggen. Ik bedoel, ik wil geloven dat wiskunde één groot web is. En dat, alsof er een oud gezegde is: "Niemand is een eiland", van wie dan ook, ik weet het niet. Maar hoe dan ook, ik wil niet dat een onderdeel van wiskunde een eiland is. Dus ik zou niet graag denken dat de verzamelingenleer op de een of andere manier iets is - ik bedoel, niemand zou zeggen dat het zo is, maar zelfs het deel dat de continuümhypothese bevat, ik wil niet dat dat wordt gescheiden van het grote continent. En het klinkt alsof het dat niet is.
Moore (42:52): Juist. Als je een Hilbertruimte neemt en je kijkt naar de begrensde operatoren en de compacte operatoren, dan zijn dit goed bestudeerde algebra's van objecten die in de wiskunde worden bestudeerd. Je kunt er een quotiënt van nemen. Het bestuderen van wat de automorfismegroep daarvan wordt genoemd, is iets waar een wiskundige naar zou kunnen vragen. En inderdaad, Brown, Douglas en Fillmore vroeg daar in de jaren zeventig naar. En het is bekend dat of de continuümhypothese waar of onwaar is, gerelateerd is aan het feit of er zeer gecompliceerde automorfismen van die algebra zijn of niet. Dat is iets dat, weet je, een standaardobject is in een cursus functionele analyse die je zou doceren op postdoctoraal niveau. En dit zijn een soort van heel, heel basale eigenschappen van dit object.
(43:34) Maar het punt is dat dit op het eerste gezicht iets is — dit is geen probleem in de verzamelingenleer. Verschillende verzamelingentheoretici hebben verschillende opvattingen over waarom het onderwerp belangrijk is. Maar voor mij is dit waarom het onderwerp is - waar het belangrijk voor is. Het is dat het deze unieke rol speelt om u te laten weten wanneer u de vraag stelt die misschien niet te beslissen is, op basis van de axioma's. Omdat je dit probleem niet wilt bestuderen dat je jarenlang en jaren en jaren niet zonder enig succes kunt beslissen. En als iemand je kan vertellen: "Nou, je gaat nooit echt een oplossing voor dat probleem bedenken, omdat je dat niet kunt bewijzen of weerleggen", toch? Dat is goed om te weten.
Strogatz (44:13): Oké. Nou, voor mij is dit een heel opbeurende boodschap die je geeft, Justin, dat - John Donne! Dat is de naam die ik zocht, John Donne. En laten we het op de moderne manier zeggen: niemand is een eiland. En hetzelfde zonder een deel van de wiskunde. Er is - zelfs de meest esoterische schijnbare dingen aan de buitenste regionen van de verzamelingenleer zijn nog steeds verbonden met zeer nuchtere delen van wiskunde, in waarschijnlijkheid, in de functionele analyse die ten grondslag ligt aan de kwantumtheorie. Dus dit is nieuws voor mij, en ik wil je gewoon bedanken voor het informeren van ons. Dit was leuk. Bedankt.
Moore (44:46): Bedankt dat je me hebt.
Omroeper (44:46): Ontdek meer wiskundige mysteries in de Quanta boek De Prime Number-samenzwering, gepubliceerd door The MIT Press, nu beschikbaar op Amazon.com, Barnesandnoble. com, of uw plaatselijke boekhandel. Zorg er ook voor dat je je vrienden over deze podcast vertelt en ons een positieve recensie geeft of volg waar je luistert. Het helpt mensen vinden De vreugde van waarom.
Strogatz (45: 12): De vreugde van waarom is een podcast van Quanta Magazine, een redactioneel onafhankelijke publicatie ondersteund door de Simons Foundation. Financieringsbeslissingen van de Simons Foundation hebben geen invloed op de selectie van onderwerpen, gasten of andere redactionele beslissingen in deze podcast of in Quanta Magazine. De vreugde van waarom wordt geproduceerd door Susan Valot en Polly Stryker. Onze redacteuren zijn John Rennie en Thomas Lin, met ondersteuning van Matt Carlstrom, Annie Melcher en Zach Savitsky. Onze themamuziek is gecomponeerd door Richie Johnson, Julian Lin bedacht de podcastnaam. De afleveringskunst is van Peter Greenwood en ons logo is van Jaki King. Speciale dank aan Burt Odom-Reed van de Cornell Broadcast Studios. Ik ben uw gastheer Steve Strogatz. Als u vragen of opmerkingen voor ons heeft, kunt u ons mailen op Bedankt voor het luisteren.
- Door SEO aangedreven content en PR-distributie. Word vandaag nog versterkt.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligentie. Kennis versterkt. Toegang hier.
- De toekomst slaan met Adryenn Ashley. Toegang hier.
- Bron: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- : heeft
- :is
- ][P
- $UP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- in staat
- Over
- over het
- absoluut
- AC
- ACCEPTEREN
- prestatie
- prestaties
- werkelijk
- vergevorderd
- invloed hebben op
- Na
- algoritme
- algoritmische
- algoritmisch
- Alles
- toestaat
- langs
- Alfabet
- al
- Hoewel
- verbazingwekkend
- bedragen
- analyse
- Oude
- en
- aangekondigd
- Nog een
- beantwoorden
- elke
- gebruiken
- Apple
- toepassingen
- ZIJN
- argumenteren
- argument
- rond
- aankomen
- Kunst
- AS
- Associëren
- At
- aandacht
- Beschikbaar
- gemiddelde
- terug
- slecht
- baseren
- gebaseerde
- basis-
- Eigenlijk
- BE
- prachtige
- omdat
- worden
- wordt
- geweest
- vaardigheden
- Begin
- wezen
- geloofd wie en wat je bent
- Berkeley
- Bertrand
- BEST
- Betere
- tussen
- Verder
- Groot
- groter
- Grootste
- Beetje
- Blokken
- boek
- Boeken
- takken
- kort
- Brengt
- uitzenden
- bouw
- Gebouw
- verbrand
- by
- berekeningen
- Bellen
- Dit betekent dat we onszelf en onze geliefden praktisch vergiftigen.
- oproepen
- Cambridge
- Kamp
- CAN
- kan niet
- verzorging
- voorzichtig
- Carl
- gevallen
- business casual outfit
- het worstelen
- Eeuw
- zeker
- zeker
- verandering
- karakter
- Charles
- keuze
- cirkels
- klasse
- duidelijk
- CLOSED
- collega
- Collectie
- collecties
- hoe
- comfortabel
- komst
- opmerkingen
- Gemeen
- gemeenschap
- vergelijken
- compleet
- Voltooid
- ingewikkeld
- samengesteld
- computer
- concept
- concepten
- Overeenstemming
- Overwegen
- consequent
- bouwen
- bouw
- constructief
- bevat
- continent
- doorlopend
- Continuum
- onder controle te houden
- gecontroleerd
- controversieel
- Gesprek
- kon
- Counter
- Type cursus
- aangemaakt
- nieuwsgierig
- Snijden
- snijdend
- dagen
- beslissen
- beslissingen
- deep
- diepere
- Mate
- afdeling
- afhankelijk
- beschrijven
- beschrijving
- bestemming
- ontwikkelen
- ontwikkelde
- het ontwikkelen van
- apparaat
- diagrammen
- DEED
- anders
- cijfers
- Afmeting
- onthulling
- Onthul Nu
- ontdekt
- het ontdekken van
- ontdekking
- bespreken
- bespreken
- discussie
- onderscheiden
- onderscheiden
- Nee
- doen
- domeinen
- Dont
- Doomed
- deuren
- verdubbelen
- beneden
- rit
- elk
- Vroeg
- aarde
- gemakkelijkste
- rand
- Hoofdartikel
- beide
- element
- geeft je de mogelijkheid
- Eindeloos
- genoeg
- verrijkt
- geheel
- Gelijkwaardig
- in wezen
- Zelfs
- uiteindelijk
- Alle
- iedereen
- alles
- evolueerde
- precies
- voorbeeld
- voorbeelden
- Behalve
- uitzondering
- opgewonden
- tentoonstellen
- bestaat
- Exotisch
- uitleg
- exploratie
- Verken
- uitdrukkelijk
- extra
- extreem
- stof
- Gezicht
- Mislukt
- eerlijk
- tamelijk
- geloof
- familie
- beroemd
- beroemd
- SNELLE
- Favoriet
- angsten
- Kenmerk
- kameraad
- weinig
- Velden
- finale
- VIND DE PLEK DIE PERFECT VOOR JOU IS
- Voornaam*
- eerste keer
- Vis
- volgen
- Voor
- altijd
- formeel
- Formeel
- formulieren
- Foundation
- Stichtingen
- fractie
- Gratis
- vriend
- vrienden
- oppompen van
- vol
- leuke
- functie
- functioneel
- functies
- financiering
- verder
- toekomst
- spel
- Algemeen
- algemeen
- voortbrengen
- generatie
- genereus
- Duitsland
- krijgen
- het krijgen van
- Geven
- gegeven
- geeft
- Vrijgevigheid
- Go
- doel
- Goes
- gaan
- goed
- Kopen Google Reviews
- graad
- afstuderen
- verleend
- groot
- beste
- sterk
- Griekenland
- Greenwood
- Groep
- geraden
- gasten
- hand
- gebeuren
- gebeurd
- Happening
- gelukkig
- Hebben
- met
- he
- hoofden
- gehoord
- gehoor
- Hart
- geholpen
- nuttig
- helpt
- hier
- hoger
- achteraf gezien
- geschiedenis
- hoopt
- gastheer
- Hoe
- HTTPS
- menselijk
- Hongerig
- i
- idee
- ideaal
- Illusie
- verbeelding
- belang
- belangrijk
- in
- Anders
- omvatten
- Inclusief
- onafhankelijkheid
- onafhankelijk
- Oneindig
- Infinity
- beïnvloeden
- beïnvloed
- eerste
- invoer
- instantie
- verkrijgen in plaats daarvan
- Instituut
- integraal
- integriteit
- intellectueel
- geïnteresseerd
- interessant
- belangen
- voorstellen
- ironisch
- eiland
- geïsoleerd
- problemen
- IT
- HAAR
- zelf
- John
- Johnson
- aansluiting
- Justin
- Houden
- houden
- Kind
- kinderen
- Soort
- koning
- blijven
- Weten
- bekend
- taal
- Talen
- Groot
- grotendeels
- groter
- grootste
- Achternaam*
- Laat
- Latijns
- leiden
- Competitie
- LEARN
- geleerd
- leren
- LED
- lemma
- Lengte
- verhuur
- Niveau
- Life
- als
- LIMIT
- grenzen
- Lijn
- lijnen
- gekoppeld
- Lijst
- Het luisteren
- literatuur
- Elke kleine stap levert grote resultaten op!
- leven
- Lives
- lokaal
- logo
- lang
- Kijk
- ziet eruit als
- op zoek
- kwijt te raken
- lot
- liefde
- hield
- gemaakt
- magazine
- Het handhaven
- groot
- maken
- MERKEN
- man
- manipuleren
- veel
- veel mensen
- Massa
- massa
- wiskunde
- wiskundig
- wiskunde
- Materie
- zinvolle
- middel
- maatregel
- mechanisme
- vermeld
- Bericht
- methode
- Midden
- macht
- MIT
- model
- modellen
- Modern
- moment
- meer
- meest
- beweging
- beweging
- filmpje
- Multiverse
- Muziek
- mysterieus
- naam
- namen
- Naturel
- nodig
- Noodzaak
- negatief
- Noch
- New
- nieuws
- notie
- aantal
- nummers
- object
- objecten
- Voor de hand liggend
- of
- vaak
- Oud
- on
- EEN
- open
- geopend
- opent
- exploitanten
- gewoon
- organisch
- Georganiseerd
- origineel
- oorspronkelijk
- Overige
- Overig
- onze
- buiten
- over
- totaal
- het te bezitten.
- pairing
- Paradox
- Parallel
- ouders
- deel
- vooral
- onderdelen
- Paul
- het betalen van
- Penguins
- Mensen
- mensen
- misschien
- persoon
- persoonlijk
- Peter
- een fenomeen
- filosofie
- Fysiek
- Fysica
- stukken
- plaats
- plaatsen
- Plato
- Plato gegevensintelligentie
- PlatoData
- dan
- plus
- Podcast
- Podcasting
- punt
- Oogpunt
- punten
- positief
- mogelijk
- mogelijk
- energie
- krachtige
- bevoegdheden
- pragmatisch
- bij voorkeur
- pers
- mooi
- Prime
- primitief
- principes
- waarschijnlijk
- probleem
- problemen
- produceren
- geproduceerd
- Hoogleraar
- Programma
- belofte
- bewijzen
- vastgoed
- eigendom
- voorgestelde
- beschermd
- aantoonbaar
- Bewijzen
- bewezen
- bewijst
- zorgen voor
- Publicatie
- gepubliceerde
- zetten
- Quanta tijdschrift
- Quantum
- vraag
- Contact
- verzameling
- liever
- Rationeel
- RAY
- Bereikt
- vast
- echte wereld
- Realiteit
- realiseerde
- rijk
- reden
- redenen
- adviseren
- verwant
- relatie
- verwantschap
- relatief
- familieleden
- stoffelijk overschot
- opmerkelijk
- niet vergeten
- herhaling
- nodig
- onderzoek
- culturele wortels
- REST
- beoordelen
- revolutionair
- streng
- ROBERT
- Rol
- Rollen
- rollen
- Kamer
- reglement
- veilig
- Zei
- dezelfde
- tevreden
- zegt
- Scale
- scholen
- Wetenschap
- Tweede
- seconden
- lijkt
- selectie
- zin
- apart
- reeks
- Sets
- vestigen
- Gevestigd
- verscheidene
- vormen
- moet
- tonen
- getoond
- Shows
- kant
- teken
- Eenvoudig
- sinds
- single
- ZES
- Maat
- maten
- Scepticisme
- slaap
- Klein
- kleinere
- So
- solide
- oplossing
- sommige
- Iemand
- iets
- enigszins
- ergens
- Tussenruimte
- Vonk
- special
- specifiek
- besteden
- Spotify
- Stadium
- inzet
- standaard
- begin
- gestart
- Start
- bepaald
- Statement
- verklaringen
- Status
- Steve
- Still
- Verhaal
- recht
- sterke
- sterker
- structuur
- Student
- bestudeerd
- studios
- Studie
- Bestuderen
- onderwerpen
- succes
- dergelijk
- voldoende
- ondersteunde
- zeker
- verrassing
- verwonderd
- verrassend
- Susan
- symbool
- system
- tafel
- Nemen
- neemt
- het nemen
- Talk
- praat
- leraren
- Onderwijs
- technieken
- tiener
- vertelt
- termen
- proef
- Bedankt
- dat
- De
- De toekomst
- De lijn
- de wereld
- hun
- Ze
- thema
- zich
- Er.
- daarom
- Deze
- ding
- spullen
- het denken
- Derde
- gedachte
- duizenden kosten
- Door
- overal
- niet de tijd of
- naar
- vandaag
- ook
- tools
- onderwerpen
- TOTAAL
- spoor
- traditie
- traditioneel
- getraind
- behandelen
- enorm
- waar
- waarheid
- BEURT
- Gedraaid
- Twee keer
- onbepaald
- voor
- begrijpen
- begrip
- begrijpt
- unie
- vakbonden
- unieke
- Universeel
- Universum
- universiteit-
- us
- .
- gebruikt
- doorgaans
- utility
- waarde
- divers
- Bekijk
- gezichtspunten
- wachten
- wandel
- willen
- Bekijk de introductievideo
- Water
- Manier..
- manieren
- web
- webp
- welkom
- GOED
- Wat
- Wat is
- of
- welke
- WIE
- wie ook
- geheel
- wijd
- wil
- gewillig
- Met
- binnen
- zonder
- Woord
- woorden
- Mijn werk
- werkzaam
- Bedrijven
- wereld
- wormen
- bezorgd
- waard
- zou
- schrijven
- het schrijven van
- Verkeerd
- jaar
- jaar
- You
- Your
- jezelf
- zephyrnet
- nul
- zoom