De link van Pierre de Fermat naar het belangrijkste wiskundebewijs van een middelbare scholier | Quanta-tijdschrift

Zoals veel wiskundestudenten droomde ik van wiskundige grootsheid. Ik dacht ooit dat ik dichtbij was. Een moeilijk algebraprobleem op de universiteit zorgde ervoor dat ik tot diep in de nacht doorwerkte. Na urenlang worstelen voelde ik een doorbraak aankomen. Ik manipuleerde behendig uitdrukkingen. Ik ontbonden, vermenigvuldigd en vereenvoudigd, totdat mijn ontdekking zich uiteindelijk openbaarde:

$latex 1 + 1 = 2$.

Ik kon het niet laten om te lachen. De wereld wist al dat $latex 1 + 1 = 2$, dus 'de stelling van Honner' mocht niet zo zijn. En hoewel veel jonge wiskundigen de teleurstelling hebben ervaren van de nog niet helemaal doorbraak, het opmerkelijke verhaal van Daniël Larsen houdt de droom levend.

Larsen was een middelbare scholier in 2022 toen hij een resultaat bewees over een bepaald soort getallen dat wiskundigen decennialang was ontgaan. Hij bewees dat Carmichael-getallen – een merkwaardig soort niet-helemaal-priemgetal – vaker konden worden gevonden dan voorheen bekend was, waarmee hij een nieuwe stelling opstelde die voor altijd met zijn werk zal worden geassocieerd. Dus, wat zijn Carmichael-nummers? Om dat te kunnen beantwoorden moeten we terug in de tijd gaan.

Pierre de Fermat heeft zijn naam op een van de beroemdste stellingen in de wiskunde. Meer dan 300 jaar lang was de Laatste Stelling van Fermat het ultieme symbool van onhaalbare wiskundige grootheid. In de 1600e eeuw krabbelde Fermat een aantekening over zijn voorgestelde stelling in een boek dat hij aan het lezen was, waarbij hij beweerde te weten hoe hij deze moest bewijzen zonder enige details te geven. Wiskundigen probeerden het probleem zelf op te lossen tot de jaren negentig, toen Andrew Wiles het uiteindelijk bewees met behulp van nieuwe technieken die honderden jaren na de dood van Fermat werden ontdekt.

Maar het is Fermats minder bekende 'kleine stelling' die betrekking heeft op de Carmichael-getallen. Hier is een manier om het te zeggen:

Gegeven een priemgetal $latex p$, dan is voor elk geheel getal $latex a$ de hoeveelheid $latex a^p – a$ deelbaar door $latex p$.

Neem bijvoorbeeld het priemgetal $latex p = 11$ en het gehele getal $latex a = 2$. De kleine stelling van Fermat zegt dat $latex 2^{11} – 2 = 2046$ deelbaar is door 11, en dat is: $latex 2046 div 11 = 186$. Of neem $latex p = 7$ en $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 keer 2340$, dus $latex 4^7 – 4$ is inderdaad deelbaar door 7.

Anders dan bij de Laatste Stelling van Fermat duurde het geen 300 jaar om zijn kleine stelling op te lossen. Leonhard Euler publiceerde minder dan een eeuw later een bewijs. En omdat het om priemgetallen gaat, hebben mensen manieren gevonden om het te gebruiken.

Eén manier om de kleine stelling van Fermat te gebruiken is door aan te tonen dat een getal geen priemgetal is. Stel dat u zich afvraagt ​​of 21 een priemgetal is of niet. Als 21 een priemgetal zou zijn, dan zou $latex a^{21}$ – volgens de kleine stelling van Fermat, voor elk geheel getal $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ deelbaar moeten zijn door 2. Maar als je enkele waarden van $ uitprobeert latex a$ je ziet dat dit niet werkt. Bijvoorbeeld: $latex 21^{2} – 2097150 = 21$, wat geen veelvoud is van 21. Daarom kan XNUMX, omdat het niet voldoet aan de kleine stelling van Fermat, geen priemgetal zijn.

Dit lijkt misschien een dwaze manier om te controleren of een getal een priemgetal is. We weten immers $latex 21 = 3 keer 7$. Maar controleren of grote getallen priemgetallen zijn, is een tijdrovende en belangrijke taak in de moderne wiskunde, dus wiskundigen zijn altijd op zoek naar sluiproutes. Met dat doel voor ogen hebben wiskundigen zich afgevraagd of het omgekeerde van Fermats kleine stelling waar zou kunnen zijn.

Wat is het omgekeerde van een stelling? Je herinnert je misschien uit de wiskundeles dat een stelling kan worden gezien als een voorwaardelijke verklaring in de vorm 'als' P harte Q.” Een stelling zegt dat als de P deel (het antecedent of de hypothese) waar is, dan is het Q een deel (de consequentie of conclusie) moet ook waar zijn. Het omgekeerde van een stelling is de uitspraak die je krijgt als je het antecedent en het gevolg omwisselt. Dus het omgekeerde van “Als P harte Q' is de verklaring 'Als Q harte P. '

Laten we de stelling van Pythagoras eens bekijken. Er wordt ons vaak verteld dat er $latex a^2 + b^2 = c^2$ staat. Maar dit klopt niet helemaal. De stelling van Pythagoras is eigenlijk een voorwaardelijke verklaring: er staat dat als een rechthoekige driehoek de lengtes $latex a$, $latex b$ en $latex c$ heeft, waarbij $latex c$ de lengte van de hypotenusa is, $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Dus wat is het omgekeerde? Er staat dat als de zijden van een driehoek $latex a$, $latex b$ en $latex c$ voldoen aan de vergelijking $latex a^2 + b^2 = c^2$, het een rechthoekige driehoek is.

Het is verleidelijk om te denken dat het omgekeerde van een stelling altijd waar is, en menig student is in die val gelopen. Het omgekeerde van de stelling van Pythagoras is waar, wat ons laat concluderen dat een driehoek met zijdelengtes 9, 40 en 41 een rechthoekige driehoek moet zijn, aangezien $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. Maar het omgekeerde van een ware bewering hoeft niet waar te zijn: hoewel het bijvoorbeeld waar is dat als $latex x$ een positief getal is, $latex x^2$ positief is, is het omgekeerde — als $latex x^2$ een positief getal is, dan is $latex x$ positief — dat is niet het geval, aangezien $latex (-1)^2$ positief is, maar −1 zelf niet.

Het is een goede wiskundige praktijk om het omgekeerde van een bewering te onderzoeken, en wiskundigen die op zoek waren naar primaire tests wilden weten of het omgekeerde van Fermats kleine stelling waar was. Het omgekeerde betekent dat, gegeven een geheel getal $latex q$, als het getal $latex a^q – a$ deelbaar is door $latex q$ voor elk geheel getal $latex a$, $latex q$ een priemgetal moet zijn. Als dit waar zou zijn, zou dit een deel van het rekenwerk omzeilen van het controleren of $latex q$ deelbaar is door andere getallen dan 1 en zichzelf. Zoals zo vaak het geval is in de wiskunde, leidde deze ene vraag tot nieuwe vragen, die uiteindelijk tot nieuwe wiskundige ideeën leidden.

Wanneer je het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat gaat onderzoeken, zul je ontdekken dat dit voor veel getallen geldt. Voor elk geheel getal $latex a$ is het getal $latex a^2 – a$ bijvoorbeeld deelbaar door 2. Je kunt dit zien door $latex a^2 – a$ te ontbinden in $latex a maal (a-1) $. Sinds a en $latex a − 1$ zijn opeenvolgende gehele getallen, waarvan er één even moet zijn, en dus moet hun product deelbaar zijn door 2.

Soortgelijke argumenten laten zien dat $latex a^3 – a$ altijd deelbaar is door 3 en $latex a^5 – a$ altijd deelbaar is door 5 (zie de oefeningen hieronder voor meer details). Het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat geldt dus voor 3 en 5. Het omgekeerde vertelt ons ook wat we verwachten voor kleine niet-priemgetallen. Als we het gebruiken om te controleren of 4 een priemgetal is of niet, berekenen we $latex 2^4 – 2$ en zien we dat 14 niet deelbaar is door 4.

In feite kun je helemaal tot aan het getal 561 controleren en alles zal erop wijzen dat het omgekeerde van Fermats kleine stelling waar is. Priemgetallen kleiner dan 561 verdelen $latex a^p – a$ voor every a, en niet-priemgetallen kleiner dan 561 niet. Maar dat verandert bij 561. Met een enigszins geavanceerde getaltheorie kan worden aangetoond dat $latex a^{561} – a$ altijd deelbaar is door 561, dus als het omgekeerde van Fermats kleine stelling waar zou zijn, dan zou 561 een priemgetal moeten zijn. . Maar dat is het niet: $latex 561 = 3 × 11 × 17$. Het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat is dus onjuist.

Wiskundigen noemen getallen als 561 ‘pseudoprime’ omdat ze voldoen aan een aantal voorwaarden die verband houden met het feit dat ze een priemgetal zijn (zoals het delen van $latex a^p – a$ voor iedereen a) maar zijn eigenlijk geen priemgetallen. Er zijn meer tegenvoorbeelden gevonden voor het omgekeerde van Fermats kleine stelling: de volgende drie zijn 1,105, 1,729 en 2,465. Deze werden bekend als Carmichael-getallen, genoemd naar de Amerikaanse wiskundige Robert Carmichael. Nadat ze waren ontdekt, doken er nieuwe vragen op: zijn er andere manieren om Carmichael-nummers te identificeren? Hebben ze nog bijzondere eigenschappen? Zijn het er oneindig veel? Zo ja, hoe vaak komen deze voor?

Het was deze laatste vraag die uiteindelijk de aandacht van Daniel Larsen trok. Wiskundigen hadden bewezen dat er inderdaad oneindig veel Carmichael-getallen waren, maar om dit aan te tonen moesten ze Carmichael-getallen construeren die heel ver uit elkaar lagen. Dit liet de vraag open hoe deze oneindig veel Carmichael-getallen langs de getallenlijn zijn verdeeld. Liggen ze door hun aard altijd ver uit elkaar, of kunnen ze met meer frequentie en regelmaat voorkomen dan uit dit eerste bewijs bleek?

Dergelijke vragen over pseudopriemgetallen doen denken aan soortgelijke en belangrijke vragen over de priemgetallen zelf. Tweeduizend jaar geleden bewees Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn, maar het duurde veel langer om te begrijpen hoe de priemgetallen over de getallenlijn verdeeld zijn. In de 1800e eeuw toonde het postulaat van Bertrand aan dat er voor elk $latex n > 3$ er altijd een priemgetal tussen $latex n$ en $latex 2n$ ligt. Dit geeft ons een idee van hoe vaak we priemgetallen kunnen verwachten als we langs de getallenlijn lopen.

Wiskundigen vroegen zich af of een versie van Bertrands postulaat waar was voor Carmichael-getallen. Daniel Larsen vroeg zich dat ook af, en bouwde voort op het werk van enkele beroemde moderne wiskundigen – de Fields-medaillewinnaars James Maynard en Terence Tao, onder anderen - hij wendde zijn nieuwsgierigheid af in een nieuw resultaat over hoe Carmichael-getallen worden verdeeld. En hoewel jonge wiskundigen waarschijnlijk niet zoveel zouden moeten verwachten tijdens het maken van het huiswerk van vanavond, zouden het harde werk, het doorzettingsvermogen en het succes van Daniel Larsen hen moeten inspireren om door te gaan, zelfs als ze dat nog niet hebben gedaan. iets dat we al weten opnieuw bewijzen.

Oefeningen

1. Gebruik factoring om aan te tonen dat, als $latex a$ een natuurlijk getal is, $latex a^3 – a$ altijd deelbaar is door 3.

2. De uitspraak “Als een vierhoek een rechthoek is, dan zijn de diagonalen van de vierhoek congruent” is waar. Is het omgekeerde waar?

3. Laat zien dat als $latex a$ een natuurlijk getal is, het getal $latex a^5 – a$ altijd deelbaar is door 5.