Introduksjon
Som mange mennesker som ville fortsette å bli matematikere, Wei Ho vokste opp med å konkurrere i matematikkkonkurranser. I åttende klasse vant hun Mathcounts state-konkurransen i Wisconsin, og laget hennes tok tredjeplassen på nasjonalt.
I motsetning til mange fremtidige matematikere, var hun ikke sikker på at hun noen gang ønsket å bli det.
"Jeg ønsket å gjøre alt, hele tiden," sa Ho. "Jeg tok ballett veldig seriøst frem til tidlig på videregående. Jeg redigerte det litterære magasinet. Jeg drev med debatt og rettsmedisin. Jeg spilte tennis og fotball og piano og fiolin.» Derimot så mange vellykkede matematikere ut til å være besatt av matematikk med unntak av alt annet. Hvordan kunne hun, en person med mange lidenskaper, konkurrere med det fokusnivået?
Til syvende og sist ble Ho tiltrukket av matematikkens strenghet. Hun liker fortsatt ballett, lese romaner og gjøre kryptiske kryssord, selv om hun hjelper til med å gjenoppfinne det matematiske maskineriet som ligger til grunn for grunnleggende matematiske objekter, for eksempel polynomlikninger, som har langvarige og forvirrende åpne spørsmål knyttet til seg.
Ho studerer kjente geometriske objekter, men hun omformulerer spørsmålene for å plassere dem i de rasjonelle tallenes rike - tall som kan skrives som brøker. "Så begynner tallteori å bli blandet inn i alt dette," sa hun.
Hun er spesielt interessert i elliptiske kurver, som er definert av en bestemt type polynomligning som har anvendelser i forskjellige grener av matematikken. Elliptiske kurver vises i analyse - stort sett studiet av kontinuerlige ting, som de reelle tallene - og i algebra, som handler om å finne og definere nøyaktige matematiske strukturer. (Selv om fokuset deres er annerledes, er analyse og algebra delt mer av sensibilitet enn av en streng grense, siden det er mye overlapping mellom dem.)
Introduksjon
I et barrierebrytende forhåndstrykk utgitt i 2018, Ho og hennes samarbeidspartner Levent Alpöge fra Harvard University oppdaget en ny øvre grense for antall heltallsløsninger til polynomer som definerer elliptiske kurver. Teknikken deres bygger på det flere tiår gamle arbeidet til Louis Mordell, en amerikansk matematiker som emigrerte til Storbritannia i 1906. I papiret deres var Ho og Alpöge i stand til å samle ny informasjon om distribusjonen av disse heltallsløsningene som hadde unngått andre team som studerte lignende problemer.
Ho tilbringer året (med permisjon fra fakultetsstillingen ved University of Michigan) som gjesteprofessor ved Institute for Advanced Study, hvor hun nylig ble utnevnt til den første direktøren for IAS sitt Women and Mathematics-program. Hun er også stipendiat i 2023 i American Mathematical Society og forsker ved Princeton University.
Hun håper at ledelsen av Women and Mathematics-programmet vil "i det minste hjelpe samfunnet mer, hjelpe flere mennesker, i stedet for at jeg bare er på kontoret mitt og gjør matteforskning alene eller sammen med samarbeidspartnere," sa hun. «Jeg kan bevise teoremer, og kanskje en dag kan jeg bevise en teorem som om 100 år vil ha betydning. Kanskje, kanskje ikke. Men jeg følte at jeg ikke hadde nok innvirkning på verden eller mennesker rundt meg.»
Quanta snakket med Ho i en serie videokonferanser. Intervjuene er komprimert og redigert for klarhet.
Hvordan vil du beskrive måten du gjør matematikk på?
Noen ganger deler matematikere oss inn i algebraiske og analytiske mennesker. Regnestykket jeg gjør berører begge sider, men innerst inne er jeg en algebraist, selv om jeg er geometrisk i måten jeg tenker på. Jeg har ofte en tendens til å se på algebra og geometri som i hovedsak det samme.
Det er ikke helt nøyaktig, men i bunn og grunn siden arbeidet til Descartes og spesielt i forrige århundre, har de to fagene blitt veldig nære. Det er en ganske presis ordbok som i noen situasjoner kan hjelpe til med å oversette et geometrisk bilde til algebraiske konsekvenser.
I mitt eget tilfelle hjelper det geometriske bildet ofte med å formulere utsagn og formodninger og gi intuisjon, men så oversetter vi dem til algebra når vi skriver. Det er lettere å oppdage feil siden algebra vanligvis er strengere. Det kan også være lettere å bruke algebra når geometri blir for vanskelig å visualisere.
Hvilke ideer har du fokusert på i det siste arbeidet ditt?
Ganske mye av arbeidet mitt har å gjøre med elliptiske kurver, som er veldig naturlige objekter i tallteori og aritmetisk geometri.
Det burde være vanskelig å ha heltallsløsninger av ligninger som disse. Vi forventer i utgangspunktet at nesten alle kurver ikke skal ha heltallsløsninger. Men det er veldig vanskelig å bevise det.
Levent og jeg studerte denne fordelingen av antall integrerte poeng. Vi bruker en klassisk konstruksjon fra Mordells bok fra 1969 Diofantiske ligninger. Vi er i stand til å gi en øvre grense for antall integrerte punkter på en elliptisk kurve. Andre mennesker har gitt øvre grenser. Vi fant en annen grense som er enkel å angi.
Hvilken rolle spilte Mordells tidligere arbeid i ditt nylige resultat?
Spørsmålet vårt involverer integrerte punkter på elliptiske kurver. Mordell har en måte å relatere det til noe annet som vi er i stand til å studere.
Det er noe vi gjør hele tiden i matematikk: Vi ønsker å forstå et objekt, men vi må finne en proxy for å forstå det. Noen ganger er den proxyen veldig nøyaktig. Noen ganger mister den informasjon. Men det er faktisk noe vi kan få tilgang til.
Når bestemte du deg for å fokusere på matematikk?
Jeg tror ikke det var et vippepunkt for meg. Jeg er fornøyd med livet og karrieren min nå, men jeg føler at hvis ting hadde vært litt annerledes, kunne jeg vært fornøyd i mange karrierer eller andre felt. Kanskje det er noe de fleste matematikere ikke ville sagt, fordi de liker å snakke om hvor lidenskapelig de er i matematikk og hvordan de aldri kunne tenke på noe annet. For meg tror jeg ikke det er sant.
Jeg er nysgjerrig på mange forskjellige ting. Kanskje jeg endte opp med å bli matematiker fordi jeg var frustrert over mangelen på strenghet på andre felt. Som barn ble jeg opplært til å tenke som en matematiker på noen måter, fordi det var slik vi gjorde ting hjemme. Faren min spilte mattespill med meg, noe som betydde at jeg lærte logiske resonnementer fra jeg var liten. Jeg ville at ting skulle bevises.
Men jeg var ikke sikker på at jeg ville bli en god matematiker.
Hvorfor?
Da jeg var yngre kjente jeg ikke så mange mattefolk som likte meg på forskjellige måter. Vi kaster disse ordene rundt om forbilder. Det er ikke bare det at jeg ikke så nok kvinner eller asiatiske amerikanske kvinner.
Det jeg mener er at jeg ikke så mange mennesker som var lidenskapelig opptatt av andre ting enn matematikk. Det fikk meg til å tvile mye på meg selv. Hvordan kan jeg lykkes i matematikk hvis jeg ikke bruker 100 % av tiden min på å tenke på matematikk? Det var det jeg så rundt meg. Jeg hadde inntrykk av at andre nærmet seg matematikk annerledes enn meg, mine jevnaldrende og folk eldre enn meg. Jeg trodde det var vanskelig å satse på en karriere der jeg ikke kom til å bli sånn. Jeg ville ha andre interesser.
Det menneskelige aspektet er noe jeg ikke så andre brydde seg like mye om. Jeg var redd for at en del av meg skulle gjøre meg dårlig til å bli matematiker.
Introduksjon
Du ble nettopp utnevnt til direktør for IAS sitt kvinne- og matematikkprogram. Hva tilbyr dette programmet kvinnelige matematikere?
Det er et ukelangt verksted for kvinner på forskjellige karrierestadier, inkludert undergraduate kvinner, hovedfagsstudenter, postdoktorer og noen junior- og seniorfakultet. Det er å lære matematikk i et støttende miljø.
Studenter som kanskje ikke har visst at de ønsker å forfølge matematikk møter svært senior matematikere og får veiledning hele veien opp. De kan se mange forskjellige mennesker på forskjellige karrierestadier og snakke med folk om deres erfaringer. Jeg tror ikke det er mange andre programmer som har hele spekteret og er fokusert på et bestemt underfelt.
2023-programmet heter "Patterns in Integers." Den vil ha mange mennesker innen additiv kombinatorikk og analytisk tallteori. Vi henter inn mennesker fra ulike karriereveier som de kan møte.
For de eldre doktorgradsstudentene som allerede jobber i dette området, møter de postdoktorer, junior- og seniorfakultetet innen sitt felt, og får en sjanse til å jobbe sammen med dem i en uke.
Du er også involvert i Stacks-prosjekt, som er en omfattende nettressurs. Hva er unikt med det?
Selve volumet og tilgjengeligheten til det. Det er dette enorme – mer enn 7,500 sider hvis du skrev det ut – nettbasert samarbeidsprosjekt. Men realistisk sett, [matematikeren fra Columbia University] Aise Johan de Jong skriver nesten alt. Det er en streng, nøye skrevet ressurs for algebraiske geometre. Det er en utrolig ting han har gjort for samfunnet.
Hver eller annen uke vokser den. Det er en pålitelig referanse for nesten alt. Den dekker en enorm mengde algebraisk geometri som du trenger å se på som 20 lærebøker for.
Det er å leve i den forstand at ting kan legges til og redigeres. Hvis det er feil, vil de bli tatt.
Den andre tingen som er litt interessant med det er tag-systemet. Selv om dette dokumentet stadig vokser, kan du fortsatt referere til en bestemt tag for alltid. Det er over 21,000 XNUMX permanente tagger for bestemte resultater du kanskje vil sitere. Pieter Belmans bygde hele bakenden, som også har blitt brukt i andre prosjekter. Andre mennesker har tilpasset teknologien til det.
Problemet er - og Johan vet dette - at han til slutt ikke kommer til å kunne fortsette å skrive dette. En dag, hvis vi vil at dette skal fortsette, trenger det andre mennesker å være mer involvert.
Hvilken rolle spiller verkstedene dine i Stacks-prosjektet?
Poenget er å begynne å engasjere yngre mennesker. Vi får dem til å skrive biter som til slutt kan bli innlemmet i det. Det er noen spenninger her, for for at nettsiden skal forbli korrekt og høy kvalitet som ressurs, må den modereres nøye. Så Johan må fortsatt gjøre mye av jobben med å sette ting inn i det. Det kan ikke være som Wikipedia der hvem som helst kan berøre det. Det er litt uheldig, men det må skje hvis du vil at dette skal fungere.
Vi prøver å finne ut hvordan vi sakte kan få flere mennesker involvert i Stacks-prosjektet. Vi tar med mentorer for å jobbe med prosjekter med hovedfagsstudenter og postdoktorer. De lærer litt algebraisk geometri. Så skriver de noe.
We nettopp publisert et bind med en haug med ekspositorartikler som vi håper vil gå inn i Stacks-prosjektet etter hvert.
Stacks-prosjektet kan fortsette å være ekstremt virkningsfullt i hundrevis av år hvis nok folk engasjerer seg og holder det gående.
