Introduksjon
Vi har en tendens til å tenke på matematikk som rent logisk, men undervisningen i matematikk, dens verdier, dens nytte og funksjon er fullpakket med nyanser. Så hva er "god" matematikk? I 2007, matematikeren Terence tao skrev et essay for Bulletin fra American Mathematical Society som forsøkte å svare på dette spørsmålet. I dag, som mottaker av en Fields-medalje, en gjennombruddspris i matematikk og et MacArthur-stipend, er Tao en av de mest ærede og produktive matematikerne i live. I denne episoden blir han med vår programleder og medmatematiker Steven Strogatz for å se på nyhetene til god matematikk.
Hør på Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, Stitcher, TuneIn eller din favoritt podcasting-app, eller du kan streame det fra Quanta.
Transcript
STEVEN STROGATZ: Tilbake i oktober 2007, helt tilbake da førstegenerasjons iPhone fortsatt var en het vare og aksjemarkedet var på et rekordhøyt nivå før den store resesjonen, var Terence Tao, professor i matematikk ved UCLA, fast bestemt på å svare på en spørsmål som lenge har vært diskutert blant matematikere: Hva er egentlig god matematikk?
Handler det om strenghet? Eleganse? Virkelig nytte? Terry skrev et veldig gjennomtenkt og sjenerøst, jeg vil til og med si åpenhjertet, essay om alle måtene matematikk kan være bra på. Men nå, mer enn 15 år senere, trenger vi å tenke nytt om hva god matematikk er?
Jeg heter Steve Strogatz, og dette er «The Joy of Why», en podcast fra Quanta Magazine hvor medverten min, Janna Levin, og jeg bytter på å utforske noen av de største ubesvarte spørsmålene innen matematikk og naturfag i dag.
(Temaspill)
Her i dag for å se på det evige spørsmålet om hva som gjør matematikk bra, er Terry Tao selv. Professor Tao har skrevet mer enn 300 forskningsartikler om et utrolig bredt utvalg av matematikk, inkludert harmonisk analyse, partielle differensialligninger, kombinatorikk, tallteori, datavitenskap, tilfeldige matriser og mye mer. Han har blitt referert til som "Matematikkens Mozart." Og som vinneren av en Fields-medalje, en gjennombruddspris i matematikk, et MacArthur-stipend og mange andre priser, er denne betegnelsen absolutt velfortjent.
Terry, velkommen til «The Joy of Why».
TERENCE TAO: Glede å være her.
STROGATZ: Jeg er veldig spent på å kunne snakke med deg om dette spørsmålet om hva det er som gjør noen typer matematisk forskning gode. Jeg kan huske at jeg ganske levende bladde gjennom Bulletin fra American Math Society tilbake i 2007 og kommer over essayet ditt om dette problemet som du stilte for oss. Det er noe alle matematikere tenker på. Men for folk der ute som kanskje ikke er så kjente, kan du fortelle oss hvordan du landet på dette spørsmålet? Hvordan definerte du god matematikk på den tiden?
TAO: Rett, ja. Det var faktisk en oppfordring. Så redaktøren av Bulletin den gang hadde bedt meg om å bidra med en artikkel. Jeg tror jeg hadde en veldig naiv idé om hva matematikk var som student. Jeg hadde på en måte denne ideen om at det var et slags råd av gråskjegg som ville dele ut problemer for folk å jobbe med. Og det var et slags sjokk for meg som hovedfagsstudent, å innse at det faktisk ikke fantes denne sentrale autoriteten til å dele ut problemer, og folk gjorde selvstyrt forskning.
Jeg fortsatte å gå på foredrag og lytte til hvordan andre matematikere snakket om det de synes er spennende og hva som gjør dem begeistret for matematikk, og det faktum at hver matematiker har en annen måte å tilnærme seg matematikk på. Som, noen ville forfølge applikasjoner, noen av slags estetisk skjønnhet, noen bare ved å løse problemer. De ønsket å løse et problem, og de ville fokusere på slags de vanskeligste, de mest utfordrende oppgavene. Noen ville fokusere på teknikk; noen ville prøve å gjøre ting så elegante som mulig.
Men det som slo meg når jeg hørte på så mange av disse forskjellige matematikerne snakke om hva de finner verdifullt i matematikk, er at selv om vi alle hadde forskjellige idealer for hvordan god matematikk skulle se ut, har de alle en tendens til å konvergere til det samme.
Hvis et stykke matematikk er virkelig bra, vil folk som forfølger skjønnhet til slutt komme over det. Folk som forfølger, som verdsetter, du vet, teknisk kraft eller applikasjoner vil til slutt lande på det.
Eugene Wigner hadde et veldig kjent essay om urimelig effektivitet av matematikk i de fysiske vitenskapene for nesten et århundre siden, hvor han nettopp observerte at det var områder innen matematikk - for eksempel Riemannsk geometri, studiet av buet rom - som i utgangspunktet bare var en rent teoretisk øvelse for matematikere, du vet, som prøvde å bevise parallelle postulat og så videre, som viste seg å være nøyaktig det Einstein og Poincaré og Hilbert trengte for å beskrive matematikken til generell relativitet. Og det er bare et fenomen som oppstår.
Så det er ikke bare matematikken, at [det] matematikere finner intellektuelt interessant ender opp med å bli fysisk viktig. Men selv innenfor matematikk gir fag som matematikere synes er elegante også dyp innsikt.
Det jeg føler er at, du vet, det er noe platonisk god matematikk der ute, og alle våre forskjellige verdisystemer er bare forskjellige måter å få tilgang til de objektive gode tingene på.
STROGATZ: Det er veldig interessant. Som en slags person som er tilbøyelig til platonisk tenkning selv, er jeg fristet til å være enig. Selv om jeg er litt overrasket over å høre deg si det, fordi jeg ville ha trodd hvor du skulle i utgangspunktet virket å være, liksom, det er så mange forskjellige synspunkter på dette. Det er imidlertid et interessant faktum, et slags empirisk faktum, at vi konvergerer om å bli enige om hva som er bra eller ikke bra, selv om vi, som du sier, kommer til det fra så mange forskjellige verdier.
TAO: Ikke sant. Konvergensen kan ta tid. Du vet, så det er definitivt felt, for eksempel, der de ser mye bedre ut målt med én beregning enn andre. Som kanskje de har mange applikasjoner, men presentasjonen deres er ekstremt ekkel, vet du.
(Strogatz ler)
Eller ting som er veldig elegante, men som ennå ikke har mange gode applikasjoner i den virkelige verden. Men jeg føler at det vil konvergere til slutt.
STROGATZ: Vel, la meg spørre deg om dette kontaktpunktet med den virkelige verden. Det er en interessant spenning i matematikk. Og du vet, som små barn, la oss si, når vi først lærer om geometri, tror du kanskje på det tidspunktet at trekanter er ekte, eller sirkler eller rette linjer er ekte, og at de kan fortelle deg om de rektangulære formene du ser i bygninger ute i verden, eller at landmålere må bruke geometri. Og når alt kommer til alt, kommer ordet fra måling av jorden, rett, "geometri." Og så, det var en tid da geometri var empirisk.
Men det jeg ville spørre om har å gjøre med en kommentar som John von Neumann laget. Så von Neumann, for alle som ikke var kjent, var selv en stor matematiker. Og han kom med denne kommentaren i dette essayet, "Matematikeren,” om forholdet mellom matematikk og den empiriske verden, den virkelige verden, der han sier grovt sett at matematiske ideer har sitt opphav i empirien, men at på et tidspunkt, når du først har fått de matematiske ideene, begynner faget å ta et liv med sitt liv. egen. Og så er det mer som et kreativt kunstverk. Estetiske kriterier blir viktige. Men han sier det skaper fare. At når et subjekt begynner å bli for langt unna sin empiriske kilde, som spesielt i sin andre eller tredje generasjon, sier han at det er en sjanse for at subjektet kan lide av for mye abstrakt innavl og at det står i fare for degenerasjon.
Noen tanker om det? Jeg mener, må matematikk holde seg i kontakt med sin empiriske kilde?
TAO: Ja, jeg tror det må være jordet. Når jeg sier at, empirisk, alle disse forskjellige måtene å gjøre matematikk på konvergerer, er det bare fordi - dette skjer bare når faget er sunt. Så, du vet, den gode nyheten er at det vanligvis er det.
Men for eksempel, matematikere verdsetter korte bevis fremfor lange, alt annet likt. Men man kan tenke seg at folk går over bord og, som et underfelt av matematikk, er besatt av å gjøre bevis så korte som mulig og ha disse ekstremt ugjennomsiktige to-linjers bevis av dype teoremer. Og de gjør det til en slags denne konkurransen, og så blir det en slik abstru lek og så mister du all intuisjonen. Du mister kanskje dypere forståelse fordi du bare er så besatt av å gjøre alle bevisene dine så korte som mulig. Nå skjer ikke dette i praksis. Men dette er litt av et teoretisk eksempel, og jeg tror von Neumann kom med et lignende poeng.
Og på seksti- og syttitallet, som, var det en æra med matematikk der abstraksjon gjorde store fremskritt i å forenkle og forene mye matematikk som tidligere var veldig empirisk. Spesielt i algebra innså folk, du vet, tall og polynomer og mange andre objekter som tidligere ble behandlet separat, dere kunne alle tenke på dem som medlemmer av samme algebraiske klasse, i dette tilfellet en ring.
Og det ble gjort mye fremskritt i matematikk ved å finne den rette abstraksjonen, du vet, enten det var et topologisk rom eller et vektorrom, uansett, og bevise teoremer i stor generalitet. Og dette er noen ganger det vi kaller Bourbaki-tiden i matematikk. Og den svingte litt for langt fra å være jordet.
Vi hadde selvfølgelig, som, hele New Math-episoden i USA, hvor lærere prøvde å lære matematikk i Bourbaki-stilen og innså etter hvert at det ikke var riktig pedagogikk på det nivået.
Men nå har pendelen svingt ganske mye tilbake. Vi har på en måte - faget har modnet ganske mye, og alle felt innen matematikk, geometri, topologi, hva som helst, vi har på en måte tilfredsstillende formaliseringer og vi vet på en måte hva de riktige abstraksjonene er. Og nå fokuserer feltet igjen på sammenkoblinger og applikasjoner. Det kobler mye mer til den virkelige verden nå.
Jeg mener, ikke bare en slags fysikk, som er en tradisjonell forbindelse, men, du vet, informatikk, biovitenskap, samfunnsvitenskap, du vet. Med fremveksten av big data kan nesten alle menneskelige disipliner nå matematiseres til en viss grad.
STROGATZ: Jeg er veldig interessert i ordet du brukte for et minutt siden om "sammenkoblinger", fordi det virker som et sentralt punkt for oss å diskutere. Det er noe du nevner i essayet ditt at du sammen med disse, det du kaller "lokale" kriterier om eleganse, eller virkelige applikasjoner, eller hva som helst, nevner dette "globale" aspektet ved god matematikk: at god matematikk kobles til andre god matematikk.
Det er nesten nøkkelen til det som gjør det bra, at det er integrert med andre deler. Men det er interessant fordi det høres nesten ut som sirkulært resonnement: at god matematikk er matematikken som knytter seg til annen god matematikk. Men det er en veldig kraftig idé, og jeg lurer bare på om du kan utvide den litt mer.
TAO: Ja, så, jeg mener, det matematikk handler om — en av tingene matematikk gjør er at den skaper sammenhenger som er veldig grunnleggende og grunnleggende, men ikke åpenbare hvis du bare ser på det fra overflatenivå. Et veldig tidlig eksempel på dette er Descartes' oppfinnelse av kartesiske koordinater som laget en grunnleggende forbindelse mellom geometri - studiet av punkter og linjer og romlige objekter - og tall, algebra.
Så for eksempel en sirkel du kan tenke på som et geometrisk objekt, men du kan også tenke på det som en ligning: x2 + y2 = 1 er ligningen til en sirkel. På den tiden var det en veldig revolusjonerende forbindelse. Du vet, de gamle grekerne så på tallteori og geometri som nesten fullstendig usammenhengende emner.
Men med Descartes var det denne grunnleggende forbindelsen. Og nå er det internalisert; du vet, måten vi underviser i matematikk på. Det er ikke overraskende lenger at hvis du har et geometrisk problem, angriper du det med tall. Eller hvis du har et problem med tall, kan du angripe det med geometri.
Det er litt fordi både geometri og tall er aspekter av det samme matematiske konseptet. Vi har et helt felt kalt algebraisk geometri, som verken er algebra eller geometri, men det er et enhetlig fag som studerer objekter som du enten kan tenke på som geometriske former, som linjer og sirkler og så videre, eller som ligninger.
Men egentlig er det en helhetlig forening av de to vi studerer. Og etter hvert som emnet har blitt dypere, har vi innsett at det på en eller annen måte er mer grunnleggende enn enten algebra eller geometri hver for seg, på noen måter. Så disse forbindelsene hjelper oss å oppdage en slags virkelig matematikk som i utgangspunktet, på en eller annen måte, våre empiriske studier bare gir oss et hjørne av faget.
Det er denne berømte lignelsen om elefanten, jeg glemmer hvor, at hvis du har... Det er fire blinde menn, og de oppdager en elefant. Og en av dem kjenner på benet til elefanten og de tenker: «Å, dette, det er veldig grovt. Det må være som et tre eller noe.»
Og en av dem kjenner på snabelen, og det er først mye senere de ser at det er et enkelt elefantobjekt som forklarer alle deres separate hypoteser. Ja, så vi er alle blinde til å begynne med, vet du. Vi ser bare på skyggene i Platons hule, og først senere innser vi -
STROGATZ: Wow, du er veldig filosofisk her. Dette er noe. Jeg kan ikke motstå nå: Hvis du skal begynne å snakke om elefanten og de blinde menneskene, tyder dette på at du tror matematikk er der ute - at det er noe sånt som elefanten og at vi er blinde ... Eller, du vet, vi prøver å se noe som eksisterer uavhengig av mennesker. Er det virkelig det du tror?
TAO: Når du gjør god matematikk, for eksempel, er det ikke bare å dytte rundt symboler. Du føler at det er et faktisk objekt du prøver å forstå, og alle ligningene våre vi har er bare en slags tilnærminger av det, eller skygger.
Du kan diskutere det filosofiske poenget med hva som faktisk er virkelighet og så videre. Jeg mener, dette er ting du faktisk kan ta på, og jo mer ekte ting blir matematisk, noen ganger jo mindre fysiske virker de. Som du sa, geometri i utgangspunktet, du vet, var en veldig håndgripelig ting med objekter i fysisk rom som du kunne - du vet, du kan faktisk bygge en sirkel og en firkant og så videre.
Men i moderne geometri, vet du, jobber vi i høyere dimensjoner. Vi kan snakke om diskrete geometrier, alle slags sprø topologier. Og, jeg mener, emnet fortjener fortsatt å bli kalt geometri, selv om det ikke er noen jord som måles lenger. Den gamle greske etymologien er veldig utdatert, men det er det, men det er definitivt noe der. Enten - hvor ekte du vil kalle det. Men jeg antar at poenget er at med det formål å faktisk gjøre matematikk, hjelper det å tro at det er ekte.
STROGATZ: Ja, er ikke det interessant? Det gjør det. Det virker som det er noe som går veldig dypt inn i matematikkens historie. Jeg ble slått av et essay av Arkimedes som skrev til sin venn, eller i det minste kollega, Eratosthenes.
Vi snakker nå, som 250 f.Kr. Og han kommer med bemerkningen, han har oppdaget en måte å finne området til det vi vil kalle segmentet av en parabel. Han tar en parabel, han skjærer over den med et linjestykke som er i en skrå vinkel til parabelens akse, og han finner ut dette området. Han får et veldig vakkert resultat. Men han sier noe til Eratosthenes som: "Disse resultatene var iboende i tallene hele tiden." Du vet, liksom, de er der. De er der. De venter bare på at han skal finne.
Det er ikke som om han skapte dem. Det er ikke som poesi. Jeg mener, det er faktisk interessant, ikke sant? At mange flotte artister - Michelangelo snakket om å frigjøre statuen fra steinen, vet du, som om den var der inne til å begynne med. Og det høres ut som du og mange andre gode matematikere har - som du sier, det er veldig nyttig å tro på denne ideen, at den er der og venter på oss og venter på at de rette hodene skal oppdage den.
TAO: Ikke sant. Vel, jeg tror en manifestasjon av det er at ideer som ofte er veldig kompliserte å forklare når de først blir oppdaget, de blir forenklet. Jeg mener, du vet, ofte er grunnen til at noe ser veldig dypt eller vanskelig ut i begynnelsen at du ikke har riktig notasjon.
For eksempel har vi desimalnotasjon nå for å manipulere tall, og det er veldig praktisk. Men tidligere hadde vi romertall, og da var det enda flere primitive tallsystemer som var veldig, veldig vanskelige å jobbe med hvis du ville gjøre matematikk.
Euklids Elements, du vet - noen av argumentene i disse eldgamle tekstene. Det er en teorem i Euklids Elements Tror jeg heter Fools Bridge eller noe. Det er som utsagnet at, jeg tror utsagnet er som en likebenet trekant, de to grunnvinklene er like. Som, dette er som et to-linjers bevis i moderne geometriske tekster, du vet, med de riktige aksiomer. Men Euklid hadde denne grufulle måten å gjøre det på. Og det var der mange studenter i geometri i den klassiske epoken bare ga helt opp matematikken.
STROGATZ: Sant. (ler)
TAO: Men du vet, vi har nå en mye bedre måte å gjøre det på. Så ofte er komplikasjonene vi ser i matematikk artefakter av våre egne begrensninger. Og så, etter hvert som vi modnes, vet du, ting blir enklere. Og det føles mer ekte på grunn av det. Vi ser ikke gjenstandene. Vi ser essensen.
STROGATZ: Vel, så går tilbake til essayet ditt: Da du skrev det, på den tiden — jeg mener, dette var ganske tidlig i karrieren din, ikke helt begynnelsen, men likevel. Hvorfor følte du den gang at det var viktig å prøve å definere hva god matematikk var?
TAO: Jeg tror... Så på det tidspunktet begynte jeg allerede å gi råd til doktorgradsstudenter, og jeg la merke til at det var noen misoppfatninger om hva som er bra og hva som ikke er det. Og jeg snakket også med matematikere på forskjellige felt, og hva ens felt verdsatte i matematikk virket annerledes enn andres. Men likevel, på en eller annen måte studerte vi alle det samme emnet.
Og noen ganger sa noen noe som på en måte gned meg på feil måte, du vet, som: "Denne matematikken har ingen applikasjoner, derfor har den ingen verdi." Eller «Dette beviset er rett og slett for komplisert; derfor har det ingen verdi» eller noe. Eller omvendt, du vet, "Dette beviset er for enkelt; derfor er det ikke verdt…” Du vet. Som, det var noe, liksom, slags snobberi og så videre, noen ganger jeg møtte.
Og etter min erfaring kom den beste matematikken når jeg forsto et annet synspunkt, en annen måte å tenke matematikk på enn noen i et annet felt og bruke det på et problem som jeg brydde meg om. Og så min erfaring med hvordan man bruker matematikk riktig, hvordan man bruker den, var så forskjellig fra disse - liksom "den ene sanne måten å gjøre matematikk på."
Jeg følte at dette poenget måtte gjøres på en eller annen måte. At det egentlig er en flertallsmåte å gjøre matematikk på, men at matematikk fortsatt er forent.
STROGATZ: Det er veldig avslørende, fordi jeg hadde lurt på, du vet, liksom, i introduksjonen min nevnte jeg de mange forskjellige grenene av matematikk som du har utforsket, og jeg tok ikke engang med noen. Som, jeg kan huske for bare noen år siden, arbeidet ditt om dette mysteriet innen væskedynamikk, om hvorvidt visse ligninger som vi tror gjør en god jobb med å tilnærme bevegelsene til vann og luft. Jeg vil ikke gå for mye inn i detaljer, men bare for å si, her er du, folk tenker på at du gjør tallteori eller harmonisk analyse, og plutselig jobber du med spørsmål om væskedynamikk. Jeg mener, jeg skjønner at det er partielle differensialligninger. Men likevel ser det ut til at bredden av interessen din er knyttet til bredden din i å akseptere forskjellige innsikter, forskjellige verdifulle ideer fra alle de forskjellige måtene å gjøre god matematikk på.
TAO: Jeg glemmer hvem som sa det, men det er to typer matematikere. Det er pinnsvin og rever. En rev er en som kan litt om alt. Et pinnsvin er en skapning som kan én ting veldig, veldig godt. Og ingen er bedre enn den andre. De utfyller hverandre. Jeg mener, i matematikk trenger du folk som virkelig er dype domeneeksperter innen ett underfelt, og de kan et emne ut og inn. Og du trenger folk som kan se sammenhengene mellom et felt og et annet. Så jeg identifiserer meg definitivt som en rev, men jeg jobber med mange pinnsvin. Det arbeidet jeg er mest stolt av er ofte et slikt samarbeid.
STROGATZ: Å, ja. Skjønner de at de er pinnsvin?
TAO: Vel, ok, rollene endres over tid. Som, det er andre samarbeid der jeg er pinnsvinet og noen andre er reven. Disse er liksom ikke permanente - du vet, disse er ikke i ditt DNA.
STROGATZ: Ah, godt poeng. Vi kan adoptere - vi kan bruke begge kappene.
Hva med, var det et svar på essayet den gangen? Sa folk noe tilbake til deg?
TAO: Jeg fikk en ganske positiv respons generelt. Jeg mener, den Bulletin fra AMS er ikke en publikasjon med stor utbredelse, tror jeg. Og også, jeg sa egentlig ikke noe særlig kontroversielt. Også denne typen tidligere sosiale medier, så jeg tror kanskje det er noen få matematikkblogger som fanget det opp, men det var ingen Twitter. Det var ingenting som fikk det til å gå viralt.
Ja, jeg tror også generelt at matematikere ikke bruker mye av sin tid og intellektuelle kapital på spekulasjoner. Jeg mener, det er en annen matematiker som heter Minhyong Kim som hadde denne veldig fine metaforen om at for matematikere er troverdighet som valuta, som penger. Hvis du beviser teoremer og du viser at du kan emnet, samler du på en eller annen måte denne troverdighetens valuta i banken. Og når du først har nok valuta, har du råd til å spekulere litt ved å være litt filosofisk og si hva som kan være sant i stedet for hva du faktisk kan bevise.
Men vi pleier å være konservative, og vi vil ikke ha overtrekk på bankkontoen vår. Du vet, du vil ikke at det meste av skrivingen din skal være spekulativ og bare liker én prosent for å faktisk bevise noe.
STROGATZ: Greit nok. Så, ok. Så det har gått mange år siden den gang. Hva snakker vi om? Det er mer enn 15 år.
TAO: Å ja, tiden flyr.
STROGATZ: Har din mening endret seg? Er det noe vi må revidere?
TAO: Vel, mattekulturen endrer seg ganske mye. Jeg hadde allerede et bredt syn på matematikk, og nå har jeg et enda bredere.
Så et veldig konkret eksempel er: Dataassisterte bevis var fortsatt kontroversielle i 2007. Det var en kjent formodning kalt Kepler-formodningen, som gjelder den mest effektive måten å pakke enhetsballer i tredimensjonalt rom. Og det er en standardpakning, jeg tror det kalles kubisk sentralpakning eller noe, som Kepler antok å være best mulig.
Dette ble endelig løst, men beviset var veldig datastøttet. Det var ganske komplisert, og [Thomas] Halestil slutt opprettet faktisk et helt dataspråk for å formelt verifisere dette bestemte beviset, men det ble ikke akseptert som et ekte bevis på mange år. Men det illustrerte hvor kontroversielt konseptet med et bevis på at du trengte datahjelp for å bekrefte, var.
I årene siden har det vært mange, mange andre eksempler på bevis der et menneske kan redusere et komplisert problem til noe som fortsatt krever en datamaskin for å verifisere. Og så går datamaskinen videre og bekrefter det. Vi har på en måte utviklet praksis for hvordan vi gjør dette på en ansvarlig måte. Du vet, hvordan publisere kode og data og måter å sjekke og nye åpen kildekode ting og så videre. Og nå er det utbredt aksept for dataassisterte bevis.
Nå tror jeg det neste kulturskiftet blir om AI-genererte bevis vil bli akseptert. Akkurat nå er AI-verktøy ikke på det nivået hvor de kan generere bevis for å virkelig fremme matematiske problemer. Kanskje lekser på lavere nivå, de kan på en måte klare, men forske på matematikk, de er ikke på det nivået ennå. Men på et tidspunkt kommer vi til å se AI-assisterte papirer komme ut, og det vil bli en debatt.
Måten vår kultur har endret seg på på noen måter... Tilbake i 2007 var det bare en brøkdel av matematikerne som gjorde forhåndstrykk tilgjengelig før de ble publisert. Forfattere ville sjalu vokte sine forhåndstrykk inntil de fikk beskjed om aksept fra tidsskriftet. Og så deler de kanskje.
Men nå legger alle papirene på offentlige servere som arXiv. Det er mye mer åpenhet for å legge inn videoer og blogginnlegg om hvor ideene til et papir kommer fra. Fordi folk innser at det er dette som gjør arbeidet mer innflytelsesrikt og mer effektfullt. Hvis du prøver å ikke publisere arbeidet ditt og være veldig hemmelighetsfull om det, gjør det ikke noe plask.
Matte har blitt mye mer samarbeidende. Du vet, for 50 år siden ville jeg si at flertallet av artikler i matematikk var enkeltforfatter. Nå er definitivt flertallet to eller tre eller fire forfattere. Og vi har akkurat begynt å se virkelig store prosjekter som vi gjør i vitenskapene, du vet, som titalls, hundrevis av mennesker samarbeider. Det er fortsatt vanskelig for matematikere å gjøre, men jeg tror vi kommer til å komme dit.
Samtidig blir vi mye mer tverrfaglige. Vi jobber mye mer med andre vitenskaper. Vi jobber mellom felt innen matematikk. Og på grunn av internett kan vi samarbeide med mennesker over hele verden. Så måten vi gjør matematikk på er definitivt i endring.
Jeg håper vi i fremtiden vil være i stand til å bruke amatørsamfunnet mer. Det er andre felt som astronomi, hvor astronomer gjør stor bruk av amatørastronomisamfunnet, som du vet, mange kometer, for eksempel, blir funnet av amatører.
Men matematikere... Det er noen få isolerte områder av matematikken som like, flislegging, todimensjonal flislegging, og kanskje finne poster i primtall. Det er noen svært utvalgte felt innen matematikk der amatører bidrar, og de er velkommen. Men det er mange barrierer. På de fleste områder av matematikk trenger du så mye trening og internalisert eller konvensjonell visdom at vi ikke kan samle kildene til ting. Men dette kan endre seg i fremtiden. Kanskje en effekt av AI ville være å la amatørmatematikere bidra meningsfullt til matematikk.
STROGATZ: Det er veldig interessant.
[Pause for annonseinnsetting]
STROGATZ: Så amatørene kan, ved hjelp av AI-er, enten stille nye spørsmål som er gode eller hjelpe med gode utforskninger av eksisterende spørsmål, den slags?
TAO: Det er mange forskjellige modaliteter - ja. Så, for eksempel, er det nå prosjekter for å formalisere bevis på store teoremer i disse tingene kalt formelle bevisassistenter, som er som dataspråk som kan 100 % bekrefte at et teorem er sant eller ikke og — er bevist eller ikke. Dette muliggjør faktisk samarbeid i stor skala i matematikk.
Så tidligere, hvis du samarbeider med 10 andre mennesker for å bevise et teorem, og hver av dem bidrar med et trinn, må alle bekrefte alle andres matematikk. For tingen med matematikk er at hvis ett trinn har en feil i seg, kan det hele falle fra hverandre.
Så du trenger tillit, og så - derfor forhindrer dette, dette hemmer virkelig storskala samarbeid i matematikk. Men det er nå, det har vært vellykkede eksempler på at virkelig store teoremer har blitt formalisert der det er et stort fellesskap, de kjenner ikke alle hverandre, de stoler ikke alle på hverandre, men de kommuniserer gjennom opplasting til et Github-lager eller noe, som individuelle bevis på individuelle trinn i argumentasjonen. Og den formelle prøveprogramvaren verifiserer alt, så du trenger ikke å bekymre deg for tillit. Så vi muliggjør nye samarbeidsformer, som vi egentlig ikke har sett tidligere.
STROGATZ: Det er veldig interessant å høre synet ditt, Terry. Det er en fascinerende tanke. Du hører ikke uttrykket «borgermatematiker». Du hører om borgervitenskap, men hvorfor ikke borgermatte?
Men jeg bare lurer på, er det noen trender du er bekymret for, for eksempel med dataassisterte bevis eller AI-genererte bevis? Vil vi vite at visse resultater er sanne, men vi vil ikke forstå hvorfor?
TAO: Så det er et problem. Jeg mener, det er allerede et problem selv før AI kom. Så det er mange felt der oppgavene i et emne blir lengre og lengre, hundrevis av sider. Og jeg håper at AI faktisk omvendt kan bidra til å forenkle og det kan både forklare og bevise.
Så det er allerede eksperimentell programvare der, for eksempel, hvis du tar et bevis som er formalisert, kan du faktisk konvertere det til et interaktivt menneskelest dokument, hvor du har beviset og du ser trinnene på høyt nivå og hvis det er en setning du ikke forstår at du kan dobbeltklikke på den, og den vil utvides til mindre trinn. Snart tror jeg du også kan få en AI-chatbot ved siden av deg mens du går gjennom beviset, og de kan ta spørsmål og de kan forklare hvert trinn som om de var forfatteren. Jeg tror vi allerede er veldig nærme det.
Det er bekymringer. Vi må endre måten vi utdanner studentene våre på, spesielt nå som mange av våre tradisjonelle måter å tildele lekser på og så videre, er vi nesten på et punkt hvor disse AI-verktøyene umiddelbart kan svare på mange av våre standard eksamensspørsmål. Og derfor må vi lære elevene våre nye ferdigheter, som hvordan man kan verifisere om en AI-generert utgang er riktig eller ikke, og hvordan man får en ny mening.
Og vi kan se fremveksten av en mer eksperimentell side ved matematikk, vet du. Så, matematikk er nesten utelukkende teoretisk, mens de fleste vitenskaper har både en teoretisk og eksperimentell komponent. Vi kan etter hvert få resultater som først bare er bevist av datamaskiner, og som du sier, vi forstår det ikke. Men så snart vi har dataene som AI, de datagenererte bevisene gir, kan vi kanskje kjøre eksperimenter.
Det er litt eksperimentell matematikk nå. Folk studerer for eksempel store datasett med forskjellige ting, for eksempel elliptiske kurver. Men det kan bli mye større i fremtiden.
STROGATZ: Jøss, du har et veldig optimistisk syn, høres det ut som for meg. Det er ikke som gullalderen er i fortiden. Hvis jeg hører deg rett, tror du at det er mye spennende i vente.
TAO: Ja, mange av de nye teknologiske verktøyene er veldig styrkende. Jeg mener, AI generelt har mange komplekse opp- og ulemper. Og utenfor vitenskapene er det mye mulig forstyrrelse av økonomien, immaterielle rettigheter og så videre. Men innenfor matematikk tror jeg forholdet mellom godt og dårlig er bedre enn på mange andre områder.
Og du vet, internett har virkelig forandret måten vi gjør matematikk på. Jeg samarbeider med mange mennesker på mange forskjellige felt. Jeg kunne ikke gjort dette uten internett. Det faktum at jeg kan gå på Wikipedia eller hva som helst og begynne å lære et emne, og jeg kan sende e-post til noen, og vi kan samarbeide på nettet. Hvis jeg måtte gjøre ting på gammeldags måte der jeg bare kunne snakke med folk på avdelingen min og bruke fysisk post til alt annet, kunne jeg ikke regne ut som jeg gjør nå.
STROGATZ: Wow, greit. Jeg må bare understreke det du nettopp sa, for jeg trodde aldri på en million år at jeg skulle høre dette: Terry Tao leser Wikipedia for å lære matematikk?
TAO: Som utgangspunkt. Jeg mener, det er ikke alltid Wikipedia, men bare for å få søkeordene, og så vil jeg gjøre et mer spesialisert søk på for eksempel, MathSciNet eller en annen database. Men ja.
STROGATZ: Det er ikke en kritikk. Jeg mener, jeg gjør det samme. Wikipedia er faktisk, hvis det er noen kritikk av matematikken på Wikipedia, så er det kanskje at det noen ganger er litt for avansert for leserne som det er ment for, tror jeg. Ikke alltid. Jeg mener, det kommer an på. Det varierer mye fra artikkel til artikkel. Men det er bare morsomt. Jeg elsker å høre det.
TAO: Jeg mener, disse verktøyene, du må kunne kontrollere resultatet. Du vet, så, jeg mener, grunnen til at jeg kan bruke Wikipedia til å gjøre matematikk er fordi jeg allerede kan nok matematikk til at jeg kan lukte om en del av Wikipedia i matematikk er mistenkelig eller ikke. Du vet, det kan få noen kilder og en av dem kommer til å være en bedre kilde enn den andre. Og jeg kjenner forfatterne, og jeg har en ide om hvilken referanse som vil være bedre for meg. Hvis jeg brukte Wikipedia for å lære om et emne jeg ikke hadde erfaring med, så tror jeg det ville vært mer en tilfeldig variabel.
STROGATZ: Vel, så vi har snakket en del om hva det er som gjør god matematikk, den mulige fremtiden for nye typer god matematikk. Men kanskje vi bør ta opp spørsmålet: Hvorfor spiller dette noen rolle? Hvorfor er det viktig at matte er god?
TAO: Vel, så, for det første, jeg mener, hvorfor har vi matematikere i det hele tatt? Hvorfor verdsetter samfunnet matematikere og gir oss ressurser til å gjøre det vi gjør? Du vet, det er fordi vi gir noe verdi. Vi kan ha applikasjoner til den virkelige verden. Det er intellektuell interesse, og noen av teoriene vi utvikler ender opp med å gi innsikt i andre fenomener.
Og ikke all matematikk er like mye verdt. Jeg mener, du kan beregne flere og flere sifre i pi, men på et tidspunkt lærer du ingenting. Ethvert emne trenger en slags verdivurdering fordi du må allokere ressurser. Det er så mye matematikk der ute. Hvilke fremskritt vil du fremheve og offentliggjøre og la andre få vite om, og hvilke bør kanskje bare sitte stille i en journal et sted?
Selv om du tenker på et emne som helt objektivt, og du vet, det er bare sant eller usant, må vi fortsatt ta valg. Du vet, bare fordi tid er en begrenset ressurs. Oppmerksomhet er en begrenset ressurs. Penger er en begrenset ressurs. Så dette er alltid viktige spørsmål.
STROGATZ: Vel, interessant at du nevner om offentliggjøring, fordi det er noe som jeg synes er et særtrekk ved arbeidet ditt, at du også har lagt ned mye arbeid for å gjøre matematikk offentlig tilgjengelig gjennom bloggen din, gjennom ulike artikler du har skrevet. Jeg husker jeg diskuterte en du skrev i Amerikansk forsker om universalitet og den ideen. Hvorfor er det viktig å gjøre matematikk offentlig tilgjengelig og forståelig? Jeg mener, hva er det du prøver å gjøre?
TAO: Det skjedde liksom organisk. Tidlig i min karriere var World Wide Web fortsatt veldig nytt, og matematikere begynte å ha nettsider med forskjellig innhold, men det var ikke mye sentral katalog. Før Google og så videre, var det faktisk vanskelig å finne individuelle ressurser.
Så jeg begynte på en måte å lage små kataloger på min nettside. Og jeg ville også lage nettsider for mine egne aviser, og jeg ville lage noen kommentarer. I utgangspunktet var det mer for min egen fordel, bare som et organisatorisk verktøy, bare for å hjelpe meg å finne ting. Som et biprodukt var det tilgjengelig for publikum, men jeg var på en måte den primære forbrukeren, eller i det minste det trodde jeg, av mine egne nettsider.
Men jeg husker veldig tydelig at det var en gang jeg skrev et papir og la det på nettsiden min, og jeg hadde en liten underside som het "Hva er nytt?" Og jeg sa bare: «Her er et papir. Det er et spørsmål i den som jeg fortsatt ikke kunne svare på, og jeg vet ikke hvordan jeg skal løse det.» Og jeg kom nettopp med denne kommentaren. Og så som to dager senere, fikk jeg en e-post som sa: «Å, jeg sjekket nettopp hjemmesiden din. Jeg vet svaret på dette. Det er et papir som vil løse problemet ditt.»
Og det fikk meg først og fremst til å innse at folk faktisk besøkte nettsiden min, noe jeg egentlig ikke visste. Men den interaksjonen med samfunnet kunne virkelig - vel, det kunne hjelpe meg med å løse spørsmålene mine direkte.
Det heter denne loven Metcalfes lov i nettverk det, du vet, hvis du har n folk, og alle snakker med hverandre, det er ca n2 forbindelser mellom dem. Og så, jo større publikum og jo større forum der alle kan snakke med alle andre, jo flere potensielle forbindelser kan du opprette og jo flere gode ting kan skje.
Jeg mener, i min karriere er så mye av oppdagelsene jeg har gjort, eller forbindelsene jeg har gjort på grunn av en uventet forbindelse. Hele min karriereerfaring har vært på en måte at flere forbindelser er lik bare bedre ting som skjer.
STROGATZ: Jeg synes et vakkert eksempel på det du bare referer til, men jeg vil gjerne høre deg snakke om det, er forbindelsene du har med folk innen datavitenskap som er interessert i spørsmål som har med medisinsk resonansavbildning å gjøre , MR. Kan du fortelle oss litt om den historien?
TAO: Så, dette var omtrent 2006, 2005, tror jeg. Så, det var et tverrfaglig program her på campus ved UCLA på, tror jeg, multiscale geometrisk analyse, eller noe sånt, der de samlet rene matematikere som var interessert i en slags multiscale type geometri i seg selv, og så, du vet, folk som hadde veldig konkrete datatypeproblemer.
Og jeg hadde akkurat begynt å jobbe med noen problemer i tilfeldig matriseteori, så jeg var på en måte kjent som en som kunne manipulere matriser. Og jeg møtte en som jeg allerede kjente, Emmanuel Candès, fordi han på den tiden jobbet rett ved siden av i Caltech. Og han og en annen samarbeidspartner, Justin Romberg, hadde de oppdaget dette uvanlige fenomenet.
Så de så på MR-bilder, men de er veldig trege. For å samle nok virkelig høyoppløselige bilder av en menneskekropp, eller nok til å kanskje fange en svulst, eller hvilken som helst medisinsk viktig funksjon du vil finne, tar det ofte flere minutter fordi de må skanne alle disse forskjellige vinklene og deretter syntetisere dataene . Og dette var faktisk et problem, fordi små barn, for eksempel, bare å sitte stille i tre minutter i MR-maskinen var ganske problematisk.
Så de eksperimenterte med en annen måte, ved å bruke en eller annen lineær algebra. De håpet å få en 10 %, 20 % bedre ytelsesforbedring. Du vet, et litt skarpere bilde ved å justere standardalgoritmen litt.
Så standardalgoritmen ble kalt minste kvadraters tilnærming, og de gjorde noe annet, kalt total variasjonsminimering. Men da de kjørte dataprogramvaren, fikk de en nesten perfekt rekonstruksjon av testbildet deres. Massiv, massiv forbedring. Og de kunne ikke forklare dette.
Men Emmanuel var på dette programmet, og vi pratet på te eller noe. Og han nevnte nettopp dette, og min første tanke var faktisk at du må ha gjort en feil i beregningen din, at det du sier faktisk ikke er mulig. Og jeg husker at jeg dro hjem den kvelden og prøvde å skrive ned et faktisk bevis på at det de så faktisk ikke kunne skje. Og så halvveis innså jeg at jeg hadde gjort en antagelse som ikke var sann. Og så skjønte jeg at det faktisk kunne fungere. Og så fant jeg ut hva som kunne være forklaringen. Og så jobbet vi sammen, og vi fant faktisk en god forklaring og publiserte den.
Og når vi gjorde det, skjønte folk at det var mange andre situasjoner der du måtte ta en måling som normalt krevde massevis av data, og i noen tilfeller kan du ta en mye mindre mengde data og fortsatt få en veldig høy mengde data. oppløsningsmåling.
Så nå, moderne MR-maskiner, for eksempel - en skanning som pleide å ta tre minutter kan nå ta 30 sekunder fordi denne programvaren, denne algoritmen, er fastkoblet, hardkodet inn i maskinene nå.
STROGATZ: Det er en vakker historie, det er en så flott historie. Jeg mener, snakk om viktig matematikk som forandrer liv, bokstavelig talt, i denne sammenhengen med medisinsk bildebehandling. Jeg elsker serendipiteten i det og åpenheten din, vet du, å høre denne ideen og så tenke, vel, "dette er umulig, jeg kan bevise det." Og så innser, nei, faktisk. Fantastisk å se matematikk gjøre så stor innvirkning.
Vel, ok, jeg tror det er best jeg lar deg gå, Terry. Det har vært en sann glede å diskutere essensen av god matematikk med deg. Tusen takk for at du ble med oss i dag.
TAO: Ja, nei, det har vært en fornøyelse.
[Pause for annonseinnsetting]
STROGATZ: «The Joy of Why» er en podcast fra Quanta Magazine, en redaksjonelt uavhengig publikasjon støttet av Simons Foundation. Finansieringsbeslutninger fra Simons Foundation har ingen innflytelse på valg av emner, gjester eller andre redaksjonelle beslutninger i denne podcasten eller i Quanta Magazine.
«The Joy of Why» er produsert av PRX Productions. Produksjonsteamet er Caitlin Faulds, Livia Brock, Genevieve Sponsler og Merritt Jacob. Den utøvende produsenten av PRX Productions er Jocelyn Gonzales. Morgan Church og Edwin Ochoa ga ytterligere hjelp. Fra Quanta Magazine, John Rennie og Thomas Lin ga redaksjonell veiledning, med støtte fra Matt Carlstrom, Samuel Velasco, Nona Griffin, Arleen Santana og Madison Goldberg.
Temamusikken vår er fra APM Music. Julian Lin kom opp med podcastnavnet. Episoden er av Peter Greenwood og logoen vår er av Jaki King og Kristina Armitage. Spesiell takk til Columbia Journalism School og Burt Odom-Reed ved Cornell Broadcast Studios.
Jeg er verten din, Steve Strogatz. Hvis du har spørsmål eller kommentarer til oss, vennligst send oss en e-post på . Takk for at du lyttet.
- SEO-drevet innhold og PR-distribusjon. Bli forsterket i dag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrk deg selv. Tilgang her.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Kunnskap forsterket. Tilgang her.
- PlatoESG. Karbon, CleanTech, Energi, Miljø, Solenergi, Avfallshåndtering. Tilgang her.
- PlatoHelse. Bioteknologisk og klinisk etterretning. Tilgang her.
- kilde: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- : har
- :er
- :ikke
- :hvor
- ][s
- $OPP
- 1
- 10
- 15 år
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 år
- a
- I stand
- Om oss
- om det
- ABSTRACT
- abstraksjon
- AC
- godkjennelse
- akseptert
- akseptere
- tilgjengelig
- Tilgang
- Logg inn
- tvers
- faktiske
- faktisk
- Ad
- Ytterligere
- adresse
- adoptere
- avansere
- avansert
- fremskritt
- advent
- råde
- estetisk
- Etter
- en gang til
- alder
- siden
- enige
- fremover
- AI
- AI chatbot
- AIR
- AIS
- algoritme
- live
- Alle
- tildele
- tillate
- nesten
- langs
- allerede
- også
- Selv
- alltid
- amatør
- amerikansk
- blant
- beløp
- an
- analyse
- Eldgammel
- og
- En annen
- besvare
- noen
- lenger
- noen
- hva som helst
- hverandre
- app
- eple
- søknader
- påføring
- nærmer seg
- hensiktsmessig
- ER
- AREA
- områder
- argument
- argumenter
- rundt
- Kunst
- Artikkel
- artikler
- Artister
- AS
- spør
- aspektet
- aspekter
- Assistanse
- forutsetningen
- astronomi
- At
- angripe
- oppmerksomhet
- publikum
- forfatter
- forfattet
- myndighet
- forfattere
- tilgjengelig
- premieringer
- Axis
- tilbake
- dårlig
- Bank
- bankkonto
- barrierer
- basen
- grunnleggende
- BE
- vakker
- Beauty
- fordi
- bli
- blir
- bli
- vært
- før du
- begynne
- Begynnelsen
- være
- vesener
- tro
- nytte
- BEST
- Bedre
- mellom
- Stor
- Store data
- større
- Biggest
- Bit
- Blogg
- Blogginnlegg
- blogger
- kroppen
- både
- grener
- bredde
- Break
- gjennombrudd
- BRO
- Bringe
- bred
- kringkaste
- bredere
- Brock
- bygge
- bygninger
- men
- by
- beregningen
- ring
- som heter
- kom
- Campus
- CAN
- hovedstad
- Karriere
- saken
- saker
- Catch
- årsaker
- Cave
- sentral
- sentral myndighet
- Århundre
- viss
- Gjerne
- utfordrende
- sjanse
- endring
- endret
- endring
- chatbot
- chatting
- sjekk
- kontroll
- valg
- kirke
- Circle
- sirkler
- sirkulær
- borger
- klasse
- Lukke
- Co-Host
- kode
- samarbeide
- samarbeid
- samarbeid
- kollega
- samle
- COLUMBIA
- Kom
- kommer
- comets
- kommer
- kommentere
- kommentaren
- kommentarer
- handelsvare
- kommunisere
- samfunnet
- Kompletter
- helt
- komplekse
- komplisert
- komponent
- Beregn
- datamaskin
- informatikk
- datagenerert
- datamaskiner
- konsept
- bekymringer
- betong
- formodninger
- Tilkobling
- tilkobling
- Tilkoblinger
- forbinder
- konservativ
- forbruker
- kontakt
- innhold
- kontekst
- bidra
- bidrar
- kontroversiell
- Praktisk
- konvensjonell
- konvergerer
- Konvergens
- omvendt
- konvertere
- cornell
- Corner
- korrigere
- kunne
- Råd
- Kurs
- opprettet
- Kreativ
- skapning
- Troverdighet
- kriterier
- kritikk
- mengde
- kulturell
- Kultur
- valuta
- kutt
- FARE
- dato
- datavitenskap
- datasett
- Database
- Dager
- debatt
- avgjørelser
- dyp
- dypere
- definere
- helt sikkert
- demonstrere
- Avdeling
- avhenger
- beskrive
- fortjener
- detaljer
- bestemmes
- utvikle
- utviklet
- gJORDE
- forskjellig
- vanskelig
- sifre
- dimensjoner
- direkte
- kataloger
- disiplin
- oppdage
- oppdaget
- diskutere
- diskutere
- Avbrudd
- særegen
- utpreget
- dna
- do
- dokument
- gjør
- ikke
- gjør
- domene
- ikke
- Av
- ned
- ulempene
- dynamikk
- hver enkelt
- Tidlig
- jord
- økonomi
- redaktør
- Redaksjonell
- utdanne
- lærere
- Edwin
- effektivitet
- effektiv
- innsats
- Einstein
- enten
- elefant
- Elliptic
- ellers
- Else's
- emalje
- myndiggjøring
- muliggjør
- muliggjør
- møte
- slutt
- nok
- Hele
- fullstendig
- episode
- lik
- Er lik
- ligninger
- Era
- feil
- spesielt
- ESSAY
- essens
- Selv
- etter hvert
- Hver
- alle
- alle
- alt
- nøyaktig
- eksamen
- eksempel
- eksempler
- opphisset
- spennende
- utøvende
- Executive Producer
- Øvelse
- eksisterende
- finnes
- Expand
- erfaring
- eksperimentell
- eksperimentere
- eksperimenter
- eksperter
- Forklar
- forklare
- forklaring
- utforsket
- Utforske
- grad
- ekstremt
- Faktisk
- rettferdig
- ganske
- Fall
- falsk
- kjent
- berømt
- fantastisk
- langt
- fascinerende
- Favoritt
- Trekk
- føler
- føles
- kar
- feil
- Noen få
- felt
- Felt
- tenkte
- tall
- Endelig
- Finn
- finne
- Først
- væske
- Væskedynamikk
- Fokus
- fokusering
- Til
- formell
- Formelt
- videre
- Forum
- funnet
- Fundament
- fire
- fox
- brøkdel
- venn
- fra
- fundamental
- finansiering
- morsomt
- framtid
- spill
- ga
- general
- generere
- generasjonen
- sjenerøs
- få
- blir
- få
- GitHub
- Gi
- Go
- Går
- skal
- Gyllen
- god
- Godt jobbet
- fikk
- oppgradere
- flott
- gresk
- Greenwood
- Griffin
- jordet
- Guard
- gjette
- gjester
- veiledning
- HAD
- halvveis
- hånd
- skje
- skjedde
- Skjer
- skjer
- Hard
- Ha
- å ha
- he
- sunt
- høre
- hørsel
- pinnsvin
- hjelpe
- hjelpe
- hjelper
- her.
- Høy
- høyt nivå
- høy oppløsning
- høyere
- Uthev
- ham
- selv
- hans
- historie
- helhetlig
- Hjemprodukt
- hjemmeside
- hedret
- håp
- håpefull
- håper
- vert
- HOT
- Hvordan
- Hvordan
- HTTPS
- stort
- Enormt
- menneskelig
- lesbar
- Hundrevis
- i
- Tanken
- idealer
- Ideer
- identifisere
- if
- bilde
- bilder
- forestille
- Imaging
- Påvirkning
- innflytelsesrik
- viktig
- umulig
- forbedring
- in
- skråstilt
- inkludere
- Inkludert
- uavhengig
- individuelt
- påvirke
- Innflytelsesrik
- iboende
- i utgangspunktet
- innsikt
- innsikt
- øyeblikkelig
- integrert
- intellektuell
- intellektuell eiendom
- tiltenkt
- interaksjon
- interaktiv
- interesse
- interessert
- interessant
- Internet
- inn
- Introduksjon
- intuisjon
- Oppfinnelse
- iPhone
- isolert
- IT
- DET ER
- jacob
- Jobb
- John
- sammenføyning
- blir med oss
- tiltrer
- journal
- journalistikk
- glede
- bare
- holdt
- nøkkel
- nøkkelord
- kids
- Type
- slag
- konge
- Vet
- kjent
- vet
- Tomt
- Språk
- språk
- stor
- storskala
- større
- seinere
- Law
- LÆRE
- læring
- minst
- mindre
- la
- Nivå
- Life
- Life Sciences
- i likhet med
- begrensninger
- Begrenset
- lin
- linje
- lineær
- linjer
- Lytting
- lite
- Bor
- logisk
- logo
- Lang
- lenger
- Se
- ser ut som
- ser
- UTSEENDE
- taper
- Lot
- masse
- elsker
- maskin
- maskiner
- laget
- magazine
- Flertall
- gjøre
- GJØR AT
- Making
- administrer
- mange
- marked
- massive
- math
- matematiske
- matematisk
- matematikk
- Matrix
- matt
- Saken
- moden
- Kan..
- kan være
- me
- bety
- måling
- Media
- medisinsk
- medlemmer
- Herre
- nevner
- nevnt
- møtte
- metrisk
- kunne
- millioner
- sinn
- minimering
- minutt
- minutter
- misoppfatninger
- feil
- Moderne
- moduser
- penger
- mer
- Morgan
- mest
- bevegelser
- MR
- mye
- musikk
- må
- my
- meg selv
- Mystery
- naive
- navn
- Trenger
- nødvendig
- behov
- Ingen
- aldri
- Ny
- nyheter
- neste
- fint
- natt
- Nei.
- normalt
- ingenting
- varsling
- nå
- Nuance
- Antall
- tall
- objekt
- Målet
- gjenstander
- Åpenbare
- OCHOA
- oktober
- of
- ofte
- oh
- Okay
- on
- gang
- ONE
- seg
- på nett
- bare
- ugjennomsiktig
- åpen kildekode
- Åpenhet
- Mening
- Optimistisk
- or
- organisk
- organisasjons
- Annen
- andre
- vår
- ut
- utdatert
- produksjon
- utenfor
- enn
- egen
- Pakk med deg
- pakket
- sider
- Papir
- papirer
- Parallel
- Spesielt
- spesielt
- deler
- bestått
- Past
- Ansatte
- prosent
- perfekt
- ytelse
- permanent
- person
- Peter
- fenomen
- fysisk
- Fysikk
- fysisk
- Fysikk
- plukket
- brikke
- plato
- Platon Data Intelligence
- Platons
- PlatonData
- vær så snill
- glede
- podcast
- Podcasting
- Poesi
- Point
- Synspunkt
- poeng
- poserte
- positiv
- mulig
- innlegg
- potensiell
- makt
- kraftig
- praksis
- praksis
- nettopp
- presentasjon
- pen
- forhindrer
- tidligere
- primære
- Prime
- primitiv
- premie
- Problem
- problematisk
- problemer
- produsert
- produsent
- Produksjon
- produksjoner
- Professor
- program
- Progress
- prosjekter
- produktive
- bevis
- bevis
- riktig
- eiendom
- Eiendoms rettigheter
- beskyttet
- stolt
- Bevis
- utprøvd
- gi
- forutsatt
- gi
- beviser
- offentlig
- Utgivelse
- offentlig
- publisere
- publisert
- Publisering
- ren
- rent
- formål
- forfølge
- Skyver
- sette
- setter
- Quantamagazin
- spørsmål
- spørsmål
- stille
- ganske
- tilfeldig
- heller
- ratio
- lesere
- ekte
- virkelige verden
- Reality
- realisere
- realisert
- realisere
- virkelig
- grunnen til
- resesjon
- poster
- redusere
- referanse
- referert
- i slekt
- forholdet
- relativt
- frigjør
- husker
- fjernet
- Repository
- påkrevd
- Krever
- forskning
- løst
- resonans
- ressurs
- Ressurser
- svar
- ansvarlig
- resultere
- Resultater
- avslørende
- revidere
- revolusjonær
- ikke sant
- rettigheter
- Ringe
- Rise
- roller
- roman
- omtrent
- Kjør
- Sa
- samme
- sier
- sier
- sier
- skanne
- Skole
- Vitenskap
- VITENSKAPER
- Søk
- Sekund
- sekunder
- hemmelighetsfull
- se
- se
- synes
- syntes
- synes
- sett
- segmentet
- velg
- utvalg
- selvstyrt
- dømme
- separat
- Servere
- sett
- flere
- figurer
- Del
- skift
- Kort
- bør
- side
- lignende
- Enkelt
- enklere
- forenklet
- forenkle
- forenkle
- siden
- enkelt
- sitte
- Sittende
- situasjoner
- ferdigheter
- langsom
- mindre
- So
- selskap
- sosiale medier
- Samfunnet
- Software
- oppfordring
- LØSE
- løse
- noen
- en eller annen måte
- Noen
- noe
- noen ganger
- noe
- et sted
- snart
- ettertraktet
- lyder
- kilde
- Kilder
- Rom
- romlig
- spesiell
- spesialisert
- spekulasjon
- spekulativ
- bruke
- Spotify
- kvadrat
- firkanter
- Standard
- stanford
- Begynn
- startet
- Start
- starter
- Uttalelse
- Stater
- opphold
- Trinn
- Steps
- Steve
- Still
- lager
- aksjemarked
- STONE
- Story
- rett
- fremskritt
- Student
- Studenter
- studier
- studioer
- Studer
- Studerer
- emne
- vellykket
- slik
- foreslår
- støtte
- Støttes
- overflaten
- overrasket
- overrask
- mistenkelig
- syntetisere
- Systemer
- Ta
- tar
- ta
- Snakk
- snakker
- Snakker
- håndgripelig
- oppgaver
- Te
- Undervisning
- lag
- Teknisk
- teknikk
- teknologisk
- fortelle
- tendens
- titus
- test
- enn
- Takk
- Det
- De
- Området
- Fremtiden
- verden
- deres
- Dem
- tema
- deretter
- teoretiske
- teori
- Der.
- derfor
- Disse
- de
- ting
- ting
- tror
- tenker
- Tredje
- Tredje generasjon
- denne
- selv om?
- trodde
- tre
- tredimensjonal
- Gjennom
- tid
- til
- i dag
- sammen
- også
- verktøy
- verktøy
- temaer
- Totalt
- berøre
- tradisjonelle
- Kurs
- forvandlet
- behandlet
- Treet
- Trender
- prøvd
- sant
- Stol
- prøve
- prøver
- Turning
- snur
- tweaking
- to
- typen
- typer
- UCLA
- understreke
- forstå
- forståelig
- forståelse
- forstås
- Uventet
- enhetlig
- union
- enhet
- forent
- til
- Opplasting
- upon
- UPS
- us
- bruke
- brukt
- nyttig
- ved hjelp av
- vanligvis
- verktøyet
- bruke
- Verdifull
- verdi
- verdsatt
- Verdier
- variabel
- ulike
- verifisere
- veldig
- VET
- videoer
- Se
- viral
- syn
- av
- venter
- ønsker
- ønsket
- var
- se
- Vann
- Vei..
- måter
- we
- slitasje
- web
- webp
- velkommen
- velkommen
- VI VIL
- var
- Hva
- Hva er
- uansett
- når
- mens
- om
- hvilken
- mens
- HVEM
- hele
- hvorfor
- bred
- allment
- utbredt
- Wikipedia
- vil
- Vinner
- visdom
- med
- innenfor
- uten
- lurer
- ord
- WordPress
- Arbeid
- arbeidet
- arbeid
- hjemkomsten
- verden
- bekymret
- bekymring
- ville
- wow
- skrive
- skriving
- skrevet
- Feil
- skrev
- år
- ja
- ennå
- Du
- Din
- zephyrnet