En gammel formodning faller, gjør sfærer mye mer kompliserte | Quanta Magazine

I begynnelsen av juni ble buzz bygget da matematikere landet på Londons Heathrow-flyplass. Destinasjonen deres var University of Oxford og et Konferansen til ære for 65-årsdagen til Michael Hopkins, en matematiker ved Harvard University som hadde fungert som mentor for mange av deltakerne.

Hopkins gjorde seg et navn på slutten av 1980-tallet for arbeidet med syv formodninger om at Doug Ravenel fra University of Rochester hadde formulert et tiår tidligere. De hadde å gjøre med teknikker for å bestemme når to former, eller mellomrom, som kan se forskjellige ut, egentlig er like. Hopkins og hans samarbeidspartnere beviste alle Ravenels formodninger bortsett fra én, et problem med et suggestivt, men mystisk navn kalt teleskopformodningen.

På den tiden la Hopkins sitt arbeid på Ravenels formodninger til hvile. I flere tiår etterpå virket teleskopformodningen nesten umulig å løse.

"Du kunne ikke røre et slikt teorem," sa Hopkins.

Men da matematikere landet i London, gikk det rykter om at det hadde blitt gjort - av en gruppe på fire matematikere med tilknytning til Massachusetts Institute of Technology, hvorav tre hadde blitt rådet av Hopkins på forskerskolen. Den yngste av de fire, en hovedfagsstudent kalt Ishan Levy, skulle etter planen holde et foredrag på tirsdag, den andre dagen av konferansen, som så ut til å være når et bevis kunne bli annonsert.

"Jeg hadde hørt rykter om at dette skulle komme, og jeg visste ikke nøyaktig hva jeg kunne forvente," sa Vesna Stojanoska, en matematiker ved University of Illinois, Urbana-Champaign som deltok på konferansen.

Det ble snart klart at ryktene var sanne. Fra tirsdag og i løpet av de neste tre dagene, Levy og hans medforfattere - Robert Burklund, Jeremy Hahn og Tomer Schlank – forklarte for mengden på rundt 200 matematikere hvordan de hadde bevist at teleskopformodningen var falsk, noe som gjorde den til den eneste av Ravenels originale formodninger som ikke var sann.

Motbevisningen av teleskopformodningen har vidtrekkende implikasjoner, men en av de enkleste og mest dyptgripende er dette: Det betyr at i svært høye dimensjoner (tenk på en 100-dimensjonal sfære), er universet med forskjellige former langt mer komplisert enn matematikere forventet.

Kartlegging av kartene

For å klassifisere former, eller topologiske rom, skiller matematikere mellom forskjeller som betyr noe og de som ikke gjør det. Homotopi teori er et perspektiv for å gjøre disse distinksjonene. Den anser en ball og et egg som grunnleggende det samme topologiske rommet, fordi du kan bøye og strekke den ene inn i den andre uten å rive heller. På samme måte anser homotopi-teorien at en ball og et indre rør er fundamentalt forskjellige fordi du må rive et hull i ballen for å deformere det inn i det indre røret.

Homotopi er nyttig for å klassifisere topologiske rom – lage et diagram over alle mulige former. Det er også viktig for å forstå noe annet matematikere bryr seg om: kart mellom rom. Hvis du har to topologiske rom, er en måte å undersøke egenskapene deres på å se etter funksjoner som konverterer, eller kartlegger, punkter på ett til punkter på det andre - skriv inn et punkt på rom A, få et punkt på rom B som utdata, og gjør det for alle punktene på A.

For å se hvordan disse kartene fungerer, og hvorfor de belyser egenskapene til de involverte rommene, start med en sirkel. Kartlegg det nå på den todimensjonale kulen, som er overflaten til en ball. Det er uendelig mange måter å gjøre dette på. Hvis du forestiller deg sfæren som jordens overflate, kan du for eksempel sette sirkelen din på en hvilken som helst breddegrad. Fra homotopi-teoriens perspektiv er de alle likeverdige, eller homotopiske, fordi de alle kan krympe ned til et punkt på nord- eller sørpolen.

Deretter kartlegger du sirkelen på den todimensjonale overflaten av et indre rør (en ett-hulls torus). Igjen, det er uendelig mange måter å gjøre dette på, og de fleste er homotopiske. Men ikke alle. Du kan plassere en sirkel horisontalt eller vertikalt rundt torusen, og ingen av dem kan jevnt deformeres til den andre. Dette er to (av mange) måter å kartlegge en sirkel på torusen, mens det bare er én måte å kartlegge den på en kule, som gjenspeiler en grunnleggende forskjell mellom de to områdene: Torusen har ett hull mens kulen ikke har noe.

Det er lett å telle måtene vi kan kartlegge fra sirkelen til den todimensjonale sfæren eller torusen. De er kjente rom som er enkle å visualisere. Men å telle kart er mye vanskeligere når høyere dimensjonale rom er involvert.

Dimensjonsforskjeller

Hvis to kuler har samme dimensjon, er det alltid uendelig mange kart mellom dem. Og hvis rommet du kartlegger fra er lavere dimensjonalt enn rommet du kartlegger til (som i vårt eksempel på den endimensjonale sirkelen kartlagt på en todimensjonal sfære), er det alltid bare ett kart.

Delvis av den grunn er telling av kart mest interessant når rommet du kartlegger fra har en høyere dimensjon enn rommet du kartlegger til, som når du kartlegger en syvdimensjonal kule på en tredimensjonal kule. I slike tilfeller er antallet kart alltid begrenset.

"Kartene mellom sfærer generelt har en tendens til å være mer interessante når kilden har en større dimensjon," sa Hahn.

Dessuten avhenger antall kart kun av forskjellen i antall dimensjoner (når dimensjonene blir store nok i forhold til forskjellen). Det vil si at antall kart fra en 73-dimensjonal kule til en 53-dimensjonal kule er det samme som antall kart fra en 225-dimensjonal kule til en 205-dimensjonal kule, fordi i begge tilfeller er dimensjonsforskjellen 20.

Matematikere vil gjerne vite antall kart mellom rom med en forskjell i dimensjon. De har klart å beregne antall kart for nesten alle dimensjonsforskjeller opp til 100: Det er 24 kart mellom kuler når forskjellen er 20, og 3,144,960 23 XNUMX når den er XNUMX.

Men å beregne antall kart for enhver forskjell større enn 100, tømmer moderne datakraft. Og samtidig har ikke matematikere oppdaget nok mønstre i antall kart til å ekstrapolere videre. Målet deres er å fylle ut en tabell som spesifiserer antall kart for enhver dimensjonsforskjell, men det målet føles veldig langt unna.

"Dette er ikke et spørsmål jeg forventer en fullstendig løsning på i løpet av barnebarnas levetid," sa Ravenel, som er 76.

Teleskopformodningen gir en spådom om hvordan antall kart vokser etter hvert som dimensjonsforskjellen øker. Faktisk spår den at antallet vokser sakte. Hvis det hadde vært sant, ville det ha gjort problemet med å fylle ut tabellen litt lettere.

Tvil til vantro

Teleskopformodningen har fått navnet sitt på en usannsynlig måte.

Det startet fra det faktum at i svært høye dimensjoner brytes ofte geometrisk intuisjon dannet i lavere dimensjoner sammen, og det er vanskelig å telle kart mellom kuler. Men da han formulerte formodningen sin, forsto Ravenel at du ikke trenger det. I stedet for å telle kart mellom kuler, kan du gjøre en enklere proxy-telling av kart mellom kuler og objekter kalt teleskoper.

Teleskoper involverer en serie kopier av en lukket høyere dimensjonal kurve, hver av dem er en nedskalert versjon av den som kom før den. Serien med kurver ligner de sammenlåsende rørene til et faktisk sammenleggbart teleskop. "Så merkelig som dette teleskopet høres ut når du beskriver det, er det faktisk et lettere objekt å håndtere enn selve sfæren," sa Ravenel.

Men fortsatt kan kuler kartlegges på teleskoper på mange forskjellige måter, og utfordringen er å vite når disse kartene er genuint forskjellige.

For å finne ut om to rom er homotopiske krever en matematisk test kjent som en invariant, som er en beregning basert på egenskapene til rommene. Hvis beregningen gir en annen verdi for hvert rom, vet du at de er unike fra homotopiens perspektiv.

Det finnes mange typer invarianter, og noen kan oppfatte forskjeller som andre invarianter er blinde for. Teleskopformodningen forutsier at en invariant kalt Morava E-teori (og dens symmetrier) kan perfekt skille alle kart mellom kuler og teleskoper opp til homotopi - det vil si hvis Morava E-teorien sier at kartene er forskjellige, de er forskjellige, og hvis det står at de er like, er de like.

Men i 1989 hadde Ravenel begynt å tvile på at det var sant. Skepsisen hans kom frem fra beregninger han utførte som ikke så ut til å stemme overens med formodningen. Men det var ikke før i oktober samme år, da et massivt jordskjelv rammet Bay Area mens han var i Berkeley, at denne tvilen forvandlet seg til fullverdig vantro.

"Jeg kom til denne konklusjonen innen en dag eller to etter jordskjelvet, så jeg liker å tro at noe skjedde som fikk meg til å tro at det ikke var sant," sa Ravenel.

Å motbevise teleskopformodningen ville kreve å finne en kraftigere invariant som kunne se ting Morava E-teori kan ikke. I flere tiår så det ut til at ingen slik invariant var tilgjengelig, noe som plasserte formodningen utenfor rekkevidde. Men fremgangen de siste årene endret det - og Burklund, Hahn, Levy og Schlank utnyttet det.

Det eksploderende eksotiske

Beviset deres er avhengig av et sett med verktøy som kalles algebraisk K-teori, som ble etablert på 1950-tallet av Alexander Grothendieck og har utviklet seg raskt det siste tiåret. Den har applikasjoner på tvers av matematikk, inkludert i geometri, hvor den har evnen til å overlade en invariant.

De fire forfatterne bruker algebraisk K-teori som en gadget: De legger inn Morava E-teori, og utgangen deres er en ny invariant som de refererer til som algebraisk K-teori om faste punkter i Morava E-teori. De bruker deretter denne nye invarianten på kart fra kuler til teleskoper og beviser at den kan se kart som Morava E-teori kan ikke.

Og det er ikke bare det at denne nye invarianten ser noen flere kart. Den ser mange flere, til og med uendelig mange flere. Så mange flere at det er rimelig å si Morava E-teorien skrapte knapt i overflaten når det kom til å identifisere kart fra kuler til teleskoper.

Uendelig flere kart fra kuler til teleskoper betyr uendelig flere kart mellom kulene selv. Antallet slike kart er begrenset for enhver dimensjonsforskjell, men det nye beviset viser at antallet vokser raskt og ubønnhørlig.

At det er så mange kart peker mot en foruroligende geometrisk virkelighet: Det er så mange sfærer.

I 1956 identifiserte John Milnor de første eksemplene på det som kalles "eksotiske" sfærer. Dette er rom som kan deformeres til den faktiske sfæren fra homotopiens perspektiv, men som er forskjellige fra sfæren i en viss presis forstand. Eksotiske sfærer eksisterer ikke i det hele tatt i dimensjon en, to eller tre, og ingen har oppdaget eksempler på dem under dimensjon syv - dimensjonen der Milnor først fant dem. Men etter hvert som dimensjonen vokser, eksploderer antallet eksotiske sfærer. Det er 16,256 15 i dimensjon 523,264 og 19 XNUMX i dimensjon XNUMX.

Og likevel, så store som disse tallene er, betyr avvisningen av teleskopformodningen at det er mange, mange flere. Motbevisningen betyr at det er flere kart mellom sfærer enn forventet da Ravenel uttalte formodningen, og den eneste måten du får flere kart på er ved å ha et større utvalg av sfærer å kartlegge mellom.

Det er forskjellige typer fremgang i matematikk og naturfag. En type bringer orden i kaos. Men en annen forsterker kaoset ved å fjerne håpefulle antakelser som ikke var sanne. Motbevisningen av teleskopformodningen er slik. Det gjør geometriens kompleksitet dypere og øker sjansene for at mange generasjoner barnebarn vil komme og gå før noen forstår kart mellom kuler.

"Hvert store fremskritt i emnet ser ut til å fortelle oss at svaret er mye mer komplisert enn vi trodde før," sa Ravenel.