På slutten av Marvel-blockbusteren Avengers: Endgame, et forhåndsinnspilt hologram av Tony Stark tar farvel med sin unge datter ved å si: "Jeg elsker deg 3,000." Det rørende øyeblikket gjenspeiler en tidligere scene der de to er engasjert i det lekne sengetidsritualet for å kvantifisere kjærligheten til hverandre. I følge Robert Downey Jr., skuespilleren som spiller Stark, var replikken inspirert av lignende utvekslinger med hans egne barn.
Spillet kan være en morsom måte å utforske store tall:
"Jeg elsker deg 10."
"Men jeg elsker deg 100."
"Vel, jeg elsker deg 101!"
Det er nettopp slik "googolplex" ble et populært ord i mitt hjem. Men vi vet alle hvor dette argumentet til slutt fører:
"Jeg elsker deg i det uendelige!"
"Å ja? Jeg elsker deg uendelig pluss 1!"
Enten det er på lekeplassen eller ved leggetid, møter barn begrepet uendelighet lenge før mattetimen, og de utvikler forståelig nok en fascinasjon for dette mystiske, kompliserte og viktige konseptet. Noen av disse barna vokser opp til å bli matematikere som er fascinert av uendelighet, og noen av disse matematikerne oppdager nye og overraskende ting om uendelighet.
Du vet kanskje at noen sett med tall er uendelig store, men visste du at noen uendeligheter er større enn andre? Og at vi ikke er sikre på om det er andre uendeligheter mellom de to vi kjenner best? Matematikere har grublet på dette andre spørsmålet i minst et århundre, og noen nyere arbeid har endret måten folk tenker om problemet.
For å takle spørsmål om størrelsen på uendelige sett, la oss starte med sett som er lettere å telle. Et sett er en samling av objekter, eller elementer, og et begrenset sett er bare et sett som inneholder endelig mange objekter.
Det er enkelt å bestemme størrelsen på et begrenset sett: Bare tell antall elementer den inneholder. Siden settet er begrenset, vet du at du slutter å telle til slutt, og når du er ferdig vet du størrelsen på settet ditt.
Denne strategien fungerer ikke med uendelige sett. Her er settet med naturlige tall, som er betegnet ℕ. (Noen vil kanskje hevde at null ikke er et naturlig tall, men den debatten påvirker ikke våre undersøkelser av uendelighet.)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,...}$
Hva er størrelsen på dette settet? Siden det ikke er noe største naturlige tall, vil det ikke fungere å prøve å telle antall elementer. En løsning er å ganske enkelt erklære størrelsen på dette uendelige settet som "uendelig", noe som ikke er feil, men når du begynner å utforske andre uendelige sett, innser du at det ikke er helt riktig heller.
Tenk på settet med reelle tall, som er alle tallene som kan uttrykkes i en desimalutvidelse, som 7, 3.2, −8.015, eller en uendelig utvidelse som $latexsqrt{2} = 1.414213...$. Siden hvert naturlig tall også er et reelt tall, er mengden av virkelige tall minst like stor som settet med naturlige tall, og må derfor også være uendelig.
Men det er noe utilfredsstillende ved å erklære størrelsen på settet med reelle tall for å være den samme "uendeligheten" som brukes til å beskrive størrelsen på de naturlige tallene. For å se hvorfor, velg hvilke som helst to tall, som 3 og 7. Mellom disse to tallene vil det alltid være endelig mange naturlige tall: Her er det tallene 4, 5 og 6. Men det vil alltid være uendelig mange reelle tall mellom dem, tall som 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666 ... og så videre.
Bemerkelsesverdig nok, uansett hvor nære to distinkte reelle tall er hverandre, vil det alltid være uendelig mange reelle tall i mellom. I seg selv betyr ikke dette at settene med reelle tall og naturlige tall har forskjellige størrelser, men det antyder at det er noe fundamentalt forskjellig med disse to uendelige settene som krever videre undersøkelse.
Matematikeren Georg Cantor undersøkte dette på slutten av 19-tallet. Han viste at disse to uendelige settene virkelig har forskjellige størrelser. For å forstå og sette pris på hvordan han gjorde det, må vi først forstå hvordan vi sammenligner uendelige sett. Hemmeligheten er en stift i mattetimer overalt: funksjoner.
Det er mange forskjellige måter å tenke på funksjoner - funksjonsnotasjon som $latex f(x) = x^2 +1$, grafer av parabler i det kartesiske planet, regler som "ta input og legg til 3 til det" - men her vil vi tenke på en funksjon som en måte å matche elementene i ett sett med elementene i et annet.
La oss ta et av disse settene for å være ℕ, settet med naturlige tall. For det andre settet, som vi kaller S, tar vi alle de naturlige partallene. Her er våre to sett:
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$
Det er en enkel funksjon som gjør elementene til ℕ til elementene til S: $latex f(x) = 2x$. Denne funksjonen dobler ganske enkelt sine innganger, så hvis vi tenker på elementene til ℕ som inngangene til $latex f(x)$ (vi kaller settet med innganger til en funksjon for "domenet"), vil utgangene alltid være elementer av S. For eksempel, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ og så videre.
Du kan visualisere dette ved å stille elementene i de to settene ved siden av hverandre og bruke piler for å indikere hvordan funksjonen $latex f$ gjør innganger fra ℕ til utganger i S.
Legg merke til hvordan $latex f(x)$ tildeler nøyaktig ett element av S til hvert element av ℕ. Det er det funksjoner gjør, men $latex f(x)$ gjør det på en spesiell måte. Først tildeler $latex f$ alt inn S til noe i ℕ. Ved å bruke funksjonsterminologi sier vi at hvert element av S er "bildet" av et element av ℕ under funksjonen $latex f$. For eksempel er partall 3,472 inne S, og vi kan finne en x i ℕ slik at $latex f(x) = 3,472$ (nemlig 1,736). I denne situasjonen sier vi at funksjonen $latex f(x)$ kartlegger ℕ på S. En mer avansert måte å si det på er at funksjonen $latex f(x)$ er «surjektiv». Uansett hvordan du beskriver det, det som er viktig er dette: Siden funksjonen $latex f(x)$ gjør innganger fra ℕ til utganger i S, ingenting i S blir savnet i prosessen.
Den andre spesielle tingen med hvordan $latex f(x)$ tildeler utganger til innganger, er at ingen to elementer i ℕ blir transformert til det samme elementet i S. Hvis to tall er forskjellige, er doblene deres forskjellige; 5 og 11 er forskjellige naturlige tall i ℕ, og deres utganger i S er også forskjellige: 10 og 22. I dette tilfellet sier vi at $latex f(x)$ er «1-til-1» (også skrevet «1-1»), og vi beskriver $latex f(x)$ som "injektiv." Nøkkelen her er at ingenting i S blir brukt to ganger: Hvert element i S er paret med bare ett element i ℕ.
Disse to funksjonene til $latex f(x)$ kombineres på en kraftig måte. Funksjonen $latex f(x)$ skaper en perfekt matching mellom elementene i ℕ og elementene i S. Det faktum at $latex f(x)$ er «på» betyr at alt er inne S har en partner i ℕ, og det faktum at $latex f(x)$ er 1-til-1 betyr at ingenting i S har to partnere i ℕ. Kort sagt, funksjonen $latex f(x)$ parer hvert element av ℕ med nøyaktig ett element av S.
En funksjon som er både injektiv og surjektiv kalles en bijeksjon, og en bijeksjon skaper en 1-til-1-korrespondanse mellom de to settene. Dette betyr at hvert element i ett sett har nøyaktig én partner i det andre settet, og dette er en måte å vise at to uendelige sett har samme størrelse.
Siden vår funksjon $latex f(x)$ er en bijeksjon, viser dette at de to uendelige settene ℕ og S har samme størrelse. Dette kan virke overraskende: Tross alt er hvert naturlig partall i seg selv et naturlig tall, så ℕ inneholder alt i S og mer. Skulle ikke det gjøre ℕ større enn S? Hvis vi hadde å gjøre med endelige mengder, ville svaret være ja. Men ett uendelig sett kan fullstendig inneholde et annet, og de kan fortsatt ha samme størrelse, på en måte som "uendelig pluss 1" faktisk ikke er en større mengde kjærlighet enn vanlig gammel "uendelig". Dette er bare en av de mange overraskende egenskapene til uendelige sett.
En enda større overraskelse kan være at det finnes uendelige sett i forskjellige størrelser. Tidligere undersøkte vi de forskjellige naturene til de uendelige settene av reelle og naturlige tall, og Cantor beviste at disse to uendelige settene har forskjellige størrelser. Han gjorde det med sitt strålende, og berømte, diagonale argument.
Siden det er uendelig mange reelle tall mellom to forskjellige reelle tall, la oss for øyeblikket fokusere på de uendelig mange reelle tallene mellom null og 1. Hvert av disse tallene kan betraktes som en (muligens uendelig) desimalutvidelse, som dette.
Her er $latex a_1, a_2, a_3$ og så videre bare sifrene i tallet, men vi krever at ikke alle sifrene er null, så vi inkluderer ikke selve tallet null i settet vårt.
Det diagonale argumentet starter i hovedsak med spørsmålet: Hva ville skje hvis det fantes en bijeksjon mellom de naturlige tallene og disse reelle tallene? Hvis en slik funksjon fantes, ville de to settene ha samme størrelse, og du kan bruke funksjonen til å matche hvert reelt tall mellom null og 1 med et naturlig tall. Du kan forestille deg en ordnet liste over samsvarende, som dette.
Det geniale med diagonalargumentet er at du kan bruke denne listen til å konstruere et reelt tall som ikke kan være på listen. Begynn å bygge et reelt tall siffer for siffer på følgende måte: Gjør det første sifferet etter desimaltegnet til noe annerledes enn $latex a_1$, gjør det andre sifferet til noe annerledes enn $latex b_2$, gjør det tredje sifferet til noe annerledes enn $latex c_3 $, og så videre.
Dette reelle tallet blir definert av forholdet til diagonalen på listen. Er det på listen? Det kan ikke være det første tallet på listen, siden det har et annet første siffer. Det kan heller ikke være det andre tallet på listen, da det har et annet andresiffer. Faktisk kan det ikke være nnummer på denne listen, fordi den har en annen nsiffer. Og dette er sant for alle n, så dette nye tallet, som er mellom null og 1, kan ikke være på listen.
Men alle de reelle tallene mellom null og 1 skulle være på listen! Denne motsetningen oppstår fra antagelsen om at det eksisterer en bijeksjon mellom de naturlige tallene og realene mellom null og 1, og derfor kan ingen slik bijeksjon eksistere. Dette betyr at disse uendelige settene har forskjellige størrelser. Litt mer arbeid med funksjoner (se øvelsene) kan vise at mengden av alle reelle tall har samme størrelse som mengden av alle reelle tall mellom null og 1, og derfor må de reelle, som inneholder de naturlige tallene, være en større uendelig sett.
Den tekniske betegnelsen for størrelsen på et uendelig sett er dets "kardinalitet". Det diagonale argumentet viser at kardinaliteten til realene er større enn kardinaliteten til de naturlige tallene. Kardinaliteten til de naturlige tallene er skrevet $latex aleph_0$, uttalt "aleph naught." I et standardsyn på matematikk er dette den minste uendelige kardinal.
Den neste uendelige kardinalen er $latex aleph_1$ («aleph one»), og et enkelt oppgitt spørsmål har forvirret matematikere i mer enn et århundre: Er $latex aleph_1$ kardinaliteten til de reelle tallene? Med andre ord, er det noen andre uendeligheter mellom de naturlige tallene og de reelle tallene? Cantor mente svaret var nei - en påstand som ble kjent som kontinuum hypotese – men han klarte ikke å bevise det. På begynnelsen av 1900-tallet ble dette spørsmålet ansett som så viktig at da David Hilbert satte sammen sin berømte liste over 23 viktige åpne problemer i matematikk, var kontinuumhypotesen nummer én.
Hundre år senere er det gjort store fremskritt, men den fremgangen har ført til nye mysterier. I 1940 den berømte logikeren Kurt Gödel beviste at det, under de alminnelig aksepterte reglene for settteori, er umulig å bevise at det eksisterer en uendelighet mellom de naturlige tallene og de virkelige tallene. Det kan virke som et stort skritt mot å bevise at kontinuumhypotesen er sann, men to tiår senere matematikeren Paul Cohen beviste at det er umulig å bevise at en slik uendelighet ikke eksisterer! Det viser seg at kontinuumhypotesen ikke kan bevises på den ene eller andre måten.
Sammen etablerte disse resultatene "uavhengigheten" til kontinuumhypotesen. Dette betyr at de allment aksepterte reglene for sett bare ikke sier nok til å fortelle oss om det eksisterer en uendelighet mellom de naturlige tallene og virkelighetene. Men heller enn å fraråde matematikere i deres jakt på å forstå uendeligheten, har det ført dem i nye retninger. Matematikere leter nå etter nye grunnleggende regler for uendelige mengder som både kan forklare det som allerede er kjent om uendelighet og bidra til å fylle hullene.
Å si «Min kjærlighet til deg er uavhengig av aksiomene» er kanskje ikke like morsomt som å si «jeg elsker deg uendelig pluss 1», men kanskje det vil hjelpe neste generasjon uendelighetsglade matematikere til å få en god natts søvn.
Øvelser
1. La $latex T = {1,3,5,7,...}$, settet med positive naturlige oddetall. Er T større enn, mindre enn eller samme størrelse som ℕ settet med naturlige tall?
2. Finn en 1-til-1 samsvar mellom settet med naturlige tall, ℕ, og settet med heltall $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.
3. Finn en funksjon $latex f(x)$ som er en bijeksjon mellom settet av reelle tall mellom null og 1 og settet med reelle tall større enn null.
4. Finn en funksjon som er en bijeksjon mellom settet av reelle tall mellom null og 1 og settet med alle reelle tall.
Klikk for svar 1:
Klikk for svar 2:
Du kan også prøve å definere en funksjon som samsvarer med elementene. Denne funksjonen,
$latexf(n) =begynn{cases}
frac{n+1}{2} &tekst{hvis $n$ er oddetall}
-frac{n}{2} &tekst{hvis $n$ er partall}
slutt{cases}$
kartlegger ℕ på $latexmathbb{Z}$ og er 1-1. Så det er like mange heltall som naturlige tall, en annen merkelig bragd med uendelighet.
Klikk for svar 3:
Det er mange muligheter, men en enkel er $latex f(x) = frac{x}{1-x}$. Hvert positivt reelt tall er bildet under $latex f(x)$ av et reelt tall mellom null og 1. For å finne hvilket tall som er sammenkoblet med for eksempel 102, setter du bare $latex 102 = frac{x}{ 1-x}$ og løs for x:
$latex 102 = frac{x}{1-x}$
$latex 102(1-x) = x$
$latex 102=103x$
$latex x=frac{102}{103}$
Legg merke til at x-en vi fant er mellom null og 1, etter behov. Så for et hvilket som helst tall, som 102, kan vi finne en inngang som blir kartlagt på den, noe som antyder at $latex f(x)$ er surjektiv. En måte å se at $latex f(x)$ også er injektiv (1-1) er ved å tegne den grafisk og observere at den består den horisontale linjetesten: hver horisontal linje i det kartesiske planet går gjennom grafen til $latex f( x)$ maksimalt én gang, noe som betyr at ingen utdata brukes to ganger.
Klikk for svar 4:
Som med øvelse 3 er det flere funksjoner som kan fungere, men en standard tilnærming er å bruke en transformasjon av tangentfunksjonen. For domenet $latex -frac{π}{2}<x<frac{π}{2}$ er standardtangensfunksjonen, tan(x) 1-1 og kartlegger $latex -frac{π}{2 <x<frac{π}{2}$ på settet med alle reelle tall.
Du kan endre domenet til denne funksjonen med en transformasjon. For eksempel kan vi krympe domenet fra $latex -frac{π}{2} < x <frac{π}{2}$ til $latex -frac{1}{2} <x< frac{1}{2 }$ ved å multiplisere inndata med π. Med andre ord, funksjonen tan(πx) tilordner $latex -frac{1}{2} <x< frac{1}{2}$ til settet av alle reelle tall. Vi kan deretter flytte dette domenet over ved å bruke en oversettelse, og ende opp med funksjonen $latex f(x) = tan(π(x-frac{1}{2}))$. Denne funksjonen er 1-1 og kartlegger de reelle tallene $latex 0<x<1$ på settet med alle reelle tall. Denne bijeksjonen beviser at det er like mange reelle tall mellom null og 1 som det er reelle tall.
