'Entropy Bagels' og andre komplekse strukturer kommer fra enkle regler | Quanta Magazine

Repetisjon trenger ikke alltid være enfoldig. I matematikk er det en mektig kraft som er i stand til å generere forvirrende kompleksitet.

Selv etter flere tiår med studier finner matematikere seg ute av stand til å svare på spørsmål om gjentatt utførelse av veldig enkle regler - de mest grunnleggende "dynamiske systemene." Men i forsøket på å gjøre det, har de avdekket dype forbindelser mellom disse reglene og andre tilsynelatende fjerne områder av matematikk.

For eksempel Mandelbrot-settet, som jeg skrev om forrige måned, er et kart over hvordan en familie av fungerer - beskrevet av ligningen f(x) = x² + c — oppfører seg som verdien av c strekker seg over det såkalte komplekse planet. (I motsetning til reelle tall, som kan plasseres på en linje, har komplekse tall to komponenter, som kan plottes på x- og y-aksene til et todimensjonalt plan.)

Uansett hvor mye du zoomer inn på Mandelbrot-settet, oppstår det alltid nye mønstre, uten grenser. "Det er helt oppsiktsvekkende for meg, selv nå, at denne svært komplekse strukturen oppstår fra så enkle regler," sa Matthew Baker ved Georgia Institute of Technology. "Det er en av de virkelig overraskende funnene i det 20. århundre."

Kompleksiteten til Mandelbrot-settet kommer delvis frem fordi det er definert i form av tall som er i seg selv, vel, komplekse. Men, kanskje overraskende, det er ikke hele historien. Selv når c er et enkelt reelt tall som for eksempel –3/2, alle slags merkelige fenomener kan oppstå. Ingen vet hva som skjer når du bruker ligningen gjentatte ganger f(x) = x² – 3/2, ved å bruke hver utgang som neste inngang i en prosess kjent som iterasjon. Hvis du begynner å iterere fra x = 0 (det "kritiske punktet" i en kvadratisk ligning), er det uklart om du vil produsere en sekvens som til slutt konvergerer mot en gjentatt syklus av verdier, eller en som fortsetter å sprette uendelig rundt i et kaotisk mønster.

For verdier av c mindre enn –2 eller større enn 1/4 blåser iterasjonen raskt opp til uendelig. Men innenfor det intervallet er det uendelig mange verdier av c kjent for å produsere kaotisk oppførsel, og uendelig mange tilfeller som -3/2, der "vi vet ikke hva som skjer, selv om det er superkonkret," sa Giulio Tiozzo ved University of Toronto.

Men på 1990-tallet, stony Brook University matematiker Misha Lyubich, som var fremtredende i rapporten min om Mandelbrot-settet, beviste at i intervallet mellom –2 og 1/4 er de aller fleste verdiene på c produsere fin "hyperbolsk" oppførsel. (Matematikerne Jacek Graczyk og Grzegorz Swiatek uavhengig bevist resultatet rundt samme tid.) Dette betyr at de tilsvarende ligningene, når de itereres, konvergerer til en enkelt verdi eller til en gjentatt syklus av tall.

Et tiår senere viste en trio av matematikere at de fleste verdier av c er hyperbolske ikke bare for andregradsligninger, men for enhver familie av ekte polynomer (mer generelle funksjoner som kombinerer variabler hevet til potenser, som x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). Og nå en av dem, Sebastian van Strien fra Imperial College London, mener han har et bevis på denne egenskapen for en enda bredere klasse av ligninger kalt reelle analytiske funksjoner, som inkluderer sinus-, cosinus- og eksponentialfunksjoner. Van Strien håper å kunngjøre resultatet i mai. Hvis det holder mål etter fagfellevurdering, vil det markere et stort fremskritt i karakteriseringen av hvordan ekte endimensjonale systemer oppfører seg.

Usannsynlige kryss og entropibagels

Det er uendelig mange ekte andregradsligninger som, når de itereres fra null, er kjent for å ende opp med å produsere en gjentatt syklus av tall. Men hvis du begrenser c til rasjonelle verdier - de som kan skrives som brøker - genererer bare tre verdier til slutt periodiske sekvenser: 0, -1 og -2. "Disse dynamiske systemene er veldig, veldig spesielle," sa Clayton Petsche ved Oregon State University.

In et papir publisert i fjor, Petsche og Chatchai Noytaptim fra University of Waterloo beviste at de er enda mer spesielle enn de ser ut ved første øyekast. Matematikerne så på "helt reelle" tall, som er mer restriktive enn reelle tall, men mindre restriktive enn rasjonelle.

Hvis du kobler et tall inn i et polynom og får utdata på null, er det tallet en løsning på, eller roten av, polynomet. For eksempel er 2 en rot av f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, og uendelig mange andre ligninger. Slike polynomer kan ha røtter som er reelle, eller røtter som er komplekse. (For eksempel røttene til x² + 1 er kvadratroten av –1, skrevet som i, og -i – begge komplekse tall.)

Et tall er helt reelt hvis det tilfredsstiller en polynomligning med heltallskoeffisienter som bare har reelle røtter. Alle rasjonelle tall er helt reelle, men det er også noen irrasjonelle tall. For eksempel er $latex sqrt{2}$ helt ekte, fordi det er en løsning på f(x) = x² – 2, som bare har reelle røtter ($latex sqrt{2}$ og dens «søster»-rot $latex -sqrt{2}$). Men terningroten av 2, $latex sqrt[3]{2}$, er ikke helt ekte. Det er en løsning på f(x) = x³ – 2, som har ytterligere to søsterrøtter, også kjent som Galois-konjugater, som er komplekse.

Petsche og Noytaptim beviste at det ikke er noen irrasjonelle helt reelle tall som til slutt produserer periodiske sykluser. Snarere er 0, –1 og –2 de eneste helt reelle tallene som gjør dette. De representerer et usannsynlig skjæringspunkt mellom egenskaper fra to tilsynelatende forskjellige verdener - tallteori (studiet av heltall) og dynamiske systemer. Petsche og Noytaptim brukte viktige resultater fra tallteori i bevisene sine, og fremhevet sammenhengen mellom de to feltene.

Matematikerne Xavier Buff og Sarah Koch funnet et annet usannsynlig kryss. De viste at bare fire helt reelle verdier av c — 1/4, –3/4, –5/4 og –7/4 – genererer sekvenser av en bestemt, godt forstått type kalt en parabolsk syklus.

Galois-konjugater banet også veien for oppdagelsen av en mystisk gjenstand kalt "entropi-bagelen", en glødende fraktalring i det komplekse planet. Entropi er et mål på tilfeldighet; i denne sammenhengen måler den hvor vanskelig det er å forutsi rekkefølgen av tall som genereres ved iterasjon x² + c. på siste avis han skrev før han døde i 2012, tegnet den anerkjente topologen William Thurston settet med entropiverdier som tilsvarer nesten en milliard forskjellige virkelige verdier av c - sammen med Galois-konjugatene av disse entropiverdiene, som kan være komplekse. Forestillingen om entropi "er bare på den virkelige linjen, men på en eller annen måte kan du fortsatt se denne skyggen av den komplekse verden," sa Tiozzo.

"Du ser at dette organiserer seg i denne utrolige lacy fraktale strukturen," sa Koch. "Det er så kult." Entropi-bagelen er bare ett veldig komplisert mønster som kommer fra iterasjonen av ekte andregradsligninger. "Vi lærer fortsatt alle disse magiske utsagnene - små perler - om ekte kvadratiske polynomer," la hun til. "Du kan alltid gå tilbake og bli overrasket over denne tingen du trodde du visste ekstremt godt."