Hvordan kan noen snakke med sikkerhet om uendelighet? Hva kan vi egentlig vite om de mystiske primtallene uten å kjenne dem alle? Akkurat som forskere trenger data for å vurdere hypotesene deres, trenger matematikere bevis for å bevise eller motbevise formodninger. Men hva teller som bevis i tallteoriens immaterielle rike? I denne episoden snakker Steven Strogatz med Melanie Matchett Wood, professor i matematikk ved Harvard University, for å lære hvordan sannsynlighet og tilfeldighet kan bidra til å etablere bevis for de lufttette argumentene som kreves av matematikere.
Hør på Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasts, Stitcher, TuneIn eller din favoritt podcasting-app, eller du kan streame det fra Quanta.
Transcript
Steven Strogatz (00:02): Jeg er Steve Strogatz, og dette er Gleden over hvorfor, en podcast fra Quanta Magazine som tar deg inn i noen av de største ubesvarte spørsmålene innen matematikk og naturfag i dag. I denne episoden skal vi snakke om bevis i matematikk. Hva slags bevis bruker matematikere? Hva får dem til å mistenke at noe kan være sant, før de har et vanntett bevis?
(00:26) Det kan høres ut som et paradoks, men det viser seg at resonnement basert på sannsynlighetsteori, studiet av tilfeldigheter og tilfeldigheter, noen ganger kan føre til det matematikere egentlig er ute etter, som er sikkerhet, ikke bare sannsynlighet. For eksempel, i grenen av matematikk kjent som tallteori, er det en lang historie med å bruke tilfeldighet for å hjelpe matematikere å gjette hva som er sant. Nå brukes sannsynlighet for å hjelpe dem med å bevise hva som er sant.
(00:53) Vi vil her fokusere på primtall. Du husker sikkert primtall, ikke sant? Du lærte om dem på skolen. Et primtall er et helt tall større enn 1 som bare kan deles på 1 og seg selv. For eksempel 7 eller 11. Dette er primtall, men 15 er ikke fordi 15 kan deles jevnt med 3 eller 5. Du kan tenke på primtall som på en måte som elementene i kjemiens periodiske system, i betydningen at de er de udelelige atomene som utgjør alle de andre tallene.
(01:27) Primtall virker som de burde være enkle, men noen av de største mysteriene i matematikk er spørsmål om primtall. I noen tilfeller spørsmål som har eksistert i hundrevis av år. Det er virkelig noe veldig subtilt med primtall. De ser ut til å leve i et grenseland mellom orden og tilfeldighet. Min gjest i dag vil hjelpe oss å forstå mer om innholdet av bevis i matematikk, og spesielt hvordan og hvorfor tilfeldighet kan fortelle oss så mye om primtall, og hvorfor modeller basert på sannsynlighet kan være så nyttige på forkant av tallteori. Sammen med meg nå for å diskutere alt dette er Melanie Matchett Wood, professor i matematikk ved Harvard University. Velkommen, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Hei, det er godt å snakke med deg.
Strogatz (02:11): Det er veldig godt å snakke med deg, jeg er en stor fan. La oss snakke om matematikk og naturfag i forhold til hverandre fordi ordene ofte blir brukt sammen, og likevel er teknikkene vi bruker for å komme til bevis og sikkerhet i matematikk noe annerledes enn det vi prøver å gjøre i naturfag. For eksempel, når vi snakker om å samle bevis i matematikk, hvordan er det det samme eller hvordan er det annerledes enn å samle bevis ved hjelp av den vitenskapelige metoden i naturfag?
Wood (02:38): Et matematisk bevis er et absolutt lufttett, fullstendig logisk argument for at en matematisk påstand må være slik og ikke kan være på noen annen måte. Så i motsetning til en vitenskapelig teori - som kan være den beste vi har basert på bevisene vi har i dag, men vi vil få mer bevis, du vet, i løpet av de neste 10 årene og kanskje vil det være en ny teori - et matematisk bevis sier at et eller annet utsagn må være slik, vi kan umulig oppdage at det vil være feil om 10 år, eller 20 år.
Strogatz (03:17): Vel, hva slags ting teller som bevis i matematikk?
Wood (03:19): Så du ser kanskje at noe er sant i mange eksempler. Og basert på at det er sant i mange eksempler, som du kanskje kan si ville være bevis for det faktum, du kan komme med en formodning, det matematikere vil kalle en formodning, en gjetning om at noe er sant. Men da, det matematikere ville ha ville være et bevis på at den tingen du så fungerte i så mange eksempler, alltid ville fungere slik du hevdet.
Strogatz (03:49): Ja, veldig forskjellig fra bare vekten av bevisene. Dette er en uttalelse om at det er en grunn til at noe kommer til å være sant for alltid, for alltid, i alle tilfeller.
Wood (03:58): Og ikke bare "velvel, jeg har sett på en million tilfeller, og det er sant i hver eneste av dem." Som er en grunn til å gjette eller anta at det alltid er sant. Men i matematikk skiller vi mellom en slik gjetning som kan være basert på mange tilfeller eller bevis, og å ha et teorem eller et bevis, et argument som forteller deg at det vil fungere i alle tilfeller, også de du har ikke prøvd.
Strogatz (04:25): Er det bare at matematikere er kresne av natur, eller er det tilfeller der noe som så ut som det var sant, opp til et veldig stort antall muligheter, endte opp med å ikke være sant utover et annet stort tall ?
Wood (04:39): Å, det er et godt spørsmål. Vel, her er et eksempel jeg liker, fordi jeg liker primtallene. Så mens du går gjennom primtallene - 2, 3, 5, 7 - en av tingene du kan gjøre, kan du se og si: "hei, er de delbare med 2?" Og det viser seg å være lite interessant. Etter 2 er ingen av dem delelig med 2. De er alle, de er alle rare.
(05:10) Og så tenker du kanskje, "vel, er de delbare med 3?" Og selvfølgelig, etter 3, kan de heller ikke være delelige med 3, siden de er primtall. Du kan imidlertid legge merke til at noen av dem, når du deler dem på 3, får du en rest av 1, at de er 1 mer enn et multiplum av 3. Så ting som 7, som er 1 mer enn 6, eller 13 , som er 1 mer enn 12. Og noen av disse primtallene, som 11 eller 17, som er 2 mer enn 15, vil de ha en rest på 2 når du deler dem på 3, fordi de er 2 mer enn en multiplum av 3.
(05:47) Så du kan tenke på disse primtallene i lag. Lag 1 er alle de som er 1 mer enn et multiplum av 3 og Team 2 er alle de som er 2 mer enn et multiplum av 3. Og mens du går gjennom primtallene og viser primtallene, kan du liste opp alle primtall og du kan telle opp, og se hvor mange som er på Team 1, og hvor mange som er på Team 2. Og hvis du gjorde det opp til 600 milliarder, på hvert punkt, hvert tall opp til 600 milliarder, ville du finne at det er flere lag 2-primtall enn lag 1-primtall. Så du kan naturlig nok anta, basert på dette beviset, at det alltid vil være flere lag 2-primtall enn lag 1-primtall.
Strogatz (06:33): Jada. Høres helt ut som det.
Wood: Det viser seg at jeg ved et tall på rundt 608 milliarder noe glemmer det nøyaktige tallet, det endres.
Strogatz (06:46): Å, kom igjen.
Wood: Jepp, det endrer seg virkelig. Og nå er plutselig lag 1 i ledelsen. Så det er en -
Strogatz (06:53): Vent litt. Vent, men dette er fantastisk. Hva - nå, fortsetter de å endre seg? Vet vi hva som skjer mens du fortsetter? Fortsetter de å endre seg?
Wood (07:01): Ja, flott spørsmål. Så det er faktisk et teorem at de vil endre avledninger uendelig ofte.
Strogatz (07:07): Virkelig?
Wood: Så de vil fortsette å handle med potensielle kunder. Men det er et virkelig flott eksempel å ha i bakhodet når du studerer primtall, at bare fordi noe var sant for de første 600 milliarder tilfellene, betyr det ikke at det alltid vil være sant.
Strogatz (07:25): Å, wow. Hyggelig. Greit. Så, som generelt, hvordan kommer du fra en formodning til et bevis?
Wood (07:31): Det avhenger mye av saken. Jeg mener, det er mange tilfeller av matematikk der vi har formodninger og vi har ingen bevis. Så det er ikke noen enkel oppskrift for å komme fra en formodning til et bevis, ellers ville vi ikke ha så mange kjente åpne problemer der, du vet, det er noen - noen formodninger om at folk tror at noe fungerer på en bestemt måte, men vi gjør det vet det ikke sikkert. Men du vet, noen ganger kan formodningen antyde grunner til at noe er sant. Noen ganger er det bare matematisk teori, som er bygget på mer og mer matematisk teori som folk har utviklet i hundrevis av år, gir oss nok verktøy og struktur til å jobbe med for å forstå ting som, at vi kommer med et bevis. Men det er ikke det at formodningen nødvendigvis fører til beviset. Formodningen kan inspirere folk til å prøve å finne beviset, men måten beviset kommer til kan være helt atskilt fra, fra selve formodningen.
Strogatz (08:31): Ja, jeg er interessert i å oppregne, eller liste opp hvilke typer bevis som mangler bevis, som fører til at folk har tillit til at det er verdt å prøve å gå etter et bevis.
Wood (08:41): Ja, en annen ting vi kan kalle som bevis som ikke bare er eksempler, ville være en heuristikk. En heuristikk kan være noe som et argument, bortsett fra ved en mye lavere strenghetsstandard. Det er akkurat som, virker det greit? Ikke "har jeg absolutt etablert dette faktum utover enhver skygge av tvil?" men "gjør det - ja, det virker ganske plausibelt." Så en heuristikk kan være et resonnement som virker ganske plausibelt, vet du, men som faktisk ikke er et strengt argument. Så det er en slags bevis.
(09:12) Noen ganger kan man ha en modell som vi tror fanger opp de essensielle elementene i det matematiske systemet vi prøver å forstå, og så da vil du anta at systemet ditt har samme oppførsel som modellen din.
Strogatz (09:30): Ok. På et tidspunkt vil jeg høre noen eksempler på modeller og formodninger, og du vet, i hvilken grad de fungerer eller ikke fungerer på noen spørsmål eller ikke andre, men hvis du ikke har noe imot det, ville jeg liker å gå tilbake til noen få små personlige ting, liksom, fordi vi snakker her om tall, og du er en tallteoretiker. Folk kjenner kanskje ikke mange tallteoretikere i hverdagen. Så jeg lurer på om du kan fortelle oss det hva er tallteori, og også, hvorfor synes du det er interessant? Hvorfor kom du for å studere det?
Wood (10:02) Vel, tallteori er den matematiske studien av hele tallene. Så tenk 1, 2, 3, 4, 5. Og spesielt en av de viktige tingene i hele tallene er primtallene. Som du forklarte, helt i begynnelsen, er de byggesteinene som vi, gjennom multiplikasjon, kan bygge opp alle de andre tallene fra. Så fordi tallteorien er opptatt av alle disse hele tallene, er den også opptatt av byggeklossene deres, primtallene og hvordan andre tall inngår i primtall og hvordan de er bygget ut - opp av primtall.
Strogatz (10:37): Så, tallteori, for våre formål i dag, antar jeg, vil være studiet av hele tall, med en spesiell interesse for primtall. Det virker som en ganske god start. Jeg antar at det er mer enn det. Men det er kanskje en god definisjon for oss nå. Synes du det?
Wood (10:50): Det er en bra, det er en god start. Jeg mener, derfra utforsker man ytterligere ting som, vel, hva om du begynner å vurdere tallsystemer som er mer kompliserte enn bare hele tallene? Som du begynner å sette inn andre tall, som kvadratroten av 2, hva skjer da med primtall og faktorisering? Du blir ledet til flere spørsmål. Men ærlig talt, det er mye rik og vakker matematikk bare i hele tall og primtall.
Strogatz (11:16): Så med det i bakhodet, hvorfor synes du det er overbevisende? Hvorfor liker du studiet av tallteori? Hva trakk deg til det?
Wood (11:22): Jeg tror jeg liker at spørsmålene kan være så konkrete. Du vet, jeg går og snakker med barneskolebarn. Og jeg kan fortelle dem om, du vet, noen av tingene som – som jeg tenker på. Så, det er gøy for meg å jobbe med noe som på den ene siden kan være så konkrete spørsmål, men på den andre siden kan gåten med å prøve å løse det være så vanskelig. Jeg mener, folk har prøvd å svare på spørsmål om hele tallene, om primtallene i bokstavelig talt tusenvis av år.
(11:54) Og det er mange grener av matematikken. En av de viktige delene av moderne tallteori er at for å gjøre fremskritt med disse gjenstridige gamle spørsmålene som folk har jobbet med så lenge, må man bringe inn nye ideer, og må knytte forbindelser med andre deler av matematikken. Så selv om jeg vil kalle meg selv en tallteoretiker, bruker jeg matematikk fra alle slags felt. Fra å studere, du vet, geometri og topologi og formene til rom til sannsynlighet og studere tilfeldighet. Jeg bruker all slags matematikk, men for å prøve å si noe om ting som hele tall og primtall og faktorisering.
Strogatz (12:36): Ja, jeg elsker den visjonen om matematikk som dette gigantiske sammenkoblede nettet av ideer, og du kan ønske å bo i en bestemt del av den som er din favoritt. Men du har nevnt primtall som et spesielt interesseområde innen tallteori, egentlig den mest grunnleggende delen av det. Hva er vanskelig med dem? Det er ikke klart ennå, i vår diskusjon, hva som er så mystisk der? Som vi har definert dem, kan vi sannsynligvis fortsette å liste dem, antar jeg. Hva er noen av problemene du sikter til som er hundrevis av år gamle?
Wood (13:05): Vel, et av de største og viktigste spørsmålene, som kanskje er omtrent 120 år gammelt, er, sa du, «å, du kan liste dem opp. Hvis du gjorde det, hvor mange ville du finne?" Så la oss si at du listet opp primtallene, opptil hundre, eller tusen, eller hundre tusen, eller en million, en milliard. Når du lister opp primtall opp til større og større tall, hvor mange av disse tallene du går gjennom vil egentlig være primtall? Så å forstå at kvantiteten er virkelig hjertet av Riemann-hypotesen, som er en av Clay Math Institute Tusenårsprisproblemer, det er en millionpremie for et svar. Det er et av de mest kjente spørsmålene, og vi har ingen anelse om hvordan vi skal gjøre det, og det handler egentlig bare om spørsmålet om, når du lister opp disse primtallene, hvor mange vil du finne?
Strogatz (13:58): Ok. Det er morsomt, ikke sant? For når du begynner å lage listen, selv om noen bare tilfeldig begynte å liste opp tallene som er primtall opp til 100 — legger du merke til noen morsomme ting. Som, først 11 og 13, er de 2 fra hverandre. Femten, vel, det fungerer ikke, fordi det er delelig med 5 og 3. Så 17, så det er et gap på 4 nå, mellom 13 og 17. Men så er 19 tett igjen. Jeg vet ikke, jeg mener, så avstanden mellom primtallene kan være litt skjemmende. Som noen ganger er det et ganske stort gap der inne, og noen ganger er de rett ved siden av hverandre, bare 2 fra hverandre.
Wood (14:31): Ja, så forståelse for at mellomrom og disse hullene også har vært et stort spørsmål om interesse. Det har vært bemerkelsesverdig fremgang det siste tiåret i å forstå avstanden mellom primtallene. Men det er fortsatt et virkelig fristende, grunnleggende spørsmål som vi ikke vet svaret på. Så du nevnte at disse primtallene, 11 og 13, bare er 2 fra hverandre. Så slike primtall kalles tvillingprimtall. Vi kunne ikke forvente at primtallene skulle komme nærmere enn 2 fra hverandre siden etter 2 må alle være odde. Her er et åpent spørsmål i matematikk, som betyr at vi ikke vet svaret, og det er: Er det uendelig mange par av tvillingprimtall? Og så her, det er en formodning, formodningen ville være, ja. Jeg mener, ikke bare er det en formodning om at "ja, de bør fortsette for alltid, og det bør alltid være flere av dem," men det er til og med en formodning om, på en måte hvor mange du finner etter hvert som du går. Men det er helt åpent. Så vidt vi vet, kan det hende at når du først kommer til et veldig stort tall, stopper de bare og du finner ikke flere par med tvillingprimtall i det hele tatt.
Strogatz (15:40): Det er noe veldig poetisk med det, gripende, den tanken, som at det kan være slutten på linjen på et tidspunkt. Jeg mener, ingen av oss tror nok det. Men det er mulig, antar jeg, det kan tenkes at det er et siste ensomme tvillingpar som koser seg i mørket, langt der ute, vet du, på talllinjen.
Wood (15:57): Ja, det kan være det. Og du vet, som matematikere vil vi si, du vet, vi vet ikke. Selv om du kunne lage en graf mens du går av hvor mange du fant, hvis du plotter den grafen, ser det ut som om den definitivt går opp og opp med en hastighet som aldri ville snudd. Men jeg antar at det er en del av forskjellen mellom matematikk og naturfag er at vi beholder den skepsisen og sier, vel, vi vet ikke. Jeg mener, kanskje på et tidspunkt snur grafen seg, og det er ikke flere.
Strogatz (16:29): Så det — jeg liker bildet ditt der av en graf, fordi jeg tror alle kan relatere seg til denne ideen, om å lage et diagram, lage en slags graf. Du vet, tenker på primtallene som en slags data. Og så tror jeg at dette kanskje er et godt tidspunkt for oss å snu, for å begynne å snakke om sannsynlighetsteori. Og det virker litt rart å snakke om sannsynlighet og statistikk i forbindelse med primtallene, for det er ingen sjanse involvert her. Primtallene bestemmes av definisjonen vi ga, at de ikke er delbare. Men likevel har matematikere og tallteoretikere, som deg, brukt statistiske eller sannsynlighetsargumenter når de tenker på primtallene. Jeg lurer på om du kunne skissere noe sånt for meg ved å bruke myntflipping, og tilbake til - det vi snakket om i begynnelsen, oddetall og partall.
Wood (17:14): Ok. Så i motsetning til primtall, forstår vi faktisk veldig godt mønsteret med oddetall og partall. De går rart, partall, rart, partall, selvfølgelig. Men anta at vi ikke forsto det mønsteret. Og vi bruker dette for å forstå hvor mange oddetall du kan finne hvis du ser på alle tallene opp til en million. Du kan forestille deg, siden det er to muligheter, et tall kan være oddetall eller et tall kan være partall, at kanskje noen gikk med og snudde en mynt for hvert tall, og hvis mynten kom opp, var tallet oddetall. Og hvis mynten kom opp, var tallet partall. Og så kan du få den mynt-slippende personen til å gå langs talllinjen, vende en mynt ved hvert tall, og det kommer opp for eksempel å enten erklære det tallet oddetall eller partall.
(18:03) Nå er det på den ene siden tull. På den annen side vil mynt-flipping-modellen få noen ting riktig. For eksempel, hvis du sier, du vet, omtrent, hvor mange av tallene opp til en million er partall? Vi vet at omtrentlig antall myntsvingninger som for eksempel vil komme opp, hvis du gjør et stort antall myntsvingninger, som en million, er omtrent halvparten av dem. Og så, den modellen, så dum den enn kan være, kan fortsatt gi noen spådommer riktig. Og jeg må si at det kan høres dumt ut, for vi vet allerede svaret på det spørsmålet. Tanken er at vi bygger modeller for mer kompliserte mønstre, som hvor primtallene vises blant tallene, i stedet for bare hvor oddsen vises.
Strogatz (18:55): Ja. Jeg mener, jeg tror vi må understreke det - akkurat hvor dypt mystiske primtallene er. Det er ingen formel for primtall, slik det er en formel for oddetall. Som hvis du tenker, å, kom igjen, dette er - vi snakker virkelig om absurde ting her, det er faktisk veldig verdifullt å ha disse statistiske modellene som kan forutsi egenskaper som er gjennomsnittlige egenskaper. Som analogen til, vil halvparten av tallene mindre enn et stort tall være oddetall. Dette er noe som, når det gjelder primtall, er et veldig alvorlig, interessant spørsmål. Hvilken brøkdel av tall mindre enn et stort tall er primtall? Og, som du sier, du kan lage en statistisk modell som får det riktig. Og hva så, den samme modellen kan brukes til å forutsi hvor mange tvillingprimtall det ville være mindre enn et stort tall? Gjør samme modell en god jobb i så fall?
Wood (19:41): Så når det gjelder primtall, hvis vi skulle bygge en modell - vet du, og det er en modell som matematikere bruker som heter Cramér-modellen av primtallene – hvis vi skulle bygge en mynt-flipping-modell av primtall der vi forestiller oss noen som går langs talllinjen, og ved hvert tall, du vet, slenger en mynt, for eksempel for å bestemme om det tallet var primtall eller ikke primtall, ville vi innlemme så mye vi vet om primtallene i den modellen. Så først og fremst vet vi at det er mindre sannsynlig at store tall er primtall enn mindre tall. Så disse myntene må veies. Og vi ville – vi måtte prøve å legge inn nøyaktig de vektingene vi forventer. Og vi vet ting som, du kan ikke ha to primtall ved siden av hverandre, fordi en av dem må være oddetall og en av dem må være partall. Så vi legger det inn i modellen. Og så er det flere ting vi vet om primtallene.
(20:37) Så modellen er noe som starter med denne mynt-flipping-modellen, men så er den modifisert av alle disse andre reglene, og alle de andre tingene vi vet om primtallene. Og når du først har lagt alle de tingene vi vet inn i modellen, spør du denne mynt-flippingen, du vet, modellen, vel, ser du, uendelig ofte, at mynter kommer opp med bare 2 mellomrom? Og modellen forteller deg, å ja, vi ser det. Faktisk ser vi det med denne spesielle hastigheten vi kan gi deg en formel for. Og så, hvis du grafer antall faktiske tvillingprimtall, i de faktiske tallene, der det ikke er noen mynter snudd, mot det modellen forutsier, ser du at modellen gir deg en veldig nøyaktig prediksjon for antall par med tvillingprimtall. du finner etter hvert som du går. Og så tenker du, du vet, kanskje denne modellen vet hva den snakker om.
Strogatz (21:31): Det er flott. Jeg mener, det er litt viktig, hva vi nettopp har kommet til der, at - du har ikke brukt ordet datamaskiner ennå. Men jeg antar at du ikke gjør dette for hånd. Folkene som lister tvillingprimtal ut til, jeg vet ikke, hva snakker vi om? Trillioner billioner billioner? Jeg mener, dette er store tall vi snakker om, er vi ikke?
Wood (21:49): Vel, for opplistingen av tvillingprimtallene, det vil si - ville bli gjort med datamaskin, absolutt. Men for å bygge denne modellen og komme opp med formelen som modellen gir. Du vet, det er gjort for hånd, i hovedsak, ved at matematikere tenker på modellen og finner ut med den.
Strogatz (22:07): Det er så kult. Så det er der modellen viser tingene sine, at modellen faktisk kan forutsi hva datamaskinen ser. Og det krever ikke en datamaskin for å gjøre den spådommen. Det kan gjøres for hånd, av mennesker, og kan faktisk føre til bevis. Bortsett fra at det er bevis på egenskapene til modellen, ikke nødvendigvis bevis for det du er interessert i ennå.
Wood (22:28): Rett. Og på et tidspunkt stopper datamaskinen. Du vet, det er bare så mye datakraft. Men den formelen du ville fått, som modellen ville gi deg, som du kunne bevise er sann, igjen, om denne modellen med mynt-flipping, den formelen vil fortsette. Du kan legge inn større og større tall i den formelen, mye større enn datamaskinen din noensinne kunne beregnet med.
Strogatz (22:53): Så du har fortalt oss litt om hvordan tilfeldighet kan bidra til å gi modeller av interessante fenomener innen tallteori, og jeg er sikker på at det også er sant i andre deler av matematikken. Er det noen tilfeller der du kan bruke tilfeldighet for å gi faktiske bevis, ikke bare modeller?
Wood (23:10): Absolutt. En annen gren av matematikken kalles sannsynlighetsteori. Og i sannsynlighetsteori beviser de teoremer om tilfeldige systemer og hvordan de oppfører seg. Og du tenker kanskje at hvis du begynner med noe tilfeldig, og du gjør noe med det, vil du alltid ha noe tilfeldig. Men en av de bemerkelsesverdig vakre tingene man finner i sannsynlighetsteori er at noen ganger kan man få noe deterministisk ut av noe tilfeldig.
Strogatz (23:45): Vel, hvordan fungerer det? Som hva?
Wood (23:48): Ja. Så du har sett klokkekurven, eller normalfordelingen, vil matematikere kalle det. Det dukker opp overalt i naturen. Som det ser ut hvis du ser på folks blodtrykk, eller babyens fødselsvekter, eller noe. Og du tenker kanskje, å, denne klokkekurven, at dette er et, det er et faktum av naturen. Men faktisk er det en teorem, kalt den sentrale grensesetningen i sannsynlighetsteori, som forteller deg at faktisk, at denne klokkekurven på en eller annen måte ikke er et naturfaktum, men et faktum i matematikken. Den sentrale grensesetningen forteller deg at hvis du kombinerer en hel haug med små tilfeldige effekter uavhengig, vil utgangen av det alltid samsvare med en viss fordeling. Denne formen, denne bjellekurven. Matematikk, og sannsynlighetsteorien, kan bevise at hvis du har - hvis du kombinerer mange små uavhengige tilfeldige ting, vil utfallet av all den kombinasjonen gi deg en fordeling som ser ut som denne klokkekurven. Og så - selv om du ikke vet hvordan inngangene var. Og det er et veldig kraftig teorem og et veldig kraftig verktøy i matematikk.
Strogatz (25:05): Ja, det er det absolutt. Og jeg likte at du la vekt på at du ikke trenger å vite hva som skjer med de små effektene. At det, på en eller annen måte, blir vasket ut. Den informasjonen er ikke nødvendig. Klokkekurven er forutsigbar, selv om du ikke vet hva de små effektene er. Så lenge det er mange av dem og de er små. Og de påvirker ikke hverandre, ikke sant, de er uavhengige, på en eller annen måte.
Wood (25:27): Ja, absolutt. Og så det er en idé, du vet, noen ganger kalles det universalitet i sannsynlighetsteori, at det er visse typer maskiner som hvis du legger inn mange tilfeldige input, kan du forutsi utdataene. Som for eksempel at du ville fått denne bjellekurven, eller denne normalfordelingen, selv om du ikke vet hva du putter i maskinen. Og det er utrolig sterkt når det er ting vi ikke forstår så godt, fordi -
Strogatz (25:56): Men så, sier du meg – å, jeg beklager at jeg avskjærer deg – men forteller du meg at dette skjer i tallteori nå også? At vi på en eller annen måte får ideen om universalitet til å dukke opp i tallteori? Eller drømmer jeg?
Wood (26:09): Vel, til en viss grad vil jeg si at det er en drøm for meg som begynner. Du vet, vi er bare, vi tar de første skrittene for å se det bli realisert. Så det er ikke bare din drøm, det er min drøm også. Noe av arbeidet jeg gjør i dag og som mine samarbeidspartnere og jeg jobber med, er å prøve å gjøre den slags drøm til virkelighet slik at noen av disse forvirrende spørsmålene om tall som vi ikke vet svaret på, kanskje kunne forstå at det er mønstre som kommer ut, som en klokkekurve, som en normalfordeling, som vi kan bevise kom ut av maskinen selv om vi ikke vet hvilke mysterier som ble lagt inn.
Strogatz (26:55): Vel, det er en veldig inspirerende, spennende visjon, faktisk, og jeg håper alt går i oppfyllelse. Tusen takk for at du snakket med oss i dag, Melanie.
Wood (27:03): Takk. Dette var veldig gøy.
Hallo (27:06): Hvis du vil Gleden over hvorfor, sjekk ut Quanta Magazine Science Podcast, arrangert av meg, Susan Valot, en av produsentene av dette showet. Fortell også vennene dine om denne podcasten, og lik oss eller følg der du lytter. Det hjelper folk å finne Gleden over hvorfor podcast.
Strogatz (27: 26): Gleden over hvorfor er en podcast fra Quanta Magazine, en redaksjonelt uavhengig publikasjon støttet av Simons Foundation. Finansieringsbeslutninger fra Simons Foundation har ingen innflytelse på valg av emner, gjester eller andre redaksjonelle beslutninger i denne podcasten eller i Quanta Magazine. Gleden over hvorfor er produsert av Susan Valot og Polly Stryker. Våre redaktører er John Rennie og Thomas Lin, med støtte fra Matt Carlstrom, Annie Melchor og Leila Sloman. Temamusikken vår ble komponert av Richie Johnson. Logoen vår er av Jackie King, og kunstverk for episodene er av Michael Driver og Samuel Velasco. Jeg er verten din, Steve Strogatz. Hvis du har spørsmål eller kommentarer til oss, vennligst send oss en e-post på quanta@simonsfoundation.org. Takk for at du lyttet.
