Isaac Newton var ikke kjent for sin sjenerøsitet, og hans forakt for sine rivaler var legendarisk. Men i ett brev til sin konkurrent Gottfried Leibniz, nå kjent som Epistola Posterior, Newton fremstår som nostalgisk og nesten vennlig. I den forteller han en historie fra studietiden, da han nettopp begynte å lære matematikk. Han forteller hvordan han gjorde en stor oppdagelse som likestilte områder under kurver med uendelige summer ved å gjette og sjekke. Resonnementet hans i brevet er så sjarmerende og tilgjengelig at det minner meg om mønster-gjetting-spillene små barn liker å leke.
Det hele begynte da unge Newton leste John Wallis' Arithmetica Infinitorum, et banebrytende verk av matematikk fra 17-tallet. Wallis inkluderte en ny og induktiv metode for å bestemme verdien av pi, og Newton ønsket å tenke ut noe lignende. Han startet med problemet med å finne området til et "sirkulært segment" med justerbar bredde $latex x$. Dette er området under enhetssirkelen, definert av $latex y=sqrt{1-x^2}$, som ligger over delen av den horisontale aksen fra 0 til $latex x$. Her $latex x$ kan være et hvilket som helst tall fra 0 til 1, og 1 er radiusen til sirkelen. Arealet av en enhetssirkel er pi, som Newton godt visste, så når $latex x=1$, arealet under kurven er en fjerdedel av enhetssirkelen, $latexfrac{π}{4}$. Men for andre verdier av $latex x$, ingenting var kjent.
Hvis Newton kunne finne en måte å bestemme arealet under kurven for hver mulig verdi av $latex x$, det kan gi ham en enestående måte å tilnærme pi. Det var opprinnelig hans store plan. Men underveis fant han noe enda bedre: en metode for å erstatte kompliserte kurver med uendelige summer av enklere byggeklosser laget av potenser av $latex x$.
Newtons første skritt var å resonnere ved analogi. I stedet for å sikte direkte mot området til det sirkulære segmentet, undersøkte han områdene til analoge segmenter avgrenset av følgende kurver:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton visste at arealene under kurvene i listen med heltallspotenser (som $latex frac{0}{2}=0$ og $latex frac{2}{2} = 1$) ville være enkle å beregne, fordi de forenkler algebraisk. For eksempel,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Tilsvarende
Men ingen slik forenkling er tilgjengelig for sirkelens ligning — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— eller de andre kurvene med halve potenser. På den tiden visste ingen hvordan de skulle finne området under noen av dem.
Heldigvis var områdene under kurvene med heltallspotter greie. Ta kurven $latex y_4=1-2x^2+x^4$. En velkjent regel på den tiden for slike funksjoner tillot Newton (og alle andre) å finne arealet raskt: For enhver heltallspotts $latex nge 0$, arealet under kurven $latex y=x^n$ over intervallet fra $latex 0$ til $latex x$ er gitt av $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis hadde gjettet denne regelen med sin induktive metode, og Pierre de Fermat beviste det definitivt.) Bevæpnet med denne regelen visste Newton at området under kurven $latex y_4$ var $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Den samme regelen tillot ham å finne arealet under de andre kurvene med heltallspotenser i listen ovenfor. La oss skrive $latex A_n$ for arealet under kurven $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, der $latex n= 0, 1, 2, …$ . Å bruke regelen gir resultater
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
og så videre. Newtons utspekulerte idé var å fylle ut hullene, i håp om å gjette $latexA_1$ (serien for det ukjente området i det sirkulære segmentet) basert på det han kunne se i den andre serien. En ting var umiddelbart klart: Hver $latexA_n$ begynte ganske enkelt med $latex x$ . Det foreslo å endre formlene slik:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Deretter, for å erstatte den neste bunken med spørsmålstegn, så Newton på termene $latex x^3$. Med litt lisens kan vi se at til og med $latexA_0$ hadde en av disse kubiske termene, siden vi kan skrive den om til $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Som Newton forklarte til Leibniz, observerte han «at de andre leddene $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ osv., var i aritmetisk progresjon» (han refererte til 0, 1, 2, 3 i tellerne). I mistanke om at denne aritmetiske progresjonen også kan strekke seg inn i hullene, gjettet Newton at hele sekvensen av tellere, kjente og ukjente, burde være tall atskilt med $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ «og derav at de to første termene i serien» han var interessert i – den fortsatt ukjente $latex A_1$ , $latex A_3$ og $latex A_5$ — «burde være $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, osv.»
På dette stadiet foreslo mønstrene for Newton at $latex A_1$ skulle begynne som
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Dette var en god start, men han trengte mer. Mens han jaktet på andre mønstre, la Newton merke til at nevnerne i ligningene alltid inneholdt oddetall i økende rekkefølge. Se for eksempel på $latex A_6$, som har 1, 3, 5 og 7 i nevnerne. Det samme mønsteret fungerte for $latex A_4$ og $latex A_2$. Enkelt nok. Det mønsteret vedvarte tilsynelatende i alle nevnerne i alle ligningene.
Det som gjensto var å finne et mønster i tellerne. Newton undersøkte $latex A_2$, $latex A_4$ og $latex A_6$ igjen og oppdaget noe. I $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ så han en 1 som multipliserte $latex x$ og en annen 1 i termen $latexfrac {1}{3}x^3$ (han ignorerte dens negativt tegn foreløpig). I $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, så han tellere på 1, 2, 1. Og i $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , han så tellerne 1, 3, 3, 1. Disse tallene burde være kjent for alle som noen gang har studert Pascals trekant, et trekantet arrangement av tall som på sitt enkleste lages ved å legge sammen tallene over den, og starter med 1 øverst.
I stedet for å påkalle Pascal, omtalte Newton disse tellerne som "krefter av tallet 11." For eksempel 112 = 121, som er den andre raden i trekanten, og 113 = 1331, som er den tredje. I dag kalles disse tallene også binomiale koeffisienter. De oppstår når du utvider potensene til et binomial som ($latex a +b$), som i $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Med dette mønsteret i hånden hadde Newton nå en enkel måte å skrive ut $latex A_2, A_4, A_6$ og alle de andre partallene A'S.
Deretter, for å ekstrapolere resultatene sine til halve potenser og oddetallssubskripter (og til slutt komme til serien han ønsket, $latex A_1$), trengte Newton å utvide Pascals trekant til et fantastisk nytt regime: halvveis mellom radene. For å utføre ekstrapoleringen, utledet han en generell formel for de binomiale koeffisientene i en gitt rad i Pascals trekant — rad $latex m$ — og plugget deretter frekt inn $latex m= frac{1}{2}$. Og utrolig nok fungerte det. Det ga ham tellerne i serien han søkte for en enhetssirkel, $latexA_1$.
Her, med Newtons egne ord, er hans oppsummering til Leibniz av mønstrene han la merke til induktivt frem til dette stadiet i argumentasjonen:
Jeg begynte å reflektere over at nevnerne 1, 3, 5, 7, osv. var i aritmetisk progresjon, slik at kun de numeriske koeffisientene til tellerne fortsatt trengte å undersøkes. Men i de vekselvis gitte områdene var disse potensene til tallet 11 … det vil si først '1'; deretter '1, 1'; for det tredje, '1, 2, 1'; for det fjerde '1, 3, 3, 1'; for det femte '1, 4, 6, 4, 1' osv., og så begynte jeg å spørre hvordan de resterende tallene i serien kunne utledes fra de to første gitte figurene, og jeg fant ut at ved å sette $latex m$ for den andre figur, vil resten bli produsert ved kontinuerlig multiplikasjon av vilkårene i denne serien,
$latex frac{m-0}{1} ganger frac{m-1}{2} ganger frac {m-2}{3} ganger frac{m-3}{4} ganger frac {m-4}{5 }$ osv.
… Følgelig brukte jeg denne regelen for å sette inn serier mellom serier, og siden det andre leddet for sirkelen var $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, satte jeg $latex m=frac{1}{2}$, og vilkårene som oppsto var
$latex frac {1}{2} ganger frac{frac{1}{2}-1}{2}$ eller $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} ganger frac{frac{1}{2}-2}{3}$ eller $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} ganger frac{frac{1}{2}-3}{4}$ eller $latex – frac {5}{128}$,så til det uendelige. Hvorfra kom jeg til å forstå at området av det sirkulære segmentet jeg ønsket var
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Til slutt, ved å plugge inn $latex x=1$, kunne Newton oppnå en uendelig sum for $latexfrac{π}{4}$. Det var et viktig funn, men det viser seg at det er bedre måter å tilnærme pi ved hjelp av en uendelig sum, som Newton selv snart oppdaget etter dette innledende forsøket på denne typen uendelige summer, nå kalt potensserier. Til slutt regnet han ut de første 15 sifrene i pi.
For å komme tilbake til problemet med det sirkulære segmentet, innså Newton at ligningen for selve sirkelen (ikke bare området under den) også kunne representeres av en potensserie. Alt han trengte å gjøre var å utelate nevnerne og redusere potensene til $latex x$ med 1 i potensserien vist ovenfor. Dermed ble han ført til å gjette det
For å teste om dette resultatet var fornuftig, multipliserte Newton det med seg selv: "Det ble $latex 1-x^2$, de resterende leddene forsvant ved fortsettelsen av serien til det uendelige."
Når vi går litt tilbake fra detaljene, ser vi flere leksjoner her om problemløsning. Hvis et problem er for vanskelig, endre det. Hvis det virker for spesifikt, generaliser det. Newton gjorde begge deler og fikk resultater viktigere og kraftigere enn det han opprinnelig søkte.
Newton festet seg ikke hardnakket på en kvart sirkel. Han så på en mye mer generell form, ethvert sirkulært segment med bredde $latex x$. I stedet for å holde seg til $latex x=1$, lot han $latex x$ løpe fritt fra 0 til 1. Det avslørte den binomiale karakteren til koeffisientene i serien hans - det uventede utseendet til tall i Pascals trekant og deres generaliseringer - som la Newton se mønstre som Wallis og andre hadde savnet. Å se disse mønstrene ga Newton den innsikten han trengte for å utvikle teorien om kraftserier mye mer bredt og generelt.
I hans senere arbeid ga Newtons kraftserie ham en sveitsisk hærkniv for kalkulus. Med dem kunne han gjøre integraler, finne røtter til algebraiske ligninger og beregne verdiene til sinus, cosinus og logaritmer. Som han sa det: "Ved deres hjelp når analysen, kan jeg nesten si, til alle problemer."
Moralen: Å endre et problem er ikke juks. Det er kreativt. Og det kan være nøkkelen til noe større.
