Når det kommer til å forstå formen på bobleklynger, har matematikere levd etter vår fysiske intuisjon i årtusener. Såpebobleklynger i naturen ser ofte ut til å umiddelbart klikke seg inn i den laveste energitilstanden, den som minimerer det totale overflatearealet til veggene deres (inkludert veggene mellom boblene). Men å sjekke om såpebobler får denne oppgaven riktig - eller bare forutsi hvordan store bobleklynger skal se ut - er et av de vanskeligste problemene innen geometri. Det tok matematikere til slutten av 19-tallet å bevise at sfæren er den beste enkeltboblen, selv om den greske matematikeren Zenodorus hadde hevdet dette mer enn 2,000 år tidligere.
Bobleproblemet er enkelt nok til å si: Du starter med en liste over tall for volumene, og spør deretter hvordan du kan omslutte disse luftvolumene separat med minst overflateareal. Men for å løse dette problemet, må matematikere vurdere en lang rekke forskjellige mulige former for bobleveggene. Og hvis oppgaven er å omslutte for eksempel fem bind, har vi ikke engang luksusen av å begrense oppmerksomheten vår til klynger med fem bobler - kanskje den beste måten å minimere overflatearealet på er å dele et av volumene over flere bobler.
Selv i den enklere innstillingen av det todimensjonale planet (hvor du prøver å omslutte en samling av områder mens du minimerer omkretsen), vet ingen den beste måten å omslutte for eksempel ni eller 10 områder. Etter hvert som antallet bobler vokser, "raskt kan du ikke engang få noen plausible formodninger," sa Emanuel Milman fra Technion i Haifa, Israel.
Men for mer enn et kvart århundre siden, John Sullivan, nå ved det tekniske universitetet i Berlin, innså at det i visse tilfeller er en veiledende formodning å ha. Bobleproblemer gir mening i alle dimensjoner, og Sullivan fant ut at så lenge antallet volumer du prøver å omslutte maksimalt er ett større enn dimensjonen, er det en spesiell måte å omslutte volumene på, det er i en viss forstand, vakrere enn noen annen - en slags skygge av en perfekt symmetrisk bobleklynge på en kule. Denne skyggeklyngen, antok han, burde være den som minimerer overflatearealet.
I løpet av tiåret som fulgte skrev matematikere en serie banebrytende artikler som beviser Sullivans formodning når du prøver å vedlegge bare to bind. Her er løsningen den kjente doble boblen du kanskje har blåst i parken på en solrik dag, laget av to sfæriske biter med en flat eller sfærisk vegg mellom seg (avhengig av om de to boblene har samme eller ulike volum).
Men beviser Sullivans formodning for tre bind, matematikeren Frank Morgan fra Williams College spekulert i 2007, "kan godt ta hundre år til."
Nå har matematikere blitt spart for den lange ventetiden - og har fått langt mer enn bare en løsning på trippelbobleproblemet. I en papir lagt ut på nett i mai, Milman og Joe Neeman, fra University of Texas, Austin, har bevist Sullivans formodning for trippelbobler i dimensjon tre og oppover og firedoble bobler i dimensjon fire og oppover, med et oppfølgingsdokument om femdoble bobler i dimensjon fem og oppover.
Og når det kommer til seks eller flere bobler, har Milman og Neeman vist at den beste klyngen må ha mange av nøkkelegenskapene til Sullivans kandidat, og potensielt starte matematikere på veien for å bevise formodningen for disse tilfellene også. "Mitt inntrykk er at de har forstått den essensielle strukturen bak Sullivan-formodningen," sa Francesco Maggi ved University of Texas, Austin.
Milman og Neemans sentrale teorem er "monumental", skrev Morgan i en e-post. "Det er en strålende prestasjon med mange nye ideer."
Skyggebobler
Våre erfaringer med ekte såpebobler gir fristende intuisjoner om hvordan optimale bobleklynger skal se ut, i hvert fall når det gjelder små klynger. De tre- eller firedoble boblene vi blåser gjennom såpestaver ser ut til å ha sfæriske vegger (og noen ganger flate) og har en tendens til å danne tette klumper i stedet for for eksempel en lang kjede av bobler.
Men det er ikke så lett å bevise at dette virkelig er egenskapene til optimale bobleklynger. For eksempel vet ikke matematikere om veggene i en minimerende bobleklynge alltid er sfæriske eller flate - de vet bare at veggene har "konstant gjennomsnittlig krumning", som betyr at den gjennomsnittlige krumningen forblir den samme fra ett punkt til et annet. Kuler og flate overflater har denne egenskapen, men det har også mange andre overflater, for eksempel sylindre og bølgete former som kalles unduloider. Overflater med konstant gjennomsnittlig krumning er "en komplett dyrehage," sa Milman.
Men på 1990-tallet erkjente Sullivan at når antallet bind du ønsker å omslutte maksimalt er ett større enn dimensjonen, er det en kandidatklynge som ser ut til å overgå resten - en (og bare en) klynge som har funksjonene vi pleier å se i små klynger av ekte såpebobler.
For å få en følelse av hvordan en slik kandidat er bygget, la oss bruke Sullivans tilnærming til å lage en tre-boble-klynge i det flate planet (så våre "bobler" vil være områder i planet i stedet for tredimensjonale objekter). Vi starter med å velge fire punkter på en kule som alle er like langt fra hverandre. Forestill deg nå at hvert av disse fire punktene er sentrum av en liten boble, som bare lever på overflaten av kulen (slik at hver boble er en liten skive). Blås opp de fire boblene på kulen til de begynner å støte på hverandre, og fortsett deretter å blåse opp til de til sammen fyller ut hele overflaten. Vi ender opp med en symmetrisk klynge med fire bobler som får kulen til å se ut som et oppblåst tetraeder.
Deretter plasserer vi denne kulen på toppen av et uendelig flatt plan, som om kulen er en kule som hviler på et endeløst gulv. Tenk deg at ballen er gjennomsiktig og det er en lykt på nordpolen. Veggene til de fire boblene vil projisere skygger på gulvet, og danner veggene til en bobleklynge der. Av de fire boblene på kulen vil tre projisere ned til skyggebobler på gulvet; den fjerde boblen (den som inneholder nordpolen) vil rage ned til den uendelige gulvflaten utenfor klyngen av tre skyggebobler.
Den spesielle tre-boble-klyngen vi får avhenger av hvordan vi tilfeldigvis plasserte kulen når vi la den på gulvet. Hvis vi snurrer sfæren slik at et annet punkt beveger seg til lykten på nordpolen, vil vi vanligvis få en annen skygge, og de tre boblene på gulvet vil ha forskjellige områder. Matematikere har beviste at for hvilke som helst tre tall du velger for områdene, er det i hovedsak en enkelt måte å plassere kulen på, slik at de tre skyggeboblene vil ha akkurat disse områdene.
Vi står fritt til å utføre denne prosessen i alle dimensjoner (selv om høyere dimensjonale skygger er vanskeligere å visualisere). Men det er en grense for hvor mange bobler vi kan ha i skyggeklyngen vår. I eksemplet ovenfor kunne vi ikke ha laget en fire-boble-klynge i flyet. Det ville ha krevd å starte med fem punkter på sfæren som alle er i samme avstand fra hverandre - men det er umulig å plassere så mange ekvidistante punkter på en sfære (selv om du kan gjøre det med høyere dimensjonale sfærer). Sullivans prosedyre fungerer kun for å lage klynger på opptil tre bobler i todimensjonalt rom, fire bobler i tredimensjonalt rom, fem bobler i firedimensjonalt rom, og så videre. Utenfor disse parameterområdene eksisterer ikke bobleklynger i Sullivan-stil.
Men innenfor disse parameterne gir Sullivans prosedyre oss bobleklynger i innstillinger langt utover det vår fysiske intuisjon kan forstå. "Det er umulig å visualisere hva som er en 15-boble i [23-dimensjonalt rom]," sa Maggi. "Hvordan drømmer du til og med om å beskrive et slikt objekt?"
Likevel arver Sullivans boblekandidater fra sine sfæriske forfedre en unik samling egenskaper som minner om boblene vi ser i naturen. Veggene deres er alle sfæriske eller flate, og uansett hvor tre vegger møtes, danner de 120-graders vinkler, som i en symmetrisk Y-form. Hvert av volumene du prøver å omslutte ligger i en enkelt region, i stedet for å være delt over flere regioner. Og hver boble berører hverandre (og det ytre), og danner en tett klynge. Matematikere har vist at Sullivans bobler er de eneste klynger som tilfredsstiller alle disse egenskapene.
Da Sullivan antok at disse skulle være klynger som minimerer overflatearealet, sa han egentlig: "La oss anta skjønnhet," sa Maggi.
Men bobleforskere har god grunn til å være forsiktige med å anta at bare fordi en foreslått løsning er vakker, er den riktig. "Det er veldig kjente problemer ... hvor du forventer symmetri for minimere, og symmetri mislykkes spektakulært," sa Maggi.
For eksempel er det det nært beslektede problemet med å fylle uendelig plass med bobler med like volum på en måte som minimerer overflatearealet. I 1887 foreslo den britiske matematikeren og fysikeren Lord Kelvin at løsningen kan være en elegant honningkakelignende struktur. I mer enn et århundre trodde mange matematikere at dette var det sannsynlige svaret - frem til 1993, da et par fysikere identifisert en bedre, men mindre symmetrisk, alternativ. "Matematikk er full ... av eksempler hvor denne typen rare ting skjer," sa Maggi.
En mørk kunst
Da Sullivan kunngjorde formodningen sin i 1995, hadde den doble bobledelen av den allerede flytet rundt i et århundre. Matematikere hadde løst 2D dobbeltbobleproblem to år tidligere, og i tiåret som fulgte, løste de det inn tredimensjonalt rom og deretter inn høyere dimensjoner. Men når det kom til det neste tilfellet av Sullivans formodning – trippelbobler – kunne de det bevise formodningen bare i det todimensjonale planet, hvor grensesnittene mellom bobler er spesielt enkle.
Så i 2018 beviste Milman og Neeman en analog versjon av Sullivans formodning i en setting kjent som det gaussiske bobleproblemet. I denne innstillingen kan du tenke på at hvert punkt i rommet har en pengeverdi: Opprinnelsen er det dyreste stedet, og jo lenger du kommer fra opprinnelsen, jo billigere blir landet, og danner en klokkekurve. Målet er å lage kapslinger med forhåndsvalgte priser (i stedet for forhåndsvalgte volumer), på en måte som minimerer kostnadene for grensene til innhegningene (i stedet for grensenes overflate). Dette Gauss-bobleproblemet har applikasjoner innen informatikk til avrundingsskjemaer og spørsmål om støyfølsomhet.
Milman og Neeman sendte inn sine bevis til Annaler for matematikk, uten tvil matematikkens mest prestisjefylte tidsskrift (hvor det senere ble akseptert). Men paret hadde ingen intensjon om å kalle det en dag. Metodene deres virket lovende også for det klassiske bobleproblemet.
De kastet ideer frem og tilbake i flere år. "Vi hadde et 200-siders dokument med notater," sa Milman. Først føltes det som om de gjorde fremskritt. "Men så ble det raskt:" Vi prøvde denne retningen - nei. Vi prøvde [den] retningen — nei.'» For å sikre innsatsen deres, forfulgte begge matematikerne andre prosjekter også.
Så i fjor høst kom Milman på sabbatsår og bestemte seg for å besøke Neeman slik at paret kunne gjøre et konsentrert dytt på bobleproblemet. "I løpet av sabbatsperioden er det en god tid å prøve ting med høy risiko og høy gevinst," sa Milman.
De første månedene kom de ingen vei. Til slutt bestemte de seg for å gi seg selv en litt lettere oppgave enn Sullivans fulle formodning. Hvis du gir boblene dine en ekstra dimensjon av pusterom, får du en bonus: Den beste bobleklyngen vil ha speilsymmetri over et sentralplan.
Sullivans formodning handler om trippelbobler i dimensjon to og oppover, firedoble bobler i dimensjon tre og oppover, og så videre. For å få bonussymmetrien, begrenset Milman og Neeman oppmerksomheten til trippelbobler i dimensjon tre og oppover, firedoble bobler i dimensjon fire og oppover, og så videre. "Det var egentlig først da vi ga opp å få det for hele spekteret av parametere at vi virkelig gjorde fremskritt," sa Neeman.
Med denne speilsymmetrien til rådighet, kom Milman og Neeman opp med et forstyrrelsesargument som innebærer å blåse litt opp halvparten av bobleklyngen som ligger over speilet og tømme halvdelen som ligger under den. Denne forstyrrelsen vil ikke endre volumet til boblene, men det kan endre overflaten deres. Milman og Neeman viste at hvis den optimale bobleklyngen har vegger som ikke er sfæriske eller flate, vil det være en måte å velge denne forstyrrelsen slik at den reduserer klyngens overflateareal - en selvmotsigelse, siden den optimale klyngen allerede har minst overflate område mulig.
Å bruke forstyrrelser for å studere bobler er langt fra en ny idé, men å finne ut hvilke forstyrrelser som vil oppdage de viktige egenskapene til en bobleklynge er "litt av en mørk kunst," sa Neeman.
Med etterpåklokskap, "når du ser [Milman og Neemans forstyrrelser], ser de ganske naturlige ut," sa Joel Hass ved University of California, Davis.
Men å gjenkjenne forstyrrelsene som naturlige er mye lettere enn å komme på dem i utgangspunktet, sa Maggi. "Det er langt på vei ikke noe du kan si, 'til slutt ville folk ha funnet det'," sa han. "Det er virkelig genialt på et veldig bemerkelsesverdig nivå."
Milman og Neeman var i stand til å bruke forstyrrelsene sine for å vise at den optimale bobleklyngen må tilfredsstille alle kjernetrekkene til Sullivans klynger, kanskje bortsett fra én: bestemmelsen om at hver boble må berøre hverandre. Dette siste kravet tvang Milman og Neeman til å kjempe med alle måtene bobler kan koble seg til en klynge. Når det gjelder bare tre eller fire bobler, er det ikke så mange muligheter å vurdere. Men etter hvert som du øker antallet bobler, vokser antallet forskjellige mulige tilkoblingsmønstre, enda raskere enn eksponentielt.
Milman og Neeman håpet først å finne et overordnet prinsipp som ville dekke alle disse sakene. Men etter å ha brukt noen måneder på å «bryte hodene våre», sa Milman, bestemte de seg for nå med en mer ad hoc-tilnærming som tillot dem å håndtere trippel- og firedoble bobler. De har også annonsert et upublisert bevis på at Sullivans femdobbelte boble er optimal, selv om de ennå ikke har fastslått at det er den eneste optimale klyngen.
Milman og Neemans arbeid er "en helt ny tilnærming snarere enn en utvidelse av tidligere metoder," skrev Morgan i en e-post. Det er sannsynlig, spådde Maggi, at denne tilnærmingen kan skyves enda lenger - kanskje til klynger med mer enn fem bobler, eller til tilfellene av Sullivans formodninger som ikke har speilsymmetrien.
Ingen forventer at ytterligere fremgang kommer lett; men det har aldri avskrekket Milman og Neeman. "Fra min erfaring," sa Milman, "alle de viktigste tingene jeg var heldig nok til å kunne gjøre krevde bare ikke å gi opp."
