Den mystiske matematikken til biljardbord | Quanta Magazine

I Disneys film fra 1959 Donald i Mathmagic Land, Donald Duck, inspirert av fortellerens beskrivelser av geometrien til biljard, slår energisk til køballen, sender den rikosjetterende rundt bordet før den til slutt treffer de tiltenkte ballene. Donald spør: "Hvordan liker du det for matematikk?"

Fordi rektangulære biljardbord har fire vegger som møtes i rette vinkler, er biljardbaner som Donalds forutsigbare og godt forstått - selv om de er vanskelige å gjennomføre i praksis. Imidlertid kan forskningsmatematikere fortsatt ikke svare på grunnleggende spørsmål om mulige baner for biljardkuler på bord i form av andre polygoner (former med flate sider). Selv trekanter, den enkleste av polygoner, har fortsatt mysterier.

Er det alltid mulig å treffe en ball slik at den går tilbake til utgangspunktet i samme retning og skaper en såkalt periodisk bane? Ingen vet. For andre, mer kompliserte former, er det ukjent om det er mulig å slå ballen fra et hvilket som helst punkt på bordet til et hvilket som helst annet punkt på bordet.

Selv om disse spørsmålene ser ut til å passe tett innenfor rammen av geometri slik det undervises på videregående, har forsøk på å løse dem krevd at noen av verdens fremste matematikere har hentet inn ideer fra ulike felt, inkludert dynamiske systemer, topologi og differensialgeometri. Som med ethvert stort matematikkproblem, har arbeidet med disse problemene skapt ny matematikk og har ført tilbake til og avansert kunnskap på de andre feltene. Til tross for all denne innsatsen, og den innsikten moderne datamaskiner har gitt, motstår disse tilsynelatende enkle problemene hardnakket løsning.

Her er hva matematikere har lært om biljard siden Donald Ducks episk sammenfiltrede skudd.

De antar vanligvis at biljardkulen deres er et uendelig lite, dimensjonsløst punkt og at den spretter av veggene med perfekt symmetri, og går i samme vinkel som den ankommer, som vist nedenfor.

Uten friksjon reiser ballen på ubestemt tid med mindre den når et hjørne, som stopper ballen som en lomme. Grunnen til at biljard er så vanskelig å analysere matematisk er at to nesten identiske skudd som lander på hver side av et hjørne kan ha vilt divergerende baner.

En nøkkelmetode for å analysere polygonal biljard er ikke å tenke på at ballen spretter fra bordets kant, men i stedet å forestille seg at hver gang ballen treffer en vegg, fortsetter den å reise inn i en ny kopi av bordet som snus over den. kant, og produserer et speilbilde. Denne prosessen (sett nedenfor), kalt utfoldingen av biljardbanen, lar ballen fortsette i en rettlinjet bane. Ved å brette de forestilte bordene tilbake på naboene, kan du gjenopprette den faktiske banen til ballen. Dette matematiske trikset gjør det mulig å bevise ting om banen som ellers ville vært utfordrende å se.

For eksempel kan den brukes til å vise hvorfor enkle rektangulære tabeller har uendelig mange periodiske baner gjennom hvert punkt. Et lignende argument gjelder for ethvert rektangel, men for konkrethetens skyld, se for deg et bord som er dobbelt så bredt som det er langt.

Anta at du vil finne en periodisk bane som krysser tabellen n ganger i lang retning og m ganger i kort retning. Siden hvert speilbilde av rektangelet tilsvarer ballen som spretter fra en vegg, må banen krysse bordet et likt antall ganger i begge retninger for at ballen skal gå tilbake til startpunktet i samme retning. Så m og n må være jevnt. Legg ut et rutenett med identiske rektangler, hver sett på som et speilbilde av naboene. Tegn et linjestykke fra et punkt på originaltabellen til det identiske punktet på en kopi n bord unna i lang retning og m bord unna i kort retning. Juster det opprinnelige punktet litt hvis banen går gjennom et hjørne. Her er et eksempel hvor n = 2 og m = 6. Når den er brettet opp igjen, produserer banen en periodisk bane, som vist i det grønne rektangelet.

En trekantulikhet

Biljard i trekanter, som ikke har den fine rettvinklede geometrien til rektangler, er mer komplisert. Som du kanskje husker fra high school geometri, er det flere typer trekanter: spisse trekanter, der alle tre indre vinkler er mindre enn 90 grader; rette trekanter, som har en 90-graders vinkel; og stumpe trekanter, som har én vinkel som er mer enn 90 grader.

Biljardbord formet som spisse og rette trekanter har periodiske baner. Men ingen vet om det samme gjelder for stumpe trekanter.

For å finne en periodisk bane i en spiss trekant, tegn en vinkelrett linje fra hvert toppunkt til motsatt side, sett til venstre, nedenfor. Sammenføy punktene der de rette vinklene oppstår for å danne en trekant, som vist til høyre.

Denne innskrevne trekanten er en periodisk biljardbane kalt Fagnano-bane, oppkalt etter Giovanni Fagnano, som i 1775 viste at denne trekanten har den minste omkretsen av alle innskrevne trekanter.

På begynnelsen av 1990-tallet, Fred Holt ved University of Washington og Gregory Galperin og hans samarbeidspartnere ved Moscow State University uavhengig av hverandre viste at hver rettvinklet trekant har periodiske baner. En enkel måte å vise dette på er å reflektere trekanten rundt det ene benet og deretter det andre, som vist nedenfor.

Start med en bane som er i rett vinkel til hypotenusen (langsiden av trekanten). Hypotenusen og dens andre refleksjon er parallelle, så et vinkelrett linjestykke som forbinder dem tilsvarer en bane som vil sprette frem og tilbake for alltid: Ballen forlater hypotenusen i rett vinkel, spretter av begge bena, går tilbake til hypotenusen på høyre side. vinkel, og går deretter tilbake til ruten.

Men stumpe trekanter forblir et mysterium. I deres artikkel fra 1992 kom Galperin og hans samarbeidspartnere opp med en rekke metoder for å reflektere stumpe trekanter på en måte som lar deg lage periodiske baner, men metodene fungerte bare for noen spesielle tilfeller. Så, i 2008, Richard Schwartz ved Brown University viste at alle stumpe trekanter med vinkler på 100 grader eller mindre inneholder en periodisk bane. Hans tilnærming innebar å dele opp problemet i flere tilfeller og verifisere hvert tilfelle ved å bruke tradisjonell matematikk og datahjelp. I 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore og George Tokarsky ved University of Alberta utvidet denne terskelen til 112.3 grader. (Tokarsky og Marinov hadde brukt mer enn et tiår jakter på dette målet.)

En topologisk vending

En annen tilnærming har blitt brukt for å vise at hvis alle vinklene er rasjonelle - det vil si at de kan uttrykkes som brøker - må stumpe trekanter med enda større vinkler ha periodiske baner. I stedet for bare å kopiere en polygon på et flatt plan, kartlegger denne tilnærmingen kopier av polygoner på topologiske overflater, smultringer med ett eller flere hull i dem.

Hvis du reflekterer et rektangel over den korte siden, og deretter reflekterer begge rektanglene over deres lengste side, lager fire versjoner av det originale rektangelet, og deretter limer toppen og bunnen sammen og venstre og høyre sammen, vil du ha laget en smultring, eller torus, som vist nedenfor. Biljardbaner på bordet tilsvarer baner på torus, og omvendt.

I en landemerkeartikkel fra 1986, Howard Masur brukte denne teknikken for å vise at alle polygonale tabeller med rasjonelle vinkler har periodiske baner. Hans tilnærming fungerte ikke bare for stumpe trekanter, men for langt mer kompliserte former: Uregelmessige 100-sidige tabeller, for eksempel, eller polygoner hvis vegger sikk og zag danner kriker og kroker, har periodiske baner, så lenge vinklene er rasjonelle.

Noe bemerkelsesverdig innebærer eksistensen av én periodisk bane i en polygon eksistensen av uendelig mange; å forskyve banen med bare en liten bit vil gi en familie av relaterte periodiske baner.

Belysningsproblemet

Former med kriker og kroker gir opphav til et relatert spørsmål. I stedet for å spørre om baner som går tilbake til utgangspunktet, spør dette problemet om baner kan besøke hvert punkt på et gitt bord. Dette kalles belysningsproblemet fordi vi kan tenke på det ved å forestille oss en laserstråle som reflekterer fra speilvegger som omslutter biljardbordet. Vi spør om du, gitt to poeng på et bestemt bord, alltid kan skinne en laser (idealisert som en uendelig tynn lysstråle) fra det ene punktet til det andre. For å si det på en annen måte, hvis vi plasserte en lyspære, som skinner i alle retninger samtidig, på et tidspunkt på bordet, ville den lyse opp hele rommet?

Det har vært to hovedlinjer for forskning på problemet: finne former som ikke kan belyses og bevise at store klasser av former kan være det. Mens det å finne rare figurer som ikke kan belyses kan gjøres gjennom en smart bruk av enkel matematikk, har det kun vært mulig å bevise at mange former kan belyses ved bruk av tungt matematisk maskineri.

I 1958, Roger Penrose, en matematiker som fortsatte med å vinne 2020 Nobelprisen i fysikk, fant en buet tabell der et punkt i en region ikke kunne lyse opp noe punkt i en annen region. I flere tiår kunne ingen komme opp med en polygon som hadde samme egenskap. Men i 1995 brukte Tokarsky et enkelt faktum om trekanter for å lage en blokkaktig 26-sidig polygon med to punkter som er gjensidig utilgjengelige, vist nedenfor. Det vil si at en laserstråle som er skutt fra ett punkt, uavhengig av retningen, ikke kan treffe det andre punktet.

Hovedideen som Tokarsky brukte da han bygde sitt spesielle bord var at hvis en laserstråle starter i en av de spisse vinklene i en 45°-45°-90° trekant, kan den aldri gå tilbake til det hjørnet.

Hans taggete bord er laget av 29 slike trekanter, arrangert for å gjøre smart bruk av dette faktum. I 2019 Amit Wolecki, den gang en doktorgradsstudent ved Tel Aviv University, brukte denne samme teknikken på lage en form med 22 sider (vist nedenfor), som han beviste var det minste mulige antall sider for en form som hadde to indre punkter som ikke lyser opp hverandre.

Å bevise resultater i den andre retningen har vært mye vanskeligere. I 2014 ble Maryam Mirzakhani, en matematiker ved Stanford University, den første kvinnen som vinne Fields-medaljen, matematikkens mest prestisjefylte pris, for hennes arbeid med modulrommene til Riemann-overflater - en slags generalisering av smultringene som Masur brukte for å vise at alle polygonale tabeller med rasjonelle vinkler har periodiske baner. I 2016, Samuel Lelièvre ved Paris-Saclay University, Thierry Monteil fra det franske nasjonale senteret for vitenskapelig forskning og Barak Weiss ved Tel Aviv University brukte en rekke av Mirzakhanis resultater å vise at et hvilket som helst punkt i en rasjonell polygon lyser opp alle punkter unntatt endelig mange. Det kan være isolerte mørke flekker (som i Tokarskys og Woleckis eksempler), men ingen mørke områder som det er i Penrose-eksemplet, som har buede vegger i stedet for rette. I Woleckis artikkel fra 2019, styrket han dette resultatet ved å bevise at det bare er endelig mange par uopplysbare punkter.

Dessverre, Mirzakhani døde i 2017 i en alder av 40, etter en kamp med kreft. Arbeidet hennes virket fjernt fra lureskudd i biljardhaller. Og likevel viser analyse av biljardbaner hvordan selv den mest abstrakte matematikken kan kobles til verden vi lever i.