Sannsynlighet og tallteori kolliderer - på et øyeblikk

Ambisjonene deres var alltid høye. Da Will Sawin og Melanie Matchett Wood først begynte å jobbe sammen sommeren 2020, satte de seg for å revurdere nøkkelkomponentene i noen av de mest fristende formodningene innen tallteori. Emnene for oppmerksomheten deres, klassegrupper, er nært knyttet til grunnleggende spørsmål om hvordan aritmetikk fungerer når tall strekkes utover heltallene. Sawin, ved Columbia University, og Wood, ved Harvard, ønsket å komme med spådommer om strukturer som er enda mer generelle og matematisk skremmende enn klassegruppen.

Allerede før de var ferdige med å formulere spådommene sine, beviste de i oktober en nytt resultat som lar matematikere bruke et av de mest nyttige verktøyene innen sannsynlighetsteori, ikke bare på klassegrupper, men også på samlinger av tall, nettverk og mange andre matematiske objekter.

"Dette kommer bare til å være det grunnleggende papiret som alle vender seg til når de begynner å tenke på disse problemene," sa David Zureick-Brown, en matematiker ved Emory University. "Det føles ikke som om du trenger å finne opp ting fra bunnen av lenger."

En klasselov

En klassegruppe er et eksempel på et strukturert matematisk sett kalt en gruppe. Grupper inkluderer mange kjente sett, som heltall. Det som gjør heltallene til en gruppe, i stedet for bare et sett med tall, er at du kan legge sammen elementene og få et nytt heltall. Generelt er et sett en gruppe hvis det kommer med en operasjon som, i likhet med addisjon, kombinerer to elementer til et tredje element på en måte som tilfredsstiller noen grunnleggende krav. For eksempel bør det være en versjon av null, et element som ikke endrer noen av de andre.

Heltallene, som matematikere vanligvis kaller $latex mathbb{Z}$, er uendelige. Men mange grupper har et begrenset antall elementer. For å lage en gruppe som har fire elementer, bør du vurdere settet {0, 1, 2, 3}. I stedet for å utføre vanlig addisjon, del summen av to vilkårlige tall med 4 og ta resten. (Under disse reglene er 2 + 2 = 0 og 2 + 3 = 1.) Denne gruppen kalles $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Generelt, hvis du vil lage en gruppe med $latex n$ elementer, kan du ta tallene null gjennom n – 1 og vurder resten når du deler på n. Den resulterende gruppen kalles $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, men dette er ikke alltid den eneste gruppen med n elementer.

Klassegruppen dukker opp når tallteoretikere undersøker strukturen til tall utover heltallene. For å gjøre dette legger de til nye tall til heltallene, som f.eks i (kvadratroten av −1), $latex sqrt{5}$, eller til og med $latex sqrt{–5}$.

«Ting vi er vant til om tall er ikke lenger sant i denne sammenhengen. Eller i det minste er de ikke nødvendigvis sanne," sa Jordan Ellenberg, en matematiker ved University of Wisconsin, Madison.

Spesifikt fungerer factoring annerledes i utvidelser av heltallene. Hvis du bare holder deg til heltallene, kan tall faktoriseres til primtall (tall som bare kan deles på seg selv og 1) på bare én måte. For eksempel er 6 2 × 3, og det kan ikke faktoriseres inn i andre primtall. Denne egenskapen kalles unik faktorisering.

Men hvis du legger til $latex sqrt{–5}$ i tallsystemet ditt, har du ikke unik faktorisering lenger. Du kan faktor 6 inn i primtall på to forskjellige måter. Det er fortsatt 2 × 3, men det er også $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Klassegrupper opprettes fra slike utvidelser til heltallene. "Klassegrupper er utrolig viktige," sa Wood. "Og så det er naturlig å lure på: Hvordan er de vanligvis?"

Størrelsen på klassegruppen knyttet til enhver utvidelse av heltallene er et barometer for hvor mye unik faktorisering brytes ned. Selv om matematikere har bevist at klassegrupper alltid er endelige, er det komplisert å finne ut av deres struktur og størrelse. Det er derfor i 1984, Henri Cohen og Hendrik Lenstra våget noen gjetninger. Formodningene deres, nå kalt Cohen-Lenstra-heuristikk, gjaldt alle klassegruppene som dukker opp når du legger til nye kvadratrøtter til heltallene. Hvis alle disse klassegruppene var samlet, foreslo Cohen og Lenstra svar på spørsmål som: Hvor stor andel av dem inneholder gruppen $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Eller $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Eller en annen kjent type endelig gruppe?

Cohen og Lenstra presset tallteoretikere til å vurdere ikke bare isolerte eksempler på klassegrupper, men statistikk som ligger til grunn for klassegrupper som helhet. Deres spådommer utnyttet en visjon om matematikk som et univers med mønstre som skulle avdekkes på alle nivåer.

Nesten 40 år senere er Cohen-Lenstra-heuristikkene antatt å være sanne, selv om ingen har vært i nærheten av å bevise dem. Deres innvirkning på matematikken har vært til å ta og føle på, sa Nigel Boston, professor emeritus ved University of Wisconsin, Madison. "Det som har blitt oppdaget er dette fantastiske nettet," sa han. "Det er denne enorme infrastrukturen for måten vi tror verden er satt sammen på."

Den eneste spillet i byen

Ute av stand til å takle heuristikken direkte, kom matematikere opp med mer håndterbare problemer som de håpet ville belyse situasjonen. Fra det arbeidet dukket det opp et nyttig sett med mengder som matematikere begynte å kalle øyeblikk, etter et begrep brukt i sannsynlighetsteori.

Med sannsynlighet kan øyeblikk hjelpe deg med å finne ut fordelingen bak tilfeldige tall. Vurder for eksempel fordelingen av den daglige høye temperaturen 1. januar i New York City - sjansene for at den 1. januar neste år vil være 10 grader Fahrenheit, eller 40 grader, eller 70 eller 120. Alt du trenger å jobbe med med er tidligere data: en historie med den daglige høyden på 1. januar hvert år siden begynnelsen av registrert historie.

Hvis du regner ut gjennomsnittet av disse temperaturene, lærer du litt, men ikke alt. En gjennomsnittlig høy temperatur på 40 grader forteller deg ikke sjansene for at temperaturen vil være over 50 grader eller under 20 grader.

Men dette endres hvis du får mer informasjon. Nærmere bestemt kan du lære gjennomsnittet av kvadratet av temperaturen, en mengde kjent som det andre øyeblikket av fordelingen. (Gjennomsnittet er det første øyeblikket.) Eller du kan lære gjennomsnittet av kubene, som er kjent som det tredje øyeblikket, eller gjennomsnittet av de fjerde potensene - det fjerde øyeblikket.

På 1920-tallet hadde matematikere funnet ut at hvis øyeblikkene i denne serien vokser tilstrekkelig sakte, så kan du ved å kjenne alle øyeblikkene trekke ut at bare én mulig distribusjon har disse øyeblikkene. (Selv om dette ikke nødvendigvis lar deg beregne fordelingen direkte.)

"Det er virkelig lite intuitivt," sa Wood. «Hvis du tenker på en kontinuerlig distribusjon, har den en viss form. Det føles på en måte som om det har mer enn det som bare kan fanges opp i en rekke tall."

Matematikere som er interessert i Cohen-Lenstra-heuristikken fant ut at akkurat som momenter i sannsynlighetsteori kunne brukes for å oppnå en sannsynlighetsfordeling, kan momenter definert på en spesiell måte for klassegrupper være en linse som vi kan se deres størrelse og struktur gjennom. . Jacob Tsimerman, en matematiker ved University of Toronto, sa at han ikke kan forestille seg hvordan fordelingen av klassegruppestørrelser kan beregnes direkte. Å bruke øyeblikk, sa han, er "mer enn enklere. Det er det eneste spillet i byen.»

Dette magiske øyeblikket

Mens hvert øyeblikk i sannsynlighet er assosiert med et heltall - den tredje potensen, den fjerde potensen og så videre - tilsvarer de nye størrelsene introdusert av tallteoretikere hver en gruppe. Disse nye øyeblikkene avhenger av at man ofte kan redusere en gruppe til en mindre gruppe ved å kollapse ulike elementer sammen.

For å beregne øyeblikket knyttet til en gruppe G, ta alle mulige klassegrupper - en for hver ny kvadratrot du legger til heltallene. For hver klassegruppe, tell opp antall forskjellige måter du kan skjule den til G. Ta deretter gjennomsnittet av disse tallene. Denne prosessen kan virke kronglete, men den er langt enklere å jobbe med enn den faktiske fordelingen bak Cohen og Lenstras spådommer. Selv om Cohen-Lenstra-heuristikkene i seg selv er kompliserte å angi, er øyeblikkene i distribusjonen de spår alle 1.

"Det får deg til å tenke, wow, kanskje øyeblikkene er den naturlige måten å nærme seg det på," sa Ellenberg. "Det virker mer troverdig å kunne bevise at noe er lik 1 enn å bevise at det er lik et eller annet sprøtt uendelig produkt."

Når matematikere studerer fordelinger over grupper, (klassegrupper eller annet) ender de opp med en ligning for hver gruppe G, med sannsynlighetene som nå representerer for eksempel andelen klassegrupper som ser ut som $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Med uendelig mange ligninger, og uendelig mange mulige klassegrupper, er det vanskelig å løse for sannsynlighetene. Det er ikke åpenbart at det i det hele tatt er fornuftig å gjøre det.

"Når du har uendelige summer, kan ting gå galt," sa Wood.

Likevel vendte matematikere, som fortsatt ikke var i stand til å finne andre veier for å studere distribusjonene, tilbake til øyeblikksproblemet. I arbeid publisert i Annaler for matematikk i 2016, Ellenberg, sammen med Akshay Venkatesh og Craig Westerland, brukte øyeblikk å studere statistikken til klassegrupper i en litt annen setting enn Cohen og Lenstra hadde vurdert. Denne ideen var gjenbrukes flere ganger. Men hver gang forskerne brukte øyeblikkene, støttet de seg på særhetene ved deres spesielle problem for å bevise at det uendelige settet med ligninger hadde en løsning. Det betydde at teknikkene deres ikke var overførbare. Den neste matematikeren som trengte å bruke øyeblikk, måtte løse øyeblikksproblemet på nytt.

I starten av samarbeidet planla Sawin og Wood også å gå denne ruten. De ville bruke øyeblikk til å komme med spådommer om hvordan mer kompliserte versjoner av klassegrupper ble distribuert. Men omtrent et år etter prosjektet vendte de fokuset mot selve øyeblikksproblemet.

Blir avledet

Kolleger beskriver Sawin og Wood som uvanlig lidenskapelig opptatt av arbeidet sitt. «De er begge veldig smarte. Men det er mange smarte mennesker,” sa Zureick-Brown. "De har bare denne positive holdningen til å gjøre matematikk."

I utgangspunktet ønsket Sawin og Wood å bruke øyeblikk til å utvide Cohen-Lenstra-spådommene til nye innstillinger. Men de ble snart misfornøyde med argumentet om øyeblikksproblem. "Vi hadde behov for å skrive lignende argumenter gjentatte ganger," husket Sawin. Dessuten la han til, at det matematiske språket de brukte "så ikke ut til å være kjernen i hva argumentasjonen gjorde ... ideene var der, men vi hadde bare ikke funnet den rette måten å uttrykke dem på."

Sawin og Wood gravde dypere i bevisene deres, og prøvde å finne ut hva som egentlig lå under det hele. De endte opp med et bevis som løste øyeblikksproblemet ikke bare for deres spesifikke anvendelse, men for enhver fordeling av grupper - og for alle slags andre matematiske strukturer.

De deler problemet opp i små, håndterbare trinn. I stedet for å prøve å løse for hele sannsynlighetsfordelingen på én gang, fokuserte de på bare en liten del av øyeblikkene.

For å løse øyeblikksproblemet for en sannsynlighetsfordeling over grupper, vil hvert øyeblikk for eksempel være assosiert med en gruppe G. Til å begynne med ville Sawin og Wood se på et ligningssystem som bare inkluderte øyeblikkene for en begrenset liste over grupper. De ville deretter sakte legge til grupper på listen, og se på flere og flere øyeblikk hver gang. Ved å gradvis gjøre problemet mer komplekst, gjorde de hvert trinn til et løsbart problem. Bit for bit bygget de opp til en fullstendig løsning av øyeblikkets problem.

"Den faste listen er omtrent som brillene du setter på deg, og jo flere grupper du er villig til å vurdere, jo bedre er brillene dine," forklarte Wood.

Da de til slutt tørket støv av de siste uvedkommende detaljene, fant de seg selv med en krangel hvis ranker nådde ut over matematikken. Resultatet deres fungerte for klassegrupper, for grupper assosiert med geometriske former, for nettverk av prikker og linjer, så vel som for andre sett med mer matematisk intrikate. I alle disse situasjonene fant Sawin og Wood en formel som tar inn et sett med øyeblikk og spytter ut fordelingen som har disse øyeblikkene (så lenge øyeblikkene ikke vokser for raskt, blant andre krav).

"Det er veldig mye i Melanies stil," sa Ellenberg. "For å si: 'La oss bevise et veldig generelt teorem som håndterer mange forskjellige tilfeller på en måte jevnt og elegant.'"

Sawin og Wood er nå på vei tilbake til sitt opprinnelige mål. I begynnelsen av januar delte de en ny papir som retter opp feilaktige Cohen-Lenstra-spådommer laget på slutten av 1980-tallet av Cohen og hans kollega Jacques Martinet. Utover det har de enda flere resultater i køen, med planer om å utvide heuristikken til enda flere nye situasjoner. "Jeg vet ikke om dette prosjektet noen gang vil ta slutt," sa Sawin.

Øyeblikksproblemet som Sawin og Wood løste har vært "en slags torn i bakhodet for mange forskjellige spørsmål," sa Tsimerman. "Jeg tror mange matematikere kommer til å puste lettet ut."