En kort historie om vanskelig matematisk flislegging | Quanta Magazine

Hver dag ser vi eksempler på gjentakende motiver. Denne symmetrien og regelmessigheten kan virke hverdagslig og nesten usynlig, som med murverk på bygningsvegger eller det sekskantede mønsteret i en honningkake. Eller hvis vi er så heldige å møte noe som det elegante flisarbeidet i Spanias Alhambra eller MC Eschers kreative tegninger, kan mønstrene inspirere og forbløffe oss.

I århundrer har matematikere lekt med disse repeterende formene, og hentet fascinerende innsikter og nye muligheter fra dem. Skjønnheten i matematikken konkurrerer med skjønnheten til selve designene.

De enkleste flisene er laget av identiske polygoner med sider av lik lengde og like store vinkler sammenføyd helkant til helkant. Men selv om det er uendelig mange av disse "vanlige" polygonene - en for hvert antall sider - er det bare tre vanlige fliser, dannet av former med tre, fire eller seks sider - det vil si trekanter, firkanter og sekskanter.

De andre formene er bare ikke bygd for det. En vanlig femkant (med fem sider) har en indre vinkel på 108 grader. Dette deler seg ikke jevnt inn i 360 grader, så ethvert forsøk på å sette sammen vanlige femkanter til en flislegging er bundet til å produsere hull som ikke kan fylles; vi sier at den vanlige femkanten ikke kan flislegge flyet. Og vanlige polygoner med mer enn seks sider har indre vinkler som er for store til at tre kan møtes på et enkelt punkt, og derfor kan de ikke heller.

En annen variant av flislegging med vanlige polygoner kommer fra Johannes Kepler, i dag mest kjent for sine oppdagelser om planetarisk bevegelse. I 1619 viste han at selv om du bruker mer enn én vanlig polygon, kan du bare lage åtte nye flismønster der konfigurasjonen rundt hvert toppunkt er identisk. (Hvis vi får lov til å avvike fra denne begrensningen, er det flere muligheter.)

Når vi tillater uregelmessige polygoner, blir ting mer interessant. Overraskende nok kan hver trekant flislegge flyet, og enda mer overraskende, så kan alle firkanter.

På den annen side er det umulig å flislegge planet med noen konveks polygon på mer enn seks sider; summen av de indre vinklene er rett og slett for stor. Så det etterlater bare femkanter og sekskanter som gjenværende muligheter.

I sin doktorgradsavhandling fra 1918 beviste Karl Reinhardt at det er mulig å flislegge flyet med uendelig mange konvekse sekskanter - de uten fordypninger - som han grupperte i tre familier.

Konvekse femkanter som fliser flyet var vanskeligere å klassifisere. Reinhardt oppdaget fem familier av slike femkanter; 50 år senere fant Richard Kershner tre til. Så i 1975 skrev Martin Gardner om problemet for Scientific American, som gjør det oppmerksom på både profesjonelle og amatørmatematikere. En slik amatør, en dataprogrammerer ved navn Richard James III, sendte Gardner et eksempel på en niende familie og spurte: "Er du enig i at Kershner gikk glipp av denne?" Han hadde.

Marjorie Rice, en hjemmeværende, leste også Gardners spalte og begynte å undre seg over problemet ved kjøkkenbordet hennes. Hun tullet i over to år og oppdaget fire flere familier av flislegging av femkanter.

Forskere fant en 14. familie med femkantede fliser i 1985, og tre tiår senere fant et annet team en 15. familie ved hjelp av et datasøk. Ingen visste om denne oppdagelsen fullførte listen, eller om det fortsatt var flere familier som gjemte seg. Det spørsmålet ble besvart i 2017 da Michaël Rao beviste at alle konvekse flisbelegg femkanter - og med dem alle konvekse flisbelegg - var funnet.

Alle disse flisleggingene gjentar seg. Det vil si at de har en periodisk symmetri, som i bunn og grunn betyr at hvis vi skulle spore flisleggingen på et stykke papir og skyve det papiret i bestemte retninger, ville det passe nøyaktig med flisleggingen igjen.

Andre typer symmetrier er også mulig. For eksempel innebærer en speilsymmetri at mønstrene våre vil være på linje hvis vi snur kalkerpapiret opp ned om en fast linje. Rotasjonssymmetri betyr at de vil stille seg på linje hvis vi roterer papiret vårt. Og vi kan kombinere handlinger for å oppnå en gliderefleksjonssymmetri, som er som å skyve papiret og så snu det.

I 1891 beviste den russiske krystallografen Evgraf Fedorov at det bare er 17 måter disse symmetriene kan kombineres på. Siden denne begrensningen gjelder alle periodiske dekorasjoner av flyet, blir disse ofte referert til som de 17 "bakgrunnsgruppene."

Når man først er kjent med denne klassifiseringen av symmetrimønstre, er det nesten umulig å se en periodisk design, uansett hvor intrikat, og ikke se den som et puslespill å dekode: Hvor og hvordan, nøyaktig, gjentar det seg? Hvor er de symmetriene?

Selvfølgelig er ikke alle flisdesign periodiske. Det er mulig, og ofte enkelt, å plassere fliser i planet slik at det resulterende designet aldri gjentar seg. I vårt eksempel med sekskanter, firkanter og trekanter kan du gjøre dette ved å rotere en enkelt sekskant og polygonene som omgir den med 30 grader. Den resulterende flisleggingen har ikke lenger translasjonssymmetrier.

I 1961 antok logikeren Hao Wang at hvis et sett med former fliser planet, så må figurene kunne flislegge planet med jevne mellomrom. Bare noen få år senere beviste doktorgradsstudenten Robert Berger at han tok feil ved å oppdage et enormt sett med over 20,000 XNUMX fliser som fliser flyet, men bare ikke periodisk. Slike flisesett kalles aperiodiske.

Selv om Berger og andre klarte å redusere størrelsen på disse aperiodiske settene betydelig, fanget Roger Penrose på midten av 1970-tallet verdens oppmerksomhet ved å oppdage svært små sett med sine egne aperiodiske fliser. De minste settene krever bare to fliser.

Disse formene og mønstrene trollbundet matematikere, vitenskapsmenn og allmennheten. Men de reiste et åpenbart neste spørsmål: Er det en enkelt aperiodisk flis? Teoriens ultimate søken var nå å finne en slik «einstein»-flis – ikke oppkalt etter fysikeren, men etter det tyske uttrykket «én stein».

I 2010 kom Joshua Socolar og Joan Taylor veldig nær å oppdage en einstein. Problemet med deres tilnærming var det flisen deres måtte kobles fra; dette ville være som å flislegge flyet med former som staten Hawai'i, en enkelt enhet som består av separate regioner, snarere enn med sammenhengende former som California. I økende grad mistenkte matematikere at hvis en einstein fantes, måtte det være noe veldig geometrisk komplisert.

I mars 2023 sjokkerte en amatør verden igjen. En pensjonert trykketekniker og matematisk hobby ved navn David Smith hadde oppdaget ikke bare én aperiodisk monotil, men en uendelig familie av disse unnvikende einsteinene. Han slo inn Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss og Joseph Samuel Myers – eksperter på informatikk, matematikk og teorien om flislegging – og sammen presenterte de en geometrisk enkel einstein kalt hattflisen (som internett trodde så ut som en T-skjorte). ).

Reaksjonen var rask og positiv. Oppdagerne snakket på konferanser og holdt foredrag på nettet. Matematiske kunstnere tok sjansen på å finne kreative måter å produsere Escher-lignende design basert på disse nye geometrisk interessante flisene. Hatteflisen dukket til og med opp i monologen til et TV-show sent på kvelden.

Likevel var det fortsatt rom for forbedring. For å flislegge flyet med hatten, må du snu omtrent en syvendedel av flisene opp ned. En huseier som ønsker å flislegge badet med hatteflisen, må kjøpe to typer fliser: en standard flis og dens speilbilde. Var dette virkelig nødvendig?

Allerede før spenningen til hatteflisen hadde stilnet, kom teamet med en ny kunngjøring. Smith hadde funnet, i den uendelige familien av aperiodiske monotiler, en som han kalte et "spektre" som kunne flislegge flyet uten å kreve reflekterte kopier. En ekte einstein hadde endelig dukket opp.

Vi er nå midt i en gjenoppblomstring i den matematiske utforskningen av flislegging og tesseller. Den har basert seg på viktige bidrag fra amatører, inspirert kreativiteten til matematiske kunstnere, og utnyttet kraften til datamaskiner for å skyve kunnskapens grenser fremover. Og fra den har vi oppnådd ny innsikt i naturen til symmetri, geometri og design.

Korreksjon: Oktober 30, 2023
Den originale versjonen av denne artikkelen sa at det er umulig å flislegge flyet med en polygon på mer enn seks sider. Dette gjelder bare hvis polygonet er konveks.

Quanta gjennomfører en serie undersøkelser for å tjene publikum bedre. Ta vår matematikk leserundersøkelse og du vil bli registrert for å vinne gratis Quanta varer.