Noen minutter inn i en foredrag i 2018 ved University of Michigan, Ian Tobasco plukket opp et stort stykke papir og krøllet det sammen til en tilsynelatende uorden ball av kaos. Han holdt den opp slik at publikum kunne se, klemte den for godt mål, og spredte den ut igjen.
"Jeg får en vill masse folder som dukker opp, og det er puslespillet," sa han. "Hva velger dette mønsteret fra et annet, mer ryddig mønster?"
Deretter holdt han opp et andre stort stykke papir - dette forhåndsfoldet til et kjent origamimønster av parallellogrammer kjent som Miura-ori - og presset det flatt. Kraften han brukte på hvert ark var omtrent den samme, sa han, men resultatene kunne ikke vært mer forskjellige. Miura-ori ble delt pent inn i geometriske områder; den krøllede ballen var et rot av taggete linjer.
"Du får følelsen av at dette," sa han og pekte på det spredte arrangementet av bretter på det krøllete arket, "bare er en tilfeldig uordnet versjon av dette." Han indikerte den ryddige, ryddige Miura-ori. "Men vi har ikke satt fingeren på om det er sant eller ikke."
Å lage den forbindelsen ville kreve intet mindre enn å etablere universelle matematiske regler for elastiske mønstre. Tobasco har jobbet med dette i årevis, og studert ligninger som beskriver tynne elastiske materialer - ting som reagerer på en deformasjon ved å prøve å springe tilbake til sin opprinnelige form. Stikk en ballong hardt nok og et stjerneskuddsmønster av radiale rynker vil dannes; fjern fingeren og de vil jevne seg ut igjen. Klem en sammenkrøllet papirkule, og den vil utvide seg når du slipper den (selv om den ikke krøller seg helt ut). Ingeniører og fysikere har studert hvordan disse mønstrene dukker opp under visse omstendigheter, men for en matematiker antyder disse praktiske resultatene et mer grunnleggende spørsmål: Er det mulig å forstå, generelt, hva som velger ett mønster i stedet for et annet?
I januar 2021 publiserte Tobasco et papir som svarte bekreftende på det spørsmålet - i det minste i tilfelle av et glatt, buet, elastisk ark presset til flathet (en situasjon som gir en klar måte å utforske spørsmålet på). Ligningene hans forutsier hvordan tilsynelatende tilfeldige rynker inneholder "ordnede" domener, som har et gjentatt, identifiserbart mønster. Og han skrev sammen en artikkel, publisert i forrige måned, som viser en ny fysisk teori, basert på streng matematikk, som kan forutsi mønstre i realistiske scenarier.
Spesielt antyder Tobascos arbeid at rynker, i sine mange former, kan sees på som løsningen på et geometrisk problem. "Det er et vakkert stykke matematisk analyse," sa Stefan Mueller ved Universitetet i Bonns Hausdorff-senter for matematikk i Tyskland.
Den legger elegant ut, for første gang, de matematiske reglene - og en ny forståelse - bak dette vanlige fenomenet. "Rollen til matematikken her var ikke å bevise en formodning som fysikere allerede hadde gjort," sa Robert Kohn, en matematiker ved New York Universitys Courant Institute, og Tobascos rådgiver for forskerskolen, "men heller for å gi en teori der det tidligere ikke var noen systematisk forståelse."
Strekke ut
Målet med å utvikle en teori om rynker og elastiske mønstre er gammelt. I 1894, i en anmeldelse i Natur, påpekte matematikeren George Greenhill forskjellen mellom teoretikere ("Hva skal vi tenke?") og de nyttige applikasjonene de kunne finne ut ("Hva skal vi gjøre?").
På 19- og 20-tallet gjorde forskere stort sett fremskritt på sistnevnte, og studerte problemer som involverer rynker i spesifikke gjenstander som blir deformert. Tidlige eksempler inkluderer problemet med å smi glatte, buede metallplater for sjøfartsskip, og forsøke å koble dannelsen av fjell til oppvarmingen av jordskorpen.
Nylig har matematikere og fysikere utvidet arbeidet med å koble teori og observasjon til et bredt spekter av rynkesituasjoner, geometrier og materialer. "Dette har pågått de siste 10 årene, hvor vi først gjør eksperimenter og deretter prøver å finne teorien for å forstå dem," sa matematikeren Dominic Vella ved University of Oxford. "Det er først nylig at vi har begynt å ha en skikkelig forståelse."
Det har vært spennende milepæler. I 2015, Pedro Reis, en maskiningeniør ved Massachusetts Institute of Technology, beskrev fysiske lover for de geometriske mønstrene som dannes på utblåste silisiumkuler. Hans arbeid koblet disse rynkene til tykkelsen på de indre og ytre lagene av det elastiske materialet. Reis bemerket også at rynker, i stedet for å bli ansett som defekter, kan tilby muligheter til å designe ny mekanisk atferd. Så i 2017, Vella ledet analysen av rynke-ustabilitetene til en tynn elastisk film under trykk, som karakteriserer hvordan antall rynker endret seg i henhold til dybden på den første stikkingen og andre spesifikke detaljer.
Men denne utviklingen løste fortsatt bare deler av problemet. For en mer generell matematisk forståelse av hvordan rynker dannes, var en annen tilnærming nødvendig. Tobasco ville være den som flyttet det videre.
Følger Curiosity
Da han var yngre, trodde Tobasco at han ville gå inn i romfartsteknikk. Han ble uteksaminert fra University of Michigan i 2011 med en bachelorgrad i feltet, men på det tidspunktet hadde han allerede blitt trukket til å tenke dypt på matematisk resonnement og fysiske systemer. Han tok en doktorgrad i matematikk, men han klandrer Joey Paulsen, en fysiker nå ved Syracuse University, for å ha satt ham på den spesifikke banen til rynker.
Tidligere i Paulsens karriere, da han studerte egenskapene til uvanlige materialer, lærte han å fremstille og analysere ultratynne polymerfilmer ved å bruke en teknikk kalt spinnbelegg. Først laget han et spesielt flytende materiale som inneholdt spormengder av oppløst polymer; så la han materialet på en spinnende plate. Det meste av væsken ville fordampe, mens polymeren spredte seg til en jevn tykkelse før den størknet. Da han hadde sitt eget laboratorium i Syracuse, lærte Paulsen hvordan han tilpasser spinnbelegg for å lage buede filmer - som ultratynne skilpaddeskall.
En dag plasserte han noen av disse buede filmene på toppen av stille vann og fotograferte hvordan de la seg på overflaten. "Det var rent nysgjerrighetsdrevet," sa han. Bildene fanget Tobascos blikk på et uformelt møte med Paulsen i 2017.
"De viste at du kunne få disse tilfeldige forstyrrede rynkemønstrene - når du gjorde eksperimentet to ganger, fikk du to forskjellige mønstre," sa Tobasco, som nå er assisterende professor ved University of Illinois, Chicago. "Jeg ville se om jeg kunne komme opp med en utledelig måte [å forutsi disse mønstrene] fra elastisitet, som inkorporerte formen på skallet. Og at modellen ikke ville endre seg fra skall til skall."
Rynkemønstre er konfigurasjoner med minst mulig energi. Det vil si at ettersom den tynne filmen legger seg på en flat overflate, forvandles den til den finner arrangementet av rynker, uordnet eller ikke, som krever minst mulig energi å opprettholde. "Du kan organisere mønstre etter mengden energi som er lagret når [mønsteret] manifesterer seg," sa Tobasco.
Ledet av det veiledende prinsippet isolerte han noen få kjennetegn ved filmen som viste seg å være de som velger mønsteret, inkludert et mål på formen kalt dens gaussiske krumning. En overflate med positiv Gaussisk krumning bøyer seg bort fra seg selv, som utsiden av en ball. Negativt buede overflater, derimot, er salformede, som en Pringles-brikke: Hvis du går i én retning, reiser du opp, men hvis du går i en annen retning, går du ned.
Tobasco fant at områder med positiv gaussisk krumning produserer en type arrangement av ordnede og uordnede domener, og områder med negativ krumning produserer andre typer. "Den detaljerte geometrien er ikke så viktig," sa Vella. "Det avhenger egentlig bare av tegnet på den gaussiske krumningen."
De hadde mistanke om at gaussisk krumning var viktig for rynker, men Vella sa at det var en overraskelse at domenene var så avhengige av skiltet. Dessuten gjelder Tobascos teori også for et bredt spekter av elastiske materialer, ikke bare Paulsens former. "Det er en fin geometrisk konstruksjon som viser hvor rynker vil vises," sa Vella. "Men å forstå hvor det kommer fra er veldig dypt og er litt overraskende."
Paulsen var enig. "Det Ians teori veldig vakkert gjør er å gi deg hele mønsteret, alt på en gang."
Virkelige rynker
Tidlig i 2018 hadde Tobasco teorien for det meste avgjort - men selv om den fungerte på papiret, kunne han ikke være sikker på at den ville være nøyaktig i den virkelige verden. Tobasco tok kontakt med Paulsen og spurte om han kunne være interessert i å samarbeide. "Noe fungerte rett og slett med en gang," sa Paulsen. "Med noen av Ians spådommer, lagt på toppen av eksperimentelle bilder, kunne vi umiddelbart se at de stilte opp."
På det årets Society for Industrial and Applied Mathematics-konferanse om matematiske aspekter av materialvitenskap, ble Tobasco introdusert til Eleni Katifori, en fysiker ved University of Pennsylvania som undersøkte problemet med rynkemønstre i trange skjell og bygde en database med resultater. Det var et øyeblikk av serendipity. "Vi kunne se domenene [i simuleringene] som Ians arbeid forklarte," sa hun. Kampen var uhyggelig. Selv under deres første diskusjoner var det klart at Tobascos teori, Paulsens eksperimentelle bilder og Katiforis simuleringer alle beskrev de samme fenomenene. "Selv på de tidlige stadiene, da vi ikke hadde noe konkret, kunne vi se sammenhengen."
Den tidlige spenningen ga raskt opphav til skepsis. Det virket nesten for godt til å være sant. "Han er en matematiker og gjør alle disse tingene ikke-dimensjonale," sa Paulsen, og refererte til hvordan Tobascos ideer om krumning kan utvides langt utover todimensjonale flate materialer. "Ser vi virkelig på det samme systemet? Det stemmer, men burde det vært enig?»
I løpet av de neste to årene hashgjorde de tre forskerne detaljene, og viste at Tobascos teori virkelig forutså – nøyaktig – arrangementet av rynker som Paulsen så i eksperimentene sine og Katifori fant i datamodellene hennes. 25. august publiserte de en artikkel i Naturfysikk viser hvordan de tre tilnærmingene alle konvergerer på det samme, enkle geometriske arrangementet av rynker. Spesielt fant de ut at mønstrene faller inn i pene familier av likebenede trekanter som avgrenset domener for orden og uorden. I tillegg er resultatene ikke begrenset til matematiske abstraksjoner av umulig tynne materialer, men adresserer flere størrelsesordener av tykkelse.
Arbeidet deres foreslår også muligheter for å utvide teorien og dens anvendelser. Katifori sa at hun som fysiker er interessert i å utnytte spådommene til å designe nye materialer. "Jeg vil forstå hvordan du kan designe overflater slik at de faktisk organiserer rynkemønstrene til noe du vil ha."
Et annet åpent spørsmål er hvor generelt teorien kan brukes på ulike typer buede overflater. "Det er veldig fokusert på situasjoner der [Gaussisk krumning] er enten positiv eller negativ, men det er mange situasjoner med noen regioner som er positive og noen negative," sa Vella.
Paulsen var enig i at dette er en spennende mulighet, og Tobasco sa at han jobber aktivt i dette området og vurderer andre skjellformer - for eksempel de med hull.
Men Paulsen sa at teorien, selv slik den er nå, er vakker og overraskende. "Hvis jeg gir deg et skall og en grenseform og dette enkle settet med regler som Ians teori spådde, så kan du ta et kompass og linjal og i utgangspunktet tegne rynkene," sa han. «Det måtte ikke ha skjedd på den måten. Det kunne vært helt grusomt."
