Teoretikeren som ser matematikk i kunst, musikk og skriving | Quanta Magazine

Sarah Hart har alltid hatt et øye for de skjulte måtene matematikk gjennomsyrer andre felt på. Som barn ble hun slått av allestedsnærværende tallet 3 i eventyrene hennes. Harts mor, en matematikklærer, oppmuntret henne til å søke mønster, og ga henne matteoppgaver for å få tiden til å gå.

Hart tok en doktorgrad i gruppeteori i 2000 og ble senere professor ved Birkbeck, University of London. Harts forskning undersøkte strukturen til Coxeter-grupper, mer generelle versjoner av strukturer som katalogiserer symmetriene til polygoner og prismer. I 2023 publiserte hun Once Upon a Prime, en bok om hvordan matematikk dukker opp i skjønnlitteratur og poesi. "Siden vi mennesker er en del av universet, er det bare naturlig at våre kreative uttrykksformer, litteratur blant dem, også vil manifestere en tilbøyelighet til mønster og struktur," skrev Hart. "Matematikk er altså nøkkelen til et helt annet perspektiv på litteratur."

Siden 2020 har Hart vært professor i geometri ved Gresham College i London. Gresham har ingen tradisjonelle kurs; i stedet holder professorene hver flere offentlige forelesninger per år. Hart er den første kvinnen som noensinne har hatt den 428 år gamle stillingen, som ble besatt på 17-tallet av Isaac Barrow, kjent for å ha undervist en annen Isaac (Newton). Nylig ble det holdt av Roger Penrose, en matematiker som vant Nobelprisen i fysikk i 2020. Hart snakket med Quanta om hvordan matematikk og kunst påvirker hverandre. Intervjuet er komprimert og redigert for klarhet.

Hvorfor valgte du å skrive boken din om koblingene mellom matematikk og litteratur?

Disse koblingene er mindre utforsket og mindre kjent enn de mellom matematikk og for eksempel musikk. Forbindelsene mellom matematikk og musikk har blitt feiret siden minst så langt tilbake som pytagoreerne. Men selv om det har vært skrevet og akademisk forskning om spesifikke bøker, forfattere eller sjangere, hadde jeg ikke sett en bok for et generelt publikum om de bredere sammenhengene mellom matematikk og litteratur.

Hvordan bør folk i kunsten tenke om matematikk?

Det er mye felles grunnlag mellom matematikk og, skal jeg si, de andre kunstartene. I litteratur, så vel som musikk og kunst, begynner du aldri med ingenting i det hele tatt. Hvis du er en poet, velger du: Vil jeg ha en haiku med dens veldig presise numeriske begrensninger, eller vil jeg skrive en sonett som har et visst antall linjer, et bestemt rimskjema, en bestemt meter? Selv noe som ikke har et rimskjema vil ha linjeskift, en rytme. Det vil være begrensninger som inspirerer til kreativitet, som bidrar til å fokusere deg.

I matematikk har vi det samme. Vi har noen grunnregler. Innenfor det kan vi utforske, vi kan leke, og vi kan bevise teoremer. Det matematikk kan gjøre for kunsten er å hjelpe til med å finne nye strukturer, vise hva mulighetene er. Hvordan ville et musikkstykke se ut som ikke har en toneart? Vi kan tenke på de 12 tonene og arrangere dem annerledes, og her er alle måtene du kan gjøre det på. Her er forskjellige fargevalg du kan tenke ut, her er forskjellige former for poetisk meter.

Hva er ett eksempel på hvordan matematikk har blitt påvirket av litteratur?

For tusenvis av år siden i India prøvde poeter å tenke på mulige meter. I sanskritpoesi har du lange og korte stavelser. Lang er dobbelt så lang som kort. Hvis du vil regne ut hvor mange det er som tar en tid på tre, kan du ha kort, kort, kort eller lang, kort eller kort, lang. Det er tre måter å lage tre på. Det er fem måter å lage en lengde-fire-frase på. Og det er åtte måter å lage en lengde-fem-frase på. Denne sekvensen du får er en der hvert ledd er summen av de to foregående. Du gjengir nøyaktig det vi i dag kaller Fibonacci-sekvensen. Men dette var århundrer før Fibonacci.

Hva med matematikkens innflytelse på litteraturen?

En ganske enkel sekvens, men den fungerer veldig, veldig kraftig, er Eleanor Cattons bok Armaturene, som kom ut i 2013. Hun brukte sekvensen som går 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Hvert kapittel i den boken er halvparten av kapittelet før. Det skaper denne virkelig fascinerende effekten, fordi tempoet øker, og karakterenes valg blir mer begrenset. Alt haster mot sin konklusjon. Mot slutten er kapitlene ekstremt korte.

Et annet eksempel på en litt mer komplisert matematisk struktur er det som kalles ortogonale latinske firkanter. En latinsk firkant er litt som et sudoku-rutenett. I dette tilfellet vil det være et rutenett på 10 x 10. Hvert tall vises nøyaktig én gang i hver rad og i hver kolonne. Ortogonale latinske firkanter dannes ved å legge to latinske firkanter over hverandre slik at det er et tallpar i hvert rom. Rutenettet som dannes av det første tallet i hvert par er en latinsk firkant, og det samme er rutenettet som dannes av det andre tallet i hvert par. Videre, i rutenettet av par, vises ingen par mer enn én gang.

Disse er veldig nyttige på alle mulige måter. Du kan lage feilkorrigerende koder ut av dem, som er nyttige for å sende meldinger langs en slags støyende kanaler. Men en av de store tingene med disse, størrelse 10, er at en av tidenes største matematikere, Leonhard Euler, trodde de ikke kunne eksistere. Det var en av de få gangene han gjorde en feil; det var derfor det var så spennende. Lenge etter at han kom med denne formodningen om at disse tingene ikke kunne eksistere for spesielle størrelser, ble den tilbakevist, og firkanter av denne størrelsen ble funnet i 1959. Det var på dekke of Scientific American det året.

År etter det lette en fransk forfatter, Georges Perec, etter en struktur å bruke for boken sin Liv: En brukerhåndbok. Han valgte en av disse ortogonale latinske firkantene. Han satte boken sin i en leilighetsblokk i Paris, som hadde 100 rom, en kvadrat på 10 ganger 10. Hvert kapittel var i et annet rom, og hvert kapittel hadde sin unike smak. Han hadde lister med 10 ting - forskjellige stoffer, farger, den slags ting. Hvert kapittel vil bruke en unik kombinasjon. Det er en veldig fascinerende måte å strukturere boken på.

Du verdsetter tydelig god skriving. Hva synes du om kvaliteten på å skrive i matematikkoppgaver?

Det er veldig varierende! Jeg vet at vi setter pris på korthet, men jeg synes noen ganger det blir tatt for langt. Det er for mange artikler som ikke har noen nyttige eksempler.

Det vi faktisk setter pris på er et genialt argument som, fordi det dekker alle sakene samtidig så smart, også er kort og elegant. Det er ikke det samme som å presse det lange argumentet inn i en mindre plass enn det trenger ved å dekke siden med mystiske sigiler som du har laget for å gjøre notasjonen kortere, men som ikke bare leseren, men sannsynligvis også du selv må pakke ut møysommelig. igjen for å forstå hva som skjer.

Vi tenker ikke nok på nyttig notasjon som minner leseren på hva som menes. Riktig notasjon kan absolutt transformere et stykke matematikk, og kan også gi plass til generaliseringer. Tenk på overgangen, historisk, fra å skrive en ukjent, dens firkant og dens kube med tre forskjellige bokstaver, og hvor mye mer sannsynlig, og til og med mulig, det er å begynne å tenke på  når du har begynt å skrive  og  i stedet.

Ser du evolusjon i sammenhengen mellom matematikk og kunst?

Det er nye ting hele tiden. Fraktaler var overalt på 1990-tallet. På hver studenthybelvegg var det et bilde av Mandelbrot-settet eller noe sånt. Alle sa: "Å, dette er spennende, fraktaler." Du får for eksempel musikere, komponister, som bruker fraktale sekvenser i komposisjonene sine.

Da jeg var rundt 16, var det disse nye tingene kalt grafiske kalkulatorer. Veldig spennende. Og en venn av min mor ga meg dette programmet som kunne tegne et Mandelbrot-sett på en av disse små grafiske kalkulatorene. Den hadde omtrent, jeg vet ikke, 200 piksler. Du programmerer denne tingen inn, og så måtte jeg la den stå i 12 timer. Det ville plotte disse 200 poengene på slutten av den. Så selv bare skolebarn kunne engasjere seg i dette på slutten av 80-tallet og begynnelsen av 90-tallet, og produsere disse bildene for seg selv.

Selv når du gikk på skolen, var du allerede veldig interessert i hardcore matte, høres det ut som.

 Jeg tror jeg har vært interessert siden før jeg visste at det betydde at jeg var matematisk. Som, jeg har bare alltid laget mønstre fra da jeg var et bitte lite barn.

Da jeg var ganske liten, var favorittleken min noen veldig enkle tremalte fliser. De kom i alle forskjellige farger. Jeg ville laget dem til mønstre, og så så jeg stolt på den i en dag eller så, og så laget jeg en til.

Da jeg ble litt eldre lekte jeg med tall og så på mønstre. Mamma ville være den jeg ville gå til og si: "Jeg kjeder meg." Og så sa hun: "Vel, kan du finne ut hva mønsteret er av antall poeng du trenger for å lage en trekant?" eller hva det nå var. Hun ville ha meg til å gjenoppdage de trekantede tallene eller noe, og jeg ville vært veldig spent.

Min stakkars mor, antall fantastiske oppfinnelser som jeg ville gå til moren min med. "Jeg har utviklet en helt ny måte å gjøre noe på!" Og hun sa: "OK, det er veldig hyggelig. Men du vet, Descartes tenkte på det for århundrer siden.» Og så dro jeg; Jeg kom opp med en annen fantastisk idé noen dager senere. "Det er deilig, kjære. Men de gamle grekerne hadde den.»

Husker du noen spesielt tilfredsstillende øyeblikk fra din matematikkforskningskarriere?

Øyeblikkene når du endelig forstår hva mønsteret er du ser er alltid tilfredsstillende, så vel som når du finner ut hvordan du skal fullføre et bevis du har slitt med. Mine sterkeste minner om disse gledesfølelsene, sannsynligvis fordi de var de første gangene jeg kjente dem, er fra starten av min forskerkarriere. Men det er fortsatt en deilig følelse å få det "aha", når du endelig forstår hva som skjer.

Veldig tidlig prøvde jeg å bevise noe om uendelige Coxeter-grupper. Jeg hadde løst noen av sakene, og da jeg så på resten, kom jeg opp med en teknikk som ville fungere hvis et spesifikt kriterium var oppfylt. Du kan skrive disse sammenhengene i en graf, så jeg begynte å sette sammen en samling av grafene som teknikken min kunne brukes på. Dette var over jul ett år.

Etter en stund begynte mitt bildesett å se ut som et spesielt sett med grafer som var oppført i en bok om Coxeter-grupper som var på kontoret mitt, og jeg begynte å håpe at det var akkurat dette settet med grafer. Hvis det var det, ville det fylle ut hullet i beviset mitt, og teoremet mitt ville være ferdig. Men jeg kunne ikke sjekke sikkert før jeg kom tilbake til universitetet etter jul - dette var før du bare kunne Google alt. Jeg tror forventningen om å måtte vente med å bekrefte anelsen min gjorde det enda bedre da jeg kom til boken og sammenlignet mitt håndskrevne sett med diagrammer med de i boken, og de stemte virkelig.

Hva tenker du om spørsmålet om matematikk er skapt eller oppdaget? Nesten ingen vil hevde at noen av romanforfatterne du skriver om i boken din "oppdaget" romanene sine. Er dette en grunnleggende forskjell mellom matematikk og litteratur eller ikke?

Det er det sannsynligvis, selv om det fortsatt er noen resonanser.

Å gjøre matematikk føles som oppdagelse. Hvis vi fant opp matematikken, ville det absolutt ikke vært så vanskelig å bevise ting! Noen ganger ønsker vi desperat at noe skal være sant, og det er det ikke. Vi kan ikke unngå konsekvensene av logikk, antar jeg.

Det hele føles som oppdagelse når du gjør det. Noen valg gjenspeiler det vi opplever i den virkelige verden, som aksiomene for geometri vi jobber med, som er valgt fordi det ser ut til å være omtrent slik virkeligheten er - selv om det ikke er noe slikt som et "punkt" eller et " linje» (fordi vi ikke kan tegne noe som ikke tar plass, og en linje i geometri har ingen bredde og strekker seg uendelig langt).

Til en viss grad er det paralleller til dette kontinuumet i litteraturen. Når du har definert reglene for en sonett, vil du bli hardt presset til å skrive en hvis første linje slutter med "oransje" eller "skorstein."

Men jeg kan ikke motstå å dele noe J.R.R. Tolkien sa om skriving The Hobbit: «Det hele begynte da jeg leste eksamensoppgaver for å tjene litt ekstra penger. … Vel, en dag kom jeg til en blank side i en eksamensbok og skrev på den. ‘I et hull i jorden bodde det en hobbit.’ Jeg visste ikke mer om skapningene enn det, og det gikk år før historien hans vokste. Jeg vet ikke hvor ordet kom fra."

Hobbiter – skapte han dem eller oppdaget han dem?