Introduksjon
Knotteteori begynte som et forsøk på å forstå universets grunnleggende sammensetning. I 1867, da forskere ivrig prøvde å finne ut hva som muligens kunne forklare alle de forskjellige typene materie, viste den skotske matematikeren og fysikeren Peter Guthrie Tait sin venn og landsmann Sir William Thomson enheten hans for å generere røykringer. Thomson – senere for å bli Lord Kelvin (navnebror til temperaturskalaen) – ble betatt av ringenes forførende former, deres stabilitet og deres interaksjoner. Inspirasjonen hans førte ham i en overraskende retning: Kanskje, tenkte han, akkurat som røykringene var virvler i luften, var atomer sammenknyttede virvelringer i den lysende eteren, et usynlig medium som, trodde fysikere, lys forplantet seg gjennom.
Selv om denne viktorianske ideen nå kan høres latterlig ut, var det ikke en useriøs etterforskning. Denne virvelteorien hadde mye å anbefale den: Det store mangfoldet av knuter, hver litt forskjellige, så ut til å speile de forskjellige egenskapene til de mange kjemiske elementene. Stabiliteten til virvelringene kan også gi den varigheten som atomer krevde.
Vortex-teori fikk gjennomslag i det vitenskapelige samfunnet og inspirerte Tait til å begynne å tabulere alle knuter, og skapte det han håpet ville tilsvare en tabell med elementer. Selvfølgelig er atomer ikke knuter, og det er ingen eter. På slutten av 1880-tallet forlot Thomson gradvis virvelteorien sin, men da ble Tait betatt av den matematiske elegansen til knutene, og han fortsatte sitt tabuleringsprosjekt. I prosessen etablerte han det matematiske feltet knuteteori.
Vi er alle kjent med knuter - de holder sko på føttene, båter festet til kai og fjellklatrere utenfor steinene nedenfor. Men disse knutene er ikke akkurat det matematikere (inkludert Tait) vil kalle en knute. Selv om en sammenfiltret skjøteledning kan virke sammenknyttet, er det alltid mulig å løsne den. For å få en matematisk knute må du plugge sammen de frie endene av ledningen for å danne en lukket løkke.
Fordi trådene i en knute er fleksible som streng, ser matematikere på knuteteori som et underfelt av topologi, studiet av formbare former. Noen ganger er det mulig å løse opp en knute slik at den blir en enkel sirkel, som vi kaller "uknoten". Men oftere er det umulig å løse opp en knute.
Knuter kan også kombineres for å danne nye knuter. For eksempel, å kombinere en enkel knute kjent som trefoil med speilbildet produserer en firkantet knute. (Og hvis du slår sammen to like trefoil-knuter, lager du en bestemorknute.)
Ved å bruke terminologi fra tallenes verden, sier matematikere at trefoilen er en primærknute, den firkantede knuten er sammensatt og, som tallet 1, er uknuten ingen av delene. Denne analogien ble ytterligere støttet i 1949 da Horst Schubert beviste at hver knute enten er prime eller kan dekomponeres unikt til prime knuter.
En annen måte å lage nye knuter på er å flette sammen to eller flere knuter, og danner en lenke. De borromeiske ringene, slik kalt fordi de vises på våpenskjoldet til det italienske huset til Borromeo, er et enkelt eksempel.
Thomson og Tate var ikke de første som så på knuter på en matematisk måte. Allerede i 1794 skrev Carl Friedrich Gauss om og tegnet eksempler på knuter i sin personlige notatbok. Og Gauss' elev Johann Listing skrev om knuter i sin monografi fra 1847 Vorstudien zur Topologie ("Preliminary Studies of Topology") - som også er opphavet til begrepet topologi.
Men Tait var den første lærde som arbeidet med det som ble det grunnleggende problemet i knuteteori: klassifisering og tabulering av alle mulige knuter. Gjennom år med møysommelig arbeid med kun sin geometriske intuisjon, fant og klassifiserte han alle prime knuter som, når de projiseres på et fly, har maksimalt syv kryssinger.
På slutten av 19-tallet fikk Tait vite at to andre personer - pastor Thomas Kirkman og den amerikanske matematikeren Charles Little - også studerte dette problemet. Med sin samlede innsats klassifiserte de alle prime knop med opptil 10 kryssinger og mange av de med 11 kryssinger. Utrolig nok var bordene deres opptil 10 komplette: De gikk ikke glipp av noen knuter.
Det er bemerkelsesverdig at Tait, Kirkman og Little oppnådde så mye uten teoremene og teknikkene som ville bli oppdaget i årene som kommer. Men en ting som fungerte i deres favør var det faktum at de fleste små knuter er "vekslende", noe som betyr at de har en projeksjon der kryssene viser et konsekvent over-under-over-under-mønster.
Vekslende knuter har egenskaper som gjør dem lettere å klassifisere enn ikke-vekslende knuter. For eksempel er det vanskelig å finne minimum antall kryssinger for enhver projeksjon av en knute. Men Tait, som i årevis feilaktig antok at alle knuter var vekslende, antok en måte å finne ut om du har funnet det minste antallet: Hvis en vekslende projeksjon ikke har noen kryss som kan fjernes ved å snu en del av knuten, må det være projeksjonen med minimum antall kryssinger.
Dette og ytterligere to av Taits formodninger om vekslende knuter endte opp med å stemme. Likevel ble disse berømte formodningene ikke bevist før på slutten av 1980-tallet og begynnelsen av 90-tallet ved hjelp av et matematisk verktøy utviklet i 1984 av Vaughan Jones, som vant Fields-medaljen for sitt arbeid innen knuteteori.
Dessverre tar alternerende knuter deg bare så langt. Når vi kommer i knuter med åtte eller flere kryssinger, vokser antallet ikke-vekslende knuter raskt, noe som gjør Taits teknikker mindre nyttige.
Den originale tabellen over alle 10-kryssende knuter var komplett, men Tait, Kirkman og Little doblet. Det var ikke før på 1970-tallet at Kenneth Perko, en advokat som hadde studert knuteteori ved Princeton, la merke til at to av knutene er speilbilder av hverandre. De er nå kjent som Perko-paret til hans ære.
I løpet av det siste århundret har matematikere funnet mange smarte måter å finne ut om knuter er virkelig forskjellige. I hovedsak er ideen å identifisere en invariant — en egenskap, mengde eller algebraisk enhet som er assosiert med knuten og som ofte kan beregnes enkelt. (Disse egenskapene har navn som fargebarhet, bronummer eller vridning.) Bevæpnet med disse etikettene kan matematikere nå enkelt sammenligne to knuter: Hvis de er forskjellige i en gitt egenskap, er de ikke den samme knuten. Ingen av disse egenskapene er imidlertid det matematikere kaller en fullstendig invariant, noe som betyr at to forskjellige knuter kan ha samme egenskap.
På grunn av all denne kompleksiteten er det kanskje ingen overraskelse at tabuleringen av knuter fortsatt pågår. Senest, i 2020, Benjamin Burton klassifisert alle prime knuter opptil 19 kryssinger (hvorav det er nesten 300 millioner).
Tradisjonell knuteteori gir mening bare i tre dimensjoner: I to dimensjoner er bare uknuten mulig, og i fire dimensjoner lar det ekstra rommet knuter løse seg selv, så hver knute er den samme som uknuten.
I firedimensjonalt rom kan vi imidlertid knytte sfærer. For å få en følelse av hva dette betyr, forestill deg å kutte en vanlig kule med jevne mellomrom. Å gjøre det gir sirkler, som breddegrader. Men hvis vi hadde en ekstra dimensjon, kunne vi knute sfæren slik at skivene, nå tredimensjonale i stedet for to, kunne være knuter.
Denne ideen lå bak et av de største nylige resultatene innen knuteteori. I 2018, daværende doktorgradsstudent Lisa Piccirillo avgjorde et 50 år gammelt spørsmål om en 11-kryssende knute først oppdaget av John Conway. Spørsmålet hadde å gjøre med en egenskap kalt sliceness. Som vi har sett, når vi skjærer en knutekule i fire dimensjoner, får vi en knute eller lenke i tre dimensjoner. Noen ganger kan vi få en gitt knute fra en fin glatt knutekule, men for andre knuter må sfæren knutes og krølles opp som et stykke avfallspapir. Piccirillo beviste i hovedsak at Conways knute var av sistnevnte type. På teknisk språk beviste hun at det ikke er "jevn skive."
Knotteteori har krysset det matematiske landskapet gjennom århundrene. Det begynte som et anvendt område av matematikk, med Thomson som forsøkte å bruke knuter for å forstå sammensetningen av materie. Ettersom den ideen bleknet, ble den et område med ren matematikk, en gren av det spennende og fortsatt upraktiske domenet til topologi. Men de siste årene har knuteteori igjen blitt et anvendt område av matematikk, ettersom forskere bruker ideer fra knuteteori for å undersøke væskedynamikk, elektrodynamikk, knyttede molekyler som DNA og så videre. Heldigvis, mens forskere var opptatt med å studere andre ting, bygde matematikere kataloger over knuter og verktøy for å løse opp hemmelighetene deres.
