Matematikere undrer seg over "Crazy" Cuts Through Four Dimensions | Quanta Magazine

De sentrale studieobjektene i topologi er rom kalt manifolder, som ser flate ut når du zoomer inn på dem. Overflaten til en kule, for eksempel, er en todimensjonal manifold. Topologer forstår slike todimensjonale manifolder veldig godt. Og de har utviklet verktøy som lar dem forstå tredimensjonale manifolder og de med fem eller flere dimensjoner.

Men i fire dimensjoner blir "alt litt gal," sa Sam Hughes, en postdoktor ved University of Oxford. Verktøy slutter å virke; eksotisk oppførsel dukker opp. Som Tom Mrowka fra Massachusetts Institute of Technology forklarte: "Det er akkurat nok plass til å ha interessante fenomener, men ikke så mye plass at de faller fra hverandre."

På begynnelsen av 1990-tallet, Mrowka og Peter Kronheimer fra Harvard University studerte hvordan todimensjonale overflater kan bygges inn i firedimensjonale manifolder. De utviklet nye teknikker for å karakterisere disse overflatene, slik at de kan få avgjørende innsikt i den ellers utilgjengelige strukturen til firedimensjonale manifolder. Funnene deres antydet at medlemmene av en bred klasse av overflater alle skjærer gjennom foreldremanifolden på en relativt enkel måte, og lar en grunnleggende egenskap være uendret. Men ingen kunne bevise at dette alltid var sant.

I februar sammen med Daniel Ruberman ved Brandeis University, Hughes konstruerte en sekvens av moteksempler - "gale" todimensjonale overflater som dissekerer foreldremanifoldene deres på måter som matematikere hadde trodd var umulige. Moteksemplene viser at firedimensjonale manifolder er enda mer bemerkelsesverdig mangfoldige enn matematikere i tidligere tiår hadde innsett. "Det er virkelig et vakkert papir," sa Mrowka. «Jeg bare fortsetter å se på det. Det er mange deilige småting der.»

Å lage en liste

Sent i fjor, Ruberman hjalp til med å organisere en konferanse som skapte en ny liste over de viktigste åpne problemene innen lavdimensjonal topologi. I forberedelsene til det så han på en tidligere liste over viktige uløste topologiske problemer fra 1997. Den inkluderte et spørsmål som Kronheimer hadde stilt basert på arbeidet hans med Mrowka. "Det var der inne, og jeg tror det var litt glemt," sa Ruberman. Nå trodde han at han kunne svare på det.

For å forstå spørsmålet hjelper det å først vurdere to nøkkelideer: enkelt koblede manifolder og den grunnleggende gruppen.

Enkelt tilkoblede manifolder er rom uten at det går hull gjennom dem. I én dimensjon er en uendelig linje ganske enkelt koblet, men en sirkel er det ikke. I to dimensjoner er et uendelig plan og overflaten av en kule ganske enkelt koblet sammen, men overflaten til en smultring er det ikke.

Matematikere gjør dette skillet strengt ved å plassere løkker på en manifold og vurdere hvordan de kan deformeres. Hvis en sløyfe kan krympes til et punkt, kobles en manifold ganske enkelt til. På et fly eller overflaten av en kule, for eksempel, er dette mulig - tenk på å trekke en streng stram. Men hvis den strengen går rundt en sirkel, kan den ikke krympe. På samme måte, på overflaten av en smultring, kan løkker som går enten rundt eller gjennom det sentrale hullet ikke deformeres til et enkelt punkt. Selve smultringen kommer i veien.

Matematikere klassifiserer rom som ikke bare er koblet sammen ved å beregne deres "fundamental gruppe", et objekt hvis struktur gjenspeiler hvordan løkker krymper. Manifolder som bare er koblet sammen har en "triviell" grunnleggende gruppe med bare ett element. Men manifolder med hull i har mer kompliserte grunnleggende grupper.

Firedimensjonale manifolder som enkelt er koblet sammen kan fortsatt være mye rart. For å forstå dem, funderer matematikere på hva som kan skje med de todimensjonale overflatene som er innebygd i dem.

I analogi, tenk på å legge en løkke med hyssing flatt på et stykke papir. Det er ikke mye du kan gjøre med det. Men løft det opp i tredimensjonalt rom, og du kan knytte det til kompliserte knuter. Måtene du kan manipulere strengen på - en endimensjonal manifold - tydeliggjør naturen til rommet den er innebygd i.

Tilsvarende, i den mer kompliserte verdenen med fire dimensjoner, er todimensjonale overflater "en slags nøkkel til hele virksomheten, på mange forskjellige måter," sa Ruberman. "Overflater forteller deg mye mer om en firedimensjonal manifold enn du har noen rett til å forvente." Overflater lar deg skille mellom manifolder: Hvis en overflate kan leve inne i en manifold, men ikke en annen, vet du at manifoldene er forskjellige. Og overflater kan brukes til å bygge nye manifolder av gamle.

Overflater har også tilsvarende grunnleggende grupper. Og det samme gjør komplementene deres - den delen av en manifold som blir til overs når du tar overflaten vekk. Fjern ekvator fra todimensjonale manifolder som overflaten av en kule eller smultring, for eksempel, og du får to frakoblede halvkuler. Men smultringens overflate forblir i ett stykke hvis du fjerner en vertikal ring i stedet for en horisontal. På samme måte, avhengig av hvordan du skjærer en overflate ut av en firedimensjonal manifold, kan du få forskjellige typer komplementer.

Tilbake på 1990-tallet undersøkte Mrowka og Kronheimer hva som skjer når du klipper ut en todimensjonal overflate fra en firedimensjonal manifold. Hvis selve manifolden bare er koblet sammen, hvilke betingelser må overflater oppfylle for å garantere at komplementene deres også må kobles sammen?

Kronheimer og Mrowka visste at noen typer overflater kunne ha komplementer som ikke bare var koblet sammen. Men arbeidet deres så ut til å indikere at en annen bred klasse av overflater alltid må ha bare sammenkoblede komplementer.

I nesten tre tiår kunne ingen finne et eksempel på en overflate i den klassen hvis komplement ikke bare var forbundet. Men høsten 2023, etter å ha kommet over problemet, trodde Ruberman at han kunne. I stedet for å starte med en firedimensjonal manifold og kutte ut en flate, begynte han med en todimensjonal flate som hadde de nødvendige egenskapene og bygget en manifold rundt.

Først fettet han overflaten til en firedimensjonal blob. Denne firedimensjonale klatten hadde en tredimensjonal grense, akkurat som en tredimensjonal gjenstand som en ball har en todimensjonal grense. Ruberman ønsket å feste en nøye valgt firedimensjonal manifold til den andre siden av grensen, som skulle tjene som overflatens komplement. Hvis gambiten fungerte, ville dette mangfoldet ha en komplisert grunnleggende gruppe, men den grunnleggende gruppen av alt sammen ville være triviell. Den nykonstruerte firedimensjonale manifolden ville derfor enkelt kobles sammen.

Men for å kunne lime alt sammen på riktig måte, måtte han vise at grunngruppen til det nye tilskuddet tilfredsstilte alle mulige egenskaper. "Jeg hadde ingen anelse om hvordan jeg skulle gjøre det," sa Ruberman.

Så i januar holdt Hughes – en gruppeteoretiker – et foredrag på Brandeis. Ruberman var blant publikum. Han skjønte at Hughes kanskje hadde den manglende brikken han lette etter. De to møttes dagen etter, og i løpet av noen timer hadde de utarbeidet hovedideene de trengte. Det Ruberman manglet "er noe gruppeteoretikere har beregnet i 70, 80 år på dette tidspunktet," sa Hughes. "Vi har vært på dette for alltid." Ved slutten av uken hadde de et ferdig bevis.

"Jeg visste noen ting, og han visste noen ting, og mellom oss to visste vi nok til å bare gjøre det," sa Ruberman.

På grunn av måten gruppeteori blir brukt i beviset, "er det litt uvanlig," sa Maggie Miller ved University of Texas, Austin. "Det er skrevet litt annerledes enn de fleste firedimensjonale topologer ville være komfortable med."

Resultatet er nok et eksempel på hvor komplisert firedimensjonal topologi kan bli. "Det er mer interessante innebygginger av overflater enn vi trodde," sa Hughes. Dette gjør det vanskeligere å klassifisere manifolder, og vanskeligere å bevise andre typer resultater om dem.

Likevel, i mars, İnanç Baykur fra University of Massachusetts, Amherst, som arrangerte fjorårets listeskapende konferanse med Ruberman, annonserte løsningen til et annet problem som involverer enkelt koblede firedimensjonale manifolder fra 1997-listen.

Det ser ut til at topologene vasker huset.