Ny prøvetråd trer nålen på et klebrig geometriproblem | Quanta Magazine

I 1917 poserte den japanske matematikeren Sōichi Kakeya det som først virket som noe mer enn en morsom øvelse i geometri. Legg en uendelig tynn, tommer lang nål på en flat overflate, og roter den deretter slik at den peker i alle retninger etter tur. Hva er det minste området nålen kan feie ut?

Hvis du bare snurrer den rundt midten, får du en sirkel. Men det er mulig å flytte nålen på oppfinnsomme måter, slik at du skjærer ut mye mindre plass. Matematikere har siden stilt en relatert versjon av dette spørsmålet, kalt Kakeya-formodningen. I sine forsøk på å løse det har de avdekket overraskende forbindelser til harmonisk analyse, tallteori og til og med fysikk.

"På en eller annen måte er denne geometrien med linjer som peker i mange forskjellige retninger allestedsnærværende i en stor del av matematikken," sa Jonathan Hickman ved University of Edinburgh.

Men det er også noe matematikere fortsatt ikke helt forstår. De siste årene har de bevist varianter av Kakeya-formodningen i enklere innstillinger, men spørsmålet forblir uløst i normalt, tredimensjonalt rom. I noen tid virket det som om all fremgang hadde stoppet på den versjonen av formodningen, selv om den har mange matematiske konsekvenser.

Nå har to matematikere flyttet nålen, for å si det sånn. Deres nye bevis slår ned et stort hinder som har stått i flere tiår – vekket håp om at en løsning endelig kan være i sikte.

Hva er Small Deal?

Kakeya var interessert i sett i planet som inneholder et linjestykke med lengde 1 i hver retning. Det er mange eksempler på slike sett, det enkleste er en skive med en diameter på 1. Kakeya ville vite hvordan det minste slike sett ville se ut.

Han foreslo en trekant med litt innhulte sider, kalt en deltoid, som har halvparten av skivens areal. Det viste seg imidlertid at det er mulig å gjøre mye, mye bedre.

I 1919, bare et par år etter at Kakeya stilte problemet sitt, viste den russiske matematikeren Abram Besicovitch at hvis du ordner nålene dine på en veldig spesiell måte, kan du konstruere et tornet utseende som har et vilkårlig lite område. (På grunn av første verdenskrig og den russiske revolusjonen, ville resultatet hans ikke nå resten av den matematiske verden på en årrekke.)

For å se hvordan dette kan fungere, ta en trekant og del den langs basen i tynnere trekantede biter. Skyv deretter bitene rundt slik at de overlapper så mye som mulig, men stikker ut i litt forskjellige retninger. Ved å gjenta prosessen om og om igjen - dele inn trekanten din i tynnere og tynnere fragmenter og omorganisere dem forsiktig i rommet - kan du gjøre settet ditt så lite du vil. I den uendelige grensen kan du få et sett som matematisk ikke har noe areal, men som likevel paradoksalt nok kan romme en nål som peker i alle retninger.

"Det er litt overraskende og motintuitivt," sa Ruixiang Zhang ved University of California, Berkeley. "Det er et sett som er veldig patologisk."

Dette resultatet kan generaliseres til høyere dimensjoner: Det er mulig å konstruere et sett med vilkårlig lite volum som inneholder et enhetslinjesegment som peker i alle retninger i n-dimensjonalt rom.

Besicovitch så ut til å ha løst Kakeyas spørsmål fullstendig. Men flere tiår senere begynte matematikere å jobbe med en annen versjon av problemet der de erstattet areal (eller volum, i det høyere dimensjonale tilfellet) med en annen oppfatning av størrelse.

For å forstå denne omformuleringen av spørsmålet, ta først hvert linjesegment i et Kakeya-sett og fett det opp litt - som om du brukte en faktisk nål, i stedet for en idealisert. I flyet vil settet ditt bestå av ekstremt tynne rektangler; i tredimensjonalt rom vil du ha en samling ekstremt tynne rør.

Disse fete settene har alltid et visst areal (eller volum, men vi holder oss til det todimensjonale tilfellet for nå). Når du endrer nålens bredde, vil dette området endres. På 1970-tallet viste matematikeren Roy Davies (som døde forrige måned) at hvis det totale arealet endres med en liten mengde, må bredden på hver nål endres drastisk. For eksempel, hvis du vil at en fet versjon av Besicovitchs sett skal ha et areal på 1/10 kvadrattomme, må hver nål ha en tykkelse på rundt 0.000045 tommer: e^-10 en tomme, for å være presis. Men hvis du ønsker å gjøre det totale arealet 1/100 av en kvadrattomme - 10 ganger mindre - må nålen være e^-100 en tomme tykk. (Førti-tre nuller følger desimaltegnet før du kommer til de andre sifrene.)

"Hvis du forteller meg hvor lite du vil at området skal være, så må jeg kreve en nål som bare er utrolig tynn," sa Charles Fefferman fra Princeton University.

Matematikere måler "størrelsen" på Kakeya-settet ved å bruke en mengde kalt Minkowski-dimensjonen, som er relatert til, men ikke helt det samme som en vanlig dimensjon (definert som antall uavhengige retninger du trenger for å beskrive et rom).

Her er en måte å tenke på Minkowski-dimensjonen på: Ta settet ditt og dekk det med små kuler som hver har en diameter på en milliondel av din foretrukne enhet. Hvis settet ditt er et linjestykke med lengde 1, trenger du minst 1 million baller for å dekke det. Hvis settet ditt er et kvadrat med område 1, trenger du mange, mange flere: en million kvadrat eller en billion. For en kule med volum 1 er den omtrent 1 million terninger (en kvintillion) og så videre. Minkowski-dimensjonen er verdien av denne eksponenten. Den måler hastigheten hvormed antallet kuler du trenger for å dekke settet ditt vokser etter hvert som diameteren til hver ball blir mindre. Et linjestykke har dimensjon 1, en firkant har dimensjon 2, og en kube har dimensjon 3.

Disse dimensjonene er kjente. Men ved å bruke Minkowskis definisjon blir det mulig å konstruere et sett som har en dimensjon på for eksempel 2.7. Selv om et slikt sett ikke fyller opp tredimensjonalt rom, er det på en eller annen måte "større" enn en todimensjonal overflate.

Når du dekker et sett med kuler med en gitt diameter, tilnærmer du volumet til den fete versjonen av settet. Jo langsommere volumet på settet avtar med størrelsen på nålen din, jo flere kuler trenger du for å dekke det. Du kan derfor omskrive Davies' resultat — som sier at arealet til et Kakeya-sett i planet minker sakte — for å vise at settet må ha en Minkowski-dimensjon på 2. Kakeya-formodningen generaliserer denne påstanden til høyere dimensjoner: Et Kakeya-sett må alltid ha samme dimensjon som plassen den bor i.

Det enkle utsagnet har vært overraskende vanskelig å bevise.

Et tårn av formodninger

Helt til Fefferman laget en oppsiktsvekkende oppdagelse i 1971 ble antagelsen sett på som en kuriositet.

Han jobbet med et helt annet problem på den tiden. Han ønsket å forstå Fourier-transformasjonen, et kraftig verktøy som lar matematikere studere funksjoner ved å skrive dem som summer av sinusbølger. Tenk på en musikknote, som består av mange overlappende frekvenser. (Det er derfor en mellom C på et piano høres annerledes ut enn en mellom C på en fiolin.) Fourier-transformasjonen lar matematikere beregne frekvensene til en bestemt tone. Det samme prinsippet fungerer for lyder så kompliserte som menneskelig tale.

Matematikere vil også vite om de kan gjenoppbygge den opprinnelige funksjonen hvis de bare får noen av dens uendelig mange konstituerende frekvenser. De har en god forståelse for hvordan man gjør dette i én dimensjon. Men i høyere dimensjoner kan de ta forskjellige valg om hvilke frekvenser de skal bruke og hvilke de skal ignorere. Fefferman beviste, til kollegenes overraskelse, at du kanskje ikke klarer å gjenoppbygge funksjonen din når du stoler på en spesielt velkjent måte å velge frekvenser på.

Beviset hans var hengt på å konstruere en funksjon ved å modifisere Besicovitchs Kakeya-sett. Dette inspirerte senere matematikere til å utvikle et hierarki av formodninger om den høyere dimensjonale oppførselen til Fourier-transformasjonen. I dag inkluderer hierarkiet til og med antagelser om oppførselen til viktige partielle differensialligninger i fysikk, som Schrödinger-ligningen. Hver formodning i hierarkiet innebærer automatisk den under den.

Kakeya-formodningen ligger i bunnen av dette tårnet. Hvis det er usant, er det også påstandene høyere i hierarkiet. På den annen side vil det å bevise at det er sant ikke umiddelbart innebære sannheten til antagelsene som ligger over det, men det kan gi verktøy og innsikt for å angripe dem.

«Det utrolige med Kakeya-formodningen er at det ikke bare er et morsomt problem; det er en ekte teoretisk flaskehals, sa Hickman. "Vi forstår ikke mange av disse fenomenene i partielle differensialligninger og Fourier-analyse fordi vi ikke forstår disse Kakeya-settene."

Å klekke ut en plan

Feffermans bevis - sammen med senere oppdagede forbindelser til tallteori, kombinatorikk og andre områder - gjenopplivet interessen for Kakeya-problemet blant toppmatematikere.

I 1995 beviste Thomas Wolff at Minkowski-dimensjonen til et Kakeya-sett i 3D-rom må være minst 2.5. Den nedre grensen viste seg å være vanskelig å øke. Så, i 1999, matematikerne Nets Katz, Izabella Łaba og Terence tao klarte å slå den. Deres nye grense: 2.500000001. Til tross for hvor liten forbedringen var, overvant den en massiv teoretisk barriere. Papiret deres var publisert i Annaler for matematikk, feltets mest prestisjefylte tidsskrift.

Katz og Tao håpet senere å bruke noen av ideene fra det arbeidet for å angripe 3D Kakeya-formodningen på en annen måte. De antok at ethvert moteksempel må ha tre spesielle egenskaper, og at sameksistensen av disse egenskapene må føre til en selvmotsigelse. Hvis de kunne bevise dette, ville det bety at Kakeya-formodningen var sann i tre dimensjoner.

De kunne ikke gå hele veien, men de gjorde noen fremskritt. Spesielt viste de (sammen med andre matematikere) at ethvert moteksempel må ha to av de tre egenskapene. Det må være "plany", som betyr at når linjesegmenter krysser hverandre i et punkt, ligger disse segmentene også nesten i samme plan. Det må også være "kornete", noe som krever at planene til nærliggende skjæringspunkter er likt orientert.

Det forlot den tredje eiendommen. I et "klebrig" sett må linjestykker som peker i nesten samme retning også være plassert nær hverandre i rommet. Katz og Tao kunne ikke bevise at alle moteksempler må være klissete. Men intuitivt virker et klebrig sett som den beste måten å tvinge frem mye overlapping mellom linjesegmentene, og dermed gjøre settet så lite som mulig - akkurat det du trenger for å lage et moteksempel. Hvis noen kunne vise at et klebrig Kakeya-sett hadde en Minkowski-dimensjon på mindre enn 3, ville det motbevise 3D Kakeya-formodningen. "Det høres ut som "klebrig" ville være det mest bekymringsfulle tilfellet," sa Larry Guth ved Massachusetts Institute of Technology.

Det er ikke lenger en bekymring.

Stikkpunktet

I 2014 - mer enn et tiår etter at Katz og Tao forsøkte å bevise Kakeya-formodningen - Tao la ut en oversikt over tilnærmingen deres på bloggen hans, og gir andre matematikere sjansen til å prøve det selv.

I 2021, Hong Wang, matematiker ved New York University, og Joshua Zahl ved University of British Columbia bestemte seg for å fortsette der Tao og Katz slapp.

De startet med å anta eksistensen av et klebrig moteksempel med en Minkowski-dimensjon på mindre enn 3. De visste fra tidligere arbeid at et slikt moteksempel måtte være plan og kornete. "Så vi var i den typen verden som Terry Tao og Nets Katz tenkte på," sa Zahl. Nå måtte de vise at de plane, kornete og klebrige egenskapene spilte av hverandre og førte til en selvmotsigelse, som ville bety at dette moteksemplet faktisk ikke kunne eksistere.

For å få denne motsetningen vendte imidlertid Wang og Zahl oppmerksomheten i en retning som Katz og Tao ikke hadde forutsett - mot et område kjent som projeksjonsteori.

De startet med å analysere strukturen til deres klebrige moteksempel mer detaljert. Hvis du vurderer den idealiserte versjonen av settet, har det et uendelig antall linjesegmenter som peker i alle retninger. Men i dette problemet, husk at du har å gjøre med fete versjoner av disse linjesegmentene - en haug med nåler. Hver av disse nålene kan inneholde mange av de idealiserte linjesegmentene, noe som betyr at du kan kode hele det uendelige settet med et begrenset antall nåler. Avhengig av hvor tykke nålene er, kan det fete settet ditt se veldig annerledes ut.

Hvis settet er klissete vil det se mer eller mindre likt ut uansett hvor tykke nålene er.

Wang og Zahl brukte denne egenskapen til å vise at når nålene blir tynnere, blir settet mer og mer flatt. Gjennom denne prosessen kunne de "trekke ut et enda mer patologisk objekt," sa Zahl - noe som så ut til å ha umulige egenskaper.

Det var det de viste videre. De beviste at dette patologiske objektet måtte se ut på en av to måter, som begge førte til motsetninger. Enten ville du være i stand til å projisere den ned i 2D-rom på en måte som gjorde den mye mindre i mange retninger - noe som Wang og hennes kolleger nettopp hadde vist seg umulig. Eller, i det andre tilfellet, ville nålene i settet være organisert i henhold til en veldig spesifikk type funksjon, som Zahl og hans samarbeidspartnere nylig hadde bevist kunne ikke eksistere, fordi det ville føre til andre typer projeksjoner som ikke ga mening.

Wang og Zahl hadde nå sin selvmotsigelse - noe som betyr at det ikke er noen klissete moteksempler på Kakeya-formodningen. (De viste dette ikke bare for Minkowski-dimensjonen, men også for en beslektet mengde kalt Hausdorff-dimensjonen.) "Resultatet utelukker hele denne klassen av moteksempler," sa Zahl - den nøyaktige typen mengder matematikere hadde ansett som mest sannsynlig å motbevise formodningen.

Det nye verket "er sterk støtte for at Kakeya-formodningen er sann," sa Pablo Shmerkin ved University of British Columbia. Selv om det bare gjelder det tredimensjonale tilfellet, kan noen av teknikkene være nyttige i høyere dimensjoner. Etter å ha brukt år på å gjøre fremskritt på formodningen i andre tallsystemer, er matematikere begeistret over denne tilbakevenden til problemets opprinnelige domene med reelle tall.

"Det er bemerkelsesverdig at de løste denne saken fullstendig," sa Zhang. "I virkelige omgivelser er det ekstremt sjeldent." Og hvis noen kan bevise at et moteksempel må være klebrig, vil det nye resultatet innebære hele formodningen i tre dimensjoner. Hierarkiet av formodninger bygget over det vil da forbli trygt, dets grunnlag stabilt.

"På en eller annen måte passer disse to forskjellige problemene i projeksjonsteorien, som på forsiden av det ikke har mye med hverandre å gjøre, ganske godt sammen for å gi nøyaktig det som var nødvendig for Kakeya," sa Zahl.