Nigdy nie powtarzające się kafelki mogą chronić informację kwantową | Magazyn Quanta

Jeśli chcesz wyłożyć podłogę w łazience, najprostszą opcją są płytki kwadratowe — pasują do siebie bez żadnych przerw w siatce, która może trwać w nieskończoność. Ta kwadratowa siatka ma właściwość wspólną dla wielu innych płytek: przesuń całą siatkę o ustaloną wartość, a wynikowy wzór będzie nie do odróżnienia od oryginału. Jednak dla wielu matematyków takie „okresowe” dyskusje są nudne. Jeśli widziałeś jedną małą łatkę, widziałeś już wszystko.

W latach sześćdziesiątych matematycy zaczęli się uczyć „aperiodyczne” zestawy płytek ze znacznie bogatszym zachowaniem. Być może najbardziej znaną jest para płytek w kształcie rombu odkryta w latach 1970. XX wieku przez polimatycznego fizyka i przyszłego laureata Nagrody Nobla Roger Penrose. Kopie tych dwóch płytek mogą tworzyć nieskończenie wiele różnych wzorów, które trwają wiecznie, zwane kafelkami Penrose'a. Jednak niezależnie od tego, jak ułożysz płytki, nigdy nie uzyskasz okresowo powtarzającego się wzoru.

„To są płytki, które tak naprawdę nie powinny istnieć” – powiedział Nikolasa Breuckmanna, fizyk z Uniwersytetu w Bristolu.

Od ponad pół wieku aperiodyczne układanie płytek fascynuje matematyków, hobbystów i badaczy z wielu innych dziedzin. Teraz dwóch fizyków odkryło związek między nieokresowymi podziałami a pozornie niepowiązaną dziedziną informatyki: badaniem, w jaki sposób przyszłe komputery kwantowe będą mogły kodować informacje chroń go przed błędami, W papier opublikowano w listopadzie na serwerze preprintów arxiv.org badacze pokazali, jak przekształcić kafelki Penrose'a w zupełnie nowy typ kodu korygującego błędy kwantowe. Skonstruowali także podobne kody w oparciu o dwa inne rodzaje aperiodycznego kafelkowania.

Sednem tej zależności jest prosta obserwacja: zarówno w przypadku aperiodycznych podziałek, jak i kwantowych kodów korygujących błędy, poznanie małej części dużego systemu nie ujawnia niczego na temat systemu jako całości.

„To jedna z tych pięknych rzeczy, które z perspektywy czasu wydają się oczywiste” – powiedział Toby’ego Cubitta, badacz informacji kwantowej w University College London. „Myślisz: «Dlaczego o tym nie pomyślałem?»”

Zakazana wiedza

Zwykłe komputery reprezentują informacje za pomocą bitów o dwóch różnych stanach, oznaczonych jako 0 i 1. Bity kwantowe, czyli kubity, również mają dwa stany, ale można je również połączyć w tak zwane superpozycje, w których współistnieją ich stany 0 i 1. Wykorzystując bardziej skomplikowane superpozycje obejmujące wiele kubitów, komputery kwantowe może wykonywać pewne obliczenia znacznie szybciej niż jakakolwiek konwencjonalna maszyna.

Jednak superpozycje kwantowe są płochliwymi stworzeniami. Zmierz kubit w stanie superpozycji, a zapadnie się on do 0 lub 1, usuwając wszelkie trwające obliczenia. Co gorsza, błędy wynikające ze słabych interakcji między kubitami a ich otoczeniem mogą imitować destrukcyjne skutki pomiaru. Wszystko, co zakłóca kubit w niewłaściwy sposób, niezależnie od tego, czy jest to wścibski badacz, czy zabłąkany foton, może zepsuć obliczenia.

Ta ekstremalna kruchość może sprawić, że obliczenia kwantowe wydają się beznadziejne. Ale w 1995 roku matematyk stosowany Peter Shor odkryty sprytny sposób przechowywania informacji kwantowej. Jego kodowanie miało dwie kluczowe właściwości. Po pierwsze, mógł tolerować błędy, które dotyczyły tylko poszczególnych kubitów. Po drugie, zawierała procedurę korygowania błędów w miarę ich pojawiania się, zapobiegając ich kumulowaniu i zakłócaniu obliczeń. Odkrycie Shora było pierwszym przykładem kodu kwantowego korygującego błędy, a jego dwie kluczowe właściwości stanowią cechy definiujące wszystkie takie kody.

Pierwsza właściwość wynika z prostej zasady: tajne informacje są mniej podatne na ataki, gdy są podzielone. Sieci szpiegowskie stosują podobną strategię. Każdy szpieg wie bardzo niewiele o sieci jako całości, więc organizacja pozostaje bezpieczna, nawet jeśli jakakolwiek osoba zostanie schwytana. Jednak kody kwantowe korygujące błędy doprowadzają tę logikę do skrajności. W kwantowej sieci szpiegowskiej żaden pojedynczy szpieg nie wiedziałby nic, a razem wiedzieliby dużo.

Każdy kod korygujący błędy kwantowe to specyficzny przepis na dystrybucję informacji kwantowej na wielu kubitach w zbiorczym stanie superpozycji. Ta procedura skutecznie przekształca klaster fizycznych kubitów w pojedynczy kubit wirtualny. Powtórz ten proces wiele razy z dużą tablicą kubitów, a otrzymasz wiele wirtualnych kubitów, których możesz użyć do wykonywania obliczeń.

Fizyczne kubity tworzące każdy wirtualny kubit są jak ci nieświadomi szpiedzy kwantowi. Zmierz którykolwiek z nich, a nie dowiesz się niczego o stanie wirtualnego kubitu, którego jest częścią — jest to właściwość zwana lokalną nierozróżnialnością. Ponieważ każdy fizyczny kubit nie koduje żadnych informacji, błędy w pojedynczych kubitach nie zrujnują obliczeń. Informacje, które mają znaczenie, są w jakiś sposób wszędzie, ale nigdzie w szczególności.

„Nie można tego przypisać do żadnego pojedynczego kubitu” – powiedział Cubitt.

Wszystkie kody kwantowe korygujące błędy mogą wchłonąć co najmniej jeden błąd bez żadnego wpływu na zakodowaną informację, ale wszystkie ostatecznie ulegną w miarę kumulacji błędów. Tutaj właśnie pojawia się druga właściwość kodów kwantowej korekcji błędów — rzeczywista korekcja błędów. Jest to ściśle powiązane z lokalną nierozróżnialnością: ponieważ błędy w poszczególnych kubitach nie niszczą żadnych informacji, zawsze można odwrócić każdy błąd stosując ustalone procedury specyficzne dla każdego kodu.

Zabrany na przejażdżkę

Zhi Li, postdoc w Perimeter Institute for Theoretical Physics w Waterloo w Kanadzie, był dobrze zaznajomiony z teorią korekcji błędów kwantowych. Temat ten był jednak odległy od jego myśli, kiedy nawiązał rozmowę ze swoim kolegą Lathama Boyle'a. Była jesień 2022 roku i obaj fizycy jechali wieczornym promem z Waterloo do Toronto. Boyle, ekspert od nieokresowego układania płytek, który mieszkał wówczas w Toronto, a obecnie pracuje na Uniwersytecie w Edynburgu, był znajomą twarzą podczas tych przejazdów wahadłowcami, które często utknęły w dużym korku.

„Normalnie byliby bardzo nieszczęśliwi” – ​​powiedział Boyle. „To było coś jakby największego w historii”.

Przed tym pamiętnym wieczorem Li i Boyle wiedzieli o swojej pracy, ale ich obszary badawcze nie pokrywały się bezpośrednio i nigdy nie rozmawiali sam na sam. Jednak podobnie jak niezliczona liczba badaczy zajmujących się niepowiązanymi dziedzinami, Li był ciekawy aperiodycznych zmian. „Bardzo trudno jest nie być zainteresowanym” – powiedział.

Zainteresowanie przerodziło się w fascynację, gdy Boyle wspomniał o szczególnej właściwości aperiodycznych płytek: lokalnej nierozróżnialności. W tym kontekście termin ten oznacza coś innego. Z tego samego zestawu płytek można utworzyć nieskończenie wiele płytek, które ogólnie wyglądają zupełnie inaczej, ale nie da się rozróżnić dwóch płytek, badając dowolny obszar lokalny. Dzieje się tak dlatego, że każdy skończony fragment dowolnego kafelka, bez względu na jego wielkość, pojawi się gdzieś w każdym innym kafelku.

„Jeśli ułożę cię w jednym lub drugim kafelku i dam ci resztę życia na eksplorację, nigdy nie będziesz w stanie się zorientować, czy umieściłem cię w twoim kafelku, czy w moim kafelku” – powiedział Boyle.

Li wydawało się to kusząco podobne do definicji lokalnej nierozróżnialności w kwantowej korekcji błędów. Wspomniał o powiązaniu z Boylem, który natychmiast był oszołomiony. Podstawa matematyczna w obu przypadkach była zupełnie inna, ale podobieństwo było zbyt intrygujące, aby je odrzucić.

Li i Boyle zastanawiali się, czy mogliby uzyskać bardziej precyzyjne powiązanie między dwiema definicjami lokalnej nierozróżnialności, budując kod korygujący błędy kwantowe w oparciu o klasę aperiodycznych podziałek. Rozmawiali przez całą dwugodzinną podróż promem, a kiedy dotarli do Toronto, byli już pewni, że taki kod jest możliwy – wystarczyło jedynie skonstruować formalny dowód.

Płytki kwantowe

Li i Boyle postanowili zacząć od płytek Penrose, które były proste i znajome. Aby przekształcić je w kod korygujący błędy kwantowe, musieliby najpierw określić, jak będą wyglądać stany kwantowe i błędy w tym niezwykłym systemie. Ta część była łatwa. Nieskończoną dwuwymiarową płaszczyznę pokrytą płytkami Penrose'a niczym siatką kubitów można opisać za pomocą matematycznych ram fizyki kwantowej: stany kwantowe są określonymi kafelkami, a nie zerami i jedynekami. Błąd po prostu usuwa pojedynczy fragment wzoru kafelkowego, podobnie jak pewne błędy w tablicach kubitów wymazują stan każdego kubitu w małym klastrze.

Następnym krokiem było zidentyfikowanie konfiguracji kafelków, na które nie będą miały wpływu zlokalizowane błędy, takie jak wirtualne stany kubitów w zwykłych kodach kwantowych korygujących błędy. Rozwiązaniem, podobnie jak w zwykłym kodzie, było zastosowanie superpozycji. Starannie dobrana superpozycja płytek Penrose przypomina aranżację płytek łazienkowych zaproponowaną przez najbardziej niezdecydowanego dekoratora wnętrz na świecie. Nawet jeśli brakuje fragmentu tego pogmatwanego planu, nie będzie to zdradzać żadnych informacji na temat ogólnego planu piętra.

Aby to podejście zadziałało, Li i Boyle musieli najpierw rozróżnić dwie jakościowo różne relacje między różnymi płytkami Penrose'a. Biorąc pod uwagę dowolne kafelki, możesz wygenerować nieskończoną liczbę nowych kafelków, przesuwając je w dowolnym kierunku lub obracając. Zbiór wszystkich wygenerowanych w ten sposób płytek nazywany jest klasą równoważności.

Jednak nie wszystkie płytki Penrose należą do tej samej klasy równoważności. Kafelkowanie w jednej klasie równoważności nie może zostać przekształcone w kafelkowanie w innej klasie poprzez jakąkolwiek kombinację rotacji i translacji — te dwa nieskończone wzorce są jakościowo różne, ale nadal lokalnie nie do odróżnienia.

Dzięki temu rozróżnieniu Li i Boyle mogli w końcu skonstruować kod korygujący błędy. Przypomnijmy, że w zwykłym kodzie korygującym błędy kwantowe wirtualny kubit jest kodowany w postaci superpozycji fizycznych kubitów. W kodzie opartym na kafelkowaniu analogiczne stany są superpozycją wszystkich kafelków w ramach jednej klasy równoważności. Jeśli płaszczyzna jest pokryta tego rodzaju superpozycją, istnieje procedura wypełniania luk bez ujawniania jakichkolwiek informacji o ogólnym stanie kwantowym.

„Płytka Penrose'a w jakiś sposób wiedziała o korekcji błędów kwantowych przed wynalezieniem komputera kwantowego” – powiedział Boyle.

Intuicja Li i Boyle'a podczas podróży autobusem okazała się słuszna. Na głębokim poziomie te dwie definicje lokalnej nierozróżnialności same w sobie były nierozróżnialne.

Znalezienie wzoru

Choć matematycznie dobrze zdefiniowany, nowy kod Li i Boyle’a był mało praktyczny. Krawędzie płytek w płytkach Penrose nie spadają w regularnych odstępach, dlatego określenie ich rozkładu wymaga ciągłych liczb rzeczywistych, a nie dyskretnych liczb całkowitych. Z drugiej strony komputery kwantowe zazwyczaj wykorzystują systemy dyskretne, takie jak siatki kubitów. Co gorsza, płytki Penrose'a są jedynie lokalnie nie do odróżnienia na nieskończonej płaszczyźnie, co nie przekłada się dobrze na skończony świat rzeczywisty.

„To bardzo ciekawe połączenie” – stwierdził Barbary Terhal, badacz obliczeń kwantowych na Uniwersytecie Technologicznym w Delft. „Ale dobrze jest też sprowadzić to na ziemię”.

Li i Boyle poczynili już krok w tym kierunku, konstruując dwa inne kody oparte na kafelkach, w których leżący u ich podstaw system kwantowy jest skończony w jednym przypadku i dyskretny w drugim. Kod dyskretny można również uczynić skończonym, ale pozostają inne wyzwania. Obydwa skończone kody mogą korygować jedynie błędy, które są zgrupowane razem, podczas gdy najpopularniejsze kody kwantowe korygujące błędy mogą obsługiwać losowo rozproszone błędy. Nie jest jeszcze jasne, czy jest to nieodłączne ograniczenie kodów opartych na kafelkach, czy też można je obejść za pomocą mądrzejszego projektu.

„Jest wiele dalszych prac, które można wykonać” – powiedział Feliks Flicker, fizyk z Uniwersytetu w Bristolu. „Wszystkie dobre gazety powinny tak robić”.

Lepszego zrozumienia wymagają nie tylko szczegóły techniczne — nowe odkrycie rodzi również bardziej fundamentalne pytania. Kolejnym oczywistym krokiem jest określenie, które inne kafelki działają również jako kody. Dopiero w zeszłym roku odkryli to matematycy rodzina aperiodycznych płytek że każdy używa tylko jednej płytki. „Byłoby fascynujące zobaczyć, jak te ostatnie osiągnięcia mogą być powiązane z problemem kwantowej korekcji błędów” – napisał Penrose w e-mailu.

Inny kierunek obejmuje badanie powiązań między kodami korygującymi błędy kwantowe a pewnymi modele grawitacji kwantowej, W Papier 2020, Boyle, Flicker i nieżyjąca już Madeline Dickens wykazali, że w geometrii czasoprzestrzeni tych modeli pojawiają się aperiodyczne podziały. Ale to połączenie wynikało z właściwości płytek, która nie odgrywa żadnej roli w pracach Li i Boyle'a. Wydaje się, że grawitacja kwantowa, korekcja błędów kwantowych i aperiodyczne podziałki to różne elementy układanki, których kontury badacze dopiero zaczynają rozumieć. Podobnie jak w przypadku samych nieokresowych płytek, ustalenie, jak te elementy do siebie pasują, może być niezwykle subtelne.

„Istnieją głębokie korzenie łączące te różne rzeczy” – powiedział Flicker. „Ten kuszący zestaw powiązań aż prosi się o opracowanie”.