Wprowadzenie
Sekret naprawienia fatalnej wady w sercu teorii kwantowej może leżeć w trzech mało znanych podręcznikach z lat 1980. Fizykom można jednak wybaczyć, że przeoczyli zawarte w nich potencjalnie transformacyjne idee, ponieważ tomy wydają się jednocześnie amatorskie i zastraszające.
Nieliczne fizyczne kopie opus magnum Jeana Écalle, które istnieją, wyglądają na niewiele więcej niż gloryfikowane kserokopie. Duże symbole matematyczne nabazgrane grubym czarnym atramentem często przerywają starannie napisane zdania. Tekst jest również napisany w języku francuskim, co jest niedogodnością dla naukowców w świecie anglojęzycznym.
Sama matematyka stanowi kolejną barierę. Na 1,110 stronach trylogii znajdziesz oryginalne przedmioty matematyczne i dziwaczne monety. Dziwnie brzmiące terminy, takie jak „serie trans”, „podatne na analizę zarazki”, „pochodne obcych” i „sumowanie przyspieszone” są obfite.
„Jeśli spojrzysz na to po raz pierwszy i nie przeczytasz tego zbyt uważnie, możesz pomyśleć, że to wariat piszący jakieś szalone rzeczy” – powiedział Marcos Mariño, fizyk matematyczny z Uniwersytetu Genewskiego, który na swojej półce trzyma tak zwane „dokumenty historyczne” i codziennie korzysta z narzędzi opracowanych przez Écalle. „Oczywiście, że nie. Jest jednym z tych wizjonerskich matematyków”.
Jego wizjonerska matematyka może być właśnie tym, czego potrzeba, aby przezwyciężyć głębokie konceptualne zakłopotanie – takie, które fizycy mniej lub bardziej ignorowali przez ostatnie 70 lat. W tym czasie fizycy nauczyli się dokonywać zapierających dech w piersiach dokładnych prognoz dotyczących świata subatomowego. Ale te przewidywania, choć mogą być precyzyjne, są przybliżeniami. Jeśli ktoś szuka absolutnej precyzji, podręcznikowa teoria kwantowa załamuje się i daje nieskończoną liczbę odpowiedzi — bezsensowne wyniki, które wielu fizyków uważa za matematyczne śmieci.
Studiując stare podręczniki Écalle'a, fizycy zaczynają podejrzewać, że te nieskończone odpowiedzi zawierają niezliczone skarby i że przy wystarczającym wysiłku narzędzia matematyczne, które opracował, pozwolą im wziąć dowolną nieskończoność i znaleźć skończoną i bezbłędną odpowiedź na każde pytanie kwantowe.
„Rzeczywiście, to działa bardzo pięknie” w wielu przypadkach, powiedział Marco Serone, fizyk, który bada tę strategię, która nosi nazwę „odrodzenia”. „W pewnym momencie ten proces się kończy, a to, co masz przed oczami, jest dokładnym rozwiązaniem twojego pierwotnego problemu”.
Odradzająca się społeczność jest niewielka, ale przez lata poczyniła stały postęp. Proto-wersja techniki uzyskała dokładne wyniki w mechanice kwantowej, która ogranicza się do zachowania cząstek. A bardziej wyrafinowane wcielenia pozwoliły niektórym fizykom zapuszczać się dalej w mętne wody kwantowej teorii pola, a ostatnio także teorii strun. Ale to dopiero początek wielkich marzeń praktykujących odrodzenie. Ich celem jest ni mniej, ni więcej, tylko nowy sposób myślenia o nieskończonościach w teoriach fizycznych — taki, który lepiej pasuje do naszego skończonego świata w teorii i być może także w praktyce.
Eksplodujące możliwości
Teoria pola kwantowego — pogląd, że cząstki takie jak elektrony są w rzeczywistości podtrzymywanymi falami w podstawowym polu kwantowym — zmusiła powojennych fizyków do zmierzenia się z nieskończonością.
Te pola kwantowe są niewyobrażalnie skomplikowanymi bestiami – z przejściowymi zmarszczkami i spójnymi falami poruszającymi pozornie pustą przestrzenią. Te przemijające zmarszczki mogą w zasadzie pojawić się w dowolnym momencie, w dowolnej liczbie iz dowolną energią – co stanowi dla fizyków wyzwanie wyjaśnienie niekończącego się szeregu subatomowych mieszań, aby zrozumieć dokładny wynik nawet prostych eksperymentów.
W latach czterdziestych Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger i Richard Feynman opracowali równoważne sposoby uzyskiwania skończonych odpowiedzi z nieskończonej złożoności kwantowego pola elektromagnetycznego. Najbardziej znany dzisiaj w prezentacji Feynmana, obliczenia przybrały formę nieskończonego ciągu „Diagramy Feynmana” reprezentujący paradę coraz bardziej bizantyńskich możliwości kwantowych. Zaczynasz od diagramu najprostszego możliwego zdarzenia — powiedzmy elektronu poruszającego się w przestrzeni — i obliczasz pewną mierzalną właściwość, na przykład, jak bardzo elektron chybocze się w polu magnetycznym. Następnie dodajesz wynik z bardziej skomplikowanego scenariusza, takiego jak krótkie wyrzucenie elektronu, a następnie ponowna absorpcja fotonu w locie. Następnie dodajesz dramat subatomowy obejmujący dwie przejściowe zmarszczki, potem trzy i tak dalej, w szeroko stosowanej technice matematycznej znanej jako teoria zaburzeń.
Wprowadzenie
Na papierze obliczenie tej właściwości tworzy niekończący się „szereg potęgowy”: równanie obejmujące pewną wartość krytyczną, którą nazwiemy x, następnie x do kwadratu, x sześcienny i coraz wyższe potęgi x, wszystko pomnożone przez różne współczynniki:
F(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +… + a1,000,000x1,000,000 +….
Dla pola elektromagnetycznego wartość x jest niezmienna stała natury, alfa, czyli blisko 1/137. Jest to niewielka liczba, jak na względną słabość siły, a podniesienie tej niewielkiej liczby do większych potęg powoduje, że terminy szybko się kurczą.
Diagramy Feynmana dostarczają fizykom współczynników dla każdego terminu — tzw a's — które są trudne do obliczenia. Weźmy obliczenie „współczynnika g” elektronu, liczby związanej ze sposobem, w jaki cząstka porusza się w polu magnetycznym. Najprostszy schemat Feynmana daje a0, co jest równe dokładnie 2. Ale jeśli weźmiesz pod uwagę nieco bardziej skomplikowany diagram Feynmana, na którym pojawia się pierwsza tymczasowa fala, musisz obliczyć a1 termin, i to jest miejsce, w którym nieskończoność podnosi głowę. Tomonaga, Schwinger i Feynman opracowali sposób, aby ten termin był skończony. Ich obliczenia na poziomie około 2.002 dla współczynnika g elektronu odpowiadały pomiarom eksperymentalnym tego pokolenia, dowiodły, że kwantowa teoria pola może mieć sens i przyniosły całej trójce Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w 1965 roku.
Ich podejście zapoczątkowało również nową erę, w której fizycy musieli skalować coraz wyższe góry diagramów Feynmana, aby obliczyć więcej a'S. Te góry stają się strome i szybko. W 2017 roku fizyk skończył dwie dekady Praca z miłości, A dokładne obliczenie współczynnika g elektronu, który wymagał obliczenia włochatych równań z 891 diagramów Feynmana. Wynik ujawnił dopiero piątą kadencję w serii.
Diagramy Feynmana pozostają niezwykle ważne we współczesnej fizyce. Zbiór podobnych, ale jeszcze bardziej skomplikowanych obliczeń dla mionu, korpulentnego kuzyna elektronu, trafiła na pierwsze strony gazet w 2021 roku. Eksperyment ujawnił rozbieżność ósmej części dziesiętnej z przewidywaniami teoretycznymi. Skromna anomalia stanowi jedną z największych nadziei na zobaczenie, co kryje się za wysokim gmachem, który wyrósł z pracy Feynmana i jego współpracowników.
Ale ten ciąg eksperymentalnych zwycięstw ukrył fakt, że w głębi duszy ten sposób podejścia do kwantowej teorii pola tak naprawdę w ogóle nie działa.
Upadek diagramów Feynmana
Freeman Dyson, inny powojenny pionier, był pierwszym fizykiem, który zdał sobie sprawę, że perturbacyjna teoria kwantowa jest prawdopodobnie skazana na porażkę. Był rok 1952 i podczas gdy inni świętowali fakt, że kilka pierwszych wyrazów w szeregu potęgowym Feynmana można uczynić małymi i skończonymi, Dyson martwił się o resztę szeregu.
Fizycy mieli naiwną nadzieję, że diagram Feynmana dotyczący pola elektromagnetycznego okaże się tym, co matematycy nazywają „zbieżnym”. W zbieżnym szeregu każdy kolejny wyraz jest znacznie mniejszy niż poprzedni, a im więcej wyrazów, tym bardziej suma zbiega się do pojedynczej liczby skończonej. W przeciwieństwie do tego szereg może być również „rozbieżny” — późniejsze wyrazy są większe niż wyrazy wcześniejsze, a szereg rośnie bez ograniczeń. Suma „różni się”, nie dając oczywistej sensownej odpowiedzi.
Pierwsze wyrazy sumy Feynmana rzeczywiście się skurczyły — w wyniku niewielkiej wartości alfa — i samego Dysona początkowo zakończył że perturbacyjny elektromagnetyzm kwantowy powinien być ogólnie zbieżny.
Ale potem Dyson połączył rozumowanie matematyczne i fizyczne, aby dokonać bardziej wyrafinowanych przypuszczeń na temat losów serii. Myśląc matematycznie, Dyson wiedział, że zbieżny szereg potęgowy zbiega się szybciej, gdy x staje się mniejszy, ponieważ wyższe terminy (które obejmują potęgi x) kurczą się szybciej.
Ale kiedy pozwolił x przejść przez zero, wszystko się rozpadło.
Powodem jest nasza próżnia, która nieustannie wytwarza przejściowe pary zmarszczek z ładunkami dodatnimi i ujemnymi. Te zmarszczki normalnie przyciągają się i znikają. Ale gdyby alfa stała się ujemna, te zmarszczki odepchnęłyby się od siebie i stałyby się rzeczywistymi cząstkami. Ciągła erupcja cząstek z niczego wywołałaby kosmiczny krach, „wybuchowy rozpad próżni”, jak to ujął Dyson.
Fizycznie każda negatywna alfa to kłopoty. Jednak matematycznie znak x nie ma znaczenia: jeśli szereg jest rozbieżny dla małego ujemnego x wtedy również powinien się różnić dla małego plusa x. Dlatego dla małej dodatniej alfy (czyli 1/137) szeregi również powinny być rozbieżne. Katastrofalna sytuacja fizyczna Dysona ukryty że słynny sposób traktowania elektromagnetyzmu kwantowego przez Feynmana przewidywał ostatecznie nieskończoność.
Obecnie fizycy spodziewają się, że elektrodynamika kwantowa (jak nazywa się kwantową teorię pola elektromagnetyzmu) zacznie się rozchodzić gdzieś około 137 członu. To znaczy, być może, a138x138 może być większy niż a137x137, a włączenie go do sumy sprawi, że prognoza będzie mniej — a nie bardziej — precyzyjna.
Problem polega na tym, że wyższe terminy prowadzą do gwałtownego wzrostu — wzrostu czynnikowego — liczby diagramów Feynmana. To znaczy kalkulować a9 będzie wymagać około 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (około 362,880 XNUMX) diagramów i a10 będzie wymagać około 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3,628,800 XNUMX XNUMX) diagramów. Ten wzrost czynnikowy na diagramach przyczynia się do aostatecznie pokona kurczące się moce alfa, a suma będzie rosnąć nieposkromiona w kierunku nieskończoności.
Dla większości fizyków nieuchronna rozbieżność nawet najprostszej kwantowej teorii pola pozostaje abstrakcyjnym problemem, podobnie jak śmierć naszego Słońca za mniej więcej miliard lat. W czasach, gdy obliczenia — a tym bardziej testowanie — nawet 10. część serii wydaje się science fiction, po co martwić się niebezpieczeństwami czyhającymi daleko poza setną?
Jednak dla nielicznych wybranych fakt, że najlepiej rozumiana teoria we współczesnej fizyce technicznie dostarcza nieskończonej liczby odpowiedzi na dowolne pytanie, pozostaje głęboko niepokojący. „Nie wiemy, jak symulować świat, nawet w zasadzie, nawet przy nieograniczonych zasobach obliczeniowych” – powiedział Emanuela Katza, fizyk z Boston University, który bada nowe metody wychodzenia poza diagramy Feynmana.
Diabelska rozbieżność
W międzyczasie matematycy zastanawiali się nad rozbieżnymi szeregami przez ponad sto lat, zanim Dyson zaczął niepokoić się teorią kwantową.
„Rozbieżne serie są wymysłem diabła i haniebne jest opieranie na nich jakiegokolwiek dowodu” zażartował Niels Henrik Abel w 1828 r. „W większości wyniki są ważne, to prawda, ale jest to ciekawa rzecz. Szukam przyczyny.”
Abel zmarł w następnym roku, w wieku 26 lat. Ale pod koniec stulecia Henri Poincaré zrobił znaczący krok w kierunku zrozumienia, dlaczego rozbieżne serie są tak śliskie: nie były szatańskie, tylko niekompletne.
Poincaré czepiał się odwiecznego pytania: w jaki sposób trzy ciała niebieskie mogą krążyć wokół siebie? Postanowił rozwiązać ten problem za pomocą teorii perturbacji, tak jak zrobiliby to Feynman i Dyson, gdy sto lat później napotkali pola kwantowe. Poincaré starał się skonstruować tajemniczą, przypuszczalnie skomplikowaną funkcję opisującą trajektorie trzech ciał, używając nieskończenie długiej sumy prostszych jednostek – proces podobny do budowania samochodu z prostych klocków Lego. Nadzieja polegała na tym, że seria zbiegnie się do skończonej odpowiedzi, co będzie znakiem, że seria jest doskonałą reprezentacją unikalnej funkcji.
Początkowo myślał, że mu się udało. W 1890 roku król Szwecji i Norwegii Oscar II przyznał Poincaremu nagrodę za postępy w słynnym problemie. Ale na krótko przed publikacją jego rozwiązania wezwał króla do zatrzymania pras. Szeregi były rozbieżne. Dalsza analiza (która położyła podwaliny pod teorię chaosu) wykazała, że odpowiada ona nie jednej, ale dwóm odrębnym funkcjom. Była to komplikacja, z którą fizycy są teraz aż nazbyt zaznajomieni.
Wprowadzenie
„Byłoby całkowitym cudem, gdyby twój problem fizyczny, który cię interesuje, był rzeczywiście powiązany z szeregiem zbieżnym” — powiedział Karol Bender, wybitny fizyk matematyczny z Washington University w St. Louis. (Dzisiaj fizycy wiedzą, że trzy ciała niebieskie mogą oddziaływać na niezliczoną liczbę bardzo różnych sposobów i żadne proste równanie nie zawiera wszystkich możliwości).
Bender porównuje rodzaj rozbieżnych szeregów, z którymi spotkał się Poincaré, do rozmytego obrazu funkcji. Rozmycie spełnia wiele możliwych funkcji, podobnie jak bryłowata sylwetka pojazdu Lego może pasować do dowolnej liczby samochodów sportowych. Kiedy rozwiniesz skomplikowaną funkcję w taki „asymptotyczny” szereg, „stracisz informacje” – powiedział Bender.
Od czasów Poincarégo matematycy i fizycy doszli do wniosku, że istnieją inne rodzaje terminów, które są „ponad wszelkimi porządkami”, a które są jeszcze mniejsze niż najmniejszy wyraz potęgowy. Te „wykładniczo małe” terminy mogą mieć postać e(-1/x), na przykład, i dostarczają utraconych informacji. Jeśli uwzględnisz je w swojej serii i wybierzesz odpowiednią procedurę „wznawiania”, aby seria była skończona, możesz pozbyć się części — jeśli nie wszystkich — rozmyć. Są to nano-klocki Lego potrzebne do odróżnienia Ferrari od Lamborghini.
Fizycy nazywają te dodatkowe terminy „nieperturbacyjnymi”, ponieważ są poza zasięgiem teorii zaburzeń. Możesz spędzić trylion lat na rysowaniu diagramów Feynmana i obliczaniu a's, i nigdy nie dowiesz się o pewnych zdarzeniach fizycznych zakodowanych w tych nieperturbacyjnych terminach. Chociaż efekty opisane tymi drobnymi terminami mogą być rzadkie lub subtelne, mogą one radykalnie zmienić rzeczywisty świat.
Weźmy na przykład równanie Schrödingera mechaniki kwantowej, które opisuje falowe zachowanie cząstek. To skomplikowane równanie, które fizycy często przybliżają za pomocą teorii zaburzeń. Chociaż wynikowa nieskończona seria pięknie przewiduje wiele eksperymentów, całkowicie pomija niezwykle mało prawdopodobne (ale nie niemożliwe) zdarzenie znane jako tunelowanie, w którym cząstka zasadniczo teleportuje się przez barierę.
Tunelowanie jest jednym z wielu nieperturbacyjnych zjawisk w fizyce kwantowej, ale efekty nieperturbacyjne są wszędzie: rozgałęziony wzrost płatków śniegu, przepływ cieczy przez rurę z otworami, orbity planet w Układzie Słonecznym, falowanie fal uwięziony między okrągłymi wyspami, a niezliczone inne zjawiska fizyczne są nieperturbacyjne.
„Oni tam są i są kluczowi” – powiedział Daniele Dorigoni, fizyk z Durham University. „Teoria perturbacji sama w sobie nie wystarczy”.
Ze względu na jego uniwersalną naturę hordy matematyków i fizyków pracowały nad różnymi aspektami metaproblemu obliczania nieperturbacyjnych terminów. A pod koniec XX wieku grupa badaczy zaczęła znajdować kuszące wskazówki, że perturbacyjne serie zdawały się wiedzieć więcej, niż powinny.
Wśród tych naukowców grupa z Centrum Badań Jądrowych Saclay we Francji w latach 1980. pomogła opracować sposób łączenia perturbacyjnych terminów mocy z nieperturbacyjnymi terminami wykładniczymi, aby uzyskać dokładne wyniki tunelowania w mechanice kwantowej. Ich technika działała o tyle, o ile mogli polegać na kluczowej technologii matematycznej z przełomu wieków, znanej jako wznawianie Borela. Resumowanie Borela było wówczas najpotężniejszym narzędziem do uzyskiwania skończonych liczb z rozbieżnych szeregów, ale miało swoje ograniczenia. Czasami dawał błędne lub sprzeczne wyniki, frustrując fizyków, którzy mieli nadzieję, że jedna seria poprawnie przewidzi wynik jednego eksperymentu.
„Kiedy fizycy znaleźli szereg, który nie był borelowski, zasadniczo by się poddali” – powiedział Mariño.
Bez ich wiedzy ekscentryczny matematyk pracujący w odosobnieniu zaledwie kilka mil od grupy w Saclay przeprowadził już bezprecedensową eksplorację nieskończenie wysokich szczytów szeregów asymptotycznych.
Diagramy Feynmana kontratakują
Jean Écalle odkąd był nastolatkiem, fascynowała go matematyka nieskończoności. Wspomina, jak pewnego lata w szkole średniej odpoczywał nad brzegiem górskiego strumienia i zastanawiał się, czy może istnieć bardziej ogólna wersja operacji pochodnej — ćwiczenie na ułamkach nieskończenie małych, którego uczniowie najpierw uczą się na elementarnym rachunku różniczkowym.
Kontynuując naukę, Écalle rozwinął upodobanie do pracy w pojedynkę. Starał się nawet unikać czytania prac swoich kolegów matematyków, z obawy, że ich myślenie wciągnie go w ustalone koleiny.
„Z natury jestem przeciwna zatracaniu się w literaturze matematycznej” — powiedziała Écalle. „Mogłem też raz po raz zaobserwować, jak zbyt głębokie zanurzenie się w literaturze matematycznej zwykle tłumi kreatywność”.
Wprowadzenie
We wczesnych latach siedemdziesiątych ciekawość Écalle skłoniła go do pójścia w ślady Poincarégo. Zaczął analizować jeszcze bardziej abstrakcyjne obiekty matematyczne, które pojawiły się w badaniu ciał niebieskich. Po drodze pojawiały się serie asymptotyczne, podobnie jak bardziej ogólna pochodna, o której spekulował w szkole średniej. Écalle w końcu rozwinął coś, co opisał jako „precyzyjną, ostro zarysowaną strukturę — obcy rachunek różniczkowy — spontanicznie powstałą z tego, co wydawałoby się najbardziej nieobiecującym i amorficznym kontekstem: dywergencji”.
Rachunek obcych Écalle jest abstrakcyjny i wieloaspektowy. Ale wiadomość, jaką niosła dla fizyków, którzy w końcu się z nią spotkają, była jasna. Szereg perturbacyjny, choć rozbieżny, kryje w sobie kompletną bibliotekę nieperturbacyjnych informacji. Seria zawiera wszystko, co jest potrzebne, aby zaktualizować ją w sposób, który usuwa rozmycie, przywracając ostry obraz unikalnej odpowiedniej funkcji. Blokowe klocki Lego być może w końcu wystarczą.
Pomimo głębokich konsekwencji, praca Écalle początkowo marniała. Było to zbyt niejasne i zbyt abstrakcyjne dla fizyków (nawet tych francuskojęzycznych). I nie był wystarczająco rygorystyczny, aby przyciągnąć uwagę matematyków.
„Jest jednym z tych geniuszy, którzy uważają, że szczegółowe dowody ze wszystkimi przypadkami nie są ważne. Naprawdę ważny jest wspaniały widok” – powiedział Mariño.
Écalle po raz pierwszy naszkicował podstawowe koncepcje odrodzenia w trzech artykułach z 1976 roku, a w latach 1981-1985 napisał swoje trzy podręczniki, w których dokładnie przedstawił obcy rachunek odrodzenia. Nigdy nie ukazały się w czasopiśmie matematycznym. Zamiast tego opublikował trylogię za pośrednictwem wydziału matematyki swojego uniwersytetu, wypełniając równania ręcznie.
Gdyby fizykom udało się od razu sięgnąć do jego książek, ich doświadczenia nie różniłyby się od kontaktu z inteligentną cywilizacją pozaziemską. Napotkaliby maszynerię matematyczną o lata świetlne wyprzedzającą to, do czego byli przyzwyczajeni.
„Odrodzenie jest bardzo wymyślne” — powiedział Bender. Ale, mówiąc najprościej, jak to możliwe, pozwala praktykom zagłębić się w odległe terminy szeregu asymptotycznego (obliczonego na przykład za pomocą diagramów Feynmana) i odkryć brakujące elementy niezbędne do określenia unikalnej funkcji (na przykład takiej, która opisuje tunelowanie) . Krótko mówiąc, ujawnia pomost łączący zdarzenia fizyczne opisane przez teorię perturbacji z tymi opisanymi przez terminy nieperturbacyjne. „To bardzo skomplikowany związek” — powiedział Bender, po czym grzecznie odmówił próby wyjaśnienia.
Kiedy Écalle, obecnie 73-letnia, skontaktowała się z Magazyn Quanta z pytaniami o historię odrodzenia, odpowiedział, komponując 24-stronicowy traktat na ten temat w sześć dni — gratka dla badaczy spragnionych więcej informacji o odrodzeniu i jego rozwoju. „To skarb”, powiedział David Sauzin, matematyk z Instytutu Mechaniki Niebieskiej w Paryżu i słynny dekoder Écalle.
Oto niezwykle surowa, rysunkowa wersja tego podejścia:
Najpierw wypisz typowy szereg perturbacyjny. Terminy na początku kurczą się, ale w końcu szybko rosną astają się naprawdę duże. Narysuj wzrost a's, a zobaczysz, że strzelają w górę z prędkością, która prawie — ale nie do końca — odpowiada wzrostowi czynnikowemu. Zbadaj różnicę między linią wytyczoną przez ai krzywą rosnącą silniowo, aby nauczyć się pierwszego nieperturbacyjnego składnika — największego z klocków nano-Lego.
Ale to dopiero początek. Zastosuj pierwszy krok wznowienia Borela. Eliminuje to wzrost czynnikowy, co pozwala bardziej szczegółowo zobaczyć zachowanie warunków perturbacyjnych. Wynikowy wykres zmodyfikowany apowinien rosnąć wykładniczo. Ale przestudiuj to uważnie, a zobaczysz, że dane perturbacyjne są trochę błędne. To odchylenie pochodzi z zupełnie nowego szeregu asymptotycznego, który mnoży się przez pierwszy nieperturbacyjny składnik.
Procedura jest kontynuowana. Usuń wykładniczy wzrost z danych perturbacyjnych, a jeśli masz bystre oko, możesz dostrzec dalsze odchylenia, które ujawnią drugi nieperturbacyjny składnik. Przyjrzyj się bliżej, a przekonasz się, że ten nieperturbacyjny termin zawiera jeszcze jeden szereg asymptotyczny.
Na koniec dnia może istnieć dowolna liczba wyrazów nieperturbacyjnych z dołączonymi szeregami asymptotycznymi. Znajdź ich tyle, na ile masz ochotę, a będziesz miał obiekt zwany serią trans. Seria trans zaczyna się od znanej serii perturbacyjnej. Potem pojawia się nieperturbacyjny termin (z serią), a potem kolejny i kolejny.
Seria trans Écalle przezwyciężyła trudności ze wznowieniem Borela, które wcześniej wprawiały fizyków w zakłopotanie. Jeśli znasz szeregi trans opisujące niektóre pomiary, takie jak współczynnik g elektronu, wznowienie Borela da ci jedną, poprawną odpowiedź. Co więcej, Resurgence twierdzi, że subtelne odchylenia w znanej serii zaburzeń na czele serii trans mówią ci wszystko, co musisz wiedzieć o potencjalnie nieskończonej paradzie, która następuje.
Ten matematyczny obraz ma dla fizyków dwie uderzające konsekwencje. Po pierwsze, sugeruje, że dokładne wyniki – a nie tylko przybliżenia – mogą istnieć dla pól kwantowych i innych skomplikowanych systemów. Jeśli tak, to ustanowiłoby teorię kwantową jako skończoną i sensowną.
„Ustalenie, że w kwantowej teorii pola rzeczy rzeczywiście podlegają odrodzeniu, byłoby dużym postępem” – powiedział Serone.
Po drugie, sugeruje, że potencjalnie nieskończony asortyment nieperturbacyjnych elementów można całkowicie wydedukować z perturbacyjnego szeregu, którego rozbieżność niepokoiła Dysona. To, co przez dziesięciolecia wydawało się niezależnymi dziedzinami fizyki, w rzeczywistości jest ściśle ze sobą powiązane.
„Zamiast myśleć o perturbacyjnej serii jako o czymś, co się rozejdzie i sprawi ci mnóstwo kłopotów”, powiedział Mariño, „to tylko wejście do bardzo złożonego i fascynującego świata”.
Rzeczywiście, stąd pochodzi nazwa odrodzenie, powiedział Gökçe Basar, fizyk z University of North Carolina, Chapel Hill: „Zachowanie późnych terminów w szeregu perturbacyjnym „odradza się” w tych nieperturbacyjnych terminach”. Jest zawiły, powiedział, ale „raczej piękny”.
Wkraczając w fizykę
Świadomość odkrycia Écalle — że wiedza nieperturbacyjna może być potajemnie dostępna za pośrednictwem teorii perturbacji — powoli przeniknęła do świata fizyki matematycznej. Tam fizycy wykorzystali ją już do zidentyfikowania nowych elementów ukrytych w dwóch najbardziej intensywnie badanych teoriach XXI wieku: teorii siły silnej i teorii strun.
Mithat Unsal, fizyk z North Carolina State University, poświęcił większość swojej kariery na próbę zrozumienia oddziaływania silnego, które łączy kwarki, tworząc protony i inne cząstki. W 2008 roku, po przeczytaniu o odrodzeniu w a Artykuł 1993 o rozbieżnych seriach, szukał przeglądu prac Écalle. „Mój francuski jest bardzo zardzewiały, ale była angielska przedmowa z sugerowaną terminologią” — wspomina Ünsal. „Opanowałem to i próbowałem to zrozumieć”.
Później spotkał Geralda Dunne'a z University of Connecticut na konferencji i podczas rozmowy przy kawie odkryli, że ten sam artykuł zainspirował ich obu do rozpoczęcia nauczania odrodzenia. Postanowili połączyć siły.
Obaj fizycy byli zmotywowani faktem, że próbowali zrozumieć coś jeszcze bardziej skomplikowanego niż to, z czym skonfrontowali się Dyson i Feynman. Ci fizycy mieli szczęście z polem elektromagnetycznym. Jest wyjątkowo słaby, a alfa wynosi zaledwie 1/137. Inna fundamentalna siła, słaba interakcja, okazała się równie łatwa do ujarzmienia, a jej wersja alfa jest jeszcze 10,000 XNUMX razy mniejsza. Teoria perturbacji sprawdza się w przypadku tych dwóch sił, ponieważ są one tak słabe, że można odnieść wrażenie, że w ogóle nie istnieją.
Wprowadzenie
Ale to szczęście skończyło się, gdy fizycy próbowali zmierzyć się z silną siłą. Silna siła jest około 100 razy silniejsza niż siła elektromagnetyczna, z analogiem alfa około 1 i nie można jej zignorować. Podnoszenie do kwadratu lub sześcianu 1 nie powoduje żadnego efektu zmniejszania, więc szereg perturbacyjny zmierza prosto w nieskończoność od najwcześniejszych wyrazów. Fizycy spędzili dziesięciolecia, opracowując alternatywny sposób radzenia sobie z silnymi oddziaływaniami za pomocą superkomputerów, osiągając po drodze spektakularne wyniki. Ale obliczenia numeryczne nie dają zbyt dużego wglądu w to, w jaki sposób siła silna robi to, co robi.
Ünsal i Dunne uznali, że odrodzenie, z jego mocą ujarzmienia rozbieżnych serii, może zrobić krok w kierunku marzenia o zrozumieniu silnej siły za pomocą ołówka i papieru. W szczególności postanowili rozwiązać zagadkę, która nękała teorię oddziaływań silnych przez 40 lat.
W 1979 roku fizycy Gerarda 't Hoofta i Jerzego Paryskiego wywnioskował istnienie maleńkich, dziwacznych terminów w obliczeniach sił silnych. Nazywali je renormalonami i nikt nie wiedział, co o nich sądzić. Renormalony nie wydawały się odpowiadać żadnemu konkretnemu zmarszczeniu lub innemu konkretnemu zachowaniu pola. Ale tam byli, mimo wszystko psując obliczenia.
Ünsal i Dunne poradzili sobie z renormalonami poprzez odrodzenie. Mimo że pracowali w dwuwymiarowym odpowiedniku silnej siły, zajęło im to mniej więcej rok. Ale w 2 r. Pokazali że — przynajmniej w ich uproszczonym modelu — renormalony Hoofta i Parisiego odpowiadały zachowaniom zrozumiałym dla fizyków.
„Rozwiązali zagadkę i mogli znaleźć to, czemu odpowiadały renormalony” – powiedział Jordana Cotlera, fizyk z Uniwersytetu Harvarda, który obecnie podejmuje podobną próbę zrozumienia renormalonów w bardziej realistycznej teorii oddziaływania silnego.
Jednak w zeszłym roku naukowcy wykorzystali odrodzenie, aby dodać kolejną zmarszczkę. Mariño i jego współpracownicy przeprowadzili bardziej rygorystyczne obliczenia (choć również w uproszczonej teorii) i odkrył nowe renormalony poza tym, co grupa nazywa „standardową wiedzą” 't Hooft i Parisi. Mariño podejrzewa teraz, że renormalony to tylko wierzchołek nieperturbacyjnej góry lodowej. Odrodzenie i inne nieperturbacyjne metody może ujawnić, że fizycy zostali zepsuci przez ich historyczne sukcesy w dopasowywaniu poszczególnych terminów matematycznych do konkretnych zdarzeń. Jeśli ma rację, świat kwantowy może pewnego dnia stać się jeszcze trudniejszy do wizualizacji niż jest.
„Mam wątpliwości, czy ten obraz – jeden wykładniczy [do] jednego obiektu – przejdzie przez ogólne teorie pola” – powiedział. „Może się zdarzyć, że świat korekt wykładniczych jest naprawdę dziki”.
Mariño był również kluczowym graczem w odkryciu nowego nieperturbacyjnego efektu w teorii strun, spekulatywnego i nieudowodnionego poglądu, że wszechświat nie składa się z cząstek punktowych, ale składa się z rozciągłych obiektów, takich jak struny. Ruch takich strun określałby właściwości obserwowanych przez nas cząstek.
Teoria strun, podobnie jak teoria kwantowa, jest zwykle traktowana jako perturbacyjna seria diagramów podobnych do Feynmana, reprezentujących struny łączące się i rozdzielające w coraz bardziej skomplikowany sposób. Ale w przeciwieństwie do teoretyków kwantów, teoretycy strun nie mają nawet najmniejszego przewodnika po nieperturbacyjnych efektach teorii. Zakładają, że tak jak teoria kwantowa zawiera tunelowanie i renormalony, tak w pełni nieperturbacyjne sformułowanie teorii strun zawiera również smoki.
Jeden z uderzających przykładów nieperturbacyjnych zjawisk w teorii strun — podobne do arkuszy obiekty znane jako D-brany — został odkryty w latach 1990. XX wieku. D-branes później pobudziły niektóre z największych osiągnięć teorii strun.
Mariño zastanawiał się, co jeszcze może tam być.
Należał do grupy, która w 2010 roku zauważyła szereg negatywnych odpowiedników ukrywających się w cieniu terminów D-brane. Nie było jasne, jakie zjawisko fizyczne mogą opisywać te terminy partnerskie.
Wskazówka pojawiła się sześć lat później, kiedy Cumrun Vafa z Harvardu i jego współpracownicy zbadali uogólnioną teorię strun, w której pewne wielkości mogą być ujemne. Znaleźli D-brany o ujemnym napięciu — wersję branową o ujemnej masie. Te egzotyczne bestie wypaczyli strukturę otaczającej ich rzeczywistości, tworząc wiele wymiarów czasu i naruszając podstawową zasadę, że prawdopodobieństwa muszą zawsze sumować się do 100%. Ale grupa nie znalazła żadnych wskazówek, że obiekty te powinny uciec ze swojego dziwacznego świata i pojawić się w standardowej teorii strun.
Teraz Ricardo Schiappa, przyjaciel Mariño i fizyk teoretyk z Uniwersytetu w Lizbonie, uważa, że znalazł dowody na coś innego. W ostatnich miesiącach Schiappa i jego współpracownicy wykorzystali odrodzenie do przeanalizowania kilku prostych modeli teorii strun. Odkryli, że D-brany Vafa o ujemnym napięciu dokładnie pasowały do wykładniczo małych terminów, które Mariño znalazł w 2010 roku. Negatywne D-brany są nieuniknionymi partnerami D-bran, argumentowała grupa w Styczniowy preprint. „Odkryliśmy teraz, że są one fundamentalne dla teorii zaburzeń” – powiedział Schiappa.
Inni teoretycy nie są jeszcze pewni, co sądzić o nowym odkryciu. Vafa zauważa, że załoga Schiappy wykonała swoje obliczenia w uproszczonych modelach strunowych i że wynik nie gwarantuje utrzymania się w bardziej wyrafinowanych formułach. Ale jeśli tak jest i jeśli teoria strun faktycznie opisuje nasz wszechświat, musi zawierać jakiś inny sposób powstrzymania tworzenia się ujemnych D-branów.
„W tej teorii nie powinno ich tam być jako zwykłego obiektu” — powiedział Vafa. W przeciwnym razie „otwiera to całą puszkę Pandory z zagadkami”.
Czarne łabędzie i inne anomalie
Pomimo ich postępów w wykrywaniu renormalonów i ujemnych bran, fizycy wymieniają dwie ogromne przeszkody na drodze do ukoronowania odrodzenia oficjalnego następcy teorii perturbacji.
Po pierwsze, nie udowodniono, że wszystkie teorie mają odradzającą się strukturę. Pytanie to jest szczególnie dotkliwe w przypadku kwantowych teorii pola, które fizycy sprawdzali indywidualnie dla każdego przypadku. To żmudny proces, trochę jak badanie ssaków po jednym gatunku na raz. Obserwując ludzi, delfiny i koty, możesz zacząć nabierać pewności, że żywe narodziny to uniwersalna cecha ssaków. Ale zawsze istnieje szansa, że za następnym rogiem znajdziesz dziobaka składającego jajo.
Właśnie dlatego Serone poświęcił ostatnie trzy lata na testowanie warunków skrajnych odrodzenia w niektórych kwantowych teoriach pola. W 2021 roku on i jego współpracownicy studiował teorię który ma wspólne kluczowe cechy z silną siłą, ale wciąż jest wystarczająco prosty, aby umożliwić im obliczenie wielu ajest potrzebne do wykonania odrodzenia. Obliczyli energię pustej przestrzeni w takim wszechświecie za pomocą odrodzenia i dwóch innych metod, pokazując, że wszyscy trzej się zgodzili. Pojawiły się jakościowe argumenty, że odrodzenie powinno mieć miejsce w kwantowej teorii pola, ale było to jedno z pierwszych konkretnych obliczeń, które rozpaliło dalszy optymizm.
„W większości przypadków, które zostały do tej pory przetestowane, albo odrodzenie działa, albo mamy dobre powody, by sądzić, że rozumiemy, kiedy tak nie jest” – powiedział Serone.
Poważniejszy problem polega na tym, że aby dostrzec elementy nieperturbacyjne, trzeba znać przerażającą liczbę terminów perturbacyjnych. Na przykład w swoich ostatnich badaniach Serone wybrał kwantowe teorie pola z matematycznymi tylnymi drzwiami, które pozwoliły mu wygenerować tysiące terminów. Ale w przypadku silnej siły obliczenie zaledwie ośmiu lub dziewięciu nie wchodzi obecnie w rachubę. Nawet pionierzy tej metody nie przebierają w słowach, kiedy spodziewają się, że wyprodukują rzeczywistą liczbę, taką jak masa protonu (a matematyczny wyczyn warte milion dolarów nagrody).
– To niezwykle trudne – powiedział Unsal, wzdychając. „Nie widzę bezpośredniego sposobu”.
„To, co Écalle mówiła, to to, że w zasadzie odpowiedź jest rygorystyczna. Ale uzyskanie odpowiedzi jest naprawdę, bardzo trudne” – powiedział Bender. „Moja rada brzmi: nie stój na jednej nodze, gdy czekasz”.
New Hope
Ale zniechęcająca trudność nie zabiła marzenia o próbie uzyskania prawdziwych prognoz z odrodzenia. Po pierwsze, technika ta przyniosła już nieosiągalne w inny sposób wyniki w mechanice kwantowej. W latach 1980. francuscy fizycy matematyczni z Saclay zastosowali metody proto-odradzające się, aby dokładnie przewidzieć tunelowanie cząstek – problem, który wcześniej fizycy byli w stanie jedynie przybliżyć. Dunne i Ünsal wykonali podobne obliczenia na papierze, używając bardziej wyrafinowanych narzędzi Écalle. Inna grupa sprawdziła te wyniki przy użyciu standardowych metod. Udało im się dotrzeć tylko do ok sześć miejsc po przecinku — herkulesowy wysiłek, który wymagał miesięcy czasu i znacznej mocy komputera.
Takie dramatyczne przykłady zmotywowały Dunne'a do opracowania hiperwydajnych sposobów ćwiczenia odrodzenia w nadziei, że pewnego dnia przeniosą je do kwantowych teorii pola. W ciągu ostatnich pięciu lat wraz z Owidiusz Costin, matematyk z Ohio State University, odkrył techniki, które dają większy zwrot z perturbacyjnej złotówki. W niektórych przypadkach (które wciąż są dalekie od rzeczywistych teorii) odkryli, że wystarczy 10 do 15 terminów. „Ta liczba mogła wynieść 1,000, a ja bym się poddał i poszedł gdzie indziej” – powiedział. „To trochę kuszące”.
Prace Dunne'a i Costina zwróciły nawet uwagę samego Écalle. Założyciel odrodzenia nie śledził uważnie fal, które wywołała jego praca, nazywając siebie „zasłużonym ignorantem w fizyce teoretycznej”. Niemniej jednak, martwiąc się, że wszelkie prace nad modelami spekulatywnymi, takimi jak teoria strun, mogą być „zbudowane na ruchomych piaskach”, pochwala wysiłki naukowców mające na celu matematyczne dostrojenie odrodzenia.
„Nawet jeśli fizyczny grunt ustąpi, imponujące wyniki matematyczne, powiedzmy, O. Costina i G. Dunne'a, pozostaną na miejscu” – powiedział.
Dla Écalle odrodzenie jest czymś w rodzaju rozdziału z przeszłości. Od jego oryginalnej trylogii minęło prawie 40 lat. Kontynuował rozwijanie rachunku obcych do około 2000 roku, a ostatnie 20 lat spędził na badaniu bardziej algebraicznej odnogi. Gdyby kiedykolwiek zdecydował się opublikować kontynuację trylogii gromadzącej wszystkie jego odkrycia w jednym miejscu, kto wie, jakie skarby znajdą w niej fizycy.
„Myślę, że odkrył wiele narzędzi, które wciąż czekają na odkrycie” – powiedział Mariño.
- Dystrybucja treści i PR oparta na SEO. Uzyskaj wzmocnienie już dziś.
- Platoblockchain. Web3 Inteligencja Metaverse. Wzmocniona wiedza. Dostęp tutaj.
- Źródło: https://www.quantamagazine.org/alien-calculus-could-save-particle-physics-from-infinities-20230406/
- :Jest
- ][P
- $W GÓRĘ
- 000
- 1
- 10
- 100
- 1985
- 20 roku
- 2012
- 2017
- 2021
- 2022
- 2D
- 7
- 70
- 8
- 9
- a
- Zdolny
- O nas
- O kwantach
- bezwzględny
- ABSTRACT
- AC
- dostęp
- realizowane
- Konto
- dokładny
- osiągnięcia
- faktycznie
- awansować
- Rada
- Po
- wiekowy
- w wieku
- przed
- obcy
- Wszystkie kategorie
- Pozwalać
- sam
- Alfa
- już
- alternatywny
- Chociaż
- zawsze
- analiza
- w czasie rzeczywistym sprawiają,
- i
- Inne
- odpowiedź
- odpowiedzi
- osobno
- zjawić się
- pojawił się
- Aplikuj
- doceniać
- podejście
- zbliżający się
- właściwy
- SĄ
- argumenty
- na około
- Szyk
- artykuł
- AS
- aspekty
- powiązany
- asortyment
- At
- z powrotem
- Backdoory
- Banki
- bariera
- baza
- podstawa
- BE
- piękny
- estetycznie
- bo
- stają się
- staje się
- zanim
- rozpoczął
- Początek
- jest
- uwierzyć
- uważa,
- BEST
- Ulepsz Swój
- pomiędzy
- Poza
- Duży
- większe
- Najwyższa
- Miliard
- Bit
- Czarny
- Bloki
- plama
- Książki
- boston
- Pudełko
- przerwy
- BRIDGE
- krótko
- Budowanie
- Pęczek
- by
- obliczać
- obliczony
- obliczenie
- Obliczenia
- wezwanie
- nazywa
- powołanie
- Połączenia
- CAN
- Może uzyskać
- wózek
- który
- Kariera
- ostrożnie
- samochody
- rysunek
- Etui
- katastrofalny
- zapasy
- koty
- celebrujący
- Świętując
- Centrum
- Wiek
- pewien
- wyzwanie
- szansa
- Chaos
- Rozdział
- Opłaty
- na czacie
- kontrola
- Civilization
- jasny
- Zamknij
- dokładnie
- bliższy
- Kawa
- ZGODNY
- koledzy
- kolekcja
- łączenie
- jak
- przyjście
- społeczność
- kompletny
- całkowicie
- kompleks
- kompleksowość
- skomplikowane
- w składzie
- komputer
- moc komputera
- computing
- Koncepcje
- koncepcyjnego
- Konferencja
- pewność
- Sprzeczny
- Konsekwencje
- Rozważać
- stały
- stale
- skonstruować
- skontaktuj się
- zawierać
- zawiera
- konteksty
- nadal
- ciągły
- ciągły
- kontrast
- przyczyniając
- zbieżny
- rdzeń
- Corner
- Korekty
- Odpowiedni
- mógłby
- Para
- Kurs
- Stwórz
- tworzy
- Tworzenie
- kreatywność
- krytyczny
- istotny
- ciekawość
- ciekawy
- Obecnie
- krzywa
- codziennie
- Niebezpieczeństwa
- dane
- David
- dzień
- Dni
- Śmierć
- lat
- zdecydować
- postanowiła
- Spadkowy
- głęboko
- Departament
- opisać
- opisane
- detal
- szczegółowe
- Ustalać
- rozwijać
- rozwinięty
- rozwijanie
- oprogramowania
- wydarzenia
- odchylenie
- schematy
- ZROBIŁ
- zmarł
- różnica
- różne
- trudny
- trudności
- Trudność
- KOPAĆ
- Wymiary
- odkryty
- odkrycie
- rozbieżność
- odrębny
- Odchodzić
- Rozbieżność
- Nie
- nie
- Skazany
- Wątpliwości
- na dół
- Dramat
- dramatycznie
- rysunek
- marzenie
- marzenia
- każdy
- Wcześniej
- Wcześnie
- zdobył
- Edukacja
- efekt
- ruchomości
- wysiłek
- starania
- bądź
- elektrony
- eliminuje
- Nieskończony
- kończy się
- energia
- Angielski
- dość
- całkowicie
- równania
- Równoważny
- Era
- istotnie
- zapewniają
- ustanowiony
- Parzyste
- wydarzenie
- wydarzenia
- ostatecznie
- EVER
- wszystko
- dowód
- dokładnie
- przykład
- przykłady
- Ćwiczenie
- Egzotyczny
- Rozszerzać
- oczekiwać
- doświadczenie
- eksperyment
- Wyjaśniać
- eksploracja
- zbadane
- Exploring
- wykładniczy
- Wykładniczy wzrost
- wykładniczo
- dodatkowy
- niezwykle
- oko
- Oczy
- Twarz
- Spadać
- znajomy
- sławny
- fascynujący
- FAST
- szybciej
- strach
- Cecha
- Korzyści
- facet
- Ferrari
- kilka
- Fikcja
- pole
- Łąka
- Znajdź
- znalezieniu
- i terminów, a
- pierwszy raz
- wada
- pływ
- obserwuj
- następnie
- następujący sposób
- Stopa
- W razie zamówieenia projektu
- wytrzymałość
- Siły
- Nasz formularz
- wielki
- znaleziono
- Fundacja
- założyciel
- Francja
- francuski
- często
- świeży
- przyjaciel
- od
- z przodu
- frustrujące
- pełny
- funkcjonować
- Funkcje
- fundamentalny
- dalej
- zebranie
- Ogólne
- Generować
- Genewa
- zarazki
- otrzymać
- miejsce
- Dać
- dany
- daje
- Dający
- Go
- Goes
- będzie
- dobry
- Ziemia
- Zarządzanie
- Rosnąć
- Rozwój
- dorosły
- Rośnie
- Wzrost
- gwarantowane
- Przewodniki
- ręka
- garstka
- uchwyt
- Prowadzenie
- siła robocza
- zdarzyć
- dzieje
- Ciężko
- harvard
- Harvard University
- Have
- mający
- głowa
- Nagłówki
- głowice
- Serce
- Trzymany
- pomógł
- Ukryty
- Wysoki
- wyższy
- wskazówki
- historyczny
- historia
- przytrzymaj
- posiada
- Dziury
- nadzieję
- ma nadzieję,
- nadzieję
- W jaki sposób
- How To
- Jednak
- HTTPS
- Ludzie
- Głodny
- i
- pomysły
- zidentyfikować
- obraz
- Natychmiastowy
- ważny
- niemożliwy
- imponujący
- in
- zawierać
- Włącznie z
- coraz bardziej
- niezależny
- wskazanie
- indywidualny
- nieunikniony
- Nieskończony
- Nieskończoność
- Informacja
- wgląd
- inspirowane
- przykład
- zamiast
- Instytut
- Inteligentny
- interakcji
- wzajemne oddziaływanie
- zainteresowany
- zastraszające
- Wynalazek
- angażować
- zaangażowany
- izolacja
- IT
- JEGO
- samo
- przystąpić
- dziennik
- Zapalony
- Klawisz
- Uprzejmy
- król
- Wiedzieć
- wiedza
- znany
- Brak
- Lamborghini
- większe
- największym
- Nazwisko
- Późno
- uruchomiona
- prowadzić
- UCZYĆ SIĘ
- dowiedziałem
- pozwala
- Biblioteka
- leży
- lubić
- LIMIT
- Limity
- Linia
- Powiązanie
- Ciecz
- Lizbona
- literatura
- mało
- relacja na żywo
- długo
- Popatrz
- wygląda jak
- poszukuje
- utraty
- Louis
- szczęście
- maszyny
- zrobiony
- Pole magnetyczne
- poważny
- robić
- WYKONUJE
- zarządzane
- wiele
- Masa
- Mecz
- dopasowane
- dopasowywanie
- matematyka
- matematyczny
- matematycznie
- matematyka
- wymowny
- znaczy
- W międzyczasie
- Pomiary
- mechanika
- Odwilż
- jedynie
- połączenie
- wiadomość
- metoda
- metody
- może
- mieszać
- tęskni
- brakujący
- model
- modele
- Nowoczesne technologie
- zmodyfikowano
- moment
- miesięcy
- jeszcze
- Ponadto
- większość
- zmotywowani
- Góra
- przeniesienie
- wieloaspektowy
- wielokrotność
- pomnożona
- tajemniczy
- Tajemnica
- Nazwa
- mianowicie
- Natura
- NCSU
- Blisko
- prawie
- niezbędny
- Potrzebować
- ujemny
- Niemniej jednak
- Nowości
- Następny
- nagroda Nobla
- normalnie
- Północ
- Karolina Północna
- Uwagi
- Pojęcie
- jądrowy
- numer
- z naszej
- przedmiot
- obiekty
- obserwować
- Przeszkody
- uzyskane
- oczywista
- of
- urzędnik
- Ohio
- on
- ONE
- otwiera
- działanie
- Optymizm
- Orbita
- zamówienie
- Zlecenia
- oryginalny
- Inne
- Pozostałe
- Inaczej
- Wynik
- ogólny
- Przezwyciężać
- przegląd
- własny
- par
- Papier
- Papiery
- Paryż
- część
- szczególny
- szczególnie
- partnerem
- wzmacniacz
- strony
- minęło
- Przechodzący
- Przeszłość
- doskonały
- wykonać
- może
- zjawisko
- fizyczny
- Fizyka
- doborowy
- obraz
- sztuk
- pionier
- pionierzy
- rura
- Miejsce
- nękany
- Planety
- plato
- Analiza danych Platona
- PlatoDane
- gracz
- punkt
- Pops
- stwarza
- pozytywny
- możliwości
- możliwy
- potencjalnie
- power
- mocny
- uprawnienia
- praktyka
- precyzyjny
- Detaliczność
- przewidzieć
- Przewiduje
- przepowiednia
- Przewidywania
- Prognozy
- presentation
- poprzedni
- poprzednio
- zasada
- nagroda
- prawdopodobnie
- Problem
- wygląda tak
- produkować
- Wytworzony
- Postęp
- wybitny
- dowody
- niska zabudowa
- własność
- protony
- okazały
- publikować
- opublikowany
- Naciskać
- położyć
- Puzzle
- jakościowy
- Magazyn ilościowy
- Kwant
- Mechanika kwantowa
- fizyka kwantowa
- kwarki
- pytanie
- pytania
- szybko
- wychowywanie
- szybko
- RZADKO SPOTYKANY
- raczej
- dosięgnąć
- Czytaj
- Czytający
- real
- Prawdziwy świat
- realistyczny
- Rzeczywistość
- powód
- Przyczyny
- niedawny
- niedawno
- uznane
- rafinowany
- regularny
- związane z
- związek
- pozostawać
- szczątki
- Słynny
- reprezentacja
- reprezentowanie
- reprezentuje
- wymagać
- wymagany
- Badania naukowe
- Badacze
- Zasoby
- REST
- przywrócenie
- dalsze
- wynikły
- Efekt
- ujawniać
- Ujawnił
- ujawnia
- Richard
- Pozbyć się
- rygorystyczny
- Marszczyć
- wsady
- w przybliżeniu
- okrągły
- Powiedział
- taki sam
- Skala
- scenariusz
- Szkoła
- nauka
- Fantastyka naukowa
- NAUKI
- druga
- Tajemnica
- widzenie
- Poszukuje
- wydawało się
- wydaje
- rozsądek
- Serie
- zestaw
- Shadow
- Akcje
- Strzelać
- Short
- Wkrótce
- powinien
- pokazać
- znak
- znaczący
- podobny
- Podobnie
- Prosty
- uproszczony
- po prostu
- jednocześnie
- ponieważ
- pojedynczy
- sytuacja
- SIX
- Powoli
- mały
- mniejszy
- So
- dotychczas
- słoneczny
- Układ Słoneczny
- rozwiązanie
- ROZWIĄZANIA
- kilka
- pewnego dnia
- coś
- gdzieś
- wyrafinowany
- Typ przestrzeni
- specyficzny
- spektakularny
- prędkość
- wydać
- spędził
- SPORTOWE
- Spot
- kwadrat
- stoisko
- standard
- początek
- rozpoczęty
- rozpocznie
- Stan
- pobyt
- stały
- Ewolucja krok po kroku
- Nadal
- Stop
- zatrzymanie
- proste
- Strategia
- strumień
- strajk
- sznur
- silny
- silniejszy
- Struktura
- Studenci
- Studiował
- badania naukowe
- Badanie
- Studiowanie
- przedmiot
- kolejny
- znaczny
- sukces
- taki
- wystarczający
- Wskazuje
- lato
- Niedz
- Dostawa
- łabędzie
- Szwecja
- system
- systemy
- Brać
- Nauczanie
- Techniki
- Technologia
- nastolatek
- tymczasowy
- terminologia
- REGULAMIN
- Testowanie
- podręcznik
- że
- Połączenia
- Linia
- świat
- ich
- Im
- sami
- teoretyczny
- w związku z tym
- Te
- rzecz
- rzeczy
- Myślący
- Myśli
- całkowicie
- myśl
- tysiące
- trzy
- Przez
- czas
- czasy
- typ
- do
- już dziś
- razem
- także
- narzędzie
- narzędzia
- w kierunku
- transformacyjny
- leczyć
- leczenie
- wyzwalać
- Trylion
- kłopot
- prawdziwy
- SKRĘCAĆ
- typy
- typowy
- odkryć
- zasadniczy
- zrozumieć
- zrozumienie
- zrozumiany
- wyjątkowy
- jednostek
- uniwersalny
- Wszechświat
- uniwersytet
- nieograniczone
- bez precedensu
- nieudowodnione
- uaktualnienie
- w górę
- zazwyczaj
- Odkurzać
- wartość
- różnorodny
- pojazd
- przedsięwzięcie
- wersja
- zwycięstwa
- Zobacz i wysłuchaj
- Naruszać
- wizjoner
- kłęby
- Czekanie
- Waszyngton
- Wody
- fale
- Droga..
- sposoby
- osłabienie
- webp
- Co
- czy
- który
- Podczas
- KIM
- cały
- szeroko
- Dziki
- będzie
- w
- w ciągu
- bez
- pełen zdumienia
- słowa
- Praca
- pracował
- pracujący
- działa
- świat
- wartość
- by
- napisać
- pisanie
- napisany
- Źle
- rok
- lat
- plony
- You
- Twój
- youtube
- zefirnet
- zero