Liczba odległości oddzielających punkty ma nową granicę | Magazyn Quanta

Rozprosz trzy punkty na płaszczyźnie, a następnie zmierz odległości między każdą parą. Najprawdopodobniej znajdziesz trzy różne odległości. Ale jeśli ułożysz punkty w trójkąt równoboczny, wówczas każda odległość będzie taka sama. W samolocie nie da się tego zrobić za pomocą czterech punktów. Najmniejsza liczba odległości, jaką możesz zaprojektować, to 2 — krawędzie i przekątne kwadratu.

Ale jeśli podniesiesz jeden z punktów z płaszczyzny, aby utworzyć piramidę, której każdy bok jest trójkątem równobocznym, otrzymasz zestaw czterech punktów oddzielonych jedną niepowtarzalną odległością – długością jednego boku trójkąt.

Jeśli masz dużo punktów, te wzorce stają się jeszcze bardziej wyraźne. Sto losowo rozrzuconych punktów na płaszczyźnie prawdopodobnie określi 4,950 różnych odległości parami. Ale jeśli umieścisz 100 punktów w płaskiej, kwadratowej siatce, każda para punktów będzie oddzielona jedną z zaledwie 50 możliwych odległości. Podnieś punkty do trójwymiarowej siatki, a możesz jeszcze bardziej zmniejszyć tę liczbę.

Udzielanie odpowiedzi na pytania dotyczące liczby odległości między punktami może brzmieć jak ćwiczenie ezoteryczne. Jednak w ciągu dziesięcioleci poszukiwań rozwiązania takich problemów matematycy opracowali narzędzia, które mają szeroki zakres innych zastosowań, od teorii liczb po fizykę.

„Kiedy ludzie próbowali rozwiązać problem” – powiedział Pablo Szmerkin z Uniwersytetu Kolumbii Brytyjskiej „zaczęli odkrywać powiązania, które były zaskakujące i nieoczekiwane”.

Najnowsze odkrycie nastąpiło pod koniec ubiegłego roku, dzięki współpracy czterech matematyków udowodnił nowy związek pomiędzy geometrią zbiorów punktów a odległościami między nimi.

Lista różnych odległości określonych przez zbiór punktów nazywa się zbiorem odległości; policz, ile liczb znajduje się na tej liście, a otrzymasz rozmiar zestawu odległości. W 1946 roku płodny matematyk Paul Erdős przypuszczał, że w przypadku dużej liczby punktów ustalona odległość nie może być mniejsza niż ta, którą uzyskuje się po ułożeniu punktów w siatkę. Problem, choć z pozoru prosty, okazał się niezwykle głęboki i trudny. Nawet w dwóch wymiarach wciąż nie zostało to w pełni udowodnione, choć w 2010 roku dwóch matematyków byłem tak blisko że obecnie uważa się je za skutecznie rozliczone; pozostaje otwarta w wyższych wymiarach.

W międzyczasie matematycy sformułowali także nowe wersje tej hipotezy. Jeden z najważniejszych z nich powstał w r Papier 1985 by Kennetha Falconera, matematyk na Uniwersytecie St. Andrews w Szkocji. Falconer zastanawiał się, co można powiedzieć o wyraźnych odległościach pomiędzy nieskończoną liczbą punktów.

Jeśli masz nieskończenie wiele punktów, zwykłe liczenie nie jest już zbyt przydatne. Matematycy mają jednak inne sposoby definiowania rozmiaru. Hipoteza Falconera zakłada związek pomiędzy geometrią zbioru punktów – scharakteryzowaną liczbą zwaną wymiarem fraktalnym – a wielkością zbioru odległości, scharakteryzowaną liczbą zwaną miarą.

Wymiar fraktalny jest zgodny ze zwykłą intuicją dotyczącą wymiarów. Podobnie jak w przypadku bardziej znanej koncepcji wymiaru, odcinek linii ma wymiar fraktalny 1, podczas gdy kwadrat (z wypełnionym wnętrzem) ma wymiar fraktalny 2. Ale jeśli zbiór punktów tworzy bardziej skomplikowany wzór fraktalny — jak krzywa, w której pojawiają się mikroskopijne zakręty i zakręty, niezależnie od tego, jak daleko się przybliżysz — jej wymiar fraktalny może nie być liczbą całkowitą. Na przykład pokazana poniżej krzywa płatka śniegu Kocha, która ma nieskończoną serię coraz mniejszych trójkątnych guzków, ma wymiar około 1.26.

Ogólnie rzecz biorąc, nieskończony zbiór punktów ma wymiar fraktalny, który z grubsza zależy od stopnia jego rozproszenia. Jeśli jest rozłożony na płaszczyźnie, jego wymiar fraktalny będzie bliski 2. Jeśli wygląda bardziej jak linia, jego wymiar fraktalny będzie bliski 1. Ten sam rodzaj struktur można zdefiniować dla zbiorów punktów w przestrzeni trójwymiarowej lub w jeszcze wyższych wymiarach.

Po drugiej stronie hipotezy Falconera znajduje się miara ustalonej odległości. Miara jest rodzajem matematycznego uogólnienia pojęcia długości. Pojedyncza liczba, którą można przedstawić jako punkt na osi liczbowej, ma miarę zerową. Ale nawet nieskończone zbiory mogą mieć miarę zerową. Na przykład liczby całkowite są tak słabo rozproszone wśród liczb rzeczywistych, że nie mają łącznej „długości” i dlatego tworzą zbiór o mierze zerowej. Z drugiej strony liczby rzeczywiste pomiędzy, powiedzmy, 3/4 i 1 mają miarę 1/4, ponieważ tyle wynosi przerwa.

Miara umożliwia scharakteryzowanie wielkości zbioru różnych odległości pomiędzy nieskończenie wieloma punktami. Jeśli liczba odległości jest „mała”, oznacza to, że ustawiona odległość będzie miała miarę zero: Istnieje wiele zduplikowanych odległości. Jeśli natomiast ustawiona odległość ma miarę większą od zera, oznacza to, że istnieje wiele różnych odległości.

W dwóch wymiarach Falconer udowodnił, że dowolny zbiór punktów o wymiarze fraktalnym większym niż 1.5 ma odległość wyznaczoną z niezerową miarą. Ale matematycy szybko uwierzyli, że dotyczy to wszystkich zbiorów o wymiarze fraktalnym większym niż 1. „Próbujemy rozwiązać tę lukę 1/2” – powiedział Yumeng Ou z University of Pennsylvania, jeden ze współautorów nowego artykułu. Co więcej, hipoteza Falconera rozciąga się na trzy lub więcej wymiarów: Dla punktów rozproszonych w a d-przestrzeń wymiarowa, stwierdza, że ​​jeśli wymiar fraktalny punktów jest większy niż d/2, to miara ustawionej odległości musi być większa od 0.

W 2018 roku Ou wraz z kolegami pokazało, że to przypuszczenie zachodzi w dwóch wymiarach dla wszystkich zbiorów o wymiarze fraktalnym większym niż 5/4. Teraz Ou — wraz z Xiumin Du Uniwersytetu Północno-Zachodniego, Ruixianga Zhanga z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley i Kevina Rena Uniwersytetu Princeton — udowodniły, że w wyższych wymiarach próg zapewnienia odległości ustalonej za pomocą niezerowej miary jest nieco mniejszy niż d/2 + 1/4. „W tym artykule po raz pierwszy w historii granice w wyższych wymiarach są lepsze niż w wymiarze 2” – powiedział Shmerkin. (W dwóch wymiarach próg jest dokładnie d/2 + 1/4.)

Ten najnowszy wynik to tylko jeden przypadek fala ostatnich postępów on Hipoteza Falconera. Dowód udoskonalił techniki analizy harmonicznej – pozornie odległej dziedziny matematyki, która zajmuje się przedstawianiem dowolnie skomplikowanych funkcji w postaci prostych fal – w celu wzmocnienia wiązania. Jednak niektóre z tych technik zostały po raz pierwszy opracowane w celu rozwiązania tego samego problemu.

To pytanie dotyczące odległości między punktami „posłużyło jako plac zabaw dla niektórych z największych pomysłów w analizie harmonicznej” – stwierdził Aleks Iosevich z Uniwersytetu w Rochester.

Chociaż wypełnili tylko połowę luki pozostawionej przez Falconera w jego artykule z 1985 r., matematycy postrzegają niedawny okres prac jako dowód, że pełne przypuszczenie może w końcu być w zasięgu ręki. W międzyczasie będą nadal wykorzystywać ten problem jako poligon doświadczalny dla swoich najbardziej wyrafinowanych narzędzi.