Łącząc pola, matematycy pokonują stary problem | Magazyn Quanta

Zmiana planów nastąpiła w trakcie podróży. W piękny kwietniowy dzień matematycy Rachel Greenfeld i Sara Peluse wyruszyli ze swojej macierzystej instytucji, Instytutu Studiów Zaawansowanych w Princeton w stanie New Jersey, do Rochester w stanie Nowy Jork, gdzie obaj mieli wygłosić przemówienia następnego dnia.

Przez prawie dwa lata zmagali się z ważnym założeniem analizy harmonicznej, dziedziny badającej, w jaki sposób rozkładać złożone sygnały na częstotliwości składowe. Wraz z trzecim współpracownikiem, Marina Iliopoulou, badali wersję problemu, w której częstotliwości składowe są reprezentowane jako punkty na płaszczyźnie, których odległości od siebie są liczbami całkowitymi. Trzej badacze próbowali wykazać, że tych punktów nie może być zbyt wiele, ale jak dotąd wszystkie ich techniki zawiodły.

Wydawało się, że kręcą kołami. Wtedy Peluse wpadł na myśl: co by było, gdyby porzucili problem analizy harmonicznej – oczywiście tymczasowo – i zwrócili swoją uwagę na zbiory punktów, w których odległość między dowolnymi dwoma punktami jest dokładnie liczbą całkowitą? Jakie możliwe struktury mogą mieć takie zbiory? Matematycy próbują zrozumieć zbiory odległości całkowitych od czasów starożytnych. Na przykład trójki pitagorejskie (takie jak 3, 4 i 5) reprezentują trójkąty prostokątne, których trzy wierzchołki są oddalone od siebie o wartości całkowite.

„Prawdopodobnie dlatego, że Rachel była ze mną uwięziona, podniosłem ją w samochodzie” – powiedział Peluse, obecnie profesor na Uniwersytecie Michigan. Pomysł rozwiązania problemu odległości całkowitych zelektryzował Greenfelda.

Zanim się zorientowali, rozpoczęli nie jedną zmianę kierunku, ale dwie.

„Właściwie przestaliśmy zwracać uwagę na to, dokąd jedziemy i nie zjechaliśmy z drogi ekspresowej” – powiedział Peluse. „Jechaliśmy w kierunku przeciwnym do Rochester przez jakąś godzinę, zanim zauważyliśmy, ponieważ byliśmy bardzo podekscytowani matematyką”.

W 1945 Norman Anning i Paul Erdős okazały że nieskończony zbiór punktów na płaszczyźnie, które są od siebie oddalone o wartości całkowite, musi leżeć na prostej. W przypadku skończonego zestawu punktów możliwości są nieco bardziej zróżnicowane. Matematycy konstruowali duże zbiory leżące na linii lub okręgu, czasami z trzema lub czterema dodatkowymi punktami poza główną osią. (Same punkty nie muszą mieć współrzędnych całkowitych — pytanie dotyczy odległości między nimi.)

Nikt nie wymyślił dużego zbioru punktów w innej konfiguracji, ale nikt nie udowodnił, że inne konfiguracje są niemożliwe. W ciągu prawie 80 lat od wyniku Anninga i Erdősa w tej kwestii praktycznie nie odnotowano żadnego postępu – aż do chwili obecnej.

Greenfeld, Iliopoulou i Peluse okazały że wszystkie punkty w zestawie odległości o dużej liczbie całkowitej — z wyjątkiem być może nielicznych kilku punktów odstających — muszą leżeć na jednej linii lub okręgu. „Jeśli chcesz mieć duży zbiór, w którym wszystkie odległości między parami są liczbami całkowitymi, jedynymi graczami będą okręgi i linie” – powiedział Józefa Solymosiego Uniwersytetu Kolumbii Brytyjskiej. Uzyskany wynik nazwał „fantastycznym rozwiązaniem”.

W nowym podejściu wykorzystuje się pomysły i techniki z trzech odrębnych dziedzin matematyki: kombinatoryki, teorii liczb i geometrii algebraicznej. To połączenie różnych dziedzin „może być prawdziwym przełomem psychologicznym” – stwierdził Terence tao, matematyk z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles.

Aleks Iosevichz Uniwersytetu w Rochester zgadza się z tym. „Stworzyli bardzo solidne podstawy dla bardzo szerokiego zestawu problemów” – powiedział. „Nie mam absolutnie żadnych wątpliwości, że znajdzie to jeszcze głębsze zastosowania”.

Granice prostoty

Na płaszczyźnie łatwo jest wybrać nieskończony zbiór punktów, które są od siebie oddalone w postaci liczb całkowitych — po prostu weź swoją ulubioną linię, wyobraź sobie nałożoną na nią oś liczbową i użyj niektórych lub wszystkich punktów odpowiadających liczbom całkowitym. Jest to jednak jedyny sposób skonstruowania nieskończonej odległości całkowitej ustawionej na płaszczyźnie, jak zauważyli Anning i Erdős w 1945 roku. Gdy tylko istnieją trzy punkty, które nie wszystkie leżą na tej samej linii, konfiguracja staje się tak ograniczona, że ​​niemożliwa dodać nieskończenie wiele więcej punktów.

Powód sprowadza się do prostej geometrii. Wyobraź sobie, że zaczynasz od dwóch punktów, A i B, oddalonych od siebie o całkowitą odległość. Jeśli chcesz dodać trzeci punkt, C, będący całkowitą odległością od A i B, ale nie leżący na prostej przechodzącej przez nie, większość punktów na płaszczyźnie nie będzie działać. Jedyne realne punkty leżą na specjalnych krzywych zwanych hiperbolami, które przecinają A i B. Jeśli A i B są oddalone od siebie, powiedzmy o 4 jednostki, to istnieją dokładnie cztery takie hiperbole. (Hiperbola zwykle składa się z dwóch odrębnych części, więc na przykład dwie czerwone krzywe na poniższym rysunku tworzą pojedynczą hiperbolę.)

Kiedy już wybierzesz C (co w tym przykładzie oznacza 3 jednostki z A i 5 jednostek z B), nie masz prawie żadnych możliwości dodania większej liczby punktów. Każdy punkt, który możesz dodać, musi leżeć na jednej z hiperboli pomiędzy punktami A i B lub na linii, która przez nie przechodzi. Ale musi także leżeć na jednej z hiperboli między A i C oraz na jednej z hiperboli między B i C (lub odpowiadających im liniach) — innymi słowy, nowy punkt można umieścić tylko w miejscu przecięcia trzech hiperboli lub linii (chociaż nie każdy punkt przecięcia będzie działał). Na początek jest tylko skończenie wiele hiperboli i linii, a dwie hiperbole (lub linie) mogą przecinać się w co najwyżej czterech punktach. W rezultacie masz do wyboru tylko skończoną liczbę punktów przecięcia — nie możesz zbudować nieskończonego zbioru.

Jeśli chodzi o zrozumienie, jak faktycznie wygląda skończony zbiór całkowitych punktów odległości, podejście hiperboli szybko staje się nieporęczne. Dodając punkty, musisz zmagać się z rosnącą liczbą hiperboli. Na przykład, zanim Twój zestaw będzie zawierał zaledwie 10 punktów, dodanie 11-tego spowoduje utworzenie 10 nowych rodzin hiperboli — wszystkich znajdujących się pomiędzy nowym punktem a każdym z punktów już znajdujących się w zestawie. „Nie możesz dodawać wielu punktów, bo zgubisz się w tych wszystkich hiperbolach i przecięciach” – powiedział Greenfeld.

Dlatego matematycy szukali łatwiejszych w zarządzaniu zasad konstruowania dużych zbiorów punktów odległości całkowitych, które nie leżą na prostej. Ale udało im się wymyślić tylko jedno podejście: umieść swoje punkty na okręgu. Jeśli chcesz ustawić odległość całkowitą zawierającą, powiedzmy, bilion punktów, istnieją sposoby na uzyskanie bilionów punktów na okręgu o promieniu 1, którego odległości od siebie są ułamkami. Następnie możesz napompować okrąg, aż wszystkie odległości ułamkowe zamienią się w liczby całkowite. Im więcej punktów chcesz w swoim zestawie, tym bardziej będziesz musiał napompować okrąg.

Przez lata matematycy wymyślili tylko nieco bardziej egzotyczne przykłady. Potrafią konstruować duże zbiory odległości całkowitych, w których wszystkie punkty z wyjątkiem czterech leżą na linii lub wszystkie z wyjątkiem trzech leżą na okręgu. Wielu matematyków podejrzewa, że ​​są to jedyne duże zbiory odległości całkowitych, w których nie wszystkie punkty leżą na linii lub okręgu. Będą to wiedzieć na pewno, jeśli kiedykolwiek uda im się udowodnić hipotezę Bombieriego-Langa. Matematycy nie są jednak podzieleni co do tego, czy to przypuszczenie jest prawdopodobne.

Od czasu pracy Anninga i Erdősa w 1945 roku matematycy poczynili niewielki postęp w rozumieniu całkowitych zbiorów odległości. Z biegiem czasu problem odległości całkowitych zdawał się łączyć z szeregiem innych problemów kombinatoryki, teorii liczb i geometrii, które są proste do stwierdzenia, ale pozornie niemożliwe do rozwiązania. „To miara żałości naszej matematyki” – powiedział Tao.

W pewnym sensie problem odległości całkowitych padł ofiarą swoich wczesnych sukcesów. Dowód hiperboli, ze swoją genialną prostotą, jest symbolem filozofii Erdősa, niezwykle wpływowego matematyka, który często mówił o „Księdze” – wyimaginowanym tomie najbardziej eleganckich dowodów matematycznych. Iosevich powiedział, że kultura prostoty promowana przez Erdősa doprowadziła do „niesamowitych wyników” w geometrii kombinatorycznej. Ale może to również prowadzić do martwych punktów – w tym przypadku co do wartości wprowadzenia podejść z geometrii algebraicznej.

„Nie sądzę, że można znaleźć wynik [w geometrii algebraicznej] udowodniony w ciągu ostatnich 50 lat, który nie byłby zbyt skomplikowany technicznie i nie byłby zbyt bałaganiarski” – powiedział Iosevich. „Jednak czasami sprawy muszą tak wyglądać”.

Z perspektywy czasu widać, że problem odległości całkowitych czekał na matematyków, którzy byli skłonni rozważyć bardziej niesforne krzywe niż hiperbole, a następnie skorzystać z przemyślanych narzędzi z geometrii algebraicznej i teorii liczb, aby je ujarzmić. „Wymagało to ludzi o wystarczającym zakresie wiedzy i zainteresowań” – powiedział Iosevich.

Większość matematyków, stwierdził, zadowala się stosowaniem kilku narzędzi w jednym zakątku matematyki przez całą swoją karierę. Ale Greenfeld, Iliopoulou i Peluse to nieustraszeni odkrywcy, powiedział Iosevich. „Postrzegają matematykę jako spójną całość”.

Komplikowanie problemu

Latem 2021 roku Greenfeld zdecydowała, że ​​nadszedł czas, aby zająć się problemem z analizy harmonicznej, nad którym zastanawiała się od czasów studiów. Klasyczna analiza harmonicznych, która stanowi podstawę przetwarzania sygnałów w świecie rzeczywistym, polega na rozłożeniu sygnałów na fale sinusoidalne o różnych częstotliwościach i fazach. Proces ten działa, ponieważ możliwe jest utworzenie nieskończonej listy fal sinusoidalnych, które po połączeniu przechwytują wszystkie cechy dowolnego sygnału, bez żadnej redundancji.

Często jednak badacze chcą zbadać coś bardziej skomplikowanego niż sygnał jednowymiarowy. Na przykład mogą chcieć rozłożyć sygnał na dysku w samolocie. Jednak na dysku może znajdować się tylko skończony zbiór zgodnych fal sinusoidalnych — zbyt mało, aby uchwycić zachowanie wszystkich możliwych sygnałów na dysku. Powstaje zatem pytanie: jak duży może być ten skończony zbiór?

W takim zbiorze częstotliwości sinusów można przedstawić jako punkty na płaszczyźnie, które wydają się przeciwne grupowaniu się w linie i okręgi: nigdy nie znajdziesz trzech punktów, które są blisko tej samej linii, ani czterech, które są blisko do tego samego kręgu. Greenfeld miał nadzieję wykorzystać tę niechęć do udowodnienia, że ​​te zestawy częstotliwości mogą zawierać tylko kilka punktów.

Na spotkaniu w 2021 r. na Uniwersytecie w Bonn Greenfeld wziął udział w wykładzie na temat „metody wyznaczającej” – techniki wywodzącej się z teorii liczb, którą można zastosować do oszacowania, ile punktów całkowitych określonych typów może leżeć na krzywych. Uświadomiła sobie, że to narzędzie może być właśnie tym, czego potrzebowała. Greenfeld zwerbował Iliopoulou i Peluse, którzy również byli obecni na spotkaniu. „Zaczęliśmy wspólnie uczyć się tej metody” – powiedział Greenfeld.

Jednak pomimo wielu wysiłków nie udało im się nagiąć metody wyznaczania do swoich celów i wiosną 2023 r. poczuli zniechęcenie. Iosevich zaprosił Greenfelda i Peluse’a, aby pojechali z wizytą do Rochester. „Więc pomyśleliśmy: «OK, pojedziemy do Rochester, a rozmowa z Alexem doda nam sił»” – powiedział Peluse. Ale jak się okazało, wylądowali w Rochester już wzmocnieni dzięki ożywiającej dyskusji na temat całkowitych zestawów odległości podczas ich nieplanowanego objazdu wzdłuż rzeki Susquehanna w Pensylwanii.

Przybyli za późno na planowaną kolację z Iosevichem, ale zastali go czekającego w hotelowym lobby z torbami z zakupami na wynos. Wybaczył im spóźnienie i był więcej niż wyrozumiały następnego ranka, kiedy opowiedzieli mu o swoim planie rozwiązania problemu zestawów odległości całkowitych. „Był bardzo podekscytowany” – wspomina Peluse. „Emocjonalnie był to ogromny impuls”.

Podobnie jak w przypadku podejścia hiperboli, Greenfeld, Iliopoulou i Peluse próbowali kontrolować strukturę całkowitych zbiorów odległości, identyfikując rodziny krzywych, na których muszą leżeć punkty. Metoda hiperboli zaczyna być zbyt skomplikowana, gdy tylko punktów jest więcej niż kilka, ale Greenfeld, Iliopoulou i Peluse wymyślili, jak uwzględnić wiele punktów jednocześnie, przenosząc całą konfigurację do przestrzeni o wyższych wymiarach.

Aby zobaczyć, jak to działa, załóżmy, że zaczynasz od „punktu odniesienia” A w zestawie odległości całkowitych. Co drugi punkt w zbiorze znajduje się w całkowitej odległości od A. Punkty leżą na płaszczyźnie, ale można uderzyć płaszczyznę w przestrzeń trójwymiarową, dodając do każdego punktu trzecią współrzędną, której wartość jest odległością od A. Na przykład załóżmy, że A jest punktem (1, 3). Następnie punkt (4, 7), oddalony o 5 jednostek od A, zamienia się w punkt (4, 7, 5) w przestrzeni trójwymiarowej. Proces ten przekształca płaszczyznę w stożek w przestrzeni trójwymiarowej, którego wierzchołek znajduje się w punkcie A, teraz oznaczonym jako (1, 3, 0). Całkowite punkty odległości stają się punktami w przestrzeni trójwymiarowej, które leżą na stożku, a także na określonej siatce.

Podobnie, jeśli wybierzesz dwa punkty odniesienia, A i B, możesz przekształcić punkty na płaszczyźnie w punkty w przestrzeni czterowymiarowej — po prostu nadaj każdemu punktowi dwie nowe współrzędne, których wartości są jego odległością do A i B. Ten proces przekształca płaszczyznę w zakrzywioną powierzchnię w czterowymiarowej przestrzeni. W ten sposób możesz dodawać kolejne punkty odniesienia. Z każdym nowym punktem odniesienia wymiar zwiększa się o jeden, a płaszczyzna zostaje odwzorowana na jeszcze bardziej wibrującą powierzchnię (lub, jak mówią matematycy, powierzchnię o wyższym stopniu).

Mając już gotowe ramy, badacze zastosowali metodę wyznacznikową zaczerpniętą z teorii liczb. Wyznaczniki to liczby, zwykle powiązane z macierzami, które odzwierciedlają szereg właściwości geometrycznych zbioru punktów — na przykład konkretny wyznacznik może mierzyć pole trójkąta utworzonego przez trzy punkty. Metoda wyznacznikowa umożliwia wykorzystanie takich wyznaczników do oszacowania liczby punktów leżących jednocześnie na falistej powierzchni i na siatce — dokładnie z taką sytuacją, z jaką mieli do czynienia Greenfeld, Iliopoulou i Peluse.

Badacze wykorzystali linię roboczą opartą na metodzie wyznacznikowej, aby wykazać, że gdy ustawioną odległość całkowitą osiągną odpowiednio wysoki wymiar, wszystkie punkty muszą leżeć na niewielkiej liczbie specjalnych krzywych. Krzywe te, gdy ich cienie na płaszczyźnie nie są linią lub okręgiem, nie mogą zawierać wielu punktów sieci, które są jedynymi kandydatami na punkty w zbiorze odległości całkowitych. Oznacza to, że liczba punktów w zbiorze, które mogą leżeć poza główną linią lub okręgiem, jest ograniczona — badacze wykazali, że musi być mniejsza niż bardzo wolno rosnąca funkcja średnicy zbioru.

Ich granica nie spełnia standardu hipotezy „cztery punkty poza linią lub trzy punkty poza kołem”, która według wielu matematyków jest prawdziwa w przypadku dużych zbiorów odległości całkowitych. Mimo to wynik pokazuje, że „istota przypuszczenia jest prawdziwa” – stwierdził Jacob Fox z Uniwersytetu Stanforda. Pełny dowód hipotezy będzie prawdopodobnie wymagał kolejnego zastrzyku nowych pomysłów, twierdzą matematycy.

Opracowany przez zespół schemat kodowania wielowymiarowego jest „niezwykle solidny” – powiedział Iosevich. „Nie istnieją tylko zastosowania w zasadzie — są też zastosowania, o których już myślę”.

Greenfeld, Iliopoulou i Peluse mają nadzieję, że jednym z zastosowań będzie rozwiązanie ich pierwotnego problemu analizy harmonicznej, do którego cała trójka teraz powraca. Ich wynik dotyczący zestawów odległości całkowitych „może być odskocznią w tym kierunku” – powiedział Greenfeld.

Iosevich przewidział, że zainicjowana przez badaczy synteza kombinatoryki z geometrią algebraiczną nie zakończy się na całkowitych zbiorach odległości ani na pokrewnych problemach analizy harmonicznej. „Wierzę, że to, co widzimy, jest przełomem koncepcyjnym” – powiedział. „To wysyła wiadomość do ludzi z obu dziedzin, że jest to bardzo produktywna interakcja”.

Wysyła także wiadomość o wartości czasami komplikowania problemu, powiedział Tao. Zauważył, że matematycy zwykle dążą do czegoś odwrotnego. „Ale to jest przykład, w którym komplikowanie problemu jest w rzeczywistości właściwym posunięciem”.

Postęp zmienił sposób, w jaki myśli o krzywych wysokiego stopnia, powiedział. „Czasami mogą być twoimi przyjaciółmi, a nie wrogami.”