Matematyka, która trwa wiecznie, ale nigdy się nie powtarza | Magazyn Quanta

Czy kiedykolwiek podziwiałeś, jak listwy drewnianej podłogi pasują do siebie tak czysto lub jak sześciokąty pod dywanikiem łazienkowym idealnie się łączą? To przykłady geometrycznych kafelków, układów kształtów, które dopasowują się do siebie, jednocześnie wypełniając przestrzeń. Dwuwymiarowe kafelki są podziwiane na całym świecie, zarówno ze względu na ich piękno — co widać w kunszcie mozaik w katedrach i meczetach na całym świecie — jak i ze względu na ich użyteczność na ścianach i podłogach na całym świecie.

W matematyce nachylenia są często doceniane za ich regularne wzorce. Ale matematycy również znajdują piękno w nieregularnościach. Właśnie takiego piękna szukał emerytowany technik drukarski niedawno odkryte pierwszy „aperiodyczny monotyl” — pojedyncza płytka, która wypełnia płaszczyznę w niepowtarzalny wzór. Aby zrozumieć to wielkie odkrycie, zacznijmy od zastanowienia się nad prostszym problemem: jak ułożyć linię.

Wyobraźmy sobie, że nasze kafelki wypełniające linie są literami, które sklejają się, tworząc sekwencje. Jeśli płytki i przyjęte przez nas zasady ich układania pozwolą nam stworzyć ciąg liter ciągnący się w nieskończoność w obu kierunkach, możemy „ułożyć linię”. Załóżmy na przykład, że mamy dwie płytki, A i B, oraz dwie zasady ich układania:

1. Obok litery A po obu stronach można umieścić tylko literę B.
2. Obok litery B po obu stronach można umieścić tylko literę A.

Czy możemy wyłożyć linię tymi płytkami i tymi zasadami? Absolutnie. Załóżmy, że najpierw postawimy A.

A

Zgodnie z zasadami, musimy postawić B po obu stronach.

BAB

Teraz po obu stronach tych B musimy umieścić A i tak dalej.

…ABABABABABABABA…

Dzięki tym kafelkom i regułom możemy kontynuować w nieskończoność w obu kierunkach, więc możemy układać linie. W rzeczywistości możemy wyciągnąć silniejszy wniosek: jest to zasadniczo jedyny sposób, w jaki możemy wyrównać te zasady. Zobaczmy, co to oznacza.

Załóżmy zamiast tego, że zaczęliśmy od B.

B

Zasady wymagają, abyśmy postawili A po obu stronach.

ABA

A potem B jest po obu stronach A i tak dalej.

…BABABABABABABA…

Wygląda to na drugie prawidłowe kafelkowanie linii. Ale porównajmy to obok siebie z pierwszym.

…BABABABABABABA…

…ABABABABABABABA…

Jeśli przesuniemy kafelki o jeden kafelek, oba pasują idealnie — na zawsze.

  …BABABABABABABA…

…ABABABABABABABA…

Innymi słowy, po tłumaczeniu nachylenia są równoważne. To pokazuje, że dwa nachylenia mają ten sam wzór.

Bliższe spojrzenie ujawnia coś jeszcze bardziej interesującego. Zacznij od dwóch kopii oryginalnego kafelka:

…ABABABABABABABA…

…ABABABABABABABA…

Teraz zobacz, co się stanie, gdy przesuniesz górną na dwie płytki:

     …ABABABABABABABA…

…ABABABABABABABA…

Oryginalne kafelki pasują do siebie. Kiedy kafelek jest odpowiednikiem samego siebie po translacji, ma „symetrię translacyjną”. (To jest jak obiekt mający „odblaskową symetrię”, jeśli jego dwie połówki w lustrzanym odbiciu mogą odbijać się od siebie).

Symetria translacyjna pokazuje, że kafelki to tak naprawdę tylko jeden wzór powtarzany w kółko. W tym przypadku kafelkowanie linii …ABABABABABABA… można traktować jako nieskończenie wiele przetłumaczonych kopii dwukafelkowego wzoru AB.

AB

ABAB

ABABAB

To jeden prosty przykład ułożenia linii, która ma symetrię translacyjną. W dwóch wymiarach istnieje wiele znanych przykładów nachylenia płaszczyzny, które również mają tę właściwość.

W każdym z powyższych przypadków możliwe jest przetłumaczenie całego kafelka o pewną wartość, tak aby dokładnie pasowało do oryginału.

Podobnie jak nasze kafelkowanie linii, te dwuwymiarowe kafelki z symetrią translacyjną można traktować jako jeden wzór, który powtarza się w kółko. Na przykład pojedynczy sześciokąt rozciąga się we wszystkich kierunkach.

Aby zobaczyć to w ułożeniu trójkąta równobocznego, wyobraź sobie, że trójkąty łączą się, tworząc sześciokąty, a te sześciokąty powtarzają się w kółko podczas translacji.

Trójkąty, sześciokąty i kwadraty płaszczyzny są „jednościenne”, ponieważ wszystkie składają się z nieskończenie wielu kopii pojedynczej płytki. Istnieje również wiele sposobów układania płaszczyzny za pomocą wielu płytek, jak pokazano poniżej (i na wielu podłogach w łazience).

Ale wróćmy do układania linii. Musimy dokonać ważnego rozróżnienia.

Rozważ następujące nowe zasady dla naszych kafelków A i B.

1. Obok litery A po obu stronach można umieścić literę A lub B.
2. Obok litery B po obu stronach można umieścić tylko literę A.

Czy nadal możemy wytyczyć granicę z tymi zasadami? Łatwym sposobem sprawdzenia, czy odpowiedź brzmi „tak”, jest zauważenie, że poprzednie kafelki również spełniają nowy zestaw reguł.

…ABABABABABABABA…

Ale nowe zasady pozwalają na większą elastyczność, a to prowadzi do większej liczby nachyleń linii.

Na przykład obie te konfiguracje są prawidłowe w ramach nowych reguł:

AAABABA

ABABAAABAAB

I można je rozciągać w nieskończoność w dowolnym kierunku na nieskończenie wiele sposobów.

Oprócz udostępnienia nam wielu nowych nachyleń linii, nowe reguły pozwalają nam generować nachylenia, które w przeciwieństwie do naszego pierwszego przykładu nie powtarzają się. Rozważmy na przykład następujące kafelkowanie:

…ABAAAAAAAAAAAB…

Jaki jest tutaj wzór? Zacznij od A, następnie umieść B po prawej stronie, potem dwa A po prawej, potem B, potem trzy A, potem B, potem cztery A i tak dalej. Po lewej stronie po prostu dodawaj A:

…AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA…

Zrób to, a skończysz z kafelkiem, którego nie można przetłumaczyć na siebie, aby wszystko się zgadzało.

Prostym sposobem, aby to zobaczyć, jest zaobserwowanie, że w tym kafelku znajduje się unikalne B skrajnie lewe, więc gdzie trafi po translacji? Jeśli przetłumaczysz w lewo, nie ma litery B, z którą można by ją dopasować. Ale jeśli tłumaczysz w prawo, nie ma B wychodzącego z lewej strony, które by się z nim zgadzało.

Dlatego nowe zasady dopuszczają zarówno nachylenia, które mają symetrię translacyjną, jak i nachylenia, które jej nie mają. Istnieją również przechyły samolotu, które działają w ten sposób.

Na przykład widzieliśmy już kafelki z kwadratami, które mają symetrię translacyjną, ale możemy również użyć kwadratu do skonstruowania kafelków, które nie mają tej właściwości.

Jest to zupełnie inna sytuacja niż w przypadku nachyleń jednościennych, które używają regularnych sześciokątów. W tych kafelkach powtarzalna struktura jest nieunikniona. Geometria samych płytek wymusza, aby płytki miały symetrię translacyjną. Takie nachylenia nazywamy „okresowymi”.

Natomiast kwadrat pozwala na wzory, które się powtarzają, i wzory, które się nie powtarzają. Prowadzi to do naturalnego, nieodpartego pytania dla matematyków: jeśli istnieją nachylenia płaszczyzny, które są zmuszone do posiadania tej powtarzalnej struktury, czy są nachylenia, które są zmuszone jej unikać? Tym pytaniem, sformułowanym w latach 1960. XX wieku, rozpoczęło się polowanie na „nieokresowe nachylenia”.

W ramach naszych poszukiwań zrobimy jeszcze jedną podróż z powrotem do linii. Nasze ostateczne kafelkowanie jednowymiarowej przestrzeni użyje nietypowo wyglądającego zestawu kafelków:

Płytki A: A, AA, AAA, AAAA, …

Płytki B: B, BB, BBB, BBBB, …

Zauważ, że ten zestaw płytek jest nieskończony. Jeśli wygląda to na oszustwo, myślisz jak matematyk. Wrócimy do tego później, ale na razie oto dwie zasady układania razem naszych nieskończenie wielu kafelków:

1. Obok kafelka A o długości n, możesz położyć tylko płytkę B o długości n po obu stronach.
2. Obok płytki B o długości n, możesz położyć tylko kafelek A o długości n +1 po obu stronach.

Jak zawsze, nasze pytanie brzmi: czy możemy wyłożyć linię tymi kafelkami i zasadami? Cóż, załóżmy, że zaczynamy od kafelka A o długości 1.

A

Zasady mówią, że po obu stronach możemy kłaść tylko płytki B o długości 1.

BAB

Teraz obok każdego B musimy położyć płytki A o długości 2.

AABABAA

Następnie dodajemy płytki B o długości 2.

BBAABABAABB

I tak dalej. Łatwo zauważyć, że możemy iść w nieskończoność w dowolnym kierunku, co oznacza, że ​​rzeczywiście możemy wytyczyć linię dzięki tym nowym kafelkom i zasadom. I istotne dla naszych poszukiwań, to kafelkowanie nie ma symetrii translacyjnej. Zauważ, że pojedyncze A, które umieściliśmy na początku, zostaje natychmiast otoczone przez B po obu stronach, a wynikowy wzór — BAB — nigdy więcej się nie pojawi. W nieskończenie długim łańcuchu, który reprezentuje nasze kafelkowanie, każde inne A, które się pojawi, będzie obok co najmniej jednego innego A. Oznacza to, że nie ma dokąd pójść ciąg BAB, więc nie ma sposobu, aby przetłumaczyć to kafelkowanie na siebie.

Będzie tak niezależnie od tego, od jakiego kafelka zaczniemy. Jeśli jest to B, reguły natychmiast prowadzą do ciągu

…BBAAAABB…

I tak jak poprzednio, wzór ABA nigdy się nie powtórzy. Nawet jeśli zaczniesz od czegoś takiego jak AAA, stanie się to samo.

…AAAABBBAAABBBAAAAA…

Niezależnie od tego, od czego zaczniesz, początkowy kafelek zawsze będzie jedynym kafelkiem A lub B o tej konkretnej długości, co zapobiegnie pojawieniu się symetrii translacyjnej. Tak się składa, że ​​jest to dokładnie to, czego szukaliśmy: zestaw kafelków i reguł, który pozwala nam ułożyć linię, ale nigdy nie pozwoli na translacyjną symetrię.

Możesz być niezadowolony z nieokresowego układania płytek, które wymaga nieskończenie wielu płytek, i nie byłbyś sam. Kiedy matematycy zaczęli poważnie szukać aperiodycznych nachyleń płaszczyzny, chcieli znaleźć skończony zestaw kafelków, który mógłby ułożyć płaszczyznę, ale nie mógł mieć translacyjnej symetrii. Wczesne rozwiązanie wykorzystywało 20,426 XNUMX płytek, ale w ciągu kilku lat matematycy zmniejszyli tę liczbę do sześciu.

Przełom nastąpił w latach 1970., kiedy Roger Penrose, brytyjski matematyk i fizyk, odkrył słynny zestaw dwóch płytek, który teraz nosi jego imię. Płytki Penrose'a to para prostych czworoboków, które przy starannym zestawie zasad układają płaszczyznę bez dopuszczania symetrii translacyjnej.

Jest tylko jeden sposób na ulepszenie dwukafelkowego aperiodycznego kafelka, więc matematycy, hobbyści i artyści zaczęli szukać aperiodycznego „monotile”, który wykonałby to zadanie sam.

Znalazł go David Smith w listopadzie zeszłego roku. To jest „kapelusz”, pierwszy znany aperiodyczny monotyl.

Smith, rekreacyjny matematyk, artysta i entuzjasta płytek, odkrył kapelusz w taki sam sposób, w jaki odkrywa się większość matematyki: bawiąc się i obserwując, co się dzieje. Smith skontaktował się później z badaczami Craigiem Kaplanem, Chaimem Goodmanem-Straussem i Josephem Samuelem Myersem, którzy wspólnie potwierdzili, że był to rzeczywiście długo poszukiwany aperiodyczny monotyl.

Udowodnienie, że coś może ułożyć płaszczyznę, ale nie może mieć symetrii translacyjnej, nie jest łatwym zadaniem, ale niektóre z zastosowanych technik są zasugerowane w naszych prostych przykładach. Na przykład jednym ze sposobów wykazania, że ​​trójkąty równoboczne mogą układać się w płaszczyznę, jest zauważenie, że łączą się one, tworząc większe struktury, w tym przypadku sześciokąty, o których wiadomo, że układają płaszczyznę. Płytka kapelusza również łączy się, tworząc większe, regularne struktury, które można wykorzystać do zrozumienia, w jaki sposób pokrywa płaszczyznę.

Chociaż w naszym aperiodycznym układaniu linii może nie być powtarzającego się wzoru, istnieje wzór, który rozszerza się w miarę przesuwania się w prawo. Najpierw widzisz AB, potem AABB, potem AAABBBB, potem AAAABBBB i tak dalej. Jest to rodzaj samopodobieństwa — wzór, który powtarza się przy zmianie skali — który czasami można wykorzystać do pokazania, że ​​określone kafelki nie mogą się przełożyć na siebie, ponieważ spowodowałoby to zniekształcenie długości.

Pracując razem, grupa udowodniła, że ​​używając tylko kafelka kapelusza i jego lustrzanego odbicia, można ułożyć płaszczyznę, ale nie z symetrią translacyjną. I w przeciwieństwie do innych prób z różnymi zestawami płytek, ta nie wymagała żadnych specjalnych zasad. Sama płytka wymusiła aperiodyczność. Gdy zagłębili się w geometrię, odkryli jeszcze więcej rozwiązań. Kapelusz jest właściwie jednym z nieskończonej rodziny płytek aperiodycznych!

Wydaje się, że poszukiwania aperiodycznego monotylu dobiegły końca. Albo ma? Kiedy aperiodycznie układasz samolot za pomocą kapelusza, potrzebujesz również jego odbicia (to, co otrzymasz, jeśli odwrócisz kafelek). Może istnieje jeszcze nieodkryty aperiodyczny monotyl, który nie wymaga swojego lustrzanego odbicia. Znajdź to, a będziesz sławny. Inspiracja może znajdować się tuż pod twoimi stopami.

Korekta: 23 maja 2023

Ta kolumna została poprawiona, aby odzwierciedlić fakt, że powtarzającej się struktury można uniknąć w jednościennych nachylonych trójkątach równobocznych.