Na „Dzikim Zachodzie” geometrii matematycy na nowo definiują kulę | Magazyn Quanta

Jeśli kiedykolwiek utknąłeś w korku w deszczowe popołudnie, prawdopodobnie widziałeś krople deszczu spływające po szybie samochodu. Kiedy pary kropel zderzają się, łączą się, tworząc nową kroplę, tracąc swoją odrębną tożsamość.

To połączenie jest możliwe, ponieważ kropelki wody są prawie kuliste. Kiedy kształty są elastyczne — tak jak krople deszczu — dołączenie kuli niczego nie zmienia. W niektórych obszarach matematyki kula połączona z kulą jest nadal kulą, chociaż być może jest większa lub bardziej nierówna. A jeśli kula zostanie przyklejona do pączka, nadal będziesz mieć pączka – z blistrem. Ale jeśli dwa pączki połączą się ze sobą, utworzą kształt z dwoma otworami. Dla matematyków to coś zupełnie innego.

Ta cecha sprawia, że ​​kule są kluczowym przypadkiem testowym dla geometrii. Matematycy często mogą przenieść wiedzę zdobytą na kulach na bardziej złożone kształty, obserwując, co się stanie, gdy zszyje się je ze sobą. W rzeczywistości mogą zastosować tę technikę do dowolnej rozmaitości — klasy obiektów matematycznych, która obejmuje proste kształty, takie jak kule i pączki, a także nieskończone struktury, takie jak dwuwymiarowa płaszczyzna lub trójwymiarowa przestrzeń.

Kule są szczególnie ważne w subdyscyplinie geometrii zwanej geometrią kontaktową. W geometrii kontaktowej każdy punkt trójwymiarowej rozmaitości — takiej jak przestrzeń 3D, w której żyjemy — odpowiada płaszczyźnie. Samoloty mogą przechylać się i skręcać od punktu do punktu. Jeśli zrobią to w sposób spełniający określone kryteria matematyczne, cały zbiór płaszczyzn nazywany jest strukturą kontaktową. Rozmaitość (podobnie jak przestrzeń 3D) wraz ze strukturą kontaktową (wszystkie płaszczyzny) nazywana jest rozmaitością kontaktową.

Chociaż struktury kontaktowe mogą wydawać się niczym więcej niż dekoracją, dostarczają fundamentalnego wglądu w rozmaitości, w których żyją, a także powiązania z fizyką. Współcześni matematycy mogą używać rozmaitości kontaktowych do przeformułowania teorii na temat zachowania i drogi światła woda płynie przez przestrzeń.

Wyniki dotyczące trójwymiarowych rozmaitości kontaktowych często wracają do sfer. Jeśli przykleisz kulę stykową do innego kolektora stykowego, np. pączka 3D, wersja 3D kuli może przekazać związkowi części swojej struktury stykowej. Jeśli chcesz udowodnić, że pączek może mieć strukturę kontaktową, której płaszczyzny skręcają się tysiąc razy, okrążając dziurę pączka, możesz najpierw zbudować tę strukturę na kuli, a następnie dodać ją do pączka, wycinając mały otwór w obu kształtach i sklejając je wzdłuż krawędzi. Matematycy badający, które struktury kontaktowe mogą istnieć na danej rozmaitości, często opierają się na tym modelu, mówi Johna Etnyre’a, matematyk w Georgia Institute of Technology. „Wkładają dużo pracy, aby ograniczyć problem do zrozumienia tego, co dzieje się na kuli” – powiedział.

As Jonathana Bowdena, matematyk z Uniwersytetu w Regensburgu, ujmuje to: „Jeśli nie możesz zrozumieć kuli, jak mogę zrozumieć cokolwiek innego?”

Mamy tendencję do myślenia o kulach jako o prostych kształtach: to po prostu wszystkie punkty, które znajdują się w stałej odległości od punktu środkowego. Przykładami są okrąg, który jest jednowymiarowy, a także dwuwymiarowa powierzchnia zwykłej piłki, takiej jak piłka do koszykówki. Jednak po dodaniu struktur kontaktowych sfery mogą stać się bardziej skomplikowane, niż można by się spodziewać. A gdy matematycy próbują uporządkować zdezorganizowany ocean rozmaitości kontaktowych, nowe typy kul mogą dostarczyć im wskazówek na temat tego, co mogą wyłowić z głębin.

W niedawnym artykule, który został merytorycznie zaktualizowany w zeszłym tygodniu, czterech matematyków — Bowden, Fabio Gironella, Augustyna Moreno i Zhengyi Zhou — odkryli nowy typ sfery kontaktowej, a wraz z nią nieskończoną liczbę nowych rozmaitości kontaktowych.

Sport pełnokontaktowy

Geometria kontaktowa jako pole kształtowała się stopniowo na przestrzeni wieków. Chociaż współcześni matematycy, patrząc wstecz, dostrzegają ślady geometrii kontaktowej w badaniach optyki w XVII wieku i termodynamiki w XIX wieku, dopiero w latach pięćdziesiątych XX wieku brzmiało to zdanie Według matematyka „rozmaitość stykowa” została po raz pierwszy użyta w artykule Hansjörga Geigesa" historia przedmiotu.

W tym czasie matematycy byli już świadomi niektórych przykładów rozmaitości kontaktowych. Ze względów technicznych kolektory stykowe występują tylko w wymiarach nieparzystych. Standardowa przestrzeń trójwymiarowa ma strukturę kontaktową składającą się z rzędów płaszczyzn, które stopniowo przechylają się do przodu. Struktura ta w naturalny sposób rozciąga się na to, co matematycy nazywają sferą trójwymiarową. (Jest to powierzchnia czterowymiarowej kuli, podobnie jak dwuwymiarowa kula matematyczna jest powierzchnią zwykłej trójwymiarowej kuli.)

Począwszy od końca lat sześćdziesiątych matematycy zaczęli przedstawiać nowe przykłady rozmaitości kontaktowych. W 1960 roku Michaił Gromow poczynił postępy w znalezieniu nowych struktur kontaktowych na niektórych rozmaitościach, takich jak przestrzeń trójwymiarowa i Za nim podążył Jean Martinet w 1971 r. z przykładami tak zwanych kształtów zwartych (które są skończone z wyraźną granicą), takich jak kula 3D. W 1977 roku Robert Lutz wymyślił, jak utworzyć nową strukturę kontaktową na dowolnej trójwymiarowej rozmaitości. Konstrukcja Lutza polegała na rozcięciu kolektora stykowego, przekręceniu go i zszyciu z powrotem w taki sposób, aby zachować ten sam kształt leżący pod spodem, ale wymusić nową konfigurację struktury styku. Zaowocowało to nową strukturą kontaktu dla nieskończonej przestrzeni 3D, sfery 3D i dowolnej liczby jeszcze dziwniejszych obiektów, takich jak sześcian, którego jeśli wsuniesz rękę w dół, zobaczysz, jak zwisa z góry.

Mimo to wyniki te pozostawiły matematyków końca XX wieku z wieloma pytaniami dotyczącymi rozmaitości kontaktowych bez odpowiedzi. Jakiego rodzaju struktury kontaktowe tam były? Jak należy je kategoryzować? „Kiedy matematycy zajmują się jakimś tematem, zawsze chcą klasyfikować lub rozumieć przedmioty” – powiedział Jakow Eliaszberg, matematyk z Uniwersytetu Stanforda, który odegrał kluczową rolę we wczesnym rozwoju geometrii kontaktowej.

W wymiarach piątych i wyższych — pamiętajcie, że rozmaitości kontaktowe mogą mieć tylko nieparzystą liczbę wymiarów — na te pytania wciąż nie ma odpowiedzi. W przypadku trójwymiarowości znaczny postęp dokonał niemal samodzielnie Eliashberg, który przybył do Berkeley w Kalifornii w latach 1980. XX wieku jako imigrant ze Związku Radzieckiego.

Twist i krzyk

Pod wpływem pytania nowego znajomego z Berkeley, Jesúsa Gonzalo Péreza, który studiował technikę Lutza dotyczącą tworzenia nowych rozmaitości kontaktowych, Eliashberg zauważył, że wszystkie trójwymiarowe rozmaitości kontaktowe, które można uzyskać stosując strategię Lutza, mają pewne podobieństwa. W 1989 roku opublikował m.in nasienny papieru szczegółowo opisując te rozmaitości. Nową klasę rozmaitości stykowych nazwał „nadmiernie skręconą” ze względu na sposób, w jaki płaszczyzny struktury stykowej obracały się wielokrotnie, wykraczając poza skręcenie wymagane do zakwalifikowania się jako struktura stykowa. Artykuł Eliashberga z 1989 roku odpowiedział praktycznie na wszystkie pytania, jakie matematycy mogli mieć na temat nadmiernie skręconych rozmaitości w trzech wymiarach, ale jakakolwiek inna rozmaitość kontaktowa – którą Eliashberg nazwał „ciasną” ze względu na to, jak mało jest skręcona jej struktura styku – była znacznie trudniejsza do osiągnięcia.

„Podczas gdy struktury nadmiernie skręcone występują w dużych ilościach, struktury o ścisłym kontakcie są rzadsze lub przynajmniej znacznie słabiej poznane” – powiedział Moreno, matematyk z Uniwersytetu w Heidelbergu.

Jedno rozróżnienie pomiędzy rozmaitymi stykami nadmiernie skręconymi i ciasnymi staje się jasne, jeśli spojrzymy na rozmaitość jako granicę większej przestrzeni. Ponieważ rozmaitości kontaktowe są nieparzyste, zawsze tworzą krawędź rozmaitości parzystej. (Pomyśl o tym, jak jednowymiarowa krzywa koła otacza dwuwymiarowy dysk lub jak nieskończona linia przecina dwuwymiarową płaszczyznę na dwie oddzielne połowy.) Geometria kontaktowa ma parzysty odpowiednik zwany geometrią symplektyczną. Matematycy chcieli wiedzieć, czy wnętrze rozmaitości kontaktowej – która jest zawsze parzysta – tworzy rozmaitość symplektyczną, czy nie.

Jeśli tak, oryginalny kolektor stykowy nazywany jest „napełnialnym”. Wypełnialność jest specjalną właściwością. Wyniki Eliashberga i Gromowa z lat 1980. i wczesnych 1990. XX w. wykazały, że wypełnialnych kolektorów stykowych nie można nadmiernie skręcić — muszą być szczelne. Ale odwrotny scenariusz był bardziej niejasny – czy kolektor może być szczelny, ale nie do napełnienia?

„Przez długi czas było możliwe, że bycie ciasnym było po prostu odzwierciedleniem tego, że można go wypełnić” – powiedział Etnyre. Eliashberg udowodnił, że trójwymiarowa kula ma tylko jedną strukturę o ścisłym kontakcie, którą również można wypełnić. Ale w 2002 roku wraz z Ko Honda Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles w Etnyre znalazłem przykład trójwymiarowego kolektora stykowego, który był szczelny, ale nie nadawał się do wypełnienia.

W przypadkach wyższych wymiarów sytuacja była niepewna. „Mamy wiele narzędzi do badania struktur kontaktowych w trzecim wymiarze, a praktycznie nie mamy ich w dużych wymiarach. I to jest prawdziwy problem” – stwierdził Etnyre.

„W topologii kontaktowej wyższe wymiary to tak naprawdę dziki zachód. Ludzie naprawdę nie wiedzą prawie nic o tym, co się dzieje” – powiedziała Honda. Pojawiło się pytanie: czy istnieją szczelne, ale nienapełnialne kolektory stykowe o dużych wymiarach? A jeśli tak, to jak one wyglądają?

Trzymaj mocno

W 2013 roku trzech matematyków Znalazł sposób stworzyć takie rozmaitości, ale „rozmaitości, które zbudowali, były w rzeczywistości bardzo, bardzo skomplikowane” – powiedział Etnyre. Dodał, że nie wiadomo, czy taki poziom złożoności jest konieczny. Jeśli tak, nadal może istnieć ścisły związek między szczelnością a możliwością wypełnienia w przypadku prostych rozmaitości, takich jak kule.

W 2015 roku Bowden, wówczas pracownik Uniwersytetu Ludwiga Maksymiliana w Monachium, wraz z dwoma współpracownikami wykazali, że niektóre rozmaitości kontaktowe można starannie wyrzeźbić i połączyć, tworząc kulę bez poświęcania ich struktur kontaktowych. Ich praca sugeruje, że matematycy mogą nie tylko przenieść strukturę kontaktu ze kuli do bardziej skomplikowanej rozmaitości kontaktów – co jest zwykłym kierunkiem rzeczy – ale także stworzyć zupełnie nową strukturę kontaktu na kuli, zaczynając od bardziej skomplikowanego przykładu.

Od 2019 roku rozpoczął współpracę z Gironellą i Moreno. W tamtym roku oni opublikował artykuł opierając się na technikach kilku poprzednich matematyków. Trzej trzej znaleźli przykłady rozmaitości kontaktowych, które miały wypełnienia symplektyczne, ale zmienne: Wypełnienia, zwane „słabymi wypełnieniami”, zniknęły, jeśli rozmaitość kontaktowa została odpowiednio dostosowana.

Po rozpoczęciu pandemii zaczęto podejrzewać, że uda im się skonstruować kule o pożądanych właściwościach. Wzięli część kolektorów stykowych i starannie przerobili je na kule: tu wycięli dziurę, tam załatali. Kiedy skończyli, mieli nieskończoną kolekcję ciasnych, ale nienadających się do wypełnienia kul. A ponieważ kule mogą przenosić części swoich struktur kontaktowych do innych rozmaitości, stworzyło to szczelne, ale nienadające się do wypełnienia rozmaitości kontaktowe wszelkich kształtów i odmian.

Cała trójka pokazała Zhou wczesną wersję swojego artykułu w połowie 2022 roku, mając nadzieję, że dokona korekty niektórych ich obliczeń. Zhou współpracował wcześniej zarówno z Moreno, jak i Gironellą i znał niektóre techniki stosowane w ich wersji roboczej. „Przeczytałem artykuł i zdałem sobie sprawę, że kryje się w nim ogromny potencjał pozwalający uzyskać jeszcze lepsze wyniki” – powiedział Zhou, matematyk z Chińskiej Akademii Nauk. Wrócił do nich pełen nowych pomysłów.

Grupa uwzględniła spostrzeżenia Zhou w swoim artykule, a cała czwórka opublikowała je w Internecie w listopadzie 2022 r. Ich praca pokazuje, że możliwe są ciasne, ale nienadające się do wypełnienia kule o wymiarach pięciu i większych, i wykorzystuje te wyniki do stworzenia wielu nowych przykładów rozmaitości o ścisłym kontakcie które nadają się tylko słabo do wypełnienia, przyznając, że artykuł z 2019 r. jest kapryśny i „słaby”. W zeszłym tygodniu zaktualizowali artykuł, dodając ważne uogólnienie. Obecnie są w stanie znaleźć szczelne i słabo wypełnialne struktury kontaktowe dla dowolnej rozmaitości o wymiarze siódmym lub wyższym.

Chociaż ich dowód odkrywa nieskończoną liczbę nowych przykładów, badania wielowymiarowych rozmaitości kontaktowych – a nawet sfer wyższych wymiarów – dopiero się rozpoczynają.

„Dzięki temu mamy wgląd w coś, co wydaje się bardzo dzikim i skomplikowanym światem” – powiedział Moreno, dodając później: „Powiedziałbym, że wyższe wymiary przyciągną uwagę kilku przyszłych pokoleń”.

„W tej chwili po prostu próbujesz znaleźć jakieś przykłady; próbujesz rozróżnić rzeczy; po prostu próbujesz zrozumieć, co tam jest. A zrozumienie rzeczy na kuli jest swego rodzaju zarodkiem lub nasionem, które może pomóc ci zrozumieć inne sytuacje” – powiedział Etnyre. „Nie mamy jeszcze narzędzi, aby wykonać kolejny krok”.

Quanta przeprowadza serię ankiet, aby lepiej służyć naszym odbiorcom. Weź nasze ankieta dla czytelników matematyki i zostaniesz wpisany, aby wygrać za darmo Quanta towar.