Nowy dowód nawleka igłę na problem z lepką geometrią | Magazyn Quanta

W 1917 roku japoński matematyk Sōichi Kakeya przedstawił coś, co początkowo wydawało się niczym więcej niż zabawnym ćwiczeniem z geometrii. Połóż nieskończenie cienką igłę o długości cala na płaskiej powierzchni, a następnie obróć ją tak, aby wskazywała kolejno we wszystkich kierunkach. Jaki jest najmniejszy obszar, który igła może wymieść?

Jeśli po prostu obrócisz go wokół środka, otrzymasz okrąg. Ale możliwe jest przesunięcie igły w pomysłowy sposób, dzięki czemu wyrzeźbisz znacznie mniejszą ilość miejsca. Od tego czasu matematycy postawili pokrewną wersję tego pytania, zwaną hipotezą Kakeyi. Próbując go rozwiązać, odkryli zaskakujące powiązania z analizą harmoniczną, teorią liczb, a nawet fizyką.

„W jakiś sposób ta geometria linii skierowanych w wielu różnych kierunkach jest wszechobecna w dużej części matematyki” – powiedział Jonathana Hickmana z Uniwersytetu w Edynburgu.

Ale jest to również coś, czego matematycy wciąż nie do końca rozumieją. W ciągu ostatnich kilku lat udowodnili warianty hipotezy Kakeyi w prostszych ustawieniach, ale pytanie pozostaje nierozwiązane w normalnej, trójwymiarowej przestrzeni. Przez pewien czas wydawało się, że cały postęp zatrzymał się na tej wersji hipotezy, mimo że ma ona liczne konsekwencje matematyczne.

Teraz dwóch matematyków przesunęło igłę, że tak powiem. Ich nowy dowód pokonuje poważną przeszkodę który przetrwał dziesięciolecia — rozpalając nadzieję, że rozwiązanie może być w końcu na horyzoncie.

Co to jest „mały interes”?

Kakeyę interesowały zbiory na płaszczyźnie zawierające odcinek o długości 1 w każdym kierunku. Przykładów takich zbiorów jest wiele, a najprostszym jest dysk o średnicy 1. Kakeya chciał wiedzieć, jak wyglądałby najmniejszy taki zbiór.

Zaproponował trójkąt o lekko zapadniętych bokach, zwany naramiennym, który ma połowę powierzchni dysku. Okazało się jednak, że można zrobić dużo, dużo lepiej.

W 1919 roku, zaledwie kilka lat po tym, jak Kakeya postawił swój problem, rosyjski matematyk Abram Besicovitch wykazał, że jeśli ułożysz igły w bardzo szczególny sposób, możesz zbudować kolczasty zbiór o dowolnie małej powierzchni. (Z powodu I wojny światowej i rewolucji rosyjskiej jego wynik nie dotarłby do reszty świata matematycznego przez wiele lat).

Aby zobaczyć, jak to może działać, weź trójkąt i podziel go wzdłuż podstawy na cieńsze trójkątne kawałki. Następnie przesuń te elementy tak, aby zachodziły na siebie tak bardzo, jak to możliwe, ale wystawały w nieco innych kierunkach. Powtarzając ten proces w kółko — dzieląc trójkąt na coraz cieńsze fragmenty i ostrożnie przestawiając je w przestrzeni — możesz sprawić, że Twój zestaw będzie tak mały, jak chcesz. W nieskończonej granicy można otrzymać zbiór, który matematycznie nie ma pola, ale paradoksalnie może pomieścić igłę skierowaną w dowolnym kierunku.

„To dość zaskakujące i sprzeczne z intuicją” — powiedział Ruixianga Zhanga z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. „To zestaw, który jest bardzo patologiczny”.

Wynik ten można uogólnić na większe wymiary: możliwe jest skonstruowanie zestawu o dowolnie małej objętości, który zawiera odcinek linii jednostkowej skierowany w każdym kierunku w n-wymiarowa przestrzeń.

Wyglądało na to, że Besicovitch całkowicie rozwiązał pytanie Kakeyi. Ale kilkadziesiąt lat później matematycy zaczęli pracować nad inną wersją problemu, w której zastąpili pole (lub objętość, w przypadku wielowymiarowych) innym pojęciem wielkości.

Aby zrozumieć to przeformułowanie pytania, najpierw weź każdy odcinek linii w zestawie Kakeya i trochę go utucz - tak, jakbyś używał rzeczywistej igły, a nie wyidealizowanej. W płaszczyźnie Twój zestaw będzie się składał z niezwykle cienkich prostokątów; w przestrzeni trójwymiarowej będziesz mieć kolekcję niezwykle cienkich rurek.

Te utuczone zestawy zawsze mają jakąś powierzchnię (lub objętość, ale na razie pozostańmy przy przypadku dwuwymiarowym). Gdy zmienisz szerokość igły, ten obszar się zmieni. W latach siedemdziesiątych matematyk Roy Davies (zmarły w zeszłym miesiącu) wykazał, że jeśli całkowita powierzchnia zmieni się o niewielką wartość, szerokość każdej igły musi się drastycznie zmienić. Na przykład, jeśli chcesz, aby utuczona wersja zestawu Besicovitcha miała powierzchnię 1970/1 cala kwadratowego, każda igła musi mieć grubość około 10 cala: e^-10 dokładnie o cal. Ale jeśli chciałbyś, aby całkowita powierzchnia wynosiła 1/100 cala kwadratowego — 10 razy mniejsza — igła musiałaby być e^-100 grubości cala. (Czterdzieści trzy zera następują po przecinku, zanim przejdziesz do pozostałych cyfr).

„Jeśli powiesz mi, jak mały ma być obszar, muszę zażądać igły, która jest po prostu niewiarygodnie cienka” – powiedział Karola Feffermana Uniwersytetu Princeton.

Matematycy mierzą „rozmiar” zbioru Kakeya za pomocą wielkości zwanej wymiarem Minkowskiego, który jest powiązany ze zwykłym wymiarem (zdefiniowanym jako liczba niezależnych kierunków potrzebnych do opisania przestrzeni), ale nie do końca tożsamy.

Oto jeden ze sposobów myślenia o wymiarze Minkowskiego: weź swój zestaw i przykryj go małymi kulkami, z których każda ma średnicę jednej milionowej preferowanej jednostki. Jeśli twój zestaw to odcinek linii o długości 1, będziesz potrzebować co najmniej 1 miliona piłek, aby go pokryć. Jeśli twój zestaw to kwadrat o polu 1, będziesz potrzebował dużo, dużo więcej: milion do kwadratu lub bilion. W przypadku kuli o objętości 1 jest to około 1 miliona sześciennych (kwintylion) i tak dalej. Wymiar Minkowskiego jest wartością tego wykładnika. Mierzy tempo, w jakim liczba piłek potrzebnych do pokrycia zestawu rośnie wraz ze zmniejszaniem się średnicy każdej piłki. Segment linii ma wymiar 1, kwadrat ma wymiar 2, a sześcian ma wymiar 3.

Te wymiary są znajome. Ale korzystając z definicji Minkowskiego, możliwe staje się skonstruowanie zbioru, który ma wymiar, powiedzmy, 2.7. Choć taki zestaw nie wypełnia przestrzeni trójwymiarowej, jest w pewnym sensie „większy” niż dwuwymiarowa powierzchnia.

Pokrywając zestaw kulkami o danej średnicy, przybliżasz objętość zestawu odtłuszczonego. Im wolniej objętość zestawu zmniejsza się wraz z rozmiarem igły, tym więcej kulek potrzebujesz, aby go pokryć. Możesz zatem przepisać wynik Daviesa — który stwierdza, że ​​pole zbioru Kakeya na płaszczyźnie maleje powoli — aby pokazać, że zbiór musi mieć wymiar Minkowskiego równy 2. Hipoteza Kakeyi uogólnia to twierdzenie na wyższe wymiary: zbiór Kakeya musi zawsze ma ten sam wymiar co przestrzeń, którą zamieszkuje.

To proste stwierdzenie było zaskakująco trudne do udowodnienia.

Wieża domysłów

Dopóki nie zrobił tego Fefferman wstrząsające odkrycie w 1971 roku przypuszczenie było postrzegane jako ciekawostka.

W tym czasie zajmował się zupełnie innym problemem. Chciał zrozumieć transformatę Fouriera, potężne narzędzie, które pozwala matematykom badać funkcje, zapisując je jako sumy fal sinusoidalnych. Pomyśl o nucie muzycznej, która składa się z wielu nakładających się częstotliwości. (Dlatego środkowe C na fortepianie brzmi inaczej niż środkowe C na skrzypcach). Transformata Fouriera pozwala matematykom obliczyć składowe częstotliwości określonej nuty. Ta sama zasada działa w przypadku dźwięków tak skomplikowanych jak ludzka mowa.

Matematycy chcą również wiedzieć, czy mogą odbudować pierwotną funkcję, jeśli otrzymają tylko niektóre z jej nieskończenie wielu składowych częstotliwości. Dobrze rozumieją, jak to zrobić w jednym wymiarze. Ale w wyższych wymiarach mogą dokonywać różnych wyborów, których częstotliwości używać, a które ignorować. Fefferman udowodnił, ku zaskoczeniu swoich kolegów, że poleganie na szczególnie dobrze znanym sposobie wybierania częstotliwości może się nie udać odbudować swojej funkcji.

Jego dowód polegał na skonstruowaniu funkcji poprzez modyfikację zbioru Kakeya Besicovitcha. To później zainspirowało matematyków do opracowania hierarchii przypuszczeń dotyczących wielowymiarowego zachowania transformaty Fouriera. Dziś hierarchia obejmuje nawet przypuszczenia dotyczące zachowania ważnych równań różniczkowych cząstkowych w fizyce, takich jak równanie Schrödingera. Każde przypuszczenie w hierarchii automatycznie implikuje przypuszczenie znajdujące się poniżej.

Hipoteza Kakeyi leży u samej podstawy tej wieży. Jeśli jest fałszywe, to zdania wyższe w hierarchii również. Z drugiej strony udowodnienie, że to prawda, nie oznaczałoby natychmiast prawdziwości przypuszczeń znajdujących się nad nim, ale mogłoby dostarczyć narzędzi i spostrzeżeń do ich zaatakowania.

„Zadziwiające w hipotezie Kakeyi jest to, że nie jest to tylko zabawny problem; to prawdziwe teoretyczne wąskie gardło” — powiedział Hickman. „Nie rozumiemy wielu z tych zjawisk w równaniach różniczkowych cząstkowych i analizie Fouriera, ponieważ nie rozumiemy tych zbiorów Kakeyi”.

Wylęganie planu

Dowód Feffermana — wraz z później odkrytymi powiązaniami z teorią liczb, kombinatoryką i innymi dziedzinami — ożywił zainteresowanie problemem Kakeyi wśród czołowych matematyków.

W 1995 roku Thomas Wolff udowodnił, że wymiar Minkowskiego zbioru Kakeya w przestrzeni 3D musi wynosić co najmniej 2.5. Ta dolna granica okazała się trudna do podniesienia. Następnie, w 1999 roku, matematycy Nets Katz, Izabela Łaba i Terence tao udało się go pokonać. Ich nowa granica: 2.500000001. Pomimo niewielkiej poprawy udało się pokonać ogromną barierę teoretyczną. Ich papier był opublikowane w Roczniki matematyki, najbardziej prestiżowe czasopismo w tej dziedzinie.

Katz i Tao mieli później nadzieję, że zastosują niektóre pomysły z tej pracy, aby zaatakować hipotezę 3D Kakeyi w inny sposób. Postawili hipotezę, że każdy kontrprzykład musi mieć trzy szczególne właściwości, a współistnienie tych właściwości musi prowadzić do sprzeczności. Gdyby udało im się to udowodnić, oznaczałoby to, że hipoteza Kakeyi była prawdziwa w trzech wymiarach.

Nie mogli przejść całej drogi, ale poczynili pewne postępy. W szczególności wykazali (wraz z innymi matematykami), że każdy kontrprzykład musi mieć dwie z trzech właściwości. Musi być „płaski”, co oznacza, że ​​ilekroć odcinki linii przecinają się w punkcie, odcinki te również leżą prawie w tej samej płaszczyźnie. Musi być również „ziarnisty”, co wymaga, aby płaszczyzny pobliskich punktów przecięcia były podobnie zorientowane.

Pozostała trzecia nieruchomość. W zbiorze „lepkim” segmenty linii, które są skierowane prawie w tym samym kierunku, również muszą znajdować się blisko siebie w przestrzeni. Katz i Tao nie mogli udowodnić, że wszystkie kontrprzykłady muszą być lepkie. Ale intuicyjnie, lepki zestaw wydaje się najlepszym sposobem na wymuszenie dużego nakładania się segmentów linii, dzięki czemu zestaw jest tak mały, jak to tylko możliwe — dokładnie to, czego potrzebujesz, aby stworzyć kontrprzykład. Gdyby ktoś mógł wykazać, że lepki zbiór Kakeyi ma wymiar Minkowskiego mniejszy niż 3, obaliłoby to trójwymiarową hipotezę Kakeyi. „Wygląda na to, że „lepki” byłby najbardziej niepokojącym przypadkiem” – powiedział Larry'ego Gutha z Massachusetts Institute of Technology.

To już nie jest zmartwienie.

Punkt zaczepienia

W 2014 roku — ponad dekadę po tym, jak Katz i Tao próbowali udowodnić hipotezę Kakeyi — Tao opublikował zarys swojego podejścia na swoim blogu, dając innym matematykom szansę samodzielnego wypróbowania.

W 2021, Hong Wanga, matematyk z New York University i Jozue Zahl z University of British Columbia postanowił kontynuować tam, gdzie przerwali Tao i Katz.

Zaczęli od założenia istnienia lepkiego kontrprzykładu o wymiarze Minkowskiego mniejszym niż 3. Z poprzedniej pracy wiedzieli, że taki kontrprzykład musi być planowy i ziarnisty. „Byliśmy więc w takim świecie, o jakim myśleli Terry Tao i Nets Katz” — powiedział Zahl. Teraz trzeba było pokazać, że właściwości planu, ziarnistości i lepkości współgrają ze sobą i prowadzą do sprzeczności, co oznaczałoby, że ten kontrprzykład w rzeczywistości nie mógłby istnieć.

Aby jednak uzyskać tę sprzeczność, Wang i Zahl zwrócili uwagę w kierunku, którego Katz i Tao nie przewidzieli — w kierunku obszaru znanego jako teoria projekcji.

Zaczęli od bardziej szczegółowej analizy struktury swojego lepkiego kontrprzykładu. Jeśli weźmiesz pod uwagę wyidealizowaną wersję zestawu, ma on nieskończoną liczbę odcinków linii skierowanych w każdym kierunku. Ale w tym zadaniu pamiętaj, że masz do czynienia z utuczonymi wersjami tych segmentów linii — wiązką igieł. Każda z tych igieł może zawierać wiele wyidealizowanych segmentów linii, co oznacza, że ​​można zakodować cały nieskończony zbiór przy użyciu skończonej liczby igieł. W zależności od tego, jak grube są igły, twój tuczony zestaw może wyglądać zupełnie inaczej.

Jeśli zestaw jest lepki, będzie wyglądał mniej więcej tak samo, bez względu na to, jak grube są igły.

Wang i Zahl wykorzystali tę właściwość, aby pokazać, że w miarę jak igły stają się cieńsze, zestaw staje się coraz bardziej planowy. Dzięki temu procesowi mogli „wydobyć jeszcze bardziej patologiczny obiekt” – powiedział Zahl – coś, co wydawało się mieć niemożliwe cechy.

To właśnie pokazali później. Udowodnili, że ten patologiczny obiekt musiał wyglądać na jeden z dwóch sposobów, z których oba prowadziły do ​​sprzeczności. Albo byłbyś w stanie rzutować go w przestrzeń 2D w sposób, który zmniejszyłby go w wielu kierunkach – coś, co właśnie Wang i jej współpracownicy okazał się niemożliwy. Lub, w drugim przypadku, igły w zestawie byłyby zorganizowane zgodnie z bardzo określonym rodzajem funkcji, co niedawno udowodnił Zahl i jego współpracownicy nie mógł istnieć, ponieważ prowadziłoby to do innych rodzajów projekcji, które nie miałyby sensu.

Wang i Zahl mieli teraz swoją sprzeczność — co oznacza, że ​​nie ma lepkich kontrprzykładów dla hipotezy Kakeyi. (Wykazali to nie tylko dla wymiaru Minkowskiego, ale także dla powiązanej wielkości zwanej wymiarem Hausdorffa.) „Wynik wyklucza całą tę klasę kontrprzykładów” – powiedział Zahl – dokładny typ zbioru, który matematycy uważali za najbardziej prawdopodobny do obalenia przypuszczenie.

Nowa praca „jest silnym wsparciem dla prawdziwości hipotezy Kakeyi” – powiedział Pablo Szmerkin z Uniwersytetu Kolumbii Brytyjskiej. Chociaż dotyczy to tylko przypadku trójwymiarowego, niektóre z jego technik mogą być przydatne w wyższych wymiarach. Po latach spędzonych na dokonywaniu postępów w hipotezie w innych systemach liczbowych, matematycy są podekscytowani powrotem do pierwotnej dziedziny problemu liczb rzeczywistych.

„To niezwykłe, że całkowicie rozwiązali tę sprawę” — powiedział Zhang. „W prawdziwym otoczeniu jest to niezwykle rzadkie”. A jeśli ktoś może udowodnić, że kontrprzykład musi być lepki, nowy wynik implikuje pełne przypuszczenie w trzech wymiarach. Zbudowana nad nią hierarchia przypuszczeń pozostanie wówczas bezpieczna, a jej fundament stabilny.

„W jakiś sposób te dwa różne problemy w teorii projekcji, które na pierwszy rzut oka nie mają ze sobą wiele wspólnego, całkiem dobrze pasują do siebie, dając dokładnie to, czego potrzebowali Kakeya” — powiedział Zahl.