Wprowadzenie
W grudniu 1977 r. rewolucjonista papier po cichu pojawił się w Journal d'Analyse Mathématique, specjalistyczne czasopismo matematyczne. Autor, Hillel Furstenberg, nie stwierdził żadnych ekscytujących — ani nawet nowych — wyników. Po prostu zaproponował dowód twierdzenia, które inny matematyk, Endre Szemerédi, udowodnił już dwa lata wcześniej.
Mimo to artykuł Furstenberga pozostawił trwały ślad w matematyce. Jego nowy argument zawierał rdzeń wglądu o dalekosiężnych konsekwencjach: można przeformułować problemy, takie jak ten, który rozwiązał Szemerédi, dotyczący zbiorów liczb całkowitych, na pytania dotyczące punktów poruszających się w przestrzeni.
Od tamtej pory techniki Furstenberga były używane wielokrotnie i stopniowo były dostosowywane i ulepszane. Na początku tego roku zostały doładowane, pojawiając się w dwóch nowych artykułach, które odkrywają nieskończone wzorce w zbiorach liczb całkowitych - postępując skokowo poza 47-letnie twierdzenie Szemerédiego.
Dowód Furstenberga
Szemerédi badał zbiory zawierające „dodatni ułamek” wszystkich liczb całkowitych. Weźmy na przykład zbiór zawierający wszystkie wielokrotności liczby 5. Kiedy patrzysz na coraz większe obszary osi liczbowej, wielokrotności liczby 5 nadal pojawiają się regularnie. Matematycy twierdzą, że zbiór zawierający wszystkie wielokrotności liczby 5 zawiera ułamek jednej piątej wszystkich liczb całkowitych.
W przeciwieństwie do tego, chociaż istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych, stają się one tak rzadkie, gdy liczby stają się większe, że zbiór wszystkich liczb pierwszych nie zawiera dodatniego ułamka liczb całkowitych lub, innymi słowy, nie ma dodatniej gęstości . Zamiast tego mówi się, że liczby pierwsze mają gęstość zero.
Szemerédi szukał przykładów tak zwanych ciągów arytmetycznych, czyli łańcuchów równomiernie rozmieszczonych liczb. Na przykład wyobraź sobie, że masz nieskończoną sekwencję liczb, takich jak doskonałe kwadraty: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Idealne kwadraty mają ciąg arytmetyczny o długości trzech, ukrywający się w pierwszych kilku wyrazach: {1, 25, 49}. Każda liczba w tej progresji jest o 24 większa niż jej poprzedniczka.
Szemerédi udowodnił, że każdy zbiór składający się z dodatniego ułamka liczb całkowitych musi zawierać dowolnie długie ciągi arytmetyczne. Rezultatem był przełom w poddziedzinie matematyki zwanej kombinatoryką addytywną.
Dowód Szémerediego, choć genialny, był prawie niemożliwy do naśladowania. „Myślę, że do dziś są tylko trzy lub cztery osoby, które naprawdę rozumieją dowód [Szemerédiego]”, powiedział Terence tao, matematyk z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles.
Dlatego bardziej zrozumiały argument Furstenberga był mile widziany. Aby to napisać, Furstenberg oparł się na metodach z własnej dziedziny matematyki, systemów dynamicznych. System dynamiczny to każdy proces, który zmienia się w czasie. Może to być coś tak prostego, jak kula bilardowa tocząca się po stole bilardowym. Wszystko, czego potrzebujesz, to sposób matematycznego przedstawienia twojego systemu i reguła jego ewolucji. Na przykład piłkę można opisać za pomocą jej położenia i prędkości. System ten rozwija się w określony sposób w czasie, zgodnie z prawami fizyki klasycznej.
Furstenberg był najbardziej zainteresowany czymś, co nazywa się teorią ergodyczną. Zamiast patrzeć na stan systemu w dowolnym momencie, teoretycy ergodyczni badają statystyki w długich okresach. W przypadku kuli bilardowej może to oznaczać ustalenie, czy kulka ląduje w niektórych miejscach na stole częściej niż w innych ze względu na sposób, w jaki odbija się od ścian.
Kluczową ideą Furstenberga było postrzeganie zbiorów liczb całkowitych nie jako obiektów stałych, ale jako chwilowych stanów w systemie dynamicznym. Może się to wydawać niewielką zmianą perspektywy, ale pozwoliło mu użyć narzędzi z teorii ergodycznej do udowodnienia wyników w kombinatoryce. W tamtym czasie Furstenberg nie miał pojęcia, że jego pomysły zaczną żyć własnym życiem. „Po prostu lubiłem mieć ten inny dowód” – powiedział. Ale inni widzieli obietnicę związku między teorią ergodyczną a kombinatoryką. „Całe pokolenie teoretyków ergodycznych zaczęło w pewnym sensie rzucać się w stronę kombinatoryki i rozwiązywać wszystkie te problemy i odwrotnie” — powiedział Tao.
W ciągu ostatnich kilku lat czterech matematyków — Bryna Kra, Joela Moreiry, Floriana Richtera i Donalda Robertsona — opracowali techniki Furstenberga, aby znaleźć nie tylko dowolnie długie postępy w dowolnym zbiorze zawierającym dodatnią część liczb całkowitych, ale także nieskończone wersje struktur zwanych zbiorami sum.
„Sumsets są znacznie mniej szczegółowe niż progresje; są znacznie mniej wyjątkowe” — powiedział Robertson. „Ale jest to bardziej interesujące i delikatniejsze, ponieważ sumy to nieskończone konfiguracje, podczas gdy progresje są skończone”.
Jeśli Furstenberg zbudował pomost między teorią ergodyczną a kombinatoryką, Kra, Moreira, Richter i Robertson powiększyli go do „sześciopasmowej autostrady”, powiedział Tao.
B + C przypuszczenie
Twierdzenie Szemerédiego zostało po raz pierwszy zaproponowane, ale nie udowodnione, w 1936 roku przez dwóch matematyków. Jednym z nich był węgierski matematyk słynący z domysłów: Paul Erdős. W 2016 roku, kiedy Moreira pracował nad swoją rozprawą doktorską na Ohio State University, natknął się na kolejne przypuszczenie, które postawił Erdős o strukturach zwanych sumami.
Sumset składa się z dwóch innych zestawów; zadzwoń do tych B i C. Sumset, zapisany jako B + C, jest budowany przez dodanie każdej możliwej pary liczb, biorąc jedną liczbę z B a drugi z C. Erdős przypuszczał, że dla dowolnego zestawu A który zawiera dodatni ułamek liczb całkowitych, istnieją inne zbiory nieskończone B i C którego suma jest zawarta w A. W artykule, który czytał Moreira, autorzy udowodnili hipotezę Erdősa, gdy A zawiera dużą część liczb całkowitych. Ale dla mniejszych zestawów gęstości dodatnich wynik był nadal nieznany. „Jak tylko przeczytałem oświadczenie, pomyślałem, że to naprawdę dobre pytanie, ponieważ jest takie proste” – powiedział Moreira. — Albo jest fałszywa, albo nie powinna być trudna. Co oczywiście było błędne. Nie było to ani fałszywe, ani łatwe”.
Moreira zaangażował w projekt Richtera i Robertsona, jego przyjaciół ze studiów. Robertson, obecnie na Uniwersytecie w Manchesterze, ukończył studia rok przed Moreirą, a Richter był kilka lat w tyle. Wszyscy trzej byli dobrze zorientowani w stosowaniu technik teorii ergodycznej do kombinatoryki. Ale ten problem stwarzał nowe wyzwania.
„Praktycznie nie było precedensu znajdowania nieskończonych sum w zbiorze o dodatniej gęstości” – powiedział Daniela Glasscocka, matematyk z University of Massachusetts, Lowell, który uczęszczał do szkoły podyplomowej z Moreirą, Richterem i Robertsonem.
Być może z tego powodu problem sumsetu okazał się trudny do sforsowania. „Musimy trochę przeforsować teorię ergodyczną”, powiedział Moreira. Ich wysiłki w końcu się opłaciły, i to w czym Marcina Saboka z McGill University nazwali „zdumiewającym osiągnięciem”, udało im się udowodnić hipotezę Erdősa w 2018 roku. Ich dowód został później opublikowane w Roczniki matematyki, jednego z najbardziej prestiżowych czasopism matematycznych.
Nowe dowody
Ten artykuł pozostawił otwarte dwa duże pytania. Jednym z nich była kolejna hipoteza sumsetowa Erdősa, zwana B + B + t przypuszczenie.
Moreira, Richter i Robertson również wymyślili własne pytanie: jeśli masz zestaw o dodatniej gęstości A, czy możesz znaleźć trzy nieskończone zbiory — B, C i teraz D - gdzie B + C + D jest w środku A? A co z czterema nieskończonymi zestawami? Pięć?
Po postawieniu wersji wielozbiorowej matematycy utknęli na jakiś czas. Wyglądało na to, że techniki, których użyli do przypuszczenia dwóch zestawów, osiągnęły swój limit.
„Nie mogliśmy znaleźć dynamicznego przeformułowania tego problemu” – powiedział Richter. Ich podejście, powiedział, „po prostu zawiodło na samym początku”.
Minęły dwa lata, zanim zobaczyli prawdziwy postęp. W tym czasie Richter był adiunktem na Northwestern University, gdzie Bryna Kra był profesorem. W 2020 roku, gdy pandemia Covid-19 uniemożliwiła osobiste spotkanie, Kra i Richter rozmawiali o problemie sumsetu na Zoomie.
„W końcu wymyśliliśmy kilka innych odmian, które zrozumieliśmy” – powiedział Kra.
Kra i Richter zaczęli co tydzień rozmawiać z Moreirą i Robertsonem, ponownie analizując dowód z 2018 roku.
„Musieliśmy przemyśleć każdy krok dowodu, zaczynając od tego przełożenia na system dynamiczny” – powiedział Kra.
Pomocny w ich sprawie był rok 2019 papier przez francuskiego matematyka o imieniu Bernarda Hosta. Gospodarz ponownie udowodnił wynik Moreiry, Richtera i Robertsona i wymyślił, jak sprawić, by teoria ergodyczna śpiewała. Zdaniem Moreiry Host „widział, jak napisać nasz dowód w sposób, w jaki powinien był zostać napisany”.
Mając w ręku ulepszenia Hosta, Kra, Moreira, Richter i Robertson kontynuowali ulepszanie swojego dowodu, starając się wydobyć możliwie najprostszy i najbardziej elegancki argument. „Wydaje mi się, że analizowaliśmy to w kółko, aby naprawdę zobaczyć: w czym tkwi sedno problemu?” powiedział Richter. „Ostatecznie mieliśmy dowód, który w bardzo niewielkim stopniu przypominał pierwotny dowód”.
Dowód, który uzyskali, podobnie jak dowód Furstenberga, postrzegał nieskończone zbiory liczb całkowitych jako znaczniki czasu w systemie dynamicznym. Ten dynamiczny system lepiej jednak wyobrazić sobie jako punkty skaczące w przestrzeni.
Oto przybliżony obraz tego, jak to działa: Zacznij od stania w rogu zamkniętego pokoju, nazwij go Kątem 0. Masz listę czasów A. Ten zestaw, A, jest zbiorem liczb całkowitych o dodatniej gęstości.
Jesteś również wyposażony w zasadę poruszania się po pokoju. W każdej sekundzie przenosisz się w nowe miejsce, w oparciu o miejsce, w którym właśnie stałeś. Dokładna reguła, której będziesz przestrzegać, zostanie zaprojektowana tak, aby pasowała do Twojego zestawu czasów A — zawsze, gdy jest ustawiony znacznik czasu A, znajdziesz się w jednym specjalnym obszarze pokoju.
Na przykład powiedz A składa się ze wszystkich liczb podzielnych przez 4, a co sekundę przesuwasz się zgodnie z ruchem wskazówek zegara do następnego rogu pokoju. Po jednej sekundzie przenosisz się do narożnika 1; po dwóch sekundach Róg 2 i tak dalej. Następnie co cztery kroki — czyli za każdym razem, gdy to nastąpi A - wrócisz do pierwotnego narożnika 0.
Ten proces trwa wiecznie. Podróżując od rogu do rogu po okręgu zgodnym z ruchem wskazówek zegara, odwiedzisz każdy róg nieskończenie wiele razy. Punkt, do którego zbliżasz się nieskończoną liczbę razy, nazywa się punktem akumulacji.
Kra, Moreira, Richter i Robertson udowodnili, że można sprytnie wybrać jedno z tych miejsc, aby znaleźć swój sumset B + C. W przykładzie z rogu weź Róg 1. Dojeżdżasz tam o godzinie 1, 5, 9 i 13 — czasy, które wyglądają jak 4n + 1 dla pewnej liczby całkowitej n. Pozwolić B być zestawem tamtych czasów.
Teraz wyobraź sobie, że zamiast zaczynać od rogu 0, zaczynasz od rogu 1. Oznacza to, że w chwilach podzielnych przez 4 znajdziesz się z powrotem w rogu 1, a trzy kroki później dojdziesz do rogu 0: czasami 3, 7, 11 lub dowolna liczba w postaci 4n + 3. Wywołaj zbiór tych czasów C.
Teraz ponownie rozpocznij proces od narożnika 0. Tym razem spójrz, co się stanie, jeśli weźmiesz liczbę z B i numer od C — powiedzmy, 13 od B i 3 z C - i dodaj je.
Zajęłoby to 13 + 3 = 16 sekund. Ponieważ 16 jest wielokrotnością 4, jest w środku A. Ale możesz też przewidzieć, że 13 + 3 będzie podzielne przez 4, a więc w A, bez faktycznego dodania 13 i 3 razem. Po prostu obserwuj, co dzieje się w systemie dynamicznym, gdy czekasz 13 + 3 sekundy: Najpierw mija 13 sekund. W tym momencie znajdujesz się w narożniku 1. Następnie, zaczynając od narożnika 1, robisz jeszcze trzy kroki, co prowadzi z powrotem do narożnika 0. Ponieważ zacząłeś od narożnika 0 i skończyłeś tam, musiałeś czekać na wielokrotność czterech sekund, co oznacza, że całkowity czas był liczbą w oryginalnym zestawie A.
Aby ten argument zadziałał, grupa musiała poradzić sobie z wieloma drobiazgowymi matematycznymi szczegółami. Na przykład w większości przypadków masz nieskończoną liczbę miejsc, do których możesz się przenieść, a nie tylko cztery rogi. Oznacza to, że tak naprawdę nie wrócisz do miejsca nieskończenie wiele razy; zbliżysz się do niego nieskończenie wiele razy. To wprowadziło nowe komplikacje matematyczne do argumentu. Ale kiedy zorientowali się, jak będzie przebiegał ten proces, wiedzieli, że będą w stanie odpowiedzieć na trudniejsze pytania, których szukali.
„Wymyśliliśmy ten dowód tutaj i od razu było jasne, jak go uogólnić” – powiedział Richter, który jest obecnie w Szwajcarskim Federalnym Instytucie Technologii w Lozannie. Na przykład, aby udowodnić wielozbiorową wersję hipotezy, naukowcy mogli po prostu dodać punkt akumulacji do ścieżki. Ogólny argument był taki sam, tylko z nową warstwą komplikacji.
Wybicie wszystkich szczegółów technicznych nie było łatwe. Po tym, jak zdecydowali się na dynamiczną konfigurację, Kra, Moreira, Richter i Robertson potrzebowali ponad roku, aby opracować dowody trudniejszych przypuszczeń. W czerwcu tego roku grupa ostatecznie opublikowała dwa artykuły. Jeden udowodnił wielozbiorowa wersja hipotezy sumseta. Inny udowodnił B + B + t wersja przypuszczenia, która wymaga drugiego zestawu C być równy pierwszemu zestawowi B, przesunięty o pewną stałą, t.
Następne kroki
Chociaż czerwcowe artykuły rozwiązują dwa pytania dotyczące sumsetów, Kra, Moreira, Richter i Robertson przewidują długą przyszłość swojej dziedziny badań. „Jak w przypadku wszystkiego, o co Erdős prosił, po prostu chce, abyśmy postawili stopę w drzwiach” – powiedział Moreira, obecnie na Uniwersytecie w Warwick. „Ale teraz musimy otworzyć drzwi i zbadać, co jeszcze tam jest”.
W swoich nowych pracach czterej matematycy przedstawiają kilka możliwych kierunków eksploracji w formie pytań, na które jeszcze nie udzielono odpowiedzi. Jeden opiera się na fakcie, że chociaż dowolny zestaw o dodatniej gęstości A zawiera nieskończoną sumę B + C, niekoniecznie zawiera te dwa składniki B i C. Kiedy możesz na to nalegać B i C musi być również zawarty w środku A? Autorzy rzucają również wyzwanie matematykom, aby odkryli, czy mogą znaleźć nieskończoną sekwencję nieskończonych zbiorów, których sumy są zawarte w A.
Na inne otwarte pytanie w tej dziedzinie odpowiedział już Matt Bowen, doktorant Sabok's na Uniwersytecie McGill. W październiku on napisali dowód na to, że jeśli przypiszesz każdej liczbie całkowitej jeden z kilku kolorów, możesz znaleźć sumę B + C i produkt zestawów BC tylko w jednym z kolorów.
Wciąż nie wiadomo, dokąd dokładnie zaprowadzi nowe dzieło Kra, Moreiry, Richtera i Robertsona. Ale przynajmniej Tao jest optymistą co do nowych technik opracowanych przez grupę. To, co osiągają dzięki swoim metodom, jest „właściwie całkiem niesamowite” – powiedział. „Są inne pytania dotyczące nieskończonych zbiorów, które wcześniej uważano za beznadziejne, teraz są w zasięgu ręki”.
