Krótka historia trudnych matematycznych płytek | Magazyn Quanta

Codziennie widzimy przykłady powtarzających się motywów. Ta symetria i regularność może wydawać się banalna i niemal niewidoczna, jak w przypadku cegieł na ścianach budynków lub sześciokątnego wzoru w kształcie plastra miodu. Lub jeśli będziemy mieli szczęście spotkać coś w rodzaju eleganckich płytek w hiszpańskiej Alhambrze lub kreatywnych rysunków MC Eschera, wzory mogą nas zainspirować i zadziwić.

Przez stulecia matematycy bawili się tymi powtarzającymi się kształtami, wydobywając z nich fascynujące spostrzeżenia i nowatorskie możliwości. Piękno matematyki konkuruje z pięknem samych projektów.

Najprostsze płytki składają się z identycznych wielokątów o bokach równej długości i kątach jednakowej miary, połączonych całą krawędzią do pełnej krawędzi. Ale chociaż tych „regularnych” wielokątów jest nieskończenie wiele – po jednym na każdą liczbę boków – istnieją tylko trzy regularne kafelki utworzone z kształtów o trzech, czterech lub sześciu bokach – to znaczy trójkątów, kwadratów i sześciokątów.

Inne kształty po prostu nie są do tego zbudowane. Regularny pięciokąt (z pięcioma bokami) ma kąt wewnętrzny równy 108 stopni. Nie dzieli się to równomiernie na 360 stopni, więc każda próba złożenia regularnych pięciokątów w płytkę z pewnością spowoduje powstanie luk, których nie będzie można wypełnić; mówimy, że pięciokąt foremny nie może pokrywać płaszczyzny. Natomiast wielokąty foremne mające więcej niż sześć boków mają kąty wewnętrzne zbyt duże, aby trzy mogły się spotkać w jednym punkcie, więc one też nie mogą.

Inne podejście do układania wielokątów foremnych przedstawił Johannes Kepler, dziś najbardziej znany ze swoich odkryć dotyczących ruchu planet. W 1619 roku pokazał, że nawet jeśli użyjesz więcej niż jednego wielokąta foremnego, możesz utworzyć tylko osiem nowych wzorów płytek, w których konfiguracja wokół każdego wierzchołka jest identyczna. (Jeśli pozwolono nam odejść od tego ograniczenia, istnieje więcej możliwości.)

Kiedy dopuścimy nieregularne wielokąty, sytuacja staje się bardziej interesująca. Co zaskakujące, każdy trójkąt może pokryć płaszczyznę, a co jeszcze bardziej zaskakujące, może to zrobić każdy czworokąt.

Z drugiej strony nie da się pokryć płaszczyzny żadnym wypukłym wielokątem mającym więcej niż sześć boków; suma kątów wewnętrznych jest po prostu za duża. Zatem pozostałymi możliwościami pozostają tylko pięciokąty i sześciokąty.

W swojej pracy doktorskiej z 1918 roku Karl Reinhardt udowodnił, że można pokryć płaszczyznę nieskończenie wieloma wypukłymi sześciokątami – tymi bez wcięć – które podzielił na trzy rodziny.

Wypukłe pięciokąty pokrywające płaszczyznę były trudniejsze do sklasyfikowania. Reinhardt odkrył pięć rodzin takich pięciokątów; 50 lat później Richard Kershner odnalazł trzy kolejne. Następnie w 1975 roku Martin Gardner napisał o problemie Scientific American, zwracając na to uwagę zarówno matematyków zawodowych, jak i amatorów. Jeden z takich amatorów, programista komputerowy Richard James III, wysłał Gardnerowi przykład dziewiątej rodziny z pytaniem: „Czy zgadzasz się, że Kershner przeoczył tę rodzinę?” On miał.

Marjorie Rice, gospodyni domowa, również przeczytała felieton Gardnera i zaczęła zastanawiać się nad problemem przy swoim kuchennym stole. Majstrowała przez ponad dwa lata i odkryła jeszcze cztery rodziny układania pięciokątów.

Naukowcy odkryli 14. rodzinę pięciokątów wyłożonych płytkami w 1985 r., a trzy dekady później inny zespół za pomocą wyszukiwania komputerowego odnalazł 15. rodzinę. Nikt nie wiedział, czy to odkrycie uzupełnia listę, czy też ukrywa się więcej rodzin. Odpowiedź na to pytanie uzyskano w 2017 roku, kiedy Michaël Rao okazały że znaleziono wszystkie wypukłe pięciokąty, a wraz z nimi wszystkie wypukłe wielokąty.

Wszystkie te kafelki się powtarzają. Oznacza to, że mają okresową symetrię, co zasadniczo oznacza, że ​​gdybyśmy prześledzili kafelki na kartce papieru i przesuwali ten papier w określonych kierunkach, ponownie zrównałby się on dokładnie z kafelkami.

Możliwe są również inne rodzaje symetrii. Na przykład symetria lustrzana oznacza, że ​​nasze wzory ułożą się w jednej linii, jeśli odwrócimy kalkę do góry nogami wokół ustalonej linii. Symetria obrotowa oznacza, że ​​ułożą się w jednej linii, jeśli obrócimy nasz papier. Możemy łączyć działania, aby uzyskać symetrię odbicia poślizgu, co przypomina przesuwanie papieru, a następnie jego odwracanie.

W 1891 roku rosyjski krystalograf Jewgraf Fiodorow udowodnił, że istnieje tylko 17 sposobów połączenia tych symetrii. Ponieważ to ograniczenie dotyczy wszystkich okresowych dekoracji samolotu, powszechnie określa się je mianem 17 „grup tapet”.

Kiedy już zaznajomimy się z tą klasyfikacją wzorów symetrii, prawie niemożliwe jest zobaczenie układu okresowego, niezależnie od jego zawiłości, i nie postrzeganie go jako łamigłówki do rozszyfrowania: Gdzie i jak dokładnie się powtarza? Gdzie te symetrie?

Oczywiście nie każdy projekt płytek ma charakter okresowy. Możliwe i często łatwe jest ułożenie płytek na płaszczyźnie tak, aby powstały projekt nigdy się nie powtarzał. W naszym przykładzie z sześciokątami, kwadratami i trójkątami można to zrobić, po prostu obracając pojedynczy sześciokąt i otaczające go wielokąty o 30 stopni. Powstałe kafelki nie mają już symetrii translacyjnych.

W 1961 roku logik Hao Wang przypuszczał, że jeśli zestaw kształtów układa płaszczyznę w kafelki, to kształty muszą być w stanie okresowo układać płaszczyznę w kafelki. Zaledwie kilka lat później jego student Robert Berger udowodnił mu, że się mylił, odkrywając ogromny zestaw ponad 20,000 XNUMX płytek, które pokrywają samolot, ale tylko nieokresowo. Takie zestawy płytek nazywane są aperiodycznymi.

Chociaż Bergerowi i innym udało się znacznie zmniejszyć rozmiar tych aperiodycznych zbiorów, w połowie lat 1970. Roger Penrose przykuł uwagę świata, odkrywając bardzo małe zestawy swoich własnych aperiodycznych płytek. Najmniejsze zestawy wymagają tylko dwóch płytek.

Te kształty i wzory zafascynowały matematyków, naukowców i ogół społeczeństwa. Ale postawili kolejne oczywiste pytanie: czy istnieje pojedynczy kafelek aperiodyczny? Ostatecznym zadaniem teorii płytek było teraz znalezienie takiej płytki „einsteina” – nazwanej nie na cześć fizyka, ale od niemieckiego wyrażenia „jeden kamień”.

W 2010 roku Joshua Socolar i Joan Taylor byli bardzo blisko odkrycia Einsteina. Problem z ich podejściem polegał na tym trzeba było odłączyć ich płytkę; przypominałoby to ułożenie płaszczyzny kształtami takimi jak stan Hawaje, pojedynczą jednostką składającą się z oddzielnych regionów, a nie połączonymi kształtami jak Kalifornia. Matematycy coraz częściej podejrzewali, że gdyby Einstein istniał, musiałby to być coś bardzo skomplikowanego geometrycznie.

W marcu 2023 roku amator ponownie zaszokował świat. Emerytowany technik drukarz i hobbysta matematyczny David Smith odkrył nie tylko jeden aperiodyczny monotyl, ale nieskończona rodzina tych nieuchwytnych Einsteinów. Zapętlił Craiga Kaplana, Chaima Goodmana-Straussa i Josepha Samuela Myersa – ekspertów w dziedzinie informatyki, matematyki i teorii płytek – i wspólnie zaprezentowali geometrycznie prostego einsteina zwanego płytką kapelusza (który według Internetu wyglądał jak koszulka ).

Reakcja była szybka i pozytywna. Odkrywcy przemawiali na konferencjach i wygłaszali przemówienia w Internecie. Artyści matematyczni skorzystali z okazji, aby znaleźć kreatywne sposoby na stworzenie projektów przypominających Eschera w oparciu o te nowe, interesujące geometrycznie płytki. Płytka z kapeluszem pojawiła się nawet w monologu jednego z nocnych programów telewizyjnych.

Wciąż jednak było co poprawiać. Aby ułożyć samolot z kapeluszem, musisz odwrócić około jedną siódmą płytek do góry nogami. Właściciel domu, który chce wyłożyć swoją łazienkę płytką kapeluszową, musiałby kupić dwa rodzaje płytek: standardową płytkę i jej lustrzane odbicie. Czy to naprawdę było konieczne?

Jeszcze zanim opadło podekscytowanie związane z płytką kapelusza, zespół ogłosił kolejne ogłoszenie. Smith znalazł w tej nieskończonej rodzinie aperiodycznych monotyli taki, który nazwał „widmem”, który mógł ułożyć płaszczyznę bez konieczności odbicia kopii. Wreszcie pojawił się prawdziwy Einstein.

Obecnie jesteśmy w trakcie odrodzenia się matematycznych poszukiwań płytek i teselacji. Opierał się na ważnym wkładzie amatorów, inspirował kreatywność artystów matematycznych i wykorzystywał moc komputerów, aby przesuwać granice wiedzy do przodu. Dzięki temu uzyskaliśmy nowy wgląd w naturę symetrii, geometrii i projektowania.

korekta: 30 października 2023 r.
W oryginalnej wersji tego artykułu stwierdzono, że nie da się pokryć płaszczyzny żadnym wielokątem mającym więcej niż sześć boków. Jest to prawdą tylko wtedy, gdy wielokąt jest wypukły.

Quanta przeprowadza serię ankiet, aby lepiej służyć naszym odbiorcom. Weź nasze ankieta dla czytelników matematyki i zostaniesz wpisany, aby wygrać za darmo Quanta towar.