Dlaczego matematycy ponownie udowadniają to, co już wiedzą

Pierwszym dowodem, którego wielu ludzi uczy się na początku szkoły średniej, jest dowód starożytnego greckiego matematyka Euklidesa, że ​​istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Zajmuje tylko kilka wierszy i nie używa pojęć bardziej skomplikowanych niż liczby całkowite i mnożenie.

Jego dowód opiera się na fakcie, że gdyby istniała skończona liczba liczb pierwszych, pomnożenie ich wszystkich razem i dodanie 1 sugerowałoby istnienie innej liczby pierwszej. Ta sprzeczność implikuje, że liczby pierwsze muszą być nieskończone.

Matematycy mają niezwykle popularną rozrywkę: udowadnianie tego w kółko.

Po co to robić? Po pierwsze, jest zabawnie. Co ważniejsze, „Myślę, że granica między matematyką rekreacyjną a poważną jest bardzo cienka” — powiedział Williama Gasarcha, profesor informatyki na Uniwersytecie Maryland i autor m.in nowy dowód opublikowane w Internecie na początku tego roku.

Dowód Gasarcha jest tylko ostatnim z długiej serii nowatorskich dowodów. w 2018 r. Romeo Meštrović z Uniwersytetu Czarnogóry zebrał prawie 200 dowodów twierdzenia Euklidesa w kompleksowy przegląd historyczny. Rzeczywiście, cała dziedzina analitycznej teorii liczb, która wykorzystuje stale zmieniające się wielkości do badania liczb całkowitych, prawdopodobnie pochodzi w 1737 r., kiedy gigant matematyczny Leonhard Euler wykorzystał fakt, że szereg nieskończony 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … jest rozbieżny (co oznacza, że ​​nie sumuje się do liczby skończonej), aby ponownie udowodnić, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych.

Christiana Elsholtza, matematyk z Graz University of Technology w Austrii i autor kolejny niedawny dowód, powiedział, że zamiast dowodzić twardych wyników z wielu mniejszych wyników – co robią matematycy, kiedy systematycznie łączą lematy w twierdzenia – zrobił coś przeciwnego. „Używam ostatniego twierdzenia Fermata, które jest naprawdę nietrywialnym wynikiem. A potem dochodzę do bardzo prostego wyniku”. Powiedział, że takie działanie wstecz może ujawnić ukryte powiązania między różnymi obszarami matematyki.

„Istnieje mała konkurencja dla ludzi, którzy mają najbardziej absurdalnie trudny dowód” – powiedział Andrzej Granville, matematyk z Uniwersytetu w Montrealu i autor z dwóch inne dowody. „To musi być zabawne. Robienie czegoś technicznie okropnego nie jest celem. Jedynym sposobem, w jaki chcesz zrobić coś trudnego, jest to, że jest zabawne”.

Granville powiedział, że ta przyjacielska przewaga ma poważny sens. Naukowcy nie są po prostu karmieni pytaniami, które próbują rozwiązać. „Proces tworzenia w matematyce nie polega na tym, że po prostu ustawiasz zadanie dla maszyny, a maszyna je rozwiązuje. Chodzi o kogoś, kto bierze to, co zrobił w przeszłości i używa tego do stworzenia techniki i stworzenia sposobu na rozwijanie pomysłów”.

Jak to ujął Gasarch: „Wszystkie artykuły przechodzą od uroczego nowego dowodu na to, że liczby pierwsze są nieskończone w poważnej matematyce. Jednego dnia patrzysz tylko na liczby pierwsze, a następnego na gęstość kwadratów”.

Dowód Gasarcha rozpoczyna się od faktu, że jeśli pokolorujesz liczby całkowite skończoną liczbą kolorów, zawsze znajdzie się para liczb tego samego koloru, których suma jest również tym kolorem, który był udowodnione w 1916 roku autorstwa Issaia Schura. Gasarch użył twierdzenia Schura, aby pokazać, że gdyby istniała skończona liczba liczb pierwszych, to istniałby doskonały sześcian (liczba całkowita, na przykład 125, która jest równa jakiejś innej liczbie całkowitej pomnożonej przez siebie trzykrotnie), która jest sumą dwóch inne idealne kostki. Ale już w 1770 roku Euler udowodnił, że taki sześcian nie istnieje — tzw n = 3 przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata, które zakłada, że ​​nie ma rozwiązań całkowitoliczbowych aⁿ + bⁿ = cⁿ dla n większy niż 2. Opierając się na tej sprzeczności, Gasarch doszedł do wniosku, że musi istnieć nieskończona liczba liczb pierwszych.

Jeden z dowodów Granville'a z 2017 roku wykorzystywał inne twierdzenie Fermata. Granville polegał głównie na 1927 twierdzenie Bartela Leenderta van der Waerdena, który wykazał, że jeśli pokolorować liczby całkowite skończoną liczbą kolorów, zawsze istnieją dowolnie długie łańcuchy równomiernie rozmieszczonych liczb całkowitych tego samego koloru. Podobnie jak Gasarch, Granville zaczął od założenia, że ​​liczby pierwsze są skończone. Następnie użył twierdzenia van der Waerdena, aby znaleźć sekwencję czterech równo rozmieszczonych identycznie kolorowych idealnych kwadratów. Ale Fermat udowodnił, że taka sekwencja nie może istnieć. Sprzeczność! Ponieważ taki ciąg mógłby istnieć, gdyby istniała skończona liczba liczb pierwszych, ale nie może istnieć, musi istnieć nieskończona liczba liczb pierwszych. Dowód Granville'a był drugim niedawnym dowodem pierwszym opartym na twierdzeniu van der Waerdena - Levent Alpöge, obecnie postdoc na Uniwersytecie Harvarda, również wykorzystał wynik w a Papier 2015, opublikowane, gdy był jeszcze na studiach.

Granville jest szczególnym fanem artykułu Elsholtza, który stosuje również Wielkie Twierdzenie Fermata i kontrfaktyczne założenie, że liczb pierwszych jest tylko skończenie wiele. Podobnie jak Gasarch, Elsholtz włączył twierdzenie Schura, choć w nieco inny sposób. Elsholtz dał również drugi dowód za pomocą a 1953 twierdzenie Klausa Rotha, który mówi, że zbiory liczb całkowitych powyżej pewnego rozmiaru muszą zawierać grupy trzech równomiernie rozmieszczonych liczb.

Opierając się na tej pracy, można znaleźć odpowiedzi na niektóre głębsze — a nawet praktyczne — matematyczne pytania. Na przykład szyfrowanie kluczem publicznym, które opiera się na trudności rozłożenia na czynniki dużych liczb, byłoby bardzo łatwe do złamania, gdybyśmy żyli w świecie o skończonej liczbie liczb pierwszych. Elsholtz zastanawia się, czy może zatem istnieć jakiś związek między dowodami nieskończenie wielu liczb pierwszych a udowodnieniem, jak trudno jest złamać takie schematy szyfrowania. Istnieje "jakiś słaby związek z twierdzeniem Euklidesa" - powiedział Elsholtz. „Byłoby interesujące zobaczyć głębsze powiązania”.

Granville powiedział, że najlepsza matematyka może wyrosnąć z dziwnych kombinacji różnych dziedzin i przedmiotów i często wyłania się po tym, jak matematycy spędzili lata na rozwiązywaniu problemów niższego poziomu, ale zabawnych. Fascynuje go fakt, że pozornie odległe tematy można zastosować w teorii liczb. W niedawnej ankiecie Granville pochwalił „rzadką elegancję” a Dowód z 1955 r. autorstwa Hillela Furstenberga, który wykorzystywał topologię punktu zbioru. Podobnie jak Alpöge, Furstenberg był jeszcze na studiach, kiedy opublikowano jego dowód. Poszedłby do znakomita kariera w różnych dyscyplin matematycznych.

Granville retorycznie zapytał, czy nowe dowody starego wyniku Euklidesa to „tylko ciekawość, czy coś, co ma jakieś długoterminowe znaczenie”. Odpowiadając na swoje własne pytanie, powiedział: „Nie mogę ci powiedzieć”.