Matematyk o kreatywności, sztuce, logice i języku | Magazyn Quanta

Claire Voisin potrzebowała dużo czasu, aby zakochać się w matematyce.

Nie znaczy to jednak, że kiedykolwiek nie lubiła tego tematu. Dorastając we Francji – jako dziesiąte z 10 dzieci – lubiła spędzać godziny na rozwiązywaniu problemów matematycznych ze swoim ojcem, inżynierem. Zanim skończyła 12 lat, zaczęła samodzielnie czytać podręcznik do algebry w szkole średniej, zafascynowana definicjami i dowodami przedstawionymi na jego stronach. „Była cała ta struktura” – powiedziała. „Algebra jest w rzeczywistości teorią struktur”.

Ale nie postrzegała matematyki jako powołania na całe życie. Dopiero na studiach zdała sobie sprawę, jak głębokie i piękne może to być – i że jest zdolna do dokonywania nowych odkryć. Do tego czasu poza matematyką poważnie zajmowała się kilkoma zainteresowaniami: filozofią, malarstwem i poezją. („Myślę, że kiedy miałam 20 lat, zajmowałam się tylko matematyką i malarstwem. To może było trochę przesadzone” – zaśmiała się). Kiedy miała dwadzieścia kilka lat, matematyka pochłonęła wszystko inne. Ale malarstwo i poezja nadal wywierały na nią wpływ. Postrzega matematykę jako sztukę i sposób na przekraczanie granic języka i zabawę z nimi.

Kilkadziesiąt lat później, gdy Voisin stał się liderem w dziedzinie geometrii algebraicznej, ponownie znalazł czas na malowanie i wykonywanie rzeźb z gliny. Mimo to matematyka nadal zajmuje większość jej uwagi; woli spędzać czas na odkrywaniu tego „innego świata”, w którym „jest tak, jakbyś śnił”.

Voisin jest starszym pracownikiem naukowym we francuskim Narodowym Centrum Badań Naukowych w Paryżu. Zajmuje się tam badaniem rozmaitości algebraicznych, które można traktować jako kształty określone przez zbiory równań wielomianowych, tak jak okrąg jest definiowany przez wielomian x² + y² = 1. Jest jedną z czołowych na świecie ekspertek w dziedzinie teorii Hodge’a – zestawu narzędzi, którego matematycy używają do badania kluczowych właściwości rozmaitości algebraicznych.

Voisin zdobyła całą litanię nagród za swoją pracę, w tym nagrodę Clay Research Award w 2008 r., nagrodę Heinza Hopfa w 2015 r. i nagrodę Shaw w dziedzinie matematyki w 2017 r. W styczniu została pierwszą kobietą uhonorowaną nagrodą Crafoorda w dziedzinie matematyki. Matematyka.

Quanta rozmawiał z Voisinem o twórczej naturze matematyki. Wywiad został skrócony i zredagowany dla przejrzystości.

Jako dziecko lubiłeś matematykę, ale nie widziałeś siebie w jej realizacji. Dlaczego nie?

Istnieje magia dowodu – emocja, którą odczuwasz, kiedy go rozumiesz, kiedy zdajesz sobie sprawę, jak silny jest i jak silny cię czyni. Jako dziecko już to widziałem. I podobała mi się koncentracja, której wymaga matematyka. Jest to coś, co wraz z wiekiem wydaje mi się coraz bardziej istotne w praktyce matematyki. Reszta świata znika. Cały Twój mózg istnieje po to, aby badać problem. To niezwykłe doświadczenie, dla mnie bardzo ważne – zmusić się do opuszczenia świata rzeczy praktycznych i zamieszkania w innym świecie. Może dlatego mój syn tak bardzo lubi grać w gry wideo.

Ale to, co sprawiło, że w pewnym sensie spóźniłem się na matematykę, to fakt, że absolutnie nie interesują mnie gry. To nie dla mnie. A w szkole średniej matematyka wydawała się grą. Trudno było mi to traktować poważnie. Na początku nie dostrzegłem głębi matematyki. Nawet gdy po szkole średniej zacząłem odkrywać bardzo ciekawe dowody i twierdzenia, w żadnym momencie nie pomyślałem, że mogę coś sam wymyślić, że mogę to uczynić swoim.

Potrzebowałem czegoś głębszego, poważniejszego, czegoś, co mógłbym uczynić swoim.

Zanim znalazłeś to w matematyce, gdzie tego szukałeś?

Podobała mi się filozofia i jej nacisk na pojęcie pojęcia. Poza tym do 22. roku życia dużo czasu poświęcałem na malowanie, zwłaszcza figuratywne inspirowane geometrią. A ja bardzo lubiłem poezję – twórczość Mallarmégo, Baudelaire’a, René Chara. Żyłem już w zupełnie innym świecie. Ale myślę, że to normalne, gdy jest się młodszym.

Jednak matematyka stawała się coraz ważniejsza. To naprawdę wymaga całego mózgu. Kiedy nie siedzisz przy biurku i nie pracujesz nad konkretnym problemem, Twój umysł jest wciąż zajęty. Im więcej zajmowałem się matematyką, tym mniej malowałem. Dopiero niedawno znowu zaczęłam malować, teraz, gdy moje dzieci już wyszły z domu i mam dużo więcej czasu.

Co sprawiło, że ostatecznie zdecydowałeś się poświęcić większość swojej twórczej energii matematyce?

Matematyka stawała się dla mnie coraz bardziej interesująca. Jako magister i doktor. studentem, odkryłem, że matematyka XX wieku była czymś bardzo głębokim i niezwykłym. To był świat idei i koncepcji. W geometrii algebraicznej miała miejsce słynna rewolucja pod przewodnictwem Aleksandra Grothendiecka. Jeszcze przed Grothendieckiem osiągano niesamowite rezultaty. Jest to zatem nowa dziedzina, w której pomysły są piękne, ale także niezwykle potężne. Częścią tego była teoria Hodge'a, którą studiuję.

Stawało się coraz bardziej jasne, że tam było moje życie. Oczywiście miałam życie rodzinne – męża i pięcioro dzieci – oraz inne obowiązki i zajęcia. Ale zdałem sobie sprawę, że dzięki matematyce mogę coś stworzyć. Mógłbym poświęcić temu swoje życie, bo było tak piękne, tak spektakularne, tak interesujące.

Pisałaś już wcześniej o tym, jak matematyka jest twórczym przedsięwzięciem.

Jestem zawodowym matematykiem, więc mój dzień pracy jest oficjalnie zorganizowany wokół matematyki. Siedzę przy biurku; Pracuję na komputerze. Ale większość moich zajęć matematycznych nie odbywa się w tym czasie. Potrzebujesz nowego pomysłu, dobrej definicji, stwierdzenia, które Twoim zdaniem będziesz w stanie wykorzystać. Dopiero wtedy możesz rozpocząć swoją pracę. A to nie zdarza się, gdy siedzę przy biurku. Muszę podążać za swoim umysłem, aby myśleć.

Wygląda na to, że matematyka jest dla Ciebie bardzo osobista. Czy podczas tego procesu odkryłeś coś o sobie?

Zajmując się matematyką, przez większość czasu muszę w pewnym sensie walczyć ze sobą, ponieważ jestem bardzo nieuporządkowany, niezbyt zdyscyplinowany i często popadam w depresję. Nie wydaje mi się to łatwe. Odkryłem jednak, że w niektórych momentach – na przykład rano przy śniadaniu, kiedy spaceruję ulicami Paryża lub robię coś bezmyślnego, na przykład sprzątanie – mój mózg zaczyna pracować sam. Zdaję sobie sprawę, że myślę o matematyce, choć tego nie planowałem. To tak, jakbyś śnił. Mam 62 lata i nie mam żadnego prawdziwego sposobu na dobrą matematykę: wciąż mniej więcej czekam na moment, w którym poczuję jakąś inspirację.

Pracujesz z bardzo abstrakcyjnymi obiektami – z przestrzeniami wielowymiarowymi, ze strukturami spełniającymi skomplikowane równania. Jak myślisz o tak abstrakcyjnym świecie?

Właściwie to nie jest takie trudne. Najbardziej abstrakcyjna definicja, gdy się z nią zapoznasz, przestaje być abstrakcyjna. To jest jak piękna góra, którą widzisz bardzo dobrze, ponieważ powietrze jest bardzo czyste i jest światło, które pozwala zobaczyć wszystkie szczegóły. Dla nas badane przez nas obiekty matematyczne wyglądają na konkretne, ponieważ znamy je znacznie lepiej niż cokolwiek innego.

Oczywiście jest mnóstwo rzeczy do udowodnienia, a kiedy zaczniesz się czegoś uczyć, możesz ucierpieć z powodu abstrakcji. Ale kiedy posługujesz się teorią – ponieważ rozumiesz twierdzenia – w rzeczywistości czujesz się bardzo blisko danych obiektów, nawet jeśli są one abstrakcyjne. Ucząc się o przedmiotach, manipulując nimi i używając ich w argumentach matematycznych, ostatecznie stają się one Twoimi przyjaciółmi.

A to także wymaga spojrzenia na nie z różnych punktów widzenia?

Pierwotnie nie studiowałem geometrii algebraicznej. Zajmowałem się złożoną geometrią analityczną i różniczkową. W geometrii analitycznej bada się znacznie większą klasę funkcji i kształty, które są lokalnie definiowane przez te funkcje. Zwykle nie mają równania globalnego, w przeciwieństwie do geometrii algebraicznej.

Na początku nie zwracałem zbytniej uwagi na algebraiczny punkt widzenia. Ale im jestem starszy i im więcej pracuję w tej dziedzinie, tym bardziej widzę potrzebę posiadania tych dwóch różnych języków.

Istnieje niesamowite twierdzenie zwane GAGA, które jest trochę żartem; oznacza „starczy” po francusku, ale oznacza również géometrie algébrique i géométrie analytice. Mówi, że można przejść z jednego języka na drugi. Możesz wykonać obliczenia w złożonej geometrii analitycznej, jeśli jest to łatwiejsze, a następnie wrócić do geometrii algebraicznej.

Innym razem geometria algebraiczna daje możliwość przestudiowania innej wersji problemu, która może dać niezwykłe wyniki. Pracowałem nad zrozumieniem geometrii algebraicznej jako całości, zamiast skupiać się tylko na jej stronie złożonej z geometrii.

To ciekawe, że myślisz o nich jak o różnych językach matematycznych.

Język jest niezbędny. Przed matematyką jest język. Duża część logiki jest już zawarta w języku. W matematyce mamy wszystkie te logiczne reguły: kwantyfikatory, negacje, nawiasy, aby wskazać właściwą kolejność działań. Ale ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że wszystkie te zasady, które są istotne dla matematyków, są już w naszym codziennym języku.

Twierdzenie matematyczne można porównać do wiersza. Jest napisane słowami. To produkt języka. Mamy swoje obiekty matematyczne tylko dlatego, że używamy języka, ponieważ używamy codziennych słów i nadajemy im określone znaczenie. Można więc porównać poezję i matematykę w tym sensie, że obie całkowicie opierają się na języku, a mimo to tworzą coś nowego.

Do matematyki przyciągnęła Cię rewolucja Grothendiecka w geometrii algebraicznej. Zasadniczo stworzył nowy język do wykonywania tego rodzaju matematyki.

Dobrze.

Czy język matematyczny, którego obecnie używasz, może wymagać zmian?

Matematycy nieustannie udoskonalają swój język. A szkoda, bo utrudnia to czytanie starszych publikacji. Ale przerabiamy dotychczasową matematykę, ponieważ lepiej ją rozumiemy. Daje nam to lepszy sposób pisania i udowadniania twierdzeń. Tak było w przypadku Grothendiecka, który zastosował kohomologię snopów do geometrii. To naprawdę spektakularne.

Ważne jest, aby zaznajomić się z przedmiotem, którego się uczysz, do tego stopnia, że ​​będzie on dla ciebie jak język ojczysty. Kiedy teoria zaczyna się formować, znalezienie właściwych definicji i uproszczenie wszystkiego wymaga czasu. A może jest to nadal bardzo skomplikowane, ale znacznie lepiej poznajemy definicje i przedmioty; korzystanie z nich staje się bardziej naturalne.

To ciągła ewolucja. Ciągle musimy przepisywać i upraszczać, teoretyzować na temat tego, co jest ważne, jakie narzędzia udostępnić.

Czy musiałeś wprowadzać nowe definicje w swojej pracy?

Czasami. W praca, którą wykonałem w Jánosa Kolláranastąpił punkt zwrotny, w którym w końcu udało nam się znaleźć właściwe spojrzenie na problem – poprzez pewną definicję. To był bardzo klasyczny problem i pracowaliśmy z klasycznymi narzędziami, ale nasz dowód tak naprawdę opierał się na tej definicji, którą ustaliliśmy.

W innym wypadku, Oliviera Debarre’a, Daniela Huybrechtsa, Emanuele Macrì i okazałem się miły wynik klasyfikacji o obiektach zwanych rozmaitościami hiper-Kählera. Punktem wyjścia tego dowodu było wprowadzenie niezmiennika, który pierwotnie nazwaliśmy „a.”[Śmiech.]

Możesz nie doceniać znaczenia definicji w matematyce, ale nie powinieneś.

Definicje i język nie są jedynymi siłami przewodnimi w matematyce. Podobnie jak przypuszczenia, które mogą być prawdziwe lub nie. Na przykład, wykonałeś dużo pracy nad hipotezą Hodge’a, problemem milenijnym Claya, którego rozwiązanie zapewnia Nagroda w wysokości 1 miliona dolarów.

Załóżmy, że masz rozmaitość algebraiczną, którą chcesz zrozumieć. Przejdź więc do strony geometrii analitycznej zespolonej i zamiast tego rozważ ją jako tak zwaną rozmaitość zespoloną. O złożonej rozmaitości można myśleć w kategoriach jej globalnego kształtu lub topologii. Istnieje obiekt zwany homologią, który dostarcza wielu informacji topologicznych o rozmaitości. Ale nie jest to takie proste do zdefiniowania.

Teraz rozważ podrozmaitości algebraiczne wewnątrz oryginalnej odmiany. Każdy będzie miał niezmiennik topologiczny i powiązane z nim pewne informacje topologiczne. Którą część homologii rozmaitości zespolonej można uzyskać, patrząc na te niezmienniki topologiczne?

Hipoteza Hodge’a daje konkretną odpowiedź. Odpowiedź jest bardzo subtelna.

Zatem matematycy nie są pewni, czy hipoteza Hodge’a okaże się prawdziwa, czy fałszywa?

Chcesz wierzyć w hipotezę Hodge'a, ponieważ jest ona takim przewodnikiem po głównych teoriach geometrii algebraicznej.

Naprawdę chciałbyś zrozumieć główne właściwości rozmaitości algebraicznej. A jeśli hipoteza Hodge'a jest prawdziwa, dałoby to niesamowitą kontrolę nad geometrią twojej odmiany. Otrzymasz bardzo ważne informacje na temat struktury odmian.

Istnieje kilka mocnych powodów, aby w to wierzyć. Znane są szczególne przypadki hipotezy Hodge'a. Istnieje wiele głębokich stwierdzeń na temat rozmaitości algebraicznych, które sugerują, że hipoteza Hodge'a jest prawdziwa.

Jednak niemal całkowity brak postępów w udowadnianiu tego. Udowodniłem również, że nie ma możliwości rozszerzenia hipotezy Hodge'a na inny kontekst, w którym wydawałoby się to naturalne. Więc to był mały szok.

Czy po dziesięcioleciach pracy jako matematyk czujesz, że teraz zajmujesz się matematyką jeszcze głębiej?

Teraz, gdy jestem starsza, mam znacznie więcej czasu, aby poświęcić swoją energię matematyce, aby naprawdę być w niej obecnym. Mam też lepszą zdolność poruszania się tu i tam. W przeszłości, być może dlatego, że miałem mniej czasu, miałem mniejszą mobilność – chociaż bycie zbyt mobilnym, po prostu dotykanie problemów bez trzymania się ich, też nie jest dobre. Teraz mam więcej doświadczenia i mogę zbudować własny obraz.

Masz znacznie lepszy obraz tego, czego nie wiesz, otwartych problemów. Masz szczegółowy widok swojego pola i jego granic. Starzenie się musi mieć dobre strony. A jest jeszcze tak wiele do zrobienia.