Wieża domysłów wsparta na igle | Magazyn Quanta

W matematyce prosty problem często nie jest tym, czym się wydaje. Na początku tego lata, Quanta zgłosiło jeden taki problem: Jaki jest najmniejszy obszar, który można zamieść, obracając nieskończenie cienką igłę we wszystkich możliwych kierunkach? Obróć go wokół środka jak tarczę, a otrzymasz okrąg. Ale obracaj go mądrzej, a możesz pokryć dowolnie mały ułamek przestrzeni. Jeśli nie potrzebujesz, aby igła poruszała się jednym, ciągłym ruchem, a zamiast tego po prostu położyłeś igłę w każdym kierunku, możesz skonstruować układ igieł, który nie pokrywa żadnego obszaru.

Matematycy nazywają te układy zbiorami Kakeya. Chociaż wiedzą, że takie zestawy mogą być małe pod względem powierzchni (lub objętości, jeśli układasz igły w trzech lub więcej wymiarach), uważają, że zestawy muszą zawsze być duże, jeśli ich rozmiar mierzy się metryką zwaną Hausdorffem wymiar.

Matematycy nie udowodnili jeszcze tego twierdzenia, znanego jako hipoteza Kakeyi. Ale chociaż jest to pozornie proste pytanie dotyczące igieł, „geometria tych zbiorów Kakeyi leży u podstaw całego bogactwa pytań z zakresu równań różniczkowych cząstkowych, analizy harmonicznej i innych dziedzin” – powiedział Jonathana Hickmana z Uniwersytetu w Edynburgu.

Hipoteza Kakeyi leży u podstaw hierarchii trzech głównych problemów analizy harmonicznej — gałęzi matematyki badającej, w jaki sposób funkcje mogą być reprezentowane jako sumy funkcji okresowych, takich jak regularnie oscylujące fale sinusoidalne.

Następnym krokiem w górę w tej hierarchii jest hipoteza „ograniczenia”. Jeśli to prawda, to samo jest z przypuszczeniem Kakeyi. (Oznacza to również, że jeśli hipoteza Kakeyi okaże się fałszywa, hipoteza restrykcyjna nie może być prawdziwa.) Hipoteza restrykcyjna z kolei implikowana jest przez tzw. hipotezę Bochnera-Riesza. A na samej górze znajduje się hipoteza o lokalnym wygładzaniu.

Pierwsze dwie hipotezy dotyczą zachowania transformaty Fouriera, techniki stosowanej w analizie harmonicznej, służącej w efekcie do obliczania sposobu wyrażenia prawie dowolnej funkcji jako sumy fal sinusoidalnych. Jest to jedno z najpotężniejszych narzędzi matematycznych dostępnych dla fizyków i inżynierów. Transformata Fouriera odegrała fundamentalną rolę w rozwiązywaniu równań różniczkowych, wyrażaniu idei mechaniki kwantowej, takich jak zasada nieoznaczoności Heisenberga, oraz analizowaniu i przetwarzaniu sygnałów, dzięki czemu możliwe są rozwiązania takie jak nowoczesne telefony komórkowe.

Ponieważ każde stwierdzenie w hierarchii implikuje zdanie znajdujące się pod nim, jeśli hipoteza Kakeyi jest fałszywa, żadne z pozostałych przypuszczeń nie jest prawdziwe. Cała wieża się zawali. „Można stworzyć kontrprzykład superpotwora, który podważy wiele przypuszczeń” – powiedział Hickman.

Z drugiej strony udowodnienie prawdziwości hipotezy Kakeyi nie oznaczałoby automatycznie prawdziwości pozostałych przypuszczeń, ale dałoby matematykom ważny wgląd w dalsze postępowanie.

I tak „prawie połowa społeczności zajmującej się analizą harmoniczną, którą znam, pracuje nad tym i powiązanymi problemami lub pracowała nad nimi w pewnym momencie” – powiedział Shaoming Guo z Uniwersytetu Wisconsin w Madison.

Niedawno matematycy odkryli, ku swojemu zdziwieniu, że techniki, które opracowali, aby rozwiązać te problemy, można również wykorzystać do udowodnienia znaczących wyników w pozornie niezwiązanej dziedzinie teorii liczb. „To zjawisko o wiele bardziej powszechne, niż się powszechnie uważa” – powiedział Guo.

Layer Cake

Historia zaczyna się od transformaty Fouriera. „Chcesz rozłożyć [funkcje] na małe części, przeanalizować ich interakcje i dodać je z powrotem” – powiedział Yumeng Ou z Uniwersytetu Pensylwanii. W przypadku funkcji jednowymiarowych — krzywych, które można wykreślić na kartce papieru — matematycy dobrze wiedzą, jak to zrobić, nawet jeśli muszą odwrócić transformatę Fouriera, używając tylko niektórych elementów.

Ale w dwóch lub większej liczbie wymiarów sprawy mogą się skomplikować.

W 1971, Charliego Feffermana, matematyk z Uniwersytetu Princeton, wymyślił, jak wykorzystać zbiory Kakeyi, aby wykazać, że odwrócenie transformaty Fouriera może prowadzić do dziwnych i zaskakujących wyników w wielu wymiarach.

Matematycy znaleźli rozwiązanie w postaci hipotezy Bochnera-Riesza, która zasadniczo stwierdza, że ​​istnieją bardziej wyrafinowane sposoby odzyskania pierwotnej funkcji, które nie załamują się jak w przykładzie Feffermana. Ale to rozwiązanie zależało od prawdziwości przypuszczeń Kakeyi.

Jeśli to prawda, „obcięcie częstotliwości doprowadzi jedynie do niewielkich błędów” – stwierdził Betsy Stovall z Uniwersytetu Wisconsin w Madison. „Oznacza to, że małe błędy nie wybuchają.”

Tak zaczęła się hierarchia. Później matematycy odkryli inne ważne powiązanie: jeśli hipoteza Bochnera-Riesza jest prawdziwa, implikuje także stwierdzenie zwane hipotezą restrykcyjną. Hipoteza ta stwierdza, że ​​jeśli zaczniesz od ograniczonej wersji transformaty Fouriera – „ograniczając” wartości, na które patrzysz tylko do tych, które występują na określonych powierzchniach – to nadal może dostarczyć ważnych informacji o pierwotnej funkcji. I okazało się, że jeśli hipoteza o ograniczeniu była prawdziwa, to hipoteza Kakeyi również była prawdziwa. (To umieściło w wieży przypuszczenie o ograniczeniu między Kakeyą i Bochnerem-Rieszem.)

Główny problem w hierarchii, zwany hipotezą lokalnego wygładzania, nie dotyczy bezpośrednio transformaty Fouriera, ale raczej nakłada ograniczenia na wielkość rozwiązań równań opisujących zachowanie fal.

Można to również przemyśleć w kontekście geometrii linii w zestawie Kakeya. Ogólne rozwiązanie równania falowego można podzielić na kilka elementów, które poruszają się w różnych kierunkach i oddziałują ze sobą na różne sposoby w czasie. Każdy z tych elementów matematycznie przypomina igłę z zestawu Kakeya. Hipoteza Kakeyi głosi, że taka konfiguracja nie może zbytnio się nakładać. W tym kontekście fizycznym nakładanie się odpowiada utrzymywaniu się nieregularnych i nieoczekiwanych zachowań w rozwiązaniu. Na przykład fala dźwiękowa może wzmacniać się w wielu regionach w wielu różnych momentach.

Hipoteza o lokalnym wygładzaniu stwierdza, że ​​takie nieregularności powinny się uśredniać. „To jakby brać średnią z rynku finansowego” – stwierdził Ciprian Demeter z Uniwersytetu Indiana w Bloomington. „Tu i ówdzie mogą wystąpić krachy, ale jeśli zainwestujesz swoje pieniądze i przejdziesz na emeryturę za 40 lat, istnieje duża szansa, że ​​dokonasz dobrych inwestycji”.

Ale jak w przypadku wszystkich przypuszczeń w hierarchii, to zależy od prawdziwości przypuszczenia Kakeyi. „Pomysł jest taki, że jeśli wykluczysz wiele przecięć w zbiorach Kakeyi, oznacza to, że możesz wykluczyć sytuacje, w których części rozwiązania współdziałają, tworząc pewnego rodzaju powiększenie” – powiedział Stovall.

Ta hipoteza jest najtrudniejsza ze wszystkich: podczas gdy dwuwymiarowe przypadki problemów Kakeyi, ograniczeń i problemów Bochnera-Riesza zostały rozwiązane dziesiątki lat temu, hipoteza dwuwymiarowego lokalnego wygładzania została udowodniona dopiero kilka lat temu. (W wyższych wymiarach wszystkie te problemy pozostają otwarte.)

Jednak pomimo powolnego postępu w udowadnianiu hipotezy o lokalnym wygładzaniu, prace nad nią doprowadziły do ​​ogromnego postępu w innych miejscach. Próbując rozwiać tę hipotezę, w 1999 roku matematyk Thomas Wolff wprowadził metodę znaną jako oddzielenie. Od tego czasu technika ta zaczęła żyć własnym życiem: została wykorzystana do dokonania znaczących przełomów nie tylko w analizie harmonicznej, ale także w teorii liczb, geometrii i innych dziedzinach. „Korzystając z wyników oddzielenia, macie teraz rekordy świata w bardzo znanych, ważnych problemach” – powiedział Krzysztof Sogge z Johns Hopkins University, który jako pierwszy sformułował hipotezę o lokalnym wygładzaniu w latach 1990. Na przykład oddzielenie zostało użyte do obliczenia, na ile sposobów można przedstawić liczbę całkowitą jako sumę kwadratów, sześcianów lub innej potęgi.

Jak to ujął Demeter, wyniki te są możliwe, ponieważ „możemy patrzeć na liczby jak na fale”. To, że wszystkie te problemy wiążą się z zestawami igieł Kakeya, jest „fascynujące” – dodał. „Nie sądzisz, że tyle piękna, trudności i znaczenia można ukryć w czymś, co można sformułować za pomocą odcinków linii”.