Upada stare przypuszczenie, przez co sfery stają się znacznie bardziej skomplikowane | Magazyn Quanta

Na początku czerwca zrobiło się głośno po wylądowaniu matematyków na londyńskim lotnisku Heathrow. Ich celem był Uniwersytet Oksfordzki i m.in konferencja z okazji 65. urodzin Michaela Hopkinsa, matematyk z Uniwersytetu Harvarda, który dla wielu uczestników był mentorem.

Hopkins zasłynął pod koniec lat 1980. dzięki pracy nad siedmioma przypuszczeniami na ten temat Douga Ravenela Uniwersytetu w Rochester sformułował dziesięć lat wcześniej. Miały one związek z technikami określania, kiedy dwa kształty lub przestrzenie, które mogą wyglądać inaczej, są w rzeczywistości takie same. Hopkins i jego współpracownicy udowodnili wszystkie przypuszczenia Ravenela, z wyjątkiem jednego, problemu o sugestywnej, ale tajemniczej nazwie, zwanego hipotezą teleskopu.

W tym czasie Hopkins położył kres swojej pracy nad przypuszczeniami Ravenela. Przez dziesięciolecia hipoteza dotycząca teleskopu wydawała się prawie niemożliwa do rozwiązania.

„Nie można tknąć takiego twierdzenia” — powiedział Hopkins.

Kiedy jednak matematycy wylądowali w Londynie, pojawiły się pogłoski, że tego dokonała grupa czterech matematyków powiązanych z Massachusetts Institute of Technology, z których trzech otrzymało poradę od Hopkinsa na studiach. Najmłodszy z całej czwórki, absolwent o imieniu Ishana Levy’ego, miał wygłosić przemówienie we wtorek, drugim dniu konferencji, i wydawało się, że właśnie wtedy może zostać ogłoszony dowód.

„Słyszałem plotki, że coś takiego się zbliża, ale nie wiedziałem dokładnie, czego się spodziewać” – powiedział Vesna Stojanoska, matematyk z Uniwersytetu Illinois w Urbana-Champaign, który uczestniczył w konferencji.

Szybko okazało się, że pogłoski są prawdziwe. Począwszy od wtorku i przez następne trzy dni Levy i jego współautorzy — Roberta Burklunda, Jeremy’ego Hahna i Tomera Schlanka — wyjaśnił tłumowi około 200 matematyków, w jaki sposób udowodnili, że hipoteza teleskopu była fałszywa, co czyni ją jedyną z pierwotnych hipotez Ravenela, która nie jest prawdziwa.

Obalenie hipotezy o teleskopie ma daleko idące implikacje, ale jedno z najprostszych i najgłębszych jest następujące: oznacza to, że w bardzo dużych wymiarach (pomyśl o 100-wymiarowej kuli) wszechświat o różnych kształtach jest znacznie bardziej skomplikowany niż przewidywali matematycy.

Mapowanie map

Aby klasyfikować kształty, czyli przestrzenie topologiczne, matematycy rozróżniają różnice, które mają znaczenie, i te, które nie mają znaczenia. Teoria homotopii jest perspektywą, z której można dokonać tych rozróżnień. Uważa kulę i jajko za zasadniczo tę samą przestrzeń topologiczną, ponieważ można je zginać i rozciągać bez rozrywania. W ten sam sposób teoria homotopii uważa, że ​​piłka i dętka są zasadniczo różne, ponieważ w piłce należy wyrwać otwór, aby zdeformować ją w dętkę.

Homotopia jest przydatna do klasyfikowania przestrzeni topologicznych — tworzenia wykresu wszystkich możliwych kształtów. Jest to również ważne dla zrozumienia czegoś innego, na czym zależy matematykom: map między przestrzeniami. Jeśli masz dwie przestrzenie topologiczne, jednym ze sposobów sprawdzenia ich właściwości jest poszukiwanie funkcji konwertujących lub mapujących punkty z jednej na punkty z drugiej — wprowadź punkt z przestrzeni A, jako wynik uzyskaj punkt z przestrzeni B, i zrób to dla wszystkich punktów na A.

Aby zobaczyć, jak działają te mapy i dlaczego oświetlają właściwości danych przestrzeni, zacznij od koła. Teraz zmapuj to na dwuwymiarową kulę, która jest powierzchnią kuli. Można to zrobić na nieskończenie wiele sposobów. Jeśli wyobrażasz sobie kulę jako powierzchnię Ziemi, możesz na przykład umieścić swój okrąg na dowolnej linii szerokości geograficznej. Z punktu widzenia teorii homotopii wszystkie są równoważne lub homotopijne, ponieważ wszystkie mogą się skurczyć do punktu na biegunie północnym lub południowym.

Następnie narysuj okrąg na dwuwymiarowej powierzchni dętki (torusa z jednym otworem). Ponownie, istnieje nieskończenie wiele sposobów, aby to zrobić, a większość z nich jest homotopijna. Ale nie wszystkie. Można umieścić okrąg wokół torusa poziomo lub pionowo, ale żadnego z nich nie można płynnie zdeformować w drugi. Są to dwa (z wielu) sposobów odwzorowania okręgu na torusie, podczas gdy istnieje tylko jeden sposób odwzorowania go na kuli, odzwierciedlający zasadniczą różnicę między tymi dwiema przestrzeniami: torus ma jeden otwór, podczas gdy kula nie ma żadnego.

Łatwo policzyć, na jakie sposoby możemy odwzorować okrąg na dwuwymiarową kulę lub torus. To znajome przestrzenie, które łatwo sobie wyobrazić. Jednak liczenie map jest znacznie trudniejsze, gdy w grę wchodzą przestrzenie o wyższych wymiarach.

Różnice wymiarowe

Jeśli dwie kule mają ten sam wymiar, zawsze istnieje nieskończenie wiele map między nimi. A jeśli przestrzeń, z której odwzorowujesz, jest mniej wymiarowa niż przestrzeń, do której odwzorowujesz (jak w naszym przykładzie jednowymiarowego koła odwzorowanego na dwuwymiarową kulę), zawsze jest tylko jedna mapa.

Częściowo z tego powodu liczenie map jest najciekawsze, gdy przestrzeń, z której tworzysz mapę, ma większy wymiar niż przestrzeń, na którą tworzysz mapę, na przykład gdy odwzorowujesz siedmiwymiarową kulę na kulę trójwymiarową. W takich przypadkach liczba map jest zawsze skończona.

„Ogólnie rzecz biorąc, mapy pomiędzy sferami są bardziej interesujące, gdy źródło ma większy wymiar” – powiedział Hahn.

Co więcej, liczba map zależy tylko od różnicy w liczbie wymiarów (gdy wymiary staną się wystarczająco duże w porównaniu z różnicą). Oznacza to, że liczba odwzorowań sfery 73-wymiarowej na kulę 53-wymiarową jest taka sama, jak liczba odwzorowań sfery 225-wymiarowej na sferę 205-wymiarową, ponieważ w obu przypadkach różnica wymiarów wynosi 20.

Matematycy chcieliby znać liczbę odwzorowań pomiędzy przestrzeniami o dowolnej różnicy wymiarów. Udało im się obliczyć liczbę map dla prawie wszystkich różnic w wymiarach aż do 100: istnieją 24 mapy między kulami, gdy różnica wynosi 20, i 3,144,960 23 XNUMX, gdy różnica wynosi XNUMX.

Jednak obliczenie liczby map dla dowolnej różnicy większej niż 100 wyczerpuje współczesną moc obliczeniową. Jednocześnie matematycy nie wykryli wystarczającej liczby wzorców w liczbie map, aby dokonać dalszej ekstrapolacji. Ich celem jest wypełnienie tabeli określającej liczbę map dla dowolnej różnicy wymiarów, ale cel ten wydaje się bardzo odległy.

„To nie jest kwestia, której oczekuję całkowitego rozwiązania za życia moich wnuków” – powiedziała Ravenel, która ma 76 lat.

Hipoteza teleskopu przewiduje, jak liczba map rośnie wraz ze wzrostem różnicy wymiarów. W efekcie przewiduje, że liczba ta będzie rosła powoli. Gdyby to była prawda, ułatwiłoby to nieco problem wypełnienia tej tabeli.

Wątpienie w niewiarę

Hipoteza o teleskopie ma swoją nazwę w nieprawdopodobny sposób.

Zaczęło się od tego, że w bardzo dużych wymiarach intuicja geometryczna ukształtowana w niższych wymiarach często się załamuje i trudno policzyć mapy pomiędzy sferami. Ale formułując swoje przypuszczenia, Ravenel zrozumiała, że ​​nie musisz. Zamiast liczyć mapy pomiędzy sferami, możesz ułatwić zliczanie map zastępczych pomiędzy sferami i obiektami zwanymi teleskopami.

Teleskopy składają się z serii kopii zamkniętej krzywej o wyższych wymiarach, a każda z nich jest pomniejszoną wersją tej, która była wcześniej. Seria krzywizn przypomina zazębiające się tubusy prawdziwego składanego teleskopu. „Bez względu na to, jak dziwnie brzmi ten teleskop, kiedy go opisujesz, w rzeczywistości jest to obiekt łatwiejszy w obsłudze niż sama kula” – stwierdziła Ravenel.

Mimo to sfery można mapować na teleskopach na wiele różnych sposobów, a wyzwaniem jest ustalenie, kiedy te mapy są naprawdę różne.

Aby określić, czy dwie przestrzenie są homotopiczne, potrzebny jest test matematyczny zwany niezmiennikiem, który jest obliczeniem opartym na właściwościach przestrzeni. Jeśli obliczenia dają inną wartość dla każdej przestrzeni, wiesz, że są one unikalne z punktu widzenia homotopii.

Istnieje wiele rodzajów niezmienników, a niektóre mogą dostrzec różnice, na które inne niezmienniki są ślepe. Hipoteza teleskopu przewiduje, że niezmiennik zwany Morava E-teoria (i jej symetrie) potrafi doskonale rozróżnić wszystkie mapy pomiędzy sferami i teleskopami aż do homotopii — czyli jeśli Morava E-teoria mówi, że mapy są różne, są różne, a jeśli mówi, że są takie same, to są takie same.

Jednak w 1989 roku Ravenel zaczęła wątpić, czy to prawda. Jego sceptycyzm wynikał z przeprowadzonych przez niego obliczeń, które nie wydawały się zgodne z przypuszczeniami. Ale dopiero w październiku tego roku, kiedy podczas jego pobytu w Berkeley w Bay Area potężne trzęsienie ziemi nawiedziło Bay Area, wątpliwości te przekształciły się w pełnoprawne niedowierzanie.

„Doszłam do tego wniosku dzień lub dwa po trzęsieniu ziemi, więc lubię myśleć, że wydarzyło się coś, co kazało mi myśleć, że to nieprawda” – powiedziała Ravenel.

Obalenie hipotezy o teleskopie wymagałoby znalezienia silniejszego niezmiennika, który mógłby widzieć rzeczy Morava E-teoria nie może. Przez dziesięciolecia wydawało się, że taki niezmiennik nie jest dostępny, co stawiało tę hipotezę poza zasięgiem. Postęp, jaki nastąpił w ostatnich latach, zmienił to jednak i Burklund, Hahn, Levy i Schlank wykorzystali to.

Wybuchający egzotyk

Ich dowód opiera się na zestawie narzędzi zwanych algebraiką K-teoria, która została założona w latach pięćdziesiątych XX wieku przez Alexandra Grothendiecka i szybko rozwinęła się w ciągu ostatniej dekady. Ma zastosowanie w całej matematyce, w tym w geometrii, gdzie ma zdolność doładowania niezmiennika.

Czterech autorów używa algebraiki K-teoria jako gadżet: Wprowadzają Morawę E-teorię, a ich wynikiem jest nowy niezmiennik, który nazywają algebraicznym K-teoria punktów stałych Morawy E-teoria. Następnie stosują ten nowy niezmiennik do map od sfer po teleskopy i udowadniają, że może zobaczyć mapy, które Morava E-teoria nie może.

I nie chodzi tylko o to, że ten nowy niezmiennik widzi jeszcze kilka map. Widzi o wiele więcej, nawet nieskończenie więcej. O wiele więcej, że śmiało można powiedzieć Morava E-teoria ledwo zarysowywała powierzchnię, jeśli chodzi o identyfikację map, od sfer po teleskopy.

Nieskończenie więcej map od sfer do teleskopów oznacza nieskończenie więcej map pomiędzy samymi kulami. Liczba takich map jest skończona dla dowolnej różnicy wymiarów, ale nowy dowód pokazuje, że liczba ta rośnie szybko i nieubłaganie.

Tak wiele map wskazuje na niepokojącą rzeczywistość geometryczną: jest tak wiele sfer.

W 1956 roku John Milnor zidentyfikował pierwsze przykłady tak zwanych sfer „egzotycznych”. Są to przestrzenie, które z punktu widzenia homotopii mogą zostać zdeformowane w rzeczywistą kulę, ale w pewnym konkretnym sensie różnią się od kuli. Egzotyczne kule w ogóle nie istnieją w wymiarze pierwszym, drugim czy trzecim i nikt nie odkrył ich przykładów poniżej wymiaru siódmego – wymiaru, w którym Milnor je po raz pierwszy znalazł. Ale wraz ze wzrostem wymiaru, liczba egzotycznych kul eksploduje. W wymiarze 16,256 jest ich 15 523,264, a w wymiarze 19 XNUMX XNUMX.

A jednak, choć te liczby są ogromne, obalenie hipotezy o teleskopie oznacza, że ​​jest ich o wiele, wiele więcej. Odrzucenie oznacza, że ​​pomiędzy sferami znajduje się więcej map, niż przewidywano, gdy Ravenel formułowała tę hipotezę, a jedynym sposobem na uzyskanie większej liczby map jest posiadanie większej różnorodności sfer do mapowania.

Istnieją różne rodzaje postępu w matematyce i naukach ścisłych. Jeden rodzaj porządkuje chaos. Ale inny pogłębia chaos, rozwiewając pełne nadziei założenia, które nie były prawdziwe. Tak właśnie wygląda obalenie hipotezy o teleskopie. Pogłębia złożoność geometrii i zwiększa prawdopodobieństwo, że wiele pokoleń wnuków przyjdzie i odejdzie, zanim ktokolwiek w pełni zrozumie mapy pomiędzy sferami.

„Każdy większy postęp w tej dziedzinie zdaje się nam podpowiadać, że odpowiedź jest o wiele bardziej skomplikowana, niż wcześniej sądziliśmy” – stwierdziła Ravenel.