Tilings Einsteina – niesamowity kształt „kapelusza”, który nigdy się nie powtarza!

Tilings Einsteina – niesamowity kształt „kapelusza”, który nigdy się nie powtarza!

Znacznik czasu: 4 kwietnia 2023 12:59
by Paweł Kaczor

Matematyka to złożona i ezoteryczna dziedzina, która leży u podstaw nauki i inżynierii, w tym w szczególności dyscyplin kryptografii i cyberbezpieczeństwa.

(Tam… dodaliśmy wzmiankę o cyberbezpieczeństwie, uzasadniając w ten sposób resztę tego artykułu).

Temat matematyki był obszernie i żarliwie badany przynajmniej od czasów starożytnego Babilonu, a nazwiska wielu słynnych matematyków weszły do ​​naszego codziennego słownictwa, w wyrażeniach takich jak: pitagorejski trójkąty (te, które mają w sobie kąt prosty), kartezjański geometria (praca z kształtami na płaskich powierzchniach), komputer Algorytmy (sekwencje instrukcji, które działają iteracyjnie lub rekuersyjnie w celu obliczenia wyniku) oraz Penrose dachówki.

Płytki Penrose'a, jeśli kiedykolwiek je spotkałeś, zostały wymyślone przez Sir Rogera Penrose'a w latach 1970. XX wieku i zajmowały się fascynującymi i niezwykłymi sposobami pokrywania powierzchni w kombinacjach kształtów.

Jeśli zastanawiasz się, dlaczego to słowo algorytm nie ma wielkiej litery jak inne, to dlatego, że nie jest to dokładne odwzorowanie oryginalnego imienia, ale słowo pochodzące od Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi, wpływowy matematyk, geograf i astronom, który żył około 1200 lat temu na obszarze na wschód od Morza Kaspijskiego i na południe od Morza Aralskiego, w regionie obecnie podzielonym między Uzbekistan i Turkmenistan.

Płytki wykonane funky

Powierzchnie wyłożone kafelkami są oczywiście powszechne, na przykład w łazienkach, kuchniach i na chodnikach.

I oczywiście na dachach, ale w tym artykule zignorujemy dachówki, ponieważ są one zaprojektowane tak, aby zachodziły na siebie, dzięki czemu chronią przed deszczem bez konieczności ich indywidualnego uszczelniania.

Nawet obszary pokryte wykładziną dywanową są często wyłożone kafelkami, zwłaszcza w biurach, dzięki czemu części podłogi można ponownie położyć bez zdzierania i wymiany lekko zużytej wykładziny wokół zużytych części.

Na przykład, jeśli kiedykolwiek odwiedziłeś siedzibę główną Sophos w Wielkiej Brytanii, wiesz, że jest to w dużej mierze otwarta przestrzeń pokryta kwadratowymi płytkami dywanowymi w różnych delikatnych odcieniach niebieskiego i jasnozielonego:

Płytki Einsteina – niesamowity kształt „kapelusza”, który nigdy się nie powtarza! Inteligencja danych PlatoBlockchain. Wyszukiwanie pionowe. AI.

Jak widać, kwadratowe kafelki tworzą tzw okresowy wzór, co oznacza, że ​​wzór powtarza się co jakiś czas.

W powyższym przykładzie precyzyjna siatka zastosowana w układzie zapewnia powtarzalność wzoru w obu wymiarach po przesunięciu tylko o jedno pole w górę, w dół, w lewo lub w prawo.

Bardziej złożone i atrakcyjne wizualnie wzory, które mimo to są okresowymi kafelkami, ponieważ ciągle się powtarzają, można tworzyć za pomocą regularnych kombinacji prostych kształtów, takich jak siedmiokąt:

Płytki Einsteina – niesamowity kształt „kapelusza”, który nigdy się nie powtarza! Inteligencja danych PlatoBlockchain. Wyszukiwanie pionowe. AI.

Lub romb-trójsześciokąt:

Płytki Einsteina – niesamowity kształt „kapelusza”, który nigdy się nie powtarza! Inteligencja danych PlatoBlockchain. Wyszukiwanie pionowe. AI.

Płytki Penrose'a

To prowadzi nas do płytek Penrose'a.

Chociaż Sir Roger Penrose jest prawdopodobnie najbardziej znany jako zdobywca Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki w 2020 roku, jest również znany ze swojej pracy nad specjalną klasą wzorów płytek znanych jako znane aperiodyczne nachylenia.

W przeciwieństwie do okresowych nachyleń, które powtarzają się co jakiś czas, aokresowe nachylenia nigdy się nie powtarzają, bez względu na to, jak starannie wybierzesz następny element do umieszczenia i gdzie go umieścisz…

…mimo że kafelki opierają się na skończonej liczbie kształtów i pokrywają nieskończoną powierzchnię bez żadnych przerw i nakładek.

Okresowe nachylenia są trochę jak liczby wymierne (ułamki oparte na jednej liczbie całkowitej podzielonej przez inną), ponieważ w końcu się powtarzają bez względu na to, co robisz.

Jeśli na przykład podzielisz 22 przez 7, otrzymasz około 3.142…, co jest użyteczne blisko wartości Pi, która wynosi około 3.14159…

Ale 22/7 faktycznie wychodzi jako 3.142857142857142857… i ten wzór 142857 powtarza się w nieskończoność, ponieważ liczba to stosunek (stąd opis Liczba wymierna) dwóch liczb całkowitych.

W przeciwieństwie do tego, prawdziwa wartość Pi jest irracjonalny: nie można go zredukować do stosunku, a jego wartość dziesiętna nigdy nie wpada w powtarzający się wzór.

A co z podobnym rodzajem nigdy nie powtarzającej się sekwencji, opartej nie na wartościach liczbowych, ale na kształtach?

Czy potrzebujesz nieskończonej liczby różnych kształtów, aby zagwarantować wzór, który nigdy się nie powtórzy, czy też możesz wykonać (co prawda niekończące się) zadanie układania płytek za pomocą skończonego zestawu płytek?

Penrose uzyskał liczbę różnych kształtów potrzebnych do zagwarantowania niepowtarzających się nachyleń do zaledwie dwóch, ale od tamtej pory pytanie pozostaje: Czy potrafisz znaleźć pojedynczy kształt, pojedynczą płytkę, którą można układać wielokrotnie, aby pokryć nieskończoną powierzchnię bez powtarzania?

W tym, co uchodzi za matematyczną grę słów, ten Święty Graal płytek jest znany jako an Einstein, co po niemiecku oznacza „jeden kształt”, ale jest też echem imienia Alberta Einsteina z E=mc2 sława.

Przedstawiamy… Kapelusz

Cóż, matematyczna czwórka kierowana przez brytyjskiego poszukiwacza kształtów, Davida Smitha, twierdzi, że einsteiny istnieją i ujawniła trójkątny trójkąt (to jest 13-boczna figura), który nazwali Kapelusz.

Twierdzą, że udowodnili, że Kapelusz generuje długo oczekiwany wynik aperiodycznego wzorca, wszystko na własną rękę:

Płytki Einsteina – niesamowity kształt „kapelusza”, który nigdy się nie powtarza! Inteligencja danych PlatoBlockchain. Wyszukiwanie pionowe. AI.

Mówiąc najprościej, jeśli wyłożysz kafelkami podłogę, werandę, podjazd, a nawet lokalne boisko piłkarskie z zapasem płytek Hat…

…w końcu pokryjesz całą powierzchnię wzorem, który nigdy się nie powtarza.

Pomimo tego, że wyświetla różne „projekty podrzędne” i pozorne podobieństwa podczas konstruowania grafiki opartej na kapeluszu, jest to Pi płytek podłogowych: spróbuj, jak chcesz, nigdy nie uzyskasz regularnego, okresowego wzoru z To.

Co robić?

Nie będziemy nawet próbować go opisywać dowód tutaj – szczerze mówiąc, sami jeszcze nie zdążyliśmy tego przetrawić – więc tylko zasugerujemy przestudiuj to w swoim czasie. (Może zarezerwowałeś długi weekend na to zadanie?

Ale jeśli chcesz pobawić się koncepcją nieokresowych nachyleń, dlaczego nie upiec sobie herbatników Hat lub ciasteczek, jeśli jesteś z Ameryki Północnej?

Jeśli masz drukarkę 3D, możesz pobrać projekt, aby stworzyć własną foremkę do ciasta w kształcie kapelusza!

Znak czasu:

Więcej z Nagie bezpieczeństwo