Jak można mówić z pewnością o nieskończoności? Co tak naprawdę możemy wiedzieć o tajemniczych liczbach pierwszych, nie znając ich wszystkich? Tak jak naukowcy potrzebują danych do oceny swoich hipotez, matematycy potrzebują dowodów, aby udowodnić lub obalić przypuszczenia. Ale co liczy się jako dowód w niematerialnej sferze teorii liczb? W tym odcinku rozmawia Steven Strogatz Melanie Matchett Wood, profesor matematyki na Uniwersytecie Harvarda, aby dowiedzieć się, w jaki sposób prawdopodobieństwo i losowość mogą pomóc w ustaleniu dowodów na niepodważalne argumenty wymagane od matematyków.
Nasłuchiwać Podcasty Apple, Spotify, Podcasty Google, Stitcher, Dostroić lub swoją ulubioną aplikację do podcastów, lub możesz przesyłaj strumieniowo z Quanta.
Transkrypcja
Stevena Strogatza (00:02): Jestem Steve Strogatz, a to jest Radość dlaczego, podcast z Magazyn Quanta która zabierze Cię w niektóre z największych pytań bez odpowiedzi w matematyce i nauce. W tym odcinku będziemy rozmawiać dowody w matematyce. Jakich dowodów używają matematycy? Co skłania ich do podejrzeń, że coś może być prawdą, zanim uzyskają wodoszczelny dowód?
(00:26) To może brzmieć jak paradoks, ale okazuje się, że rozumowanie oparte na teorii prawdopodobieństwa, badaniu przypadku i losowości, może czasami prowadzić do tego, czego naprawdę szukają matematycy, czyli do pewności, a nie tylko prawdopodobieństwa. Na przykład w dziedzinie matematyki znanej jako teoria liczb istnieje długa historia używania losowości, aby pomóc matematykom odgadnąć, co jest prawdą. Teraz używa się prawdopodobieństwa, aby pomóc im udowodnić, co jest prawdą.
(00:53) Skupimy się tutaj na liczbach pierwszych. Pewnie pamiętasz liczby pierwsze, prawda? Nauczyłeś się o nich w szkole. Liczba pierwsza to liczba całkowita większa od 1, którą można podzielić tylko przez 1 i samą siebie. Na przykład 7 lub 11. To są liczby pierwsze, ale 15 nie jest, ponieważ 15 można podzielić równo przez 3 lub przez 5. Można myśleć o liczbach pierwszych jak o pierwiastkach w układzie okresowym chemii, w pewnym sensie że są niepodzielnymi atomami, które składają się na wszystkie inne liczby.
(01:27) Liczby pierwsze wydają się być proste, ale jedną z największych zagadek w matematyce są pytania o liczby pierwsze. W niektórych przypadkach pytania, które istnieją od setek lat. Jest coś bardzo subtelnego w liczbach pierwszych. Zdają się żyć na pograniczu porządku i przypadkowości. Mój dzisiejszy gość pomoże nam lepiej zrozumieć naturę dowodów w matematyce, a zwłaszcza jak i dlaczego losowość może nam tak wiele powiedzieć o liczbach pierwszych i dlaczego modele oparte na prawdopodobieństwie mogą być tak przydatne w nowatorskiej teorii liczb. Dołącza do mnie teraz, aby omówić to wszystko, Melanie Matchett Wood, profesor matematyki na Uniwersytecie Harvarda. Witaj Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Cześć, dobrze z tobą porozmawiać.
Strogatz (02:11): Bardzo dobrze z tobą porozmawiać, jestem wielkim fanem. Porozmawiajmy o matematyce i nauce w odniesieniu do siebie, ponieważ słowa często są używane razem, a jednak techniki, których używamy do uzyskania dowodu i pewności w matematyce, są nieco inne niż te, które próbujemy robić w nauce. Na przykład, kiedy mówimy o zbieraniu dowodów w matematyce, czym jest to samo lub czym różni się od zbierania dowodów metodami naukowymi w nauce?
Drewno (02:38): Matematyczny dowód jest absolutnie szczelnym, kompletnym logicznym argumentem, że jakieś twierdzenie matematyczne musi być w ten sposób i nie może być w żaden inny sposób. Tak więc w przeciwieństwie do teorii naukowej — która może być najlepsza, jaką mamy, opierając się na dowodach, jakie mamy dzisiaj, ale w ciągu następnych 10 lat zdobędziemy więcej dowodów i może pojawi się nowa teoria — dowód matematyczny mówi, że jakieś stwierdzenie musi być w ten sposób, nie możemy prawdopodobnie odkryć, że będzie źle za 10 lub 20 lat.
Strogatz (03:17): Cóż, jakie rzeczy liczą się jako dowody w matematyce?
Drewno (03:19): Możesz więc zobaczyć, że coś jest prawdą w wielu przykładach. I opierając się na wielu przykładach, które można by uznać za dowód tego faktu, możesz wysnuć domysłymatematycy nazwaliby przypuszczeniem, przypuszczeniem, że coś jest prawdą. Ale z drugiej strony matematycy chcieliby udowodnić, że to, co widziałeś w tak wielu przykładach, zawsze działa tak, jak twierdziłeś.
Strogatz (03:49): Zgadza się, bardzo różni się od wagi dowodów. To stwierdzenie, że istnieje powód, dla którego coś będzie prawdą na zawsze, na zawsze, w każdym przypadku.
Drewno (03:58): I nie tylko „no cóż, przejrzałem milion przypadków i to prawda w każdym z nich”. Co jest powodem do domysłów lub domysłów, że to zawsze prawda. Ale w matematyce rozróżniamy takie domysły, które mogą opierać się na wielu przypadkach lub dowodach, a posiadaniem twierdzenia lub dowodu, argumentu, który mówi, że zadziała w każdym przypadku, nawet w tych, które masz nie próbowałem.
Strogatz (04:25): Czy po prostu matematycy są z natury wybredni, czy są przypadki, w których coś, co wyglądało na prawdę, aż do bardzo dużej liczby możliwości, okazało się nieprawdziwe poza inną dużą liczbą ?
Drewno (04:39): Och, to świetne pytanie. Cóż, oto przykład, który lubię, ponieważ lubię liczby pierwsze. Więc przechodząc przez liczby pierwsze – 2, 3, 5, 7 – jedną z rzeczy, które możesz zrobić, możesz spojrzeć i powiedzieć „hej, czy są podzielne przez 2?” A to okazuje się niezbyt interesujące. Po 2 żadna z nich nie jest podzielna przez 2. Wszystkie są, wszystkie są dziwne.
(05:10) A potem możesz pomyśleć: „Czy są podzielne przez 3?” I oczywiście po 3 nie mogą być podzielne przez 3, ponieważ są liczbami pierwszymi. Jednak możesz zauważyć, że niektóre z nich, dzieląc je przez 3, otrzymujesz resztę z 1, która jest o 1 większa niż wielokrotność 3. Czyli rzeczy takie jak 7, czyli o 1 więcej niż 6 lub 13 , czyli 1 więcej niż 12. A niektóre z tych liczb pierwszych, jak 11 lub 17, czyli 2 więcej niż 15, będą miały resztę 2, gdy podzielisz je przez 3, ponieważ są o 2 więcej niż wielokrotność 3.
(05:47) Można więc pomyśleć o tych liczbach pierwszych w zespołach. Zespół 1 to wszystkie te, które są o 1 większe niż wielokrotność 3, a Zespół 2 to wszystkie te, które są o 2 większe niż wielokrotność 3. Przechodząc przez liczby pierwsze i wymieniając liczby pierwsze, można wymienić wszystkie liczb pierwszych i mógłbyś policzyć, i zobaczyć, ilu jest w Zespole 1, a ilu w Zespole 2. I jeśli obliczysz do 600 miliardów, w każdym punkcie, każda liczba do 600 miliardów, okaże się, że jest więcej liczb pierwszych Drużyny 2 niż liczb pierwszych Drużyny 1. Można więc naturalnie przypuszczać, na podstawie tych dowodów, że zawsze będzie więcej liczb pierwszych Zespołu 2 niż liczb pierwszych Zespołu 1.
Strogatz (06:33): Jasne. Całkowicie tak brzmi.
Drewno: Okazuje się, że przy liczbie około 608 miliardów coś zapomniałem dokładnej liczby, to się zmienia.
Strogatz (06:46): Och, daj spokój.
Drewno: Tak, to naprawdę się zmienia. I teraz nagle Drużyna 1 prowadzi. Więc to jest…
Strogatz (06:53): Poczekaj chwilę. Czekaj, ale to jest niesamowite. Co — teraz, czy one się zmieniają? Czy wiemy, co się dzieje, gdy idziesz dalej? Czy ciągle się zmieniają?
Drewno (07:01): Tak, świetne pytanie. Tak więc, rzeczywiście, jest to twierdzenie, że będą zmieniać leady nieskończenie często.
Strogatz (07:07): Naprawdę?
Drewno: Więc będą dalej wymieniać leady. Ale jest to naprawdę świetny przykład, który warto zapamiętać, kiedy studiujesz liczby pierwsze, że tylko dlatego, że coś było prawdziwe w pierwszych 600 miliardach przypadków, nie oznacza, że zawsze tak będzie.
Strogatz (07:25): Och, wow. Miły. Dobra. Tak więc, jak w ogóle, jak przejść od przypuszczenia do dowodu?
Drewno (07:31): Wiele zależy od sprawy. Chodzi mi o to, że w matematyce jest wiele przypadków, w których mamy przypuszczenia i nie mamy dowodów. Nie ma więc prostego przepisu, jak przejść od przypuszczenia do dowodu, inaczej nie mielibyśmy tylu słynnych otwartych problemów, w których, wiesz, są pewne przypuszczenia, że ludzie myślą, że coś działa w określony sposób, ale my nie nie wiem na pewno. Ale wiesz, czasami przypuszczenie może sugerować powody, dla których coś jest prawdą. Czasami to tylko teoria matematyczna, która jest zbudowana na coraz większej liczbie teorii matematycznych, które ludzie rozwijali przez setki lat, daje nam wystarczająco dużo narzędzi i struktur do pracy, aby zrozumieć rzeczy, na które mamy dowód. Ale nie jest tak, że przypuszczenie koniecznie prowadzi do dowodu. Hipoteza może zainspirować ludzi do próby znalezienia dowodu, ale sposób, w jaki powstaje dowód, może być całkowicie oddzielony od samego przypuszczenia.
Strogatz (08:31): Tak, interesuje mnie rodzaj wyliczania lub wymieniania rodzajów dowodów, które nie są dowodem, które prowadzą ludzi do przekonania, że warto próbować szukać dowodu.
Drewno (08:41): Tak, inną rzeczą, którą moglibyśmy nazwać dowodem, a nie tylko przykładami, byłaby heurystyka. Heurystyka może być czymś w rodzaju argumentu, z wyjątkiem znacznie niższego poziomu rygoru. To tak, czy to wydaje się w porządku? Nie „czy z całą pewnością ustaliłem ten fakt bez cienia wątpliwości?” ale "czy to - tak, wydaje się całkiem prawdopodobne." Tak więc heurystyka może być tokiem rozumowania, który wydaje się całkiem prawdopodobny, ale nie jest w rzeczywistości rygorystycznym argumentem. Więc to jest jeden rodzaj dowodów.
(09:12) Czasami można mieć model, który naszym zdaniem oddaje podstawowe elementy systemu matematycznego, który próbujemy zrozumieć, i wtedy można by przypuszczać, że twój system zachowuje się tak samo jak twój model.
Strogatz (09:30): Dobrze. W pewnym momencie chcę usłyszeć kilka przykładów modeli i przypuszczeń i, wiesz, w jakim stopniu działają lub nie działają na niektóre pytania lub nie na inne, ale jeśli nie masz nic przeciwko, to bym Lubię wracać tylko do kilku małych osobistych rzeczy, ponieważ mówimy tutaj o liczbach, a ty jesteś teoretykiem liczb. Ludzie mogą nie znać wielu teoretyków liczb w swoim codziennym życiu. Więc zastanawiam się, czy mógłbyś nam powiedzieć co to jest teoria liczb?, a także dlaczego uważasz to za interesujące? Dlaczego przyszedłeś go studiować?
Drewno (10:02) Cóż, teoria liczb to matematyczne badanie liczb całkowitych. Pomyśl więc 1, 2, 3, 4, 5. W szczególności jedną z ważnych rzeczy w liczbach całkowitych są liczby pierwsze. Jak wyjaśniłeś, na samym początku są to cegiełki, z których poprzez mnożenie możemy zbudować wszystkie inne liczby. Ponieważ teoria liczb dotyczy wszystkich tych liczb całkowitych, dotyczy również ich elementów składowych, liczb pierwszych oraz tego, jak inne liczby wpływają na liczby pierwsze i jak są zbudowane — z liczb pierwszych.
Strogatz (10:37): Tak więc teoria liczb, dla naszych dzisiejszych celów, jak sądzę, będzie badaniem liczb całkowitych, ze szczególnym zainteresowaniem liczbami pierwszymi. Wydaje się, że to całkiem niezły początek. Przypuszczam, że to coś więcej. Ale może to dla nas teraz dobra definicja. Tak myślisz?
Drewno (10:50): To dobry początek. Mam na myśli, że od tego momentu można zbadać dalsze rzeczy, takie jak: cóż, co jeśli zaczniesz rozważać systemy liczbowe, które są bardziej skomplikowane niż tylko liczby całkowite? Jak zaczynasz wstawiać inne liczby, na przykład pierwiastek kwadratowy z 2, to co się dzieje z liczbami pierwszymi i faktoryzacją? Dostajesz kolejne pytania. Ale szczerze mówiąc, jest dużo bogatej i pięknej matematyki tylko w liczbach całkowitych i liczbach pierwszych.
Strogatz (11:16): Mając to na uwadze, dlaczego uważasz to za przekonujące? Dlaczego lubisz studiować teorię liczb? Co cię do tego przyciągnęło?
Drewno (11:22): Myślę, że podoba mi się, że pytania mogą być tak konkretne. Wiesz, chodzę i rozmawiam z dziećmi ze szkoły podstawowej. I mogę im opowiedzieć o niektórych rzeczach, o których… o których myślę. Tak więc fajnie jest pracować nad czymś, co z jednej strony może być tak konkretne, ale z drugiej strony łamigłówka próbując je rozwiązać może być tak trudna. Mam na myśli to, że ludzie od tysięcy lat próbują odpowiadać na pytania dotyczące liczb całkowitych, liczb pierwszych.
(11:54) Jest wiele gałęzi matematyki. Jedną z ważnych części współczesnej teorii liczb jest to, że aby poczynić postępy w tych upartych, starych pytaniach, nad którymi ludzie pracowali od tak dawna, trzeba wprowadzić nowe idee i nawiązać połączenia z innymi częściami matematyki. Więc chociaż nazwałbym siebie teoretykiem liczb, używam matematyki z różnych dziedzin. Od studiowania, wiesz, geometrii i topologii i kształtów przestrzeni do prawdopodobieństwa i badania losowości. Używam wszystkich rodzajów matematyki, ale próbuję powiedzieć coś o takich rzeczach jak liczby całkowite i liczby pierwsze oraz faktoryzacja.
Strogatz (12:36): Tak, uwielbiam tę wizję matematyki jako tej gigantycznej, połączonej sieci pomysłów, a ty możesz chcieć żyć w określonej jej części, która jest twoją ulubioną. Ale wspomniałeś o liczbach pierwszych jako o szczególnym obszarze zainteresowania teorii liczb, najbardziej podstawowej jej części, tak naprawdę. Co jest w nich trudnego? W naszej dyskusji nie jest jeszcze jasne, co jest tam tak tajemniczego? Tak jak je zdefiniowaliśmy, przypuszczam, że moglibyśmy je dalej wymieniać. Jakie są niektóre z tych problemów, o których mówisz, a które mają setki lat?
Drewno (13:05): Cóż, jednym z największych i najważniejszych pytań, które ma może około 120 lat, jest, powiedziałeś, „och, możesz je wymienić. Gdybyś to zrobił, ile byś znalazł? Powiedzmy, że wymieniłeś liczby pierwsze, do stu, tysiąca, stu tysięcy, miliona, miliarda. Kiedy wymieniasz liczby pierwsze aż do coraz większych liczb, ile z tych liczb, przez które przechodzisz, będzie faktycznie liczbami pierwszymi? Więc zrozumienie, że ilość jest naprawdę sercem hipoteza Riemanna, który jest jednym z Clay Math Institute Problemy z Nagrodą Milenijną, za odpowiedź czeka nagroda w wysokości miliona dolarów. To jedno z najbardziej znanych pytań i nie mamy pojęcia, jak to zrobić, a tak naprawdę chodzi tylko o pytanie, kiedy wymienisz te liczby pierwsze, ile ich znajdziesz?
Strogatz (13:58): Dobrze. To zabawne, prawda? Ponieważ kiedy zaczynasz tworzyć listę, nawet jeśli ktoś od niechcenia zaczął wymieniać liczby, które są pierwsze do 100 – zauważasz kilka zabawnych rzeczy. Na przykład, na początku 11 i 13 są od siebie oddalone. Piętnaście, to nie działa, ponieważ jest podzielne przez 2 i 5. Potem 3, więc teraz jest luka 17, między 4 a 13. Ale wtedy 17 jest znowu blisko. Nie wiem, to znaczy, więc odstępy między liczbami pierwszymi mogą być trochę niepewne. Na przykład czasami jest tam dość duża luka, a czasami są tuż obok siebie, tylko 19 od siebie.
Drewno (14:31): Tak, więc zrozumienie, że odstępy i te luki również były bardzo interesujące. W ostatniej dekadzie nastąpił niezwykły postęp w zrozumieniu odstępów między liczbami pierwszymi. Ale wciąż jest naprawdę kuszące, podstawowe pytanie, na które nie znamy odpowiedzi. Wspomniałeś, że te liczby pierwsze, 11 i 13, są tylko 2 od siebie. Więc takie liczby pierwsze są nazywane bliźniaczymi liczbami pierwszymi. Nie mogliśmy oczekiwać, że liczby pierwsze zbliżą się o więcej niż 2, ponieważ po 2 wszystkie muszą być dziwne. Oto otwarte pytanie z matematyki, co oznacza, że nie znamy odpowiedzi, a to: Czy istnieje nieskończenie wiele par bliźniaczych liczb pierwszych?? A więc tutaj jest przypuszczenie, przypuszczenie byłoby tak. Chodzi mi o to, że nie tylko istnieje przypuszczenie, że „tak, powinny trwać wiecznie i zawsze powinno być ich więcej”, ale jest nawet przypuszczenie, że tak wiele można znaleźć w miarę postępu. Ale to jest całkowicie otwarte. O ile wiemy, może się zdarzyć, że kiedy dojdziesz do naprawdę dużej liczby, po prostu się zatrzymają i w ogóle nie znajdziesz więcej par bliźniaczych liczb pierwszych.
Strogatz (15:40): Jest w tym coś bardzo poetyckiego, przejmującego, ta myśl, że to może być koniec linii w pewnym momencie. Żaden z nas prawdopodobnie w to nie wierzy. Ale jest możliwe, jak sądzę, możliwe, że jest jakaś samotna para bliźniaków przytulająca się w ciemności, gdzieś tam, wiesz, na linii liczbowej.
Drewno (15:57): Tak, może być. I wiesz, jako matematycy powiedzielibyśmy, że wiesz, nie wiemy. Nawet gdybyś mógł sporządzić wykres pokazujący, ile znalazłeś, jeśli wykreślisz ten wykres, wygląda na to, że naprawdę zdecydowanie rośnie w górę i w górę w tempie, które nigdy — nigdy się nie odwróci. Ale myślę, że to część różnicy między matematyką a nauką polega na tym, że zachowujemy ten sceptycyzm i mówimy, no cóż, nie wiemy. To znaczy, być może w pewnym momencie wykres po prostu się odwraca i już nie ma.
Strogatz (16:29): A więc — podoba mi się twój obraz wykresu, ponieważ myślę, że każdy może odnieść się do tego pomysłu tworzenia wykresu, robienia jakiegoś wykresu. Wiesz, myślenie o liczbach pierwszych jak o danych. A więc myślę, że to może dobry moment, abyśmy zaczęli mówić o teorii prawdopodobieństwa. I wydaje się trochę dziwne mówienie o prawdopodobieństwie i statystykach w połączeniu z liczbami pierwszymi, ponieważ nie ma tu żadnej szansy. Liczby pierwsze są określone przez podaną przez nas definicję, że nie są podzielne. Jednak matematycy i teoretycy liczb, tacy jak ty, używali argumentów statystycznych lub probabilistycznych w myśleniu o liczbach pierwszych. Zastanawiam się, czy mógłbyś naszkicować dla mnie coś takiego za pomocą rzucania monetą i wracając do — o czym mówiliśmy na początku, liczb nieparzystych i parzystych.
Drewno (17:14): Dobrze. Więc w przeciwieństwie do liczb pierwszych, w rzeczywistości bardzo dobrze rozumiemy wzór liczb nieparzystych i parzystych. Oczywiście stają się nieparzyste, parzyste, parzyste, parzyste. Ale przypuśćmy, że nie zrozumieliśmy tego wzorca. Używamy tego, aby zrozumieć, ile liczb nieparzystych można znaleźć, jeśli spojrzy się na wszystkie liczby do miliona. Możesz sobie wyobrazić, skoro istnieją dwie możliwości, liczba może być nieparzysta lub liczba parzysta, że może ktoś poszedł i rzucił monetą dla każdej liczby, a jeśli moneta wypadła rewersem, liczba była nieparzysta. A jeśli moneta wypadła remami, liczba była parzysta. I tak możesz sprawić, że twoja osoba rzucająca monetą będzie chodzić po osi liczbowej, rzucając monetą na każdą liczbę, i powiedzmy, że albo zadeklaruje tę liczbę jako parzystą lub nieparzystą.
(18:03) Z jednej strony to nonsens. Z drugiej strony model rzucania monetą poprawi niektóre rzeczy. Na przykład, jeśli powiesz, z grubsza wiesz, ile liczb do miliona jest parzystych? Wiemy, że mniej więcej połowa rzutów monetą, która wyrzuci resztki, jeśli wykonasz ogromną liczbę rzutów monetą, na przykład milion, to około połowa z nich. I tak ten model, jakkolwiek głupi, może być, nadal może poprawnie przewidywać. I powiem, że może to zabrzmieć głupio, bo już znamy odpowiedź na to pytanie. Pomysł polega na tym, że budujemy modele dla bardziej skomplikowanych wzorów, na przykład tam, gdzie liczby pierwsze pojawiają się wśród liczb, a nie tylko tam, gdzie pojawiają się szanse.
Strogatz (18:55): Tak. Myślę, że musimy to podkreślić — jak głęboko tajemnicze są liczby pierwsze. Nie ma wzoru na liczby pierwsze, tak jak na liczby nieparzyste. Na przykład, jeśli myślisz, och, daj spokój, to jest — naprawdę mówimy tutaj o absurdalnych rzeczach, w rzeczywistości bardzo cenne jest posiadanie tych modeli statystycznych, które mogą przewidywać właściwości, które są właściwościami przeciętnymi. Podobnie jak w przypadku analogu, połowa liczb mniejszych niż duża będzie nieparzysta. To jest coś, co w przypadku liczb pierwszych jest bardzo poważnym, interesującym pytaniem. Jaki ułamek liczb mniejszych od dużej liczby jest liczbą pierwszą? I, jak mówisz, możesz stworzyć model statystyczny, który to zrobi. I co dalej, ten sam model może być użyty do przewidzenia, ile bliźniaczych liczb pierwszych byłoby mniej niż duża liczba? Czy ten sam model sprawdza się w takim przypadku?
Drewno (19:41): Więc w przypadku liczb pierwszych, gdybyśmy budowali model — wiesz, a jest model, którego używają matematycy, zwany model Cramera liczb pierwszych — gdybyśmy budowali model rzucania monetą liczb pierwszych, w którym wyobrażamy sobie, że ktoś idzie wzdłuż osi liczbowej i przy każdej liczbie, wiecie, rzuca monetą, powiedzmy, aby zdecydować, czy ta liczba jest liczbą pierwszą, czy nie, moglibyśmy włączyć do tego modelu tyle, ile wiemy o liczbach pierwszych. Przede wszystkim wiemy, że duże liczby rzadziej są liczbami pierwszymi niż mniejsze. Więc te monety musiałyby być ważone. A my — musielibyśmy spróbować podać dokładnie takie wagi, jakich oczekujemy. I wiemy, że nie można mieć dwóch liczb pierwszych obok siebie, ponieważ jedna z nich musiałaby być nieparzysta, a jedna musiałaby być parzysta. Więc umieściliśmy to w modelu. I jest jeszcze więcej rzeczy, które wiemy o liczbach pierwszych.
(20:37) Więc model jest czymś, co zaczyna się od tego modelu rzutu monetą, ale potem jest modyfikowany przez te wszystkie inne reguły i wszystkie inne rzeczy, które wiemy o liczbach pierwszych. A kiedy już włożysz wszystkie te rzeczy, które wiemy do modelu, wtedy pytasz o rzut monetą, no wiesz, model, no cóż, widzisz, nieskończenie często, monety stają się pierwsze tylko 2 od siebie? Model mówi ci, tak, widzimy to. W rzeczywistości widzimy to w tym bardzo konkretnym tempie, na które możemy podać wzór. A następnie, jeśli wykreślisz liczbę rzeczywistych bliźniaczych liczb pierwszych, w rzeczywistych liczbach, gdzie nie ma odwróconych monet, w porównaniu z przewidywaniami modelu, zobaczysz, że model daje bardzo dokładne przewidywanie liczby par bliźniaczych liczb pierwszych znajdziesz w miarę postępów. I wtedy myślisz, wiesz, może ten model wie, o czym mówi.
Strogatz (21:31): Świetnie. Chodzi mi o to, że to dość ważne, do czego właśnie dotarliśmy, to — nie używałeś jeszcze słowa komputery. Ale zakładam, że nie robisz tego ręcznie. Ludzie, którzy wymieniają bliźniacze liczby pierwsze, nie wiem, o czym mówimy? bilion bilionów bilionów bilionów? Chodzi mi o to, że mówimy o wielkich liczbach, prawda?
Drewno (21:49): Cóż, dla wyliczenia bliźniaczych liczb pierwszych, to znaczy — bezwzględnie zrobiłoby to komputer. Ale za zbudowanie tego modelu i wymyślenie formuły, którą ten model podaje. Wiesz, to jest robione ręcznie, zasadniczo przez matematyków myślących o modelu i rozgryzających go.
Strogatz (22:07): To super. Więc to jest miejsce, w którym model pokazuje swoje rzeczy, że model może faktycznie przewidzieć, co widzi komputer. I nie wymaga komputera, aby to przewidzieć. Można to zrobić ręcznie, przez ludzi, i może faktycznie prowadzić do dowodów. Tyle że są to dowody własności modelu, niekoniecznie jeszcze dowody rzeczy, która cię interesuje.
Drewno (22:28): Tak. I w pewnym momencie komputer się zatrzymuje. Wiesz, jest tylko tyle mocy obliczeniowej. Ale ta formuła, którą otrzymałeś, którą dałby ci model, którą możesz udowodnić, jest prawdziwa, znowu, w tej sytuacji podrzucania monetą modelu, ta formuła będzie działać dalej. Możesz umieścić w tej formule coraz większe liczby, znacznie większe niż kiedykolwiek mógłby obliczyć Twój komputer.
Strogatz (22:53): Powiedziałeś nam trochę o tym, jak losowość może pomóc w tworzeniu modeli interesujących zjawisk w teorii liczb i jestem pewien, że jest to również prawdą w innych dziedzinach matematyki. Czy są przypadki, w których można użyć losowości, aby przedstawić rzeczywiste dowody, a nie tylko modele?
Drewno (23:10): Absolutnie. Inną gałęzią matematyki jest teoria prawdopodobieństwa. A w teorii prawdopodobieństwa udowadniają twierdzenia o systemach losowych i ich zachowaniu. I możesz pomyśleć, że jeśli zaczniesz od czegoś przypadkowego i coś z tym zrobisz, zawsze będziesz miał coś przypadkowego. Ale jedną z niezwykle pięknych rzeczy, które można znaleźć w teorii prawdopodobieństwa, jest to, że czasami można uzyskać coś deterministycznego z czegoś losowego.
Strogatz (23:45): Jak to działa? Jak co?
Drewno (23:48): Tak. Widzieliście więc krzywą dzwonową, lub rozkład normalny, jak nazwaliby to matematycy. Pojawia się wszędzie w naturze. Jakby się to pojawiało, gdy patrzysz na ciśnienie krwi ludzi, wagę urodzeniową dziecka, czy coś takiego. I możesz pomyśleć, och, ta krzywa dzwonowa, że to jest fakt natury. Ale w rzeczywistości istnieje twierdzenie, zwane centralnym twierdzeniem granicznym w teorii prawdopodobieństwa, które mówi ci, że ta krzywa dzwonowa nie jest w pewnym sensie faktem natury, ale faktem matematycznym. Centralne twierdzenie graniczne mówi ci, że jeśli połączysz całą masę małych efektów losowych niezależnie, wynik tego będzie zawsze pasował do określonego rozkładu. Ten kształt, ta krzywa dzwonowa. Matematyka i teoria prawdopodobieństwa mogą udowodnić, że jeśli masz — jeśli połączysz wiele małych niezależnych losowych rzeczy, wynik całej tej kombinacji da ci rozkład, który wygląda jak ta krzywa dzwonowa. I tak — nawet jeśli nie wiesz, jakie były dane wejściowe. A to jest naprawdę potężne twierdzenie i naprawdę potężne narzędzie w matematyce.
Strogatz (25:05): Tak, na pewno. I podobał mi się twój nacisk na to, że nie musisz wiedzieć, co się dzieje z małymi efektami. Że to w jakiś sposób zostaje wypłukane. Ta informacja nie jest potrzebna. Krzywa dzwonowa jest przewidywalna, nawet jeśli nie wiesz, jaka jest natura małych efektów. Dopóki jest ich dużo, a są mali. I nie wpływają na siebie nawzajem, prawda, są w pewnym sensie niezależne.
Drewno (25:27): Tak, absolutnie. I to jest idea, wiesz, czasami nazywa się to uniwersalnością w teorii prawdopodobieństwa, że istnieją pewne rodzaje maszyn, które jeśli wprowadzisz dużo losowych danych wejściowych, możesz przewidzieć wynik. Na przykład, że otrzymalibyśmy tę krzywą dzwonową lub rozkład normalny, nawet jeśli nie wiemy, co wkładamy do maszyny. A to jest niesamowicie potężne, gdy są rzeczy, których nie rozumiemy zbyt dobrze, ponieważ —
Strogatz (25:56): Ale czy mówisz mi – och, przepraszam, że ci przerywam – ale czy teraz mówisz, że to się dzieje również w teorii liczb? Że jakoś pojawia się idea uniwersalności w teorii liczb? A może śnię?
Drewno (26:09): Cóż, do pewnego stopnia powiedziałbym, że to moje marzenie, które się zaczyna. Wiesz, po prostu robimy pierwsze kroki, żeby to się urzeczywistniło. Więc to nie tylko twoje marzenie, to także moje marzenie. Część pracy, którą wykonuję dzisiaj i nad którą pracujemy wraz z moimi współpracownikami, ma na celu urzeczywistnienie tego rodzaju marzeń, tak aby niektóre z tych zagadkowych pytań o liczby, na które nie znamy odpowiedzi, mogły być Zrozum, że istnieją wzorce, które wychodzą, jak krzywa dzwonowa, jak rozkład normalny, które możemy udowodnić, że wyszły z maszyny, nawet jeśli nie wiemy, w jakie tajemnice zostały wprowadzone.
Strogatz (26:55): Cóż, to bardzo inspirująca, ekscytująca wizja i mam nadzieję, że wszystko się spełni. Dziękuję bardzo za rozmowę z nami dzisiaj, Melanie.
Drewno (27:03): Dziękuję. To była świetna zabawa.
Spiker (27:06): Jeśli chcesz Radość dlaczego, Sprawdź Podcast naukowy magazynu Quanta, którego gospodarzem jest Susan Valot, jedna z producentów tego programu. Opowiedz też znajomym o tym podkaście i polub nas lub śledź, gdzie słuchasz. Pomaga ludziom znaleźć Radość dlaczego podcast.
Strogatz (27: 26): Radość dlaczego jest podcastem z Magazyn Quanta, niezależna redakcyjnie publikacja wspierana przez Fundację Simonsa. Decyzje finansowe Fundacji Simonsa nie mają wpływu na wybór tematów, gości lub inne decyzje redakcyjne w tym podkaście lub w Magazyn Quanta. Radość dlaczego jest produkowany przez Susan Valot i Polly Stryker. Nasi redaktorzy to John Rennie i Thomas Lin, wspierani przez Matta Carlstroma, Annie Melchor i Leilę Sloman. Nasza muzyka przewodnia została skomponowana przez Richiego Johnsona. Nasze logo jest autorstwa Jackie King, a grafika do odcinków jest autorstwa Michaela Drivera i Samuela Velasco. Jestem twoim gospodarzem, Steve Strogatz. Jeśli masz do nas jakieś pytania lub uwagi, napisz do nas na adres quanta@simonsfoundation.org. Dziękuję za słuchanie.
