Isaac Newton nie był znany ze swojej hojności ducha, a jego pogarda dla rywali była legendarna. Ale w jednym liście do swojego konkurenta Gottfrieda Leibniza, znanego obecnie jako Epistola tylna, Newton jest nostalgiczny i prawie przyjazny. Opowiada w nim historię z czasów studenckich, kiedy dopiero zaczynał uczyć się matematyki. Opowiada, jak dokonał wielkiego odkrycia, zrównując obszary pod krzywymi z nieskończonymi sumami w procesie zgadywania i sprawdzania. Jego rozumowanie w liście jest tak urocze i przystępne, że przypomina mi gry w odgadywanie wzorów, które lubią bawić się małe dzieci.
Wszystko zaczęło się, gdy młody Newton przeczytał książkę Johna Wallisa Arytmetyka nieskończoności, przełomowe dzieło matematyki z XVII wieku. Wallis zastosował nowatorską i indukcyjną metodę określania wartości pi, a Newton chciał wymyślić coś podobnego. Zaczął od problemu znalezienia obszaru „odcinka kołowego” o regulowanej szerokości $lateks x$. Jest to obszar pod okręgiem jednostkowym, zdefiniowany przez $lateks y=sqrt{1-x^2}$, który leży powyżej części osi poziomej od 0 do $lateks x$. Tutaj $lateks x$ może być dowolną liczbą od 0 do 1, a 1 to promień okręgu. Pole jednostkowego okręgu to pi, jak Newton dobrze wiedział, więc kiedy $lateks x=1$, pole pod krzywą to jedna czwarta okręgu jednostkowego, $latexfrac{π}{4}$. Ale dla innych wartości $lateks x$nic nie było wiadome.
Gdyby Newton znalazł sposób na wyznaczenie pola pod krzywą dla każdej możliwej wartości $lateks x$, może dać mu bezprecedensowy sposób przybliżania liczby pi. To był pierwotnie jego wielki plan. Ale po drodze znalazł coś jeszcze lepszego: metodę zastępowania skomplikowanych krzywych nieskończonymi sumami prostszych cegiełek zbudowanych z potęg $lateks x$.
Pierwszym krokiem Newtona było rozumowanie przez analogię. Zamiast celować bezpośrednio w pole odcinka kołowego, zbadał pola analogicznych odcinków ograniczone następującymi krzywymi:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton wiedział, że pola pod krzywymi na liście z potęgami liczb całkowitych (np. $latex frac{0}{2}=0$ i $latex frac{2}{2} = 1$) będą łatwe do obliczenia, ponieważ upraszczają algebraicznie. Na przykład,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Podobnie,
Ale takie uproszczenie nie jest dostępne dla równania okręgu — $lateks y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— lub innych krzywych o połówkowych potęgach. W tamtym czasie nikt nie wiedział, jak znaleźć teren pod żadnym z nich.
Na szczęście obszary pod krzywymi z potęgami liczb całkowitych były proste. Weź krzywą $lateks y_4=1-2x^2+x^4$. Dobrze znana w tamtym czasie reguła dla takich funkcji pozwalała Newtonowi (i wszystkim innym) szybko znaleźć pole: Dla dowolnej potęgi całoliczbowej $latex nge 0$, pole pod krzywą $lateks y=x^n$ powyżej odstęp od $lateks 0$ do $lateks x$ jest podane przez $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis odgadł tę zasadę za pomocą swojej metody indukcyjnej, a Pierre de Fermat udowodnił ją niezbicie). Mając tę zasadę, Newton wiedział, że pole pod krzywą $lateks y_4$ to $lateks x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Ta sama zasada pozwoliła mu znaleźć obszar pod innymi krzywymi z potęgami liczb całkowitych z powyższej listy. Napiszmy $lateks A_n$ dla powierzchni pod krzywą $lateks y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, gdzie $lateks n= 0, 1, 2, …$ . Zastosowanie reguły daje
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = hspace{.295em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = hspace{.295em}?$
$lateks A_4 = x -frak{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateks A_5 =hspace{.295em}? $
$lateks A_6 = x -frak{3}{3}x^3 + frak{3}{5}x^5 – frak{1}{7}x^7$
i tak dalej. Sprytnym pomysłem Newtona było wypełnienie luk, mając nadzieję na odgadnięcie $lateksA_1$ (seria dla nieznanego obszaru segmentu kołowego) na podstawie tego, co mógł zobaczyć w innych seriach. Jedna rzecz była od razu jasna: każda $lateksA_n$ zaczynała się po prostu od $latex x$ . To sugerowało zmianę formuł w następujący sposób:
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_4 = x -frak{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateks A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_6 = x -frak{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Następnie, aby zastąpić następną partię znaków zapytania, Newton przyjrzał się terminom $latex x^3$. Przy odrobinie licencji możemy zobaczyć, że nawet $lateksA_0$ ma jeden z tych wyrazów sześciennych, ponieważ możemy go przepisać jako $lateks A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Jak wyjaśnił Leibnizowi Newton, zauważył, że „drugi wyraz $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ itd. były w ciągu arytmetycznym” (odwoływał się do 0, 1, 2, 3 w licznikach). Podejrzewając, że ten ciąg arytmetyczny może rozciągać się również na luki, Newton domyślił się, że cały ciąg liczników, znanych i nieznanych, powinien być liczbami oddzielonymi przez $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ „i stąd te dwa pierwsze terminy serii”, którymi się interesował — wciąż nieznany $lateks A_1$ , $latex A_3$ i $latex A_5$ — „powinno być $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ itd.”
Tak więc na tym etapie wzorce zasugerowały Newtonowi, że $lateks A_1$ powinien zaczynać się jako
$lateks A_1 = x-frak{1}{3}(frak{1}{2}x^3) + …$.
To był dobry początek, ale potrzebował więcej. Szukając innych wzorców, Newton zauważył, że mianowniki w równaniach zawsze zawierają liczby nieparzyste w porządku rosnącym. Na przykład spójrz na $lateks A_6$, który ma 1, 3, 5 i 7 w mianownikach. Ten sam wzór działał dla $lateksu A_4$ i $lateksu A_2$. Wystarczająco proste. Ten wzór najwyraźniej utrzymywał się we wszystkich mianownikach wszystkich równań.
Pozostało tylko znaleźć wzór w licznikach. Newton ponownie zbadał $lateks A_2$, $lateks A_4$ i $lateks A_6$ i coś zauważył. W $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ zobaczył 1 mnożącą $lateks x$ i kolejną 1 w wyrażeniu $latexfrac {1}{3}x^3$ (zignorował jego na razie ujemny znak). W $lateks A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ widział liczniki 1, 2, 1. A w $lateks A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , widział liczniki 1, 3, 3, 1. Te liczby powinny być znajome każdemu kto kiedykolwiek studiował trójkąt Pascala, trójkątny układ liczb, który w najprostszym przypadku tworzy się przez dodanie do siebie liczb znajdujących się powyżej, zaczynając od 1 na górze.
Zamiast odwoływać się do Pascala, Newton określił te liczniki jako „potęgi liczby 11.”. Na przykład 112 = 121, czyli drugi rząd w trójkącie, a 113 = 1331, czyli trzecia. Obecnie liczby te nazywane są również współczynnikami dwumianowymi. Powstają, gdy rozszerzysz potęgi dwumianu, takiego jak ($lateks a +b$), jak w $lateks (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Mając ten wzór w ręku, Newton miał teraz łatwy sposób na wypisanie $lateks A_2, A_4, A_6$ i wszystkie inne parzyste A.
Następnie, aby ekstrapolować swoje wyniki na półpotęgi i nieparzyste indeksy dolne (i wreszcie dostać się do żądanej serii, $lateks A_1$), Newton musiał rozszerzyć trójkąt Pascala do fantastycznego nowego reżimu: w połowie drogi między rzędami. Aby przeprowadzić ekstrapolację, wyprowadził ogólny wzór na współczynniki dwumianowe w dowolnym wierszu trójkąta Pascala — wiersz $lateks m$ — a następnie odważnie wstawił $lateks m= frac{1}{2}$. I o dziwo zadziałało. To dało mu liczniki w serii, której szukał dla koła jednostkowego, $lateksA_1$.
Oto, słowami samego Newtona, jego podsumowanie dla Leibniza wzorców, które zauważył indukcyjnie do tego etapu argumentacji:
Zacząłem myśleć, że mianowniki 1, 3, 5, 7 itd. są w postępie arytmetycznym, tak że współczynniki liczbowe samych liczników wciąż wymagają zbadania. Ale w naprzemiennie podanych polach były to cyfry potęg liczby 11 … czyli pierwszej „1”; następnie „1, 1”; po trzecie, „1, 2, 1”; po czwarte „1, 3, 3, 1”; piąty '1, 4, 6, 4, 1' itd. i tak zacząłem dociekać, jak pozostałe liczby w serii można wyprowadzić z pierwszych dwóch podanych liczb, i stwierdziłem, że po wstawieniu $latex m$ na drugie rysunek, reszta powstałaby przez ciągłe mnożenie terminów z tej serii,
$lateks frac{m-0}{1} razy frac{m-1}{2} razy frac {m-2}{3} razy frac{m-3}{4} razy frac {m-4}{5 }$ itp.
… W związku z tym zastosowałem tę zasadę do wstawiania serii między szeregi, a ponieważ dla koła drugim wyrazem był $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, wstawiłem $latex m=frac{1}{2}$, a powstałe warunki były
$latex frac {1}{2} razy frac{frac{1}{2}-1}{2}$ lub $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} razy frac{frac{1}{2}-2}{3}$ lub $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} razy frac{frac{1}{2}-3}{4}$ lub $latex – frac {5}{128}$,tak do nieskończoności. Stąd zrozumiałem, że obszar kołowego odcinka, który chciałem, to
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Wreszcie, podłączając $latex x=1$, Newton mógł otrzymać nieskończoną sumę za $latexfrac{π}{4}$. Było to ważne odkrycie, ale okazuje się, że istnieją lepsze sposoby przybliżania liczby pi za pomocą nieskończonej sumy, jak sam Newton odkrył wkrótce po tym wstępnym wtargnięciu w tego rodzaju sumy nieskończone, obecnie nazywane szeregami potęgowymi. W końcu obliczył pierwsze 15 cyfr liczby pi.
Wracając do problemu segmentu kołowego, Newton zdał sobie sprawę, że równanie samego okręgu (a nie tylko obszaru pod nim) może być również reprezentowane przez szereg potęgowy. Wszystko, co musiał zrobić, to pominąć mianowniki i zmniejszyć potęgi $lateksu x$ o 1 w przedstawionej powyżej serii potęg. W ten sposób doszedł do wniosku, że
Aby sprawdzić, czy ten wynik ma sens, Newton pomnożył go przez siebie: „Stało się $lateksem 1-x^2$, pozostałe wyrażenia zniknęły w wyniku kontynuacji serii do nieskończoności”.
Odchodząc nieco od szczegółów, widzimy tutaj kilka lekcji na temat rozwiązywania problemów. Jeśli problem jest zbyt trudny, zmień go. Jeśli wydaje się to zbyt szczegółowe, uogólnij je. Newton zrobił jedno i drugie i uzyskał wyniki ważniejsze i potężniejsze niż to, czego początkowo szukał.
Newton nie skupiał się uparcie na ćwiartce koła. Spojrzał na znacznie bardziej ogólny kształt, dowolny okrągły segment o szerokości $lateks x$. Zamiast trzymać się $lateksu x=1$, pozwolił $lateksowi x$ swobodnie poruszać się od 0 do 1. To ujawniło dwumianowy charakter współczynników w jego szeregu — nieoczekiwane pojawienie się liczb w trójkącie Pascala i ich uogólnienia — które niech Newton zobaczy wzorce, które przeoczył Wallis i inni. Obserwacja tych wzorców dała Newtonowi spostrzeżenia, których potrzebował, aby rozwinąć teorię szeregów potęgowych znacznie szerzej i ogólnie.
W swojej późniejszej pracy seria Power Newtona dała mu szwajcarski scyzoryk do rachunku różniczkowego. Za ich pomocą mógł wykonywać całki, znajdować pierwiastki równań algebraicznych oraz obliczać wartości sinusów, cosinusów i logarytmów. Jak to ujął: „Dzięki ich pomocy analiza sięga, można powiedzieć, prawie wszystkich problemów”.
Morał: Zmiana problemu nie jest oszustwem. Jest kreatywny. I może być kluczem do czegoś większego.
