Jak prosta matematyka porusza igłą | Magazyn Quanta

Wyobraź sobie, że jedziesz ulicą samochodem bez kierowcy i widzisz przed sobą problem. Kierowca dostawy Amazon minął swoją furgonetkę w połowie drogi obok zaparkowanej podwójnie ciężarówki UPS, zanim zdał sobie sprawę, że nie da rady przejechać. Teraz utknęli. I ty też.

Ulica jest zbyt wąska, aby zjechać z niej U-ey, więc Twój samochód wyposażony w sztuczną inteligencję inicjuje zakręt o trzy punkty. Najpierw samochód pokonuje krętą ścieżkę w kierunku jednego krawężnika. Tam skręca w drugą stronę i cofa się do przeciwległego krawężnika. Następnie skręca kierownicę z powrotem w kierunku pierwszego zakrętu, jadąc do przodu i oddalając się od przeszkody.

Ten prosty algorytm geometryczny wykonywania zakrętów pośrednich może pomóc w poruszaniu się w trudnych sytuacjach. (Jeśli kiedykolwiek parkowałeś równolegle, wiesz, co może dla ciebie zrobić to poruszanie się w przód i w tył.)

Mamy tu zabawny problem matematyczny dotyczący tego, ile miejsca potrzeba do obrócenia samochodu, a matematycy pracowali nad jego wyidealizowaną wersją od ponad 100 lat. Zaczęło się w 1917 roku, kiedy japoński matematyk Sōichi Kakeya postawił problem, który przypomina trochę nasz korek uliczny. Załóżmy, że masz nieskończenie cienką igłę o długości 1. Jakie jest pole najmniejszego obszaru, w którym możesz obrócić igłę o 180 stopni i przywrócić ją do pierwotnego położenia? Jest to znane jako problem igły Kakeyi i matematycy wciąż badają jego odmiany. Przyjrzyjmy się prostej geometrii, która sprawia, że ​​problem igły Kakeyi jest tak interesujący i zaskakujący.

Podobnie jak wiele problemów matematycznych, ten obejmuje pewne upraszczające założenia, które czynią go mniej realistycznym, ale łatwiejszym do opanowania. Na przykład długość i szerokość samochodu mają znaczenie podczas jazdy, ale założymy, że nasza igła ma długość 1 i szerokość zero. (Oznacza to, że sama igła ma powierzchnię zerową, co odgrywa ważną rolę w rozwiązaniu problemu.) Założymy również, że igła, w przeciwieństwie do samochodu, może obracać się wokół swojego przedniego i tylnego końca lub dowolny punkt pomiędzy.

Celem jest znalezienie najmniejszego obszaru, w którym igła obróci się o 180 stopni. Znalezienie najmniejszej rzeczy spełniającej określony zestaw warunków może być trudne, ale dobrym sposobem na rozpoczęcie jest szukanie czegokolwiek, co spełnia te warunki i zobaczenie, czego możesz się po drodze nauczyć. Na przykład łatwą odpowiedzią jest po prostu obrócenie igły o 180 stopni wokół jej punktu końcowego, a następnie przesunięcie jej z powrotem do góry. To przywraca igłę do pierwotnej pozycji, ale teraz jest skierowana w przeciwnym kierunku, czego wymaga problem z igłą Kakeyi.

Obszar wymagany do wykonania skrętu to półkole o promieniu 1, którego powierzchnia wynosi $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Znaleźliśmy więc jeden region, który się sprawdza.

Możemy osiągnąć więcej, wykorzystując zdolność naszej magicznej matematycznej igły do ​​obracania się wokół dowolnego punktu. Zamiast obracać go wokół punktu końcowego, obróćmy go wokół punktu środkowego.

Można to nazwać kompasem Kakeyi: nasza igła zaczyna wskazywać północ, ale po obrocie znajduje się w tym samym miejscu, ale wskazuje południe. Ten obszar to okrąg o promieniu $latex frac{1}{2}$, więc jego pole wynosi $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. To połowa powierzchni naszego pierwszego regionu, więc robimy postępy.

Gdzie teraz? Moglibyśmy zainspirować się naszym dylematem dotyczącym samochodu autonomicznego i rozważyć zastosowanie czegoś w rodzaju trzypunktowego obrotu igły. To faktycznie działa całkiem nieźle.

Obszar wymieciony tą techniką przez igłę nazywa się mięśniem naramiennym i również spełnia wymagania Kakeyi. Obliczenie jego pola wymaga czegoś więcej niż elementarnej geometrii, o której tu mówimy (znajomość krzywych parametrycznych pomaga), ale okazuje się, że pole tego konkretnego mięśnia naramiennego — tego, które obejmuje odcinek o długości 1 — wynosi dokładnie $latex frac{pi}{8}$. Teraz mamy jeszcze mniejszy obszar, w którym możemy obrócić igłę Kakeyi i wybaczy wam, jeśli pomyślicie, że to najlepsze, co możemy zrobić. Sam Kakeya uważał, że tak może być.

Problem z igłą przybrał jednak ogromny obrót, gdy rosyjski matematyk Abram Besicovitch odkrył, że można działać nieskończenie lepiej. Opracował procedurę usuwania niepotrzebnych fragmentów regionu, aż będzie tak mały, jak chciał.

Proces jest techniczny i skomplikowany, ale jedna strategia oparta na pomyśle Besicovitcha opiera się na dwóch prostych pomysłach. Najpierw rozważ poniższy trójkąt prostokątny o wysokości 1 i podstawie 2.

Na razie zapomnimy o całkowitym obróceniu igły i skupimy się na jednym prostym fakcie: jeśli umieścimy igłę o długości 1 w górnym wierzchołku, trójkąt będzie na tyle duży, że igła obróci się o pełne 90° stopni z jednej strony na drugą.

Ponieważ pole trójkąta wynosi $latex A=frac{1}{2}bh$, pole tego trójkąta wynosi $latex A=frac{1}{2} razy 2 razy 1 = 1$.

Oto pierwsza ważna idea: możemy zmniejszyć obszar regionu, zachowując obrót o 90 stopni. Strategia jest prosta: przecinamy trójkąt przez środek, a następnie łączymy obie połówki.

Pole tej nowej figury musi być mniejsze niż oryginalne, ponieważ części trójkąta teraz na siebie zachodzą. W rzeczywistości łatwo jest obliczyć pole figury: to tylko trzy czwarte kwadratu boku 1, więc pole wynosi $latex A = frac{3}{4}$, czyli mniej niż pole trójkąt, od którego zaczynaliśmy.

Nadal możemy skierować igłę we wszystkich tych samych kierunkach, co poprzednio. Jest tylko jeden problem: pierwotny kąt został podzielony na dwie części, więc te kierunki są teraz podzielone na dwa oddzielne obszary.

Jeśli igła znajduje się po lewej stronie nowego regionu, możemy obrócić ją o 45 stopni między południem a południowym wschodem, a jeśli jest po prawej stronie, możemy obrócić ją o 45 stopni między południem a południowym zachodem, ale ponieważ te dwie części są oddzielone , nie wydaje się, żebyśmy mogli obrócić go o pełne 90 stopni, jak to było możliwe wcześniej.

W tym miejscu pojawia się drugi ważny pomysł. Istnieje podstępny sposób na przeniesienie igły z jednej strony na drugą, który nie wymaga dużego obszaru. W szachach możesz wiedzieć, że skoczek porusza się w kształcie litery L. Cóż, nasza igła będzie poruszać się w kształcie litery N.

Oto jak to się robi. Najpierw igła przesuwa się w górę po jednej stronie litery N. Następnie obraca się, wskazując wzdłuż przekątnej i zsuwa się w dół. Następnie obraca się ponownie i kończy swoją podróż, przesuwając się po drugiej stronie N.

Na początku ten ruch w kształcie litery N może nie wyglądać zbyt dobrze, ale robi coś bardzo przydatnego. Pozwala igle „przeskakiwać” z jednej równoległej linii na drugą, co ułatwi nam przedostanie się igłą z jednego miejsca w drugie. Co ważniejsze, robi to bez konieczności zajmowania dużej powierzchni. W rzeczywistości możesz sprawić, że będzie wymagał tak małej powierzchni, jak tylko chcesz. Dlatego.

Przypomnijmy, że nasza igła ma zerową szerokość. Zatem każda linia, wzdłuż której porusza się igła, do przodu lub do tyłu, będzie miała pole zerowe. Oznacza to, że obszar wymagany do przesunięcia igły w górę, w dół lub po przekątnej wzdłuż kształtu N będzie składał się z kawałków o zerowej powierzchni.

To po prostu pozostawia obroty w rogach kształtu N.

Te ruchy wymagają obszaru. W każdym rogu widać mały wycinek koła. Ale oto podstępna część: możesz zmniejszyć te regiony, wydłużając N.

Wzór na pole sektora koła to $latex A = frac{theta} pi r^360$, gdzie $latex theta$ jest miarą kąta sektora w stopniach. Nieważne jak wysokie jest N, promień sektora zawsze będzie wynosić 2: to długość igły. Jednak gdy N staje się wyższe, kąt się kurczy, co zmniejszy obszar sektora. W ten sposób możesz zmniejszyć dodatkowy obszar tak, jak chcesz, rozciągając N tak bardzo, jak potrzebujesz.

Pamiętaj, że udało nam się zmniejszyć obszar naszego trójkątnego obszaru, dzieląc go na dwie części i nakładając na siebie części. Problem polegał na tym, że podzieliło to kąt 90 stopni na dwie oddzielne części, uniemożliwiając nam obrót igły o pełne 90 stopni. Teraz możemy rozwiązać ten problem, przyczepiając odpowiedni kształt N, aby mieć pewność, że igła przejdzie z jednej strony na drugą.

W tym zaktualizowanym regionie igła może nadal obracać się o pełne 90 stopni, jak poprzednio, teraz dzieje się to w dwóch etapach. Najpierw igła obraca się o 45 stopni i ustawia się w jednej linii z pionową krawędzią po lewej stronie. Następnie porusza się wzdłuż kształtu N, aby przedostać się na drugą stronę. Gdy już tam będzie, można obrócić pozostałe o 45 stopni.

Spowoduje to przesunięcie igły o 90 stopni i aby się obracała, wystarczy dodać obrócone kopie regionu.

Po dodaniu odpowiednich kształtów N igła może przeskakiwać z jednego trójkątnego półwyspu na drugi, obracając się stopniowo, aż dotrze dookoła, zupełnie jak samochód wykonujący zakręt o trzy punkty.

W szczegółach kryje się bardziej diabelska matematyka, ale te dwa pomysły — mówiące, że możemy stale zmniejszać obszar pierwotnego regionu, dzieląc go i przesuwając, upewniając się, że możemy przedostać się z kawałka na kawałek za pomocą dowolnie małych kształtów N — pomogły nam przesuwaj igłę w stale kurczącym się obszarze, który ostatecznie może być tak mały, jak chcesz.

Bardziej standardowe podejście do budowania tego rodzaju regionu zaczyna się od trójkątów równobocznych i wykorzystuje „drzewa Perrona”, które są sprytnymi sposobami dzielenia trójkątów, rozciągania i ponownego zsuwania części. Rezultat jest wręcz oszałamiający.

Ostatnio matematycy to zrobili Postępy nad nowymi odmianami tego starego problemu, osadzonymi w wyższych wymiarach i z różnymi pojęciami rozmiaru. Prawdopodobnie nigdy nie zobaczymy samochodu napędzanego sztuczną inteligencją wykonującego zakręt typu Kakeya, ale nadal możemy docenić piękno i prostotę jego niemal nicości.

ćwiczenia

1. Jakie jest pole najmniejszego trójkąta równobocznego, który spełnia funkcję zestawu igieł Kakeya?

2. Możesz zrobić trochę lepiej niż trójkąt równoboczny z ćwiczenia 1, używając „trójkąta Reuleaux” – obszaru utworzonego przez trzy nakładające się okrągłe sektory. Jakie jest pole najmniejszego trójkąta Reuleaux, który działa?