Michel Talagrand zdobywa nagrodę Abela za walkę z losowością w pracy | Magazyn Quanta

Losowe procesy zachodzą wokół nas. Jednego dnia pada deszcz, ale następnego już nie; akcje i obligacje zyskują i tracą na wartości; korki łączą się i znikają. Ponieważ rządzi nimi wiele czynników, które w skomplikowany sposób oddziałują na siebie, nie da się przewidzieć dokładnego zachowania takich systemów. Zamiast tego myślimy o nich w kategoriach prawdopodobieństwa, charakteryzując wyniki jako prawdopodobne lub rzadkie.

Dziś francuski teoretyk prawdopodobieństwa Michela Talagranda otrzymał Nagrodę Abela, jedno z najwyższych wyróżnień w matematyce, za pogłębione i wyrafinowane zrozumienie takich procesów. Nagroda przyznawana przez króla Norwegii wzorowana jest na Nagrodzie Nobla i wynosi 7.5 miliona koron norweskich (około 700,000 XNUMX dolarów). Kiedy powiedziano mu, że wygrał, „w głowie zrobiło mi się pusto” – powiedział Talagrand. „Kiedy zaczynałem, rodzaj matematyki, który uprawiam, nie był w ogóle modny. Uważano ją za gorszą matematykę. Fakt, że otrzymałem tę nagrodę, jest absolutnym dowodem, że tak nie jest.”

Inni matematycy zgadzają się z tym. Praca Talagranda „zmieniła sposób, w jaki postrzegam świat” – stwierdziła Asaf Naor Uniwersytetu Princeton. Dzisiaj dodano Helge Holdena, przewodniczący komitetu nagrody Abela, „bardzo popularne staje się opisywanie i modelowanie wydarzeń w świecie rzeczywistym za pomocą procesów losowych. Natychmiast pojawia się skrzynka z narzędziami Talagranda.

Talagrand postrzega swoje życie jako ciąg nieprawdopodobnych wydarzeń. Ledwo zdał szkołę podstawową w Lyonie: chociaż interesował się naukami ścisłymi, nie lubił się uczyć. W wieku 5 lat stracił wzrok na prawe oko w wyniku odklejenia się siatkówki; w wieku 15 lat doznał trzech odwarstwień siatkówki w drugim oku, co zmusiło go do spędzenia miesiąca w szpitalu z zabandażowanymi oczami w obawie, że oślepnie. Codziennie odwiedzał go ojciec, profesor matematyki, zajmując jego umysł nauczaniem matematyki. „W ten sposób poznałem siłę abstrakcji” – Talagrand napisał w 2019 po zdobyciu nagrody Shawa, kolejnej ważnej nagrody matematycznej, za którą nagroda wynosi 1.2 miliona dolarów. (Talagrand przeznacza część tych pieniędzy, wraz ze swoimi wygranymi w Abelu, na ufundowanie własnej nagrody „uznającej osiągnięcia młodych badaczy w dziedzinach, którym poświęciłem swoje życie”).

Do czasu powrotu do zdrowia opuścił pół roku szkoły, ale zainspirowało go to do skupienia się na nauce. Wyróżniał się matematyką, a po ukończeniu studiów w 1974 r. został zatrudniony we francuskim Narodowym Centrum Badań Naukowych, największym instytucie badawczym w Europie, gdzie pracował aż do przejścia na emeryturę w 2017 r. W tym czasie uzyskał stopień doktora; zakochał się w swojej przyszłej żonie, statystce, od pierwszego wejrzenia (oświadczył jej się trzy dni po spotkaniu); i stopniowo zainteresował się prawdopodobieństwem, publikując setki artykułów na ten temat.

To nie było z góry przesądzone. Talagrand rozpoczął karierę od studiowania wielowymiarowych przestrzeni geometrycznych. „Przez 10 lat nie odkryłem, w czym jestem dobry” – powiedział. Ale nie żałuje tego objazdu. Ostatecznie doprowadziło go to do teorii prawdopodobieństwa, gdzie „miałem inny punkt widzenia… który pozwolił mi spojrzeć na sprawy inaczej” – powiedział. Umożliwiło mu to badanie procesów losowych przez pryzmat geometrii wielowymiarowej.

„Wykorzystuje swoją geometryczną intuicję do rozwiązywania problemów czysto probabilistycznych” – powiedział Naor.

Proces losowy to zbiór zdarzeń, których wyniki różnią się w zależności od przypadku w sposób, który można modelować — na przykład sekwencję rzutów monetą, trajektorie atomów w gazie lub dzienne sumy opadów. Matematycy chcą zrozumieć związek między indywidualnymi wynikami a zagregowanym zachowaniem. Ile razy musisz rzucić monetą, aby dowiedzieć się, czy jest to sprawiedliwe? Czy rzeka wyleje z brzegów?

Talagrand skupił się na procesach, których wyniki rozkładają się według krzywej w kształcie dzwonu zwanej Gaussem. Rozkłady takie mają charakter powszechny i ​​posiadają szereg pożądanych właściwości matematycznych. Chciał wiedzieć, co można z całą pewnością powiedzieć o ekstremalnych skutkach w takich sytuacjach. Udowodnił zatem zbiór nierówności wyznaczających ścisłe górne i dolne granice możliwych wyników. „Uzyskanie dobrej nierówności jest dziełem sztuki” – powiedział Holden. Ta sztuka jest przydatna: metody Talagranda mogą dać optymalne oszacowanie, powiedzmy, najwyższego poziomu, do jakiego rzeka może wzrosnąć w ciągu następnych 10 lat, lub wielkości najsilniejszego potencjalnego trzęsienia ziemi.

Kiedy mamy do czynienia ze złożonymi, wielowymiarowymi danymi, znalezienie takich maksymalnych wartości może być trudne.

Załóżmy, że chcesz ocenić ryzyko wylewu rzeki — które będzie zależeć od czynników takich jak opady deszczu, wiatr i temperatura. Możesz modelować wysokość rzeki jako proces losowy. Talagrand spędził 15 lat opracowując technikę zwaną generycznym łańcuchem, która pozwoliła mu stworzyć wielowymiarową przestrzeń geometryczną powiązaną z tak losowym procesem. Jego metoda „umożliwia odczytanie maksimum z geometrii” – powiedział Naor.

Technika ta jest bardzo ogólna i dlatego ma szerokie zastosowanie. Załóżmy, że chcesz przeanalizować ogromny, wielowymiarowy zbiór danych zależny od tysięcy parametrów. Aby wyciągnąć sensowny wniosek, należy zachować najważniejsze cechy zbioru danych, jednocześnie charakteryzując go za pomocą zaledwie kilku parametrów. (Jest to na przykład jeden ze sposobów analizy i porównania skomplikowanych struktur różnych białek). Wiele najnowocześniejszych metod osiąga to uproszczenie poprzez zastosowanie losowej operacji, która odwzorowuje dane wielowymiarowe na przestrzeń o niższych wymiarach . Matematycy mogą zastosować ogólną metodę tworzenia łańcuchów Talagranda, aby określić maksymalną ilość błędów wprowadzanych przez ten proces, co pozwala im określić prawdopodobieństwo, że jakaś ważna cecha nie zostanie zachowana w uproszczonym zbiorze danych.

Praca Talagranda nie ograniczała się tylko do analizy najlepszych i najgorszych możliwych wyników losowego procesu. Badał także, co dzieje się w przeciętnym przypadku.

W wielu procesach losowe pojedyncze zdarzenia mogą łącznie prowadzić do wysoce deterministycznych wyników. Jeśli pomiary są niezależne, sumy stają się bardzo przewidywalne, nawet jeśli nie da się przewidzieć każdego pojedynczego zdarzenia. Na przykład rzuć uczciwą monetą. Nie możesz z góry powiedzieć nic o tym, co się stanie. Odwróć go 10 razy, a otrzymasz cztery, pięć lub sześć orłów – blisko oczekiwanej wartości pięciu orłów – w około 66% przypadków. Ale rzuć monetą 1,000 razy, a w 450% przypadków otrzymasz od 550 do 99.7 reszek, a wynik jeszcze bardziej koncentruje się wokół oczekiwanej wartości 500. „Wydaje się wyjątkowo ostry w okolicach średniej” – powiedział Holden.

„Nawet jeśli w czymś jest tak dużo losowości, losowość sama się znosi” – powiedział Naor. „To, co początkowo wydawało się strasznym bałaganem, w rzeczywistości zostało zorganizowane”.

Zjawisko to, zwane koncentracją miary, występuje również w znacznie bardziej skomplikowanych procesach losowych. Talagrand stworzył zbiór nierówności pozwalających określić ilościowo tę koncentrację i udowodnił, że pojawia się ona w wielu różnych kontekstach. Jego techniki oznaczały odejście od wcześniejszych prac w tej dziedzinie. Udowodnienie pierwszej takiej nierówności, jak napisał w swoim eseju z 2019 roku, było „magicznym doświadczeniem”. Był „w stanie ciągłego uniesienia”.

Jest szczególnie dumny z jednej ze swoich późniejszych nierówności w koncentracji. „Nie jest łatwo uzyskać wynik, który uwzględnia wszechświat, a jednocześnie zawiera jednostronicowy dowód, który jest łatwy do wyjaśnienia” – powiedział. (Z radością wspomina, jak kiedyś skorzystał z taksówki, której właściciel rozpoznał jego nazwisko, ponieważ o nierówności dowiedział się podczas zajęć z prawdopodobieństwa w szkole biznesu. „To było niezwykłe” – powiedział.)

Podobnie jak jego ogólna metoda łączenia łańcuchowego, nierówności koncentracji Talagranda pojawiają się w całej matematyce. „To niesamowite, jak daleko to sięga” – powiedział Naor. „Nierówności Talagranda to śruby, które spajają wszystko”.

Rozważ problem optymalizacji, w którym musisz posortować elementy o różnych rozmiarach do pojemników — jest to model alokacji zasobów. Kiedy masz dużo przedmiotów, bardzo trudno jest ustalić najmniejszą liczbę potrzebnych pojemników. Ale nierówności Talagranda mogą ci powiedzieć, ile pojemników będziesz prawdopodobnie potrzebować, jeśli rozmiary przedmiotów są losowe.

Podobne metody zastosowano do udowodnienia zjawisk koncentracji w kombinatoryce, fizyce, informatyce, statystyce i innych ustawieniach.

Niedawno Talagrand zastosował swoją wiedzę o procesach losowych, aby udowodnić ważne przypuszczenie dotyczące okularów spinowych, nieuporządkowanych materiałów magnetycznych powstających w wyniku przypadkowych, często sprzecznych interakcji. Talagrand był sfrustrowany faktem, że chociaż okulary spinowe są matematycznie dobrze zdefiniowane, fizycy rozumieli je lepiej niż matematycy. „To była cierń w naszej stopie” – powiedział. Udowodnił wynik dotyczący tak zwanej energii swobodnej okularów spinowych, który dał podstawę bardziej matematycznej teorii.

Przez całą swoją karierę badania Talagranda charakteryzowały się „umiejętnością cofnięcia się i znalezienia ogólnych zasad, które można wszędzie zastosować ponownie” – powiedział Naor. „Ponownie odwiedza i myśli o czymś z różnych perspektyw. I w końcu przedstawia spostrzeżenie, które staje się narzędziem, z którego wszyscy korzystają”.

„Lubię bardzo dobrze rozumieć proste rzeczy, ponieważ mój mózg jest bardzo powolny” – powiedział Talagrand. „Dlatego myślę o nich przez bardzo, bardzo długi czas”. Kieruje nim, jak stwierdził, chęć „zrozumienia czegoś głęboko, w czysty sposób, co znacznie ułatwia teorię. Wtedy następne pokolenie będzie mogło zacząć od tego miejsca i osiągać postępy na własnych warunkach”.

W ciągu ostatniej dekady osiągnął to, pisząc podręczniki – nie tylko o procesach losowych i okularach spinowych, ale także o obszarze, w którym w ogóle się nie porusza, czyli kwantowej teorii pola. Chciał się o tym dowiedzieć, ale zdał sobie sprawę, że wszystkie podręczniki, jakie udało mu się znaleźć, zostały napisane przez fizyków i dla nich, a nie matematyków. Więc sam coś napisał. „Kiedy nie będziesz już mógł wymyślać rzeczy, będziesz mógł je wyjaśnić” – powiedział.