Kwantowy algorytm Goemansa-Williamsona z testem Hadamarda i ograniczeniami przybliżonej amplitudy

Kwantowy algorytm Goemansa-Williamsona z testem Hadamarda i ograniczeniami przybliżonej amplitudy

Znacznik czasu: 12 lipca 2023 8:29

Taylora L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2i Susanne F. Yelin1

1Wydział Fizyki, Uniwersytet Harvarda, Cambridge, Massachusetts 02138, USA
2NVIDIA, Santa Clara, Kalifornia 95051, USA
3Wydział Informatyki i Nauk Matematycznych (CMS), California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, CA 91125 USA

Czy ten artykuł jest interesujący czy chcesz dyskutować? Napisz lub zostaw komentarz do SciRate.

Abstrakcyjny

Programy półokreślone to metody optymalizacyjne o szerokim spektrum zastosowań, takie jak aproksymacja trudnych problemów kombinatorycznych. Jednym z takich półokreślonych programów jest algorytm Goemansa-Williamsona, popularna technika relaksacji liczb całkowitych. Wprowadzamy wariacyjny algorytm kwantowy dla algorytmu Goemansa-Williamsona, który wykorzystuje tylko kubity $n{+}1$, stałą liczbę przygotowań obwodów i wartości oczekiwane $text{poly}(n)$, aby w przybliżeniu rozwiązać półokreślone programy ze zmiennymi do $N=2^n$ i ograniczeniami $M sim O(N)$. Efektywną optymalizację uzyskuje się poprzez zakodowanie macierzy celu jako odpowiednio sparametryzowanej jednostki jednostkowej uwarunkowanej pomocniczym kubitem, techniką znaną jako test Hadamarda. Test Hadamarda umożliwia nam optymalizację funkcji celu poprzez oszacowanie tylko jednej wartości oczekiwanej kubitu ancilla, zamiast osobnego szacowania wykładniczego wielu wartości oczekiwanych. W podobny sposób ilustrujemy, że półokreślone ograniczenia programistyczne mogą być skutecznie egzekwowane przez wdrożenie drugiego testu Hadamarda, jak również nałożenie wielomianowych ograniczeń amplitudy strun Pauliego. Demonstrujemy skuteczność naszego protokołu, opracowując wydajną kwantową implementację algorytmu Goemansa-Williamsona dla różnych problemów NP-trudnych, w tym MaxCut. Nasza metoda przewyższa wydajność analogicznych metod klasycznych na zróżnicowanym podzbiorze dobrze zbadanych problemów MaxCut z biblioteki GSet.

Kwantowy algorytm Goemansa-Williamsona z testem Hadamarda i przybliżonymi ograniczeniami amplitudowymi PlatoBlockchain Data Intelligence. Wyszukiwanie pionowe. AI.

Wyróżniony obraz: Diagram HTAAC-QSDP dla algorytmu Goemansa-Williamsona z $n=3$ niepomocniczymi kubitami. a) Klasyczny problem zmiennych $N$ (tutaj problem MaxCut z wierzchołkami $N$, gdzie $N=8$). Macierz wag $W$ służy do generowania jednostkowego $U_W$. b) Test Hadamarda służy do efektywnej oceny funkcji celu i ograniczeń równoważenia populacji. Stan $n$-qubit $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ jest przygotowywany za pomocą wariacyjnego obwodu kwantowego $U_V$. Kubit $n+1$th (pomocniczy) jest inicjowany jako $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Następnie wykonywany jest test Hadamarda: $U_W$ jest implementowany jako kontrolowana jednostkowa uwarunkowana na kubicie pomocniczym, który jest następnie mierzony w celu obliczenia $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im}[langle psi|U_W|psi rangle]$ lub $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi zakres] $. c) Ograniczenia amplitudowe $M=2^n$ SDP są w przybliżeniu wymuszane tylko przez $m sim text{poly}(n)$ ograniczenia łańcuchowe Pauliego. Oblicza się je, zbierając pomiary $n$-qubit Pauli-$z$ i używając statystyk krańcowych do oszacowania wartości oczekiwanych $m$.

Popularne podsumowanie

Programy półokreślone pozwalają nam aproksymować szeroki wachlarz trudnych problemów, w tym problemy NP-trudne. Jednym z takich półokreślonych programów jest algorytm Goemansa-Williamsona, który może rozwiązywać trudne problemy, takie jak MaxCut. Wprowadzamy wariacyjny algorytm kwantowy dla algorytmu Goemansa-Williamsona, który wykorzystuje tylko $n{+}1$ kubitów, stałą liczbę przygotowań obwodów i wielomianową liczbę wartości oczekiwanych, aby w przybliżeniu rozwiązać półokreślone programy z wykładniczą liczbą zmiennych i ograniczeń. Kodujemy problem w obwodzie kwantowym (lub jednostkowym) i odczytujemy go na pojedynczym pomocniczym kubicie, techniką znaną jako test Hadamarda. Podobnie ilustrujemy, że ograniczenia problemu mogą być wymuszone przez 1) drugi test Hadamarda i 2) wielomianową liczbę ograniczeń łańcuchów Pauliego. Demonstrujemy skuteczność naszego protokołu, opracowując wydajną kwantową implementację algorytmu Goemansa-Williamsona dla różnych problemów NP-trudnych, w tym MaxCut. Nasza metoda przewyższa wydajność analogicznych metod klasycznych w zróżnicowanym podzbiorze dobrze zbadanych problemów MaxCut.

► Dane BibTeX

► Referencje

[1] Stephena P. Boyda i Lievena Vandenberghe. „Optymalizacja wypukła”. Cambridge Press. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Michela X. Goemansa. „Programowanie półokreślone w optymalizacji kombinatorycznej”. Programowanie matematyczne 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Lieven Vandenberghe i Stephen Boyd. „Zastosowania programowania półokreślonego”. Stosowana matematyka numeryczna 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Wenjun Li, Yang Ding, Yongjie Yang, R. Simon Sherratt, Jong Hyuk Park i Jin Wang. „Sparametryzowane algorytmy podstawowych problemów np-trudnych: ankieta”. Human-centric Computing and Information Sciences 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Krzysztof Helmberg. „Programowanie półokreślone do optymalizacji kombinatorycznej”. Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Michel X. Goemans i David P. Williamson. „Ulepszone algorytmy aproksymacji dla problemów z maksymalnym cięciem i spełnialnością przy użyciu programowania półokreślonego”. J. ACM 42, 1115-1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Floriana A. Potry i Stephena J. Wrighta. „Metody punktów wewnętrznych”. Journal of Computational and Applied Mathematics 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Haotian Jiang, Tarun Kathuria, Yin Tat Lee, Swati Padmanabhan i Zhao Song. „Szybsza metoda punktów wewnętrznych do programowania półokreślonego”. W 2020 IEEE 61. doroczne sympozjum na temat podstaw informatyki (FOCS). Strony 910–918. IEEE (2020).
https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS46700.2020.00089

[9] Baihe Huang, Shunhua Jiang, Zhao Song, Runzhou Tao i Ruizhe Zhang. „Szybsze rozwiązywanie sdp: solidna struktura ipm i wydajna implementacja”. W 2022 r. IEEE 63. doroczne sympozjum na temat podstaw informatyki (FOCS). Strony 233–244. IEEE (2022).
https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS54457.2022.00029

[10] David P. Williamson i David B. Shmoys. „Projektowanie algorytmów aproksymacyjnych”. Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Nikolaj Moll, Panagiotis Barkoutsos, Lev S Bishop, Jerry M Chow, Andrew Cross, Daniel J Egger, Stefan Filipp, Andreas Fuhrer, Jay M Gambetta, Marc Ganzhorn i in. „Optymalizacja kwantowa przy użyciu algorytmów wariacyjnych na urządzeniach kwantowych bliskiego terminu”. Nauka i technologia kwantowa 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, Sam Gutmann i Michael Sipser. „Obliczenia kwantowe przez ewolucję adiabatyczną” (2000). arXiv:ilość-ph/​0001106.
arXiv: quant-ph / 0001106

[13] Tameem Albash i Daniel A. Lidar. „Adiabatyczne obliczenia kwantowe”. Wielebny Mod. fizyka 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar i in. „Optymalizacja kwantowa maksymalnego niezależnego zestawu przy użyciu macierzy atomowych Rydberga”. Nauka 376, 1209–1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Tadashi Kadowaki i Hidetoshi Nishimori. „Wyżarzanie kwantowe w modelu isingu poprzecznego”. fizyka Obj. E 58, 5355–5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Elżbieta Gibney. „Aktualizacja D-wave: Jak naukowcy używają najbardziej kontrowersyjnego komputera kwantowego na świecie”. Natura 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone i Sam Gutmann. „Algorytm optymalizacji przybliżonej kwantowej”. ar Xiv (2014). arXiv:1411.4028.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Juan M Arrazola, Ville Bergholm, Kamil Brádler, Thomas R Bromley, Matt J Collins, Ish Dhand, Alberto Fumagalli, Thomas Gerrits, Andrey Goussev, Lukas G Helt i in. „Obwody kwantowe z wieloma fotonami na programowalnym chipie nanofotonicznym”. Przyroda 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Fernando GSL Brandão, Amir Kalev, Tongyang Li, Cedric Yen-Yu Lin, Krysta M. Svore i Xiaodi Wu. „Quantum SDP Solvers: duże przyspieszenie, optymalność i zastosowania w uczeniu kwantowym”. 46th International Colloquium on Automata, Languages ​​and Programming (ICALP 2019) 132, 27: 1–27: 14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Joran Van Apeldoorn i András Gilyén. „Ulepszenia w kwantowym rozwiązywaniu sdp za pomocą aplikacji”. W Proceedings of 46th International Colloquium on Automata, Languages, and Programming (2019).
https: // doi.org/ 10.4230 / LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Joran van Apeldoorn, Andràs Gilyèn, Sander Gribling i Ronald de Wolf. „Quantum sdp-solvers: Lepsze górne i dolne granice”. Kwant 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Fernando GSL Brandão i Krysta M. Svore. „Przyspieszenia kwantowe do rozwiązywania półokreślonych programów”. W 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Strony 415–426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng i Daniel Stilck França. „Szybsze przybliżenia kwantowe i klasyczne SDP dla kwadratowej optymalizacji binarnej”. Kwant 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Dhrumil Patel, Patrick J. Coles i Mark M. Wilde. „Wariacyjne algorytmy kwantowe do programowania półokreślonego” (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Anirban N. Chowdhury, Guang Hao Low i Nathan Wiebe. „Wariacyjny algorytm kwantowy do przygotowywania kwantowych stanów Gibbsa” (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Taylor L. Patti, Omar Shehab, Khadijeh Najafi i Susanne F. Yelin. „Algorytmy wariacyjne kwantowe wzmocnione łańcuchem Markowa Monte Carlo”. Nauka i technologia kwantowa 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Youle Wang, Guangxi Li i Xin Wang. „Wariacyjne kwantowe przygotowanie stanu Gibbsa z obciętym szeregiem Taylora”. Przegląd fizyczny zastosowany 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Sanjeev Arora, Elad Hazan i Satyen Kale. „Metoda aktualizacji multiplikatywnych wag: metaalgorytm i aplikacje”. Teoria informatyki 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Iordanisa Kerenidisa i Anupama Prakasha. „Metoda kwantowego punktu wewnętrznego dla lps i sdps”. ACM Transactions on Quantum Computing 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky i Luis F. Zuluaga. „Kwantowe metody punktów wewnętrznych do optymalizacji półokreślonej” (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Łukasz Cincio i Patrick J. Coles. „Wariacyjne algorytmy kwantowe”. Nature Recenzje Fizyka 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Kishor Bharti, Tobias Haug, Vlatko Vedral i Leong-Chuan Kwek. „Hałasowy algorytm kwantowy o średniej skali do programowania półokreślonego”. fizyka Rev. A 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Lennarta Bittela i Martina Kliescha. „Trening wariacyjnych algorytmów kwantowych jest np-trudny”. fizyka Wielebny Lett. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush i Hartmut Neven. „Jałowe płaskowyże w krajobrazach treningowych kwantowych sieci neuronowych”. Komunikaty natury 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová i Nathan Wiebe. „Jałowe płaskowyże wywołane splątaniem”. PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: // doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Taylor L. Patti, Khadijeh Najafi, Xun Gao i Susanne F. Yelin. „Splątanie wymyśliło łagodzenie jałowego płaskowyżu”. fizyka Ks. Rez. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Arthur Pesah, M. Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T. Sornborger i Patrick J. Coles. „Brak jałowych płaskowyżów w kwantowych splotowych sieciach neuronowych”. fizyka Wersja X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Dorit Aharonov, Vaughan Jones i Zeph Landau. „Wielomianowy algorytm kwantowy do aproksymacji wielomianu Jonesa”. Algorytmika 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Clayton W. Dowódca. „Problem maksymalnego cięcia, maksymalne cięcieProblem maksymalnego cięcia, maksymalne cięcie”. Strony 1991–1999. Springera USA. Boston, MA (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Steven J. Benson, Yinyu Yeb i Xiong Zhang. „Mieszane programowanie liniowe i półokreślone do optymalizacji kombinatorycznej i kwadratowej”. Metody optymalizacji i oprogramowanie 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Changhui Choi i Yinyu Ye. „Rozwiązywanie rzadkich półokreślonych programów przy użyciu algorytmu podwójnego skalowania z solwerem iteracyjnym”. Rękopis, Wydział Nauk o Zarządzaniu, University of Iowa, Iowa City, IA 52242 (2000). adres URL: web.stanford.edu/​yyye/​yyye/cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Angeliki Wiegele. „Biq mac Library – zbiór instancji programowania max-cut i quadratic 0-1 średniej wielkości”. Alpen-Adria-Universität Klagenfurt (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Stefan H. Schmieta. „Biblioteka dimacs mieszanych programów półokreślonych-kwadratowo-liniowych”. 7. Wyzwanie Wdrożeniowe DIMACS (2007). adres URL: http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Yoshiki Matsuda. „Benchmarking problemu maksymalnego cięcia na symulowanej maszynie do bifurkacji”. Średni (2019). URL: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https://​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] RM Karp. „Redukowalność wśród problemów kombinatorycznych”. Springera USA. Boston, MA (1972).

[46] Dimitri P. Bertsekas. „Optymalizacja z ograniczeniami i metody mnożników lagrange”. Prasa akademicka. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] G Mauro D'Ariano, Matteo GA Paris i Massimiliano F Sacchi. „Tomografia kwantowa”. Postępy w obrazowaniu i fizyce elektronowej 128, 206–309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: quant-ph / 0302028

[48] Alessandro Bisio, Giulio Chiribella, Giacomo Mauro D'Ariano, Stefano Facchini i Paolo Perinotti. „Optymalna tomografia kwantowa”. IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646–1660 (2009).
https: // doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Max S. Kaznady i Daniel FV James. „Strategie numeryczne dla tomografii kwantowej: Alternatywy dla pełnej optymalizacji”. fizyka Wersja A 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Javier Peña. „Zbieżność metod pierwszego rzędu poprzez wypukły koniugat”. Listy z badań operacyjnych 45, 561–564 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.orl.2017.08.013

[51] Alana Frieze'a i Marka Jerruma. „Ulepszone algorytmy aproksymacji dla maxk-cut i max bisekcji”. Algorytmika 18, 67–81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Clarka Davida Thompsona. „Teoria złożoności dla vlsi”. praca doktorska. Carnegie Mellon University. (1980). adres URL: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 909758

[53] Chu Min Li i Felip Manya. „Maxsat, twarde i miękkie ograniczenia”. W Podręczniku spełnialności. Strony 903–927. Prasa IOS (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Mikołaja J. Highama. „Obliczanie najbliższej macierzy korelacji - problem z finansów”. IMA Journal of Numerical Analysis 22, 329–343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Tadayoshi Fushiki. „Oszacowanie dodatnich półokreślonych macierzy korelacji za pomocą wypukłego kwadratowego programowania półokreślonego”. Obliczenia neuronowe 21, 2028–2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Todda MJ. „Badanie kierunków poszukiwań w metodach punktów wewnętrznych pierwotnych i podwójnych dla programowania półokreślonego”. Metody optymalizacji i oprogramowanie 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Rogera Fletchera. „Funkcje karne”. Programowanie matematyczne The State of the Art: Bonn 1982, strony 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Roberta M Freunda. „Metody kar i barier dla optymalizacji z ograniczeniami”. Notatki z wykładów, Massachusetts Institute of Technology (2004). url: ocw.mit.edu/​kursy/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Erica Ricardo Anschuetza. „Punkty krytyczne w kwantowych modelach generatywnych”. W międzynarodowej konferencji na temat reprezentacji uczenia się. (2022). adres URL: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Amira Becka. „Metody pierwszego rzędu w optymalizacji”. SYJAM. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Sanjeev Arora i Satyen Kale. „Kombinatoryczne, pierwotne i podwójne podejście do programów półokreślonych”. J. ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Taylor L. Patti, Jean Kossaifi, Susanne F. Yelin i Anima Anandkumar. „Tensorowo-kwantowo: kwantowe uczenie maszynowe metodami tensorowymi” (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Jean Kossaifi, Yannis Panagakis, Anima Anandkumar i Maja Pantic. „Tensorly: uczenie się tensorów w pythonie”. Journal of Machine Learning Research 20, 1–6 (2019). adres URL: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http: // jmlr.org/ papers / v20 ​​/ 18-277.html

[64] Zespół cuQuantum. „Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11” (2022).

[65] Diederik P. Kingma i Jimmy Ba. „Adam: metoda optymalizacji stochastycznej” (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Brahim Chaourar. „Algorytm czasu liniowego dla wariantu problemu maksymalnego cięcia w szeregowych równoległych wykresach”. Postępy w badaniach operacyjnych (2017).
https: / / doi.org/ 10.1155 / 2017/1267108

[67] Jurij Makaryczew. „Krótki dowód kryterium planarności grafów Kuratowskiego”. Journal of Graph Theory 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Béla Bollobás. „Ewolucja grafów losowych - gigantyczny składnik”. Strony 130–159. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. (2001). 2 wydanie.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Sanjeev Arora, David Karger i Marek Karpiński. „Schematy aproksymacji czasu wielomianowego dla gęstych przypadków np-trudnych problemów”. Czasopismo nauk komputerowych i systemowych 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Ricka Durretta. „Wykresy losowe Erdösa-rényi”. Strony 27–69. Seria Cambridge w matematyce statystycznej i probabilistycznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Gary'ego Chartranda i Ping Zhanga. „Teoria grafów chromatycznych”. Taylora i Franciszka. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] Johna van de Weteringa. „Rachunek Zx dla pracującego informatyka kwantowego” (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Alexander Cowtan, Silas Dilkes, Ross Duncan, Will Simmons i Seyon Sivarajah. „Synteza gadżetów fazowych dla płytkich obwodów”. Postępowanie elektroniczne w informatyce teoretycznej 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe i Shuchen Zhu. „Teoria błędu kłusa ze skalowaniem komutatora”. fizyka Wersja X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Joseph W Britton, Brian C Sawyer, Adam C Keith, CC Joseph Wang, James K Freericks, Hermann Uys, Michael J Biercuk i John J Bollinger. „Zaprojektowano dwuwymiarowe interakcje ising w symulatorze kwantowym uwięzionych jonów z setkami spinów”. Przyroda 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Hannes Bernien, Sylvain Schwartz, Alexander Keesling, Harry Levine, Ahmed Omran, Hannes Pichler, Soonwon Choi, Alexander S Zibrov, Manuel Endres, Markus Greiner i in. „Badanie dynamiki wielu ciał na 51-atomowym symulatorze kwantowym”. Przyroda 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Gheorghe-Sorin Paraoanu. „Ostatnie postępy w symulacji kwantowej z wykorzystaniem obwodów nadprzewodzących”. Journal of Low Temperature Physics 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Katsuki Fujisawa, Hitoshi Sato, Satoshi Matsuoka, Toshio Endo, Makoto Yamashita i Maho Nakata. „Wysokowydajny solwer do rozwiązywania problemów programowania półokreślonego o bardzo dużej skali”. W SC '12: Proceedings of the International Conference on High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis. Strony 1–11. (2012).
https://​/​doi.org/​10.1109/​SC.2012.67

[79] Adriana S. Lewisa i Michaela L. Overtona. „Optymalizacja wartości własnej”. Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin i Xiao Yuan. „Algorytmy wariacyjne dla algebry liniowej”. Biuletyn naukowy 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Cytowany przez

Nie można pobrać Przywołane przez Crossref dane podczas ostatniej próby 2023-07-12 14:07:40: Nie można pobrać cytowanych danych dla 10.22331 / q-2023-07-12-1057 z Crossref. Jest to normalne, jeśli DOI zostało niedawno zarejestrowane. Na Reklamy SAO / NASA nie znaleziono danych na temat cytowania prac (ostatnia próba 2023-07-12 14:07:40).

Niniejszy artykuł opublikowano w Quantum pod Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0 Międzynarodowe (CC BY 4.0) licencja. Prawa autorskie należą do pierwotnych właścicieli praw autorskich, takich jak autorzy lub ich instytucje.

Znak czasu:

Więcej z Dziennik kwantowy