Kiedy Daniel Larsen był w gimnazjum, zaczął projektować krzyżówki. Musiał nałożyć to hobby na swoje inne zainteresowania: szachy, programowanie, fortepian, skrzypce. Dwukrotnie zakwalifikował się do Scripps National Spelling Bee niedaleko Waszyngtonu, po wygraniu konkursu regionalnego. „Koncentruje się na czymś i to po prostu bang, bang, bang, dopóki mu się nie uda” – powiedziała matka Larsena, Ayelet Lindenstrauss. Jego pierwsze krzyżówki zostały odrzucone przez główne gazety, ale trzymał się tego i ostatecznie się włamał trzyma rekord dla najmłodszej osoby do opublikowania krzyżówki w The New York Times, w wieku 13 lat. „Jest bardzo wytrwały” – powiedział Lindenstrauss.
Mimo to najnowsza obsesja Larsena wydawała się inna, „dłuższa i bardziej intensywna niż większość jego innych projektów” – powiedziała. Przez ponad półtora roku Larsen nie mógł przestać myśleć o pewnym problemie matematycznym.
Wywodził się z szerszego pytania, które matematyk Carl Friedrich Gauss uważał za jedno z najważniejszych w matematyce: jak odróżnić liczbę pierwszą (liczbę podzielną tylko przez 1 i samą siebie) od liczby złożonej. Od setek lat matematycy szukali skutecznego sposobu, aby to zrobić. Problem stał się również istotny w kontekście współczesnej kryptografii, ponieważ niektóre z najczęściej używanych obecnie kryptosystemów wymagają wykonywania arytmetyki z ogromnymi liczbami pierwszymi.
Ponad sto lat temu, w poszukiwaniu szybkiego, potężnego testu pierwszości, matematycy natknęli się na grupę wichrzycieli — liczb, które ogłupiają testy w myśleniu, że są pierwsze, nawet jeśli nimi nie są. Te liczby pseudopierwsze, znane jako liczby Carmichaela, były szczególnie trudne do uchwycenia. Na przykład dopiero w połowie lat 1990. matematycy dowiedli, że jest ich nieskończenie dużo. Możliwość powiedzenia czegoś więcej o tym, jak są one rozłożone wzdłuż osi liczbowej, stanowiło jeszcze większe wyzwanie.
Potem przyszedł Larsen z nowy dowód właśnie o tym, zainspirowanym ostatnimi epokowymi pracami w innym obszarze teorii liczb. Miał wtedy zaledwie 17 lat.
Iskra
Dorastając w Bloomington w stanie Indiana, Larsen zawsze pociągała matematyka. Jego rodzice, oboje matematycy, wprowadzili go i jego starszą siostrę w ten temat, gdy byli młodzi. (Teraz robi doktorat z matematyki.) Lindenstrauss wspomina, że kiedy Larsen miał 3 lata, zaczął zadawać jej filozoficzne pytania dotyczące natury nieskończoności. „Pomyślałem, że ten dzieciak ma matematyczny umysł”, powiedział Lindenstraussa, profesor na Uniwersytecie Indiana.
Kilka lat temu — mniej więcej w czasie, gdy zajmował się projektami ortografii i krzyżówek — natknął się na dokumentalny O Varso Invest Yitang Zhang, nieznany matematyk, który wyszedł z zapomnienia w 2013 roku po udowadniając przełomowy wynik które nakładają górną granicę na przerwy między kolejnymi liczbami pierwszymi. Coś kliknęło w Larsenie. Nie mógł przestać myśleć o teorii liczb i powiązanym z nią problemie, który Zhang i inni matematycy wciąż mieli nadzieję rozwiązać: przypuszczenie bliźniaczych liczb pierwszych, które mówi, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, które różnią się tylko o 2.
Po pracy Zhanga, która wykazała, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych różniących się o mniej niż 70 milionów, inni wskoczyli do środka jeszcze bardziej obniżyć tę granicę. W ciągu kilku miesięcy matematycy Jamesa Maynarda i Terence tao niezależnie okazało się jeszcze silniejszym stwierdzeniem o odstępach między liczbami pierwszymi. Ta przepaść zmniejszyła się od tego czasu do 246.
Larsen chciał zrozumieć część matematyki leżącą u podstaw prac Maynarda i Tao, „ale dla mnie było to prawie niemożliwe” – powiedział. Ich dokumenty były zbyt skomplikowane. Larsen próbował przeczytać pokrewną pracę, ale również uznał ją za nieprzeniknioną. Trzymał się tego, przeskakując od jednego wyniku do drugiego, aż w końcu w lutym 2021 r. natknął się na artykuł, który uznał za piękny i zrozumiały. Jego temat: liczby Carmichaela, te dziwne liczby złożone, które czasami mogą uchodzić za liczby pierwsze.
Wszystko oprócz Prime
W połowie XVII wieku francuski matematyk Pierre de Fermat napisał list do swojego przyjaciela i powiernika Frénicle de Bessy, w którym sformułował to, co później nazwano jego „małym twierdzeniem”. Jeśli N jest liczbą pierwszą, to bN - b jest zawsze wielokrotnością N, nieważne co b jest. Na przykład 7 jest liczbą pierwszą, w wyniku czego 27 – 2 (co równa się 126) jest wielokrotnością 7. Podobnie, 37 – 3 to wielokrotność 7 i tak dalej.
Matematycy dostrzegli potencjał doskonałego testu, czy dana liczba jest liczbą pierwszą, czy złożoną. Wiedzieli, że jeśli N jest pierwsza, bN - b jest zawsze wielokrotnością N. Co by było, gdyby prawda była również odwrotna? To znaczy, jeśli bN - b jest wielokrotnością N dla wszystkich wartości b, musieć N być pierwszym?
Niestety okazało się, że w bardzo rzadkich przypadkach N może spełnić ten warunek i nadal być złożony. Najmniejsza taka liczba to 561: Dla dowolnej liczby całkowitej b, b561 - b jest zawsze wielokrotnością 561, mimo że 561 nie jest liczbą pierwszą. Liczby takie jak te zostały nazwane na cześć matematyka Roberta Carmichaela, któremu często przypisuje się opublikowanie pierwszego przykładu w 1910 r. (choć czeski matematyk Václav Šimerka niezależnie odkrył przykłady w 1885 r.).
Matematycy chcieli lepiej zrozumieć te liczby, które tak bardzo przypominają najbardziej podstawowe obiekty w teorii liczb, liczby pierwsze. Okazało się, że w 1899 roku — dekadę przed wynikiem Carmichaela — inny matematyk, Alwin Korselt, przedstawił równoważną definicję. Po prostu nie wiedział, czy są jakieś liczby pasujące do rachunku.
Według kryterium Korselta liczba N jest liczbą Carmichaela wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia trzy właściwości. Po pierwsze, musi mieć więcej niż jeden czynnik pierwszy. Po drugie, żaden czynnik główny nie może się powtórzyć. I po trzecie, dla każdej liczby pierwszej p to dzieli N, p – 1 też dzieli N – 1. Rozważmy ponownie liczbę 561. Jest ona równa 3 × 11 × 17, więc wyraźnie spełnia dwie pierwsze własności z listy Korselta. Aby pokazać ostatnią właściwość, odejmij 1 od każdego czynnika pierwszego, aby uzyskać 2, 10 i 16. Dodatkowo odejmij 1 od 561. Wszystkie trzy mniejsze liczby są dzielnikami 560. Liczba 561 jest zatem liczbą Carmichaela.
Chociaż matematycy podejrzewali, że jest nieskończenie wiele liczb Carmichaela, jest ich stosunkowo niewiele w porównaniu z liczbami pierwszymi, co utrudniało ich ustalenie. Następnie w 1994 roku Red Alford, Andrzej Granville i Karol Pomerance opublikował przełom papier w którym ostatecznie dowiedli, że tych pseudopierwszych jest rzeczywiście nieskończenie wiele.
Niestety, opracowane przez nich techniki nie pozwoliły im nic powiedzieć o tym, jak wyglądały te liczby Carmichaela. Czy pojawiły się w skupiskach wzdłuż osi liczbowej, z dużymi przerwami pomiędzy nimi? A może zawsze możesz znaleźć numer Carmichael w krótkim odstępie czasu? „Można by pomyśleć, że jeśli potrafisz udowodnić, że jest ich nieskończenie wiele”, powiedział Granville, „z pewnością powinieneś być w stanie udowodnić, że nie ma między nimi dużych luk, że powinny być stosunkowo dobrze rozmieszczone”.
W szczególności, on i jego współautorzy mieli nadzieję udowodnić stwierdzenie, które odzwierciedla tę ideę — że biorąc pod uwagę wystarczająco dużą liczbę X, zawsze będzie numer Carmichael pomiędzy X i 2X. „To kolejny sposób na wyrażenie tego, jak wszechobecne są” – powiedział Jon Grantham, matematyk z Instytutu Analiz Obronnych, który wykonał pokrewną pracę.
Ale przez dziesięciolecia nikt nie mógł tego udowodnić. Techniki opracowane przez Alforda, Granville i Pomerance „pozwoliły nam pokazać, że będzie wiele liczb Carmichaela”, powiedział Pomerance, „ale tak naprawdę nie pozwoliły nam mieć dużej kontroli nad tym, gdzie będą one znajdować. ”
Następnie, w listopadzie 2021 r., Granville otworzył e-mail od Larsena, który miał wtedy 17 lat i był w ostatniej klasie liceum. A papier był dołączony — i ku zaskoczeniu Granville'a wyglądał prawidłowo. „To nie była najłatwiejsza lektura w historii” – powiedział. „Ale kiedy to przeczytałem, było całkiem jasne, że nie bawił się. Miał genialne pomysły”.
Pomerance, który przeczytał późniejszą wersję dzieła, zgodził się. „Jego dowód jest naprawdę bardzo zaawansowany” – powiedział. „Byłby to artykuł, z którego napisania każdy matematyk byłby naprawdę dumny. A oto pisze to licealista.
Kluczem do dowodu Larsena była praca, która przede wszystkim przyciągnęła go do liczb Carmichaela: wyniki Maynarda i Tao dotyczące przerw pierwszych.
Mało prawdopodobne — nie niemożliwe
Kiedy Larsen po raz pierwszy postanowił pokazać, że zawsze można znaleźć liczbę Carmichaela w krótkim odstępie czasu, „wydawało się, że jest to tak oczywista prawda, jak trudno to udowodnić?” powiedział. Szybko zdał sobie sprawę, że to może być naprawdę bardzo trudne. „To problem, który testuje technologię naszych czasów” – powiedział.
W swoim artykule z 1994 roku Alford, Granville i Pomerance pokazali, jak stworzyć nieskończenie wiele liczb Carmichaela. Ale nie byli w stanie kontrolować wielkości liczb pierwszych, których użyli do ich skonstruowania. To właśnie musiałby zrobić Larsen, aby zbudować liczby Carmichaela, które byłyby stosunkowo zbliżone. Trudność problemu niepokoiła jego ojca, Michaela Larsena. „Nie sądziłem, że to niemożliwe, ale sądziłem, że to mało prawdopodobne, aby mu się udało” – powiedział. „Widziałem, ile czasu na to spędzał… i czułem, że byłoby to druzgocące, gdyby dał temu tak wiele z siebie i tego nie dostał”.
Mimo to wiedział, że lepiej nie próbować odradzać syna. „Kiedy Daniel zobowiązuje się do czegoś, co naprawdę go interesuje, trzyma się tego na dobre i na złe” – powiedział.
Larsen wrócił więc do artykułów Maynarda — w szczególności, aby pokazać, że jeśli weźmie się pewne sekwencje o wystarczającej liczbie liczb, jakiś podzbiór tych liczb musi być liczbą pierwszą. Larsen zmodyfikował techniki Maynarda, aby połączyć je z metodami stosowanymi przez Alforda, Granville'a i Pomerance'a. To pozwoliło mu upewnić się, że liczby pierwsze, z którymi się skończył, będą miały różną wielkość — wystarczająco, aby wytworzyć liczby Carmichaela mieszczące się w żądanych przedziałach.
„Ma większą kontrolę nad rzeczami niż my kiedykolwiek mieliśmy” — powiedział Granville. I osiągnął to dzięki szczególnie sprytnemu wykorzystaniu pracy Maynarda. „Nie jest łatwo… wykorzystać ten postęp na krótkich odstępach między liczbami pierwszymi” – powiedział Kaisa Matomäki, matematyk na Uniwersytecie w Turku w Finlandii. „To całkiem miłe, że potrafi to połączyć z tym pytaniem o liczby Carmichaela”.
W rzeczywistości argument Larsena nie tylko pozwolił mu pokazać, że liczba Carmichaela musi zawsze pojawiać się pomiędzy X i 2X. Jego dowód działa również w znacznie mniejszych odstępach czasu. Matematycy mają teraz nadzieję, że pomoże to również ujawnić inne aspekty zachowania tych dziwnych liczb. „To inny pomysł”, powiedział Thomasa Wrighta, matematyk z Wofford College w Południowej Karolinie, który pracuje nad liczbami pseudopierwszymi. „Zmienia wiele rzeczy w sposobie, w jaki możemy udowodnić rzeczy dotyczące liczb Carmichaela”.
Grantham się zgodził. „Teraz możesz robić rzeczy, o których nigdy nie pomyślałeś” – powiedział.
Larsen tymczasem właśnie rozpoczął pierwszy rok studiów w Massachusetts Institute of Technology. Nie jest pewien, nad jakim problemem może się teraz zająć, ale jest chętny, by dowiedzieć się, co tam jest. „Po prostu chodzę na kursy… i staram się być otwarty” – powiedział.
„Zrobił to wszystko bez studiów licencjackich” – powiedział Grantham. „Mogę sobie tylko wyobrazić, co wymyśli na studiach podyplomowych”.
