Ukryte połączenie, które zmieniło teorię liczb | Magazyn Quanta

Istnieją trzy rodzaje liczb pierwszych. Pierwsza to pojedyncza wartość odstająca: 2, jedyna parzysta liczba pierwsza. Następnie połowa liczb pierwszych pozostawia resztę 1 przy dzieleniu przez 4. Druga połowa pozostawia resztę 3. (5 i 13 wypada w pierwszym obozie, 7 i 11 w drugim). Nie ma oczywistego powodu, dla którego reszta Liczby pierwsze -1 i reszta-3 powinny zachowywać się zasadniczo odmiennie. Ale tak jest.

Jedna kluczowa różnica wynika z właściwości zwanej wzajemnością kwadratową, udowodnionej po raz pierwszy przez Carla Gaussa, prawdopodobnie najbardziej wpływowego matematyka XIX wieku. „To dość proste stwierdzenie, które ma zastosowanie wszędzie, we wszystkich rodzajach matematyki, nie tylko w teorii liczb” – powiedział Jamesa Rickardsa, matematyk z Uniwersytetu Kolorado w Boulder. „Ale jest też na tyle nieoczywisty, że jest naprawdę interesujący”.

Teoria liczb to dziedzina matematyki zajmująca się liczbami całkowitymi (w przeciwieństwie do, powiedzmy, kształtów lub ilości ciągłych). Liczby pierwsze – te, które dzielą się tylko przez 1 i przez siebie – stanowią jej rdzeń, podobnie jak DNA jest rdzeniem biologii. Kwadratowa wzajemność zmieniła koncepcję matematyków na temat tego, ile można na ich temat udowodnić. Jeśli pomyślisz o liczbach pierwszych jako o paśmie górskim, wzajemność jest jak wąska ścieżka, która pozwala matematykom wspiąć się na wcześniej nieosiągalne szczyty i stamtąd dojrzeć ukryte prawdy.

Chociaż jest to stare twierdzenie, nadal ma nowe zastosowania. Tego lata Rickards i jego kolega Katarzyna Stangewraz z dwójką uczniów, obalił powszechnie akceptowaną tezę o tym, jak małe kółka można upakować w większym. Wynik zszokował matematyków. Piotr Sarnak, teoretyk liczb w Institute for Advanced Study i Princeton University, rozmawiała ze Stange na konferencji wkrótce po tym, jak jej zespół napisali ich papier. „Powiedziała mi, że ma kontrprzykład” – wspomina Sarnak. „Od razu ją zapytałam: «Czy stosujesz gdzieś zasadę wzajemności?». I rzeczywiście tego właśnie używała”.

Wzory w parach liczb pierwszych

Aby zrozumieć wzajemność, trzeba najpierw zrozumieć arytmetykę modułową. Operacje modułowe polegają na obliczaniu reszt z dzielenia przez liczbę zwaną modułem. Na przykład 9 modulo 7 równa się 2, ponieważ jeśli podzielisz 9 przez 7, otrzymasz resztę 2. W systemie liczbowym modulo 7 jest 7 liczb: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Możesz dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić te liczby.

Podobnie jak w przypadku liczb całkowitych, te systemy liczbowe mogą mieć doskonałe kwadraty — liczby będące iloczynem innej liczby razy ona sama. Na przykład 0, 1, 2 i 4 to idealne kwadraty modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 i 3 × 3 = 2 mod 7). Każdy zwykły kwadrat będzie równy 0, 1, 2 lub 4 modulo 7. (Na przykład 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Ponieważ modułowe systemy liczbowe są skończone, idealne kwadraty są bardziej powszechne.

Kwadratowa wzajemność wynika ze stosunkowo prostego pytania. Biorąc pod uwagę dwie liczby pierwsze p i q, jeśli to wiesz p jest idealnym modułem kwadratowym q, możesz powiedzieć czy q jest idealnym modułem kwadratowym p?

Okazuje się, że tak długo, jak jedno i drugie p or q pozostawia resztę 1 przy dzieleniu przez 4, jeśli p jest idealnym modułem kwadratowym q, następnie q jest również doskonałym modułem kwadratowym p. Mówi się, że dwie liczby pierwsze odwzajemniają się.

Z drugiej strony, jeśli obaj pozostawią resztę 3 (np. 7 i 11), to nie odwzajemnią się: Jeśli p jest modułem kwadratowym q, oznacza to, że q nie będzie modułem kwadratowym p. W tym przykładzie 11 jest kwadratem modulo 7, ponieważ 11 = 4 mod 7 i już wiemy, że 4 jest jednym z kwadratów doskonałych modulo 7. Wynika z tego, że 7 nie jest kwadratem modulo 11. Jeśli weźmiesz listę zwykłych kwadraty (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) i spójrz na ich reszty modulo 11, wtedy 7 nigdy się nie pojawi.

To, posługując się terminem technicznym, jest naprawdę dziwne!

Siła generalizacji

Podobnie jak wiele idei matematycznych, wzajemność ma wpływ, ponieważ można ją uogólnić.

Wkrótce po opublikowaniu przez Gaussa w 1801 roku pierwszego dowodu wzajemności kwadratowej matematycy próbowali rozszerzyć tę koncepcję poza kwadraty. „Dlaczego nie trzecia lub czwarta potęga? Wyobrazili sobie, że może istnieje prawo wzajemności sześciennej lub prawo wzajemności kwartalnej” – powiedział Keitha Conrada, teoretyk liczb na Uniwersytecie Connecticut.

Ale utknęły, stwierdził Conrad, „ponieważ nie ma łatwego wzoru”. Zmieniło się to, gdy Gauss wprowadził wzajemność do dziedziny liczb zespolonych, które dodają pierwiastek kwadratowy z minus 1, reprezentowany przez i, do zwykłych liczb. Wprowadził pomysł, że teoretycy liczb mogą analizować nie tylko zwykłe liczby całkowite, ale inne systemy matematyczne podobne do liczb całkowitych, takie jak tak zwane liczby całkowite Gaussa, które są liczbami zespolonymi, których część rzeczywista i urojona są liczbami całkowitymi.

W przypadku liczb całkowitych Gaussa całe pojęcie tego, co liczy się jako liczba pierwsza, uległo zmianie. Na przykład 5 nie jest już liczbą pierwszą, ponieważ 5 = (2 + i) × (2 - i). „Musisz zacząć od nowa, jakbyś był w szkole podstawowej” – powiedział Conrad. W 1832 roku Gauss udowodnił kwartalne prawo wzajemności dla liczb całkowitych zespolonych noszących jego imię.

Nagle matematycy nauczyli się stosować narzędzia takie jak arytmetyka modułowa i faktoryzacja w tych nowych systemach liczbowych. Według Conrada inspiracją była wzajemność kwadratowa.

Teraz zaczęły się pojawiać wzorce, które były nieuchwytne bez liczb zespolonych. W połowie lat czterdziestych XIX wieku Gotthold Eisenstein i Carl Jacobi udowodnili pierwsze prawa wzajemności sześciennej.

Następnie w latach dwudziestych Emil Artin, jeden z twórców współczesnej algebry, odkrył to, co Conrad nazywa „ostatecznym prawem wzajemności”. Wszystkie pozostałe prawa wzajemności można postrzegać jako szczególne przypadki prawa wzajemności Artina.

Sto lat później matematycy wciąż opracowują nowe dowody pierwszego prawa wzajemności kwadratowej Gaussa i uogólniają je na nowe konteksty matematyczne. Posiadanie wielu różnych dowodów może być przydatne. „Jeśli chcesz rozszerzyć wynik na nowe ustawienie, być może jeden z argumentów z łatwością zostanie przeniesiony, podczas gdy inne nie” – powiedział Conrad.

Dlaczego wzajemność jest tak przydatna

Wzajemność kwadratowa jest wykorzystywana w obszarach badań tak różnorodnych, jak teoria grafów, topologia algebraiczna i kryptografia. W tym ostatnim wpływowy algorytm szyfrowania klucza publicznego opracowany w 1982 roku przez Shafiego Goldwassera i Silvio mikali polega na pomnożeniu dwóch dużych liczb pierwszych p i q razem i wypisanie wyniku, N, wraz z liczbą, x, który nie jest modulo kwadratowym N. Algorytm wykorzystuje N i x do szyfrowania wiadomości cyfrowych w ciągi o większych liczbach. Jedynym sposobem na odszyfrowanie tego ciągu jest podjęcie decyzji, czy każda liczba w zaszyfrowanym ciągu jest modulo kwadratowym N — praktycznie niemożliwe bez znajomości wartości liczb pierwszych p i q.

I oczywiście wzajemność kwadratowa pojawia się wielokrotnie w teorii liczb. Można go na przykład wykorzystać do udowodnienia, że ​​dowolną liczbę pierwszą równą 1 modulo 4 można zapisać jako sumę dwóch kwadratów (na przykład 13 równa się 1 modulo 4, a 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Natomiast liczb pierwszych równych 3 modulo 4 nigdy nie można zapisać jako sumy dwóch kwadratów.

Sarnak zauważył, że wzajemność można wykorzystać do rozwiązywania otwartych pytań, takich jak ustalenie, które liczby można zapisać jako sumę trzech sześcianów. Wiadomo, że liczby równe 4 lub 5 modulo 9 nie są równe sumie trzech sześcianów, ale inne pozostają tajemnicą. (W 2019 r. Andrew Booker generowane nagłówki kiedy odkrył, że (8,866,128,975,287,528 8,778,405,442,862,239 2,736,111,468,807,040 33 XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ + (−XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX)³ = XNUMX.)

Mimo wielu zastosowań i wielu różnych dowodów, jest coś we wzajemności, co pozostaje tajemnicą, powiedział Stange.

„To, co często zdarza się w przypadku dowodu matematycznego, polega na tym, że można prześledzić każdy krok; możesz uwierzyć, że to prawda” – powiedziała. „I nadal możesz wyjść z drugiej strony i pomyśleć: «Ale dlaczego?»”

Zrozumienie na poziomie instynktownym tego, co odróżnia 7 i 11 od 5 i 13, może na zawsze pozostać nieosiągalne. „Możemy żonglować jedynie wieloma poziomami abstrakcji” – stwierdziła. „Pojawia się to wszędzie w teorii liczb… a jednak jest to tylko krok poza to, co wydaje się, że tak naprawdę można po prostu wiedzieć”.

Quanta przeprowadza serię ankiet, aby lepiej służyć naszym odbiorcom. Weź nasze ankieta dla czytelników matematyki i zostaniesz wpisany, aby wygrać za darmo Quanta towar.