Kilka minut po przemówieniu w 2018 roku na Uniwersytecie Michigan, Iana Tobasco podniósł duży kawałek papieru i zgniótł go w pozornie nieuporządkowaną kulę chaosu. Podniósł go, aby publiczność mogła go zobaczyć, ścisnął go na dokładkę, a następnie ponownie rozłożył.
„Otrzymuję dziką masę fałd, które się wyłaniają, i to jest zagadka”, powiedział. „Co wybiera ten wzór z innego, bardziej uporządkowanego wzoru?”
Następnie podniósł drugi duży kawałek papieru — ten wstępnie złożony w słynny wzór origami równoległoboków znany jako Miura-ori — i przycisnął go płasko. Powiedział, że siła, której użył na każdej kartce papieru, była mniej więcej taka sama, ale wyniki nie mogły być bardziej różne. Miura-ori został starannie podzielony na regiony geometryczne; zmięta kula była bałaganem poszarpanych linii.
— Odnosisz wrażenie, że to — powiedział, wskazując na rozrzucone fałdy na zmiętym prześcieradle — to tylko przypadkowa, nieuporządkowana wersja tego. Wskazał schludną, uporządkowaną Miura-ori. „Ale nie sprawdziliśmy, czy to prawda”.
Dokonanie tego połączenia wymagałoby niczego innego, jak ustanowienie uniwersalnych matematycznych reguł elastycznych wzorów. Tobasco pracuje nad tym od lat, badając równania opisujące cienkie, elastyczne materiały — materiały, które reagują na odkształcenia, próbując powrócić do pierwotnego kształtu. Wystarczająco mocno szturchnij balon, a utworzy się gwiaździsty wzór promienistych zmarszczek; usuń palec i ponownie się wygładzą. Ściśnij zmiętą kulkę papieru, a rozszerzy się, gdy ją wypuścisz (choć nie rozgnie się całkowicie). Inżynierowie i fizycy badali, w jaki sposób te wzorce pojawiają się w określonych okolicznościach, ale dla matematyka te praktyczne wyniki sugerują bardziej fundamentalne pytanie: czy można ogólnie zrozumieć, co wybiera jeden wzorzec, a nie inny?
W styczniu 2021 r. Tobasco opublikowało papier który odpowiedział na to pytanie twierdząco — przynajmniej w przypadku gładkiego, zakrzywionego, elastycznego arkusza sprasowanego na płasko (sytuacja, która w jasny sposób pozwala zbadać pytanie). Jego równania przewidują, że pozornie przypadkowe zmarszczki zawierają „uporządkowane” domeny, które mają powtarzalny, rozpoznawalny wzór. Jest współautorem artykułu opublikowanego w zeszłym miesiącu, który pokazuje nową teorię fizyczną, opartą na rygorystycznej matematyce, która może przewidywać prawidłowości w realistycznych scenariuszach.
Warto zauważyć, że praca Tobasco sugeruje, że zmarszczki, pod wieloma postaciami, mogą być postrzegane jako rozwiązanie problemu geometrycznego. „To piękny kawałek analizy matematycznej”, powiedział Stefana Müllera Centrum Matematyki im. Hausdorffa Uniwersytetu w Bonn w Niemczech.
Po raz pierwszy w elegancki sposób przedstawia zasady matematyczne — i nowe rozumienie — stojące za tym powszechnym zjawiskiem. „Rola matematyki nie polegała na tym, aby udowodnić domysły, które już wysnuli fizycy” – powiedział Roberta Kohna, matematyk z New York University Courant Institute i doradca szkolny Tobasco, „ale raczej przedstawić teorię, w której wcześniej nie było żadnego systematycznego zrozumienia”.
Rozciąganie
Cel opracowania teorii zmarszczek i wzorów elastycznych jest stary. W 1894 r. w recenzji w Natura, matematyk George Greenhill wskazał na różnicę między teoretykami („Co mamy myśleć?”) a użytecznymi zastosowaniami, które mogli wymyślić („Co mamy robić?”).
W XIX i XX wieku naukowcy poczynili znaczne postępy w tej ostatniej, badając problemy związane ze zmarszczkami w określonych obiektach, które ulegają deformacji. Wczesne przykłady obejmują problem kucia gładkich, zakrzywionych płyt metalowych dla statków morskich i próby połączenia formowania się gór z ogrzewaniem skorupy ziemskiej.
Niedawno matematycy i fizycy rozszerzyli wysiłki, aby połączyć teorię i obserwację z szeroką gamą sytuacji marszczenia, geometrii i materiałów. „To się dzieje od około 10 lat, kiedy najpierw przeprowadzamy eksperymenty, a następnie próbujemy znaleźć teorię, aby je zrozumieć” – powiedział matematyk Dominik Vella Uniwersytetu Oksfordzkiego. „Dopiero niedawno zaczęliśmy mieć właściwe zrozumienie”.
Były ekscytujące kamienie milowe. W 2015 roku Pedro Reis, inżynier mechanik w Massachusetts Institute of Technology, opisane prawa fizyczne za wzory geometryczne, które tworzą się na opróżnionych kulkach silikonowych. Jego praca połączyła te zmarszczki z grubością wewnętrznej i zewnętrznej warstwy elastycznego materiału. Reis zauważył również, że zmarszczki, zamiast być uważane za defekty, mogą oferować możliwości zaprojektowania nowatorskich zachowań mechanicznych. Następnie w 2017 roku Vella prowadził analizę niestabilności marszczenia cienkiej elastycznej folii pod naciskiem, charakteryzującej zmianę liczby zmarszczek w zależności od głębokości początkowego szturchnięcia i innych specyficznych szczegółów.
Ale te zmiany wciąż tylko rozwiązały problem. Aby uzyskać bardziej ogólne matematyczne zrozumienie powstawania zmarszczek, konieczne było inne podejście. Tobasco będzie tym, który ruszy do przodu.
Podążanie za ciekawością
Kiedy był młodszy, Tobasco myślał, że zajmie się inżynierią lotniczą. Ukończył University of Michigan w 2011 roku z tytułem licencjata w tej dziedzinie, ale do tego momentu był już wciągnięty w głębokie myślenie o rozumowaniu matematycznym i systemach fizycznych. Uzyskał doktorat z matematyki, ale obwinia Joeya Paulsena, fizyka z Syracuse University, za skierowanie go na specyficzną ścieżkę zmarszczek.
Wcześniej w karierze Paulsena, kiedy badał właściwości niezwykłych materiałów, nauczył się wytwarzać i analizować ultracienkie folie polimerowe przy użyciu techniki zwanej powlekaniem obrotowym. Najpierw stworzył specjalny płynny materiał zawierający śladowe ilości rozpuszczonego polimeru; następnie umieszczał materiał na wirującej płycie. Większość cieczy wyparowałaby, podczas gdy polimer rozprzestrzenił się do równomiernej grubości przed zestaleniem. Kiedy miał własne laboratorium w Syracuse, Paulsen nauczył się dostosowywać powlekanie obrotowe do tworzenia zakrzywionych filmów — takich jak ultracienkie skorupy żółwi.
Pewnego dnia umieścił niektóre z tych zakrzywionych filmów na stojącej wodzie i sfotografował, jak osiadły na powierzchni. „To była czysta ciekawość”, powiedział. Zdjęcia przyciągnęły uwagę Tobasco podczas nieformalnego spotkania z Paulsenem w 2017 roku.
„Wykazały, że można uzyskać te losowe, nieuporządkowane wzory zmarszczek – kiedy przeprowadzasz eksperyment dwa razy, otrzymujesz dwa różne wzory” – powiedział Tobasco, który jest obecnie adiunktem na Uniwersytecie Illinois w Chicago. „Chciałem sprawdzić, czy uda mi się wymyślić jakiś wyprowadzony sposób [przewidywania tych wzorów] z elastyczności, który zawierałby kształt skorupy. I że model nie zmieni się z muszli na muszlę”.
Wzory zmarszczek to konfiguracje o najmniejszej możliwej energii. Oznacza to, że gdy cienka warstwa osadza się na płaskiej powierzchni, zmienia się, aż znajdzie układ zmarszczek, nieuporządkowany lub nie, którego utrzymanie wymaga najmniejszej ilości energii. „Możesz organizować wzorce według ilości energii, która jest przechowywana, gdy [wzór] się manifestuje”, powiedział Tobasco.
Kierując się tą naczelną zasadą, wyizolował kilka cech filmu, które okazały się być tymi, które wybierają jego wzór, w tym miarę jego kształtu zwaną krzywizną Gaussa. Powierzchnia o dodatniej krzywiźnie Gaussa odgina się od siebie, jak zewnętrzna strona piłki. W przeciwieństwie do tego ujemnie zakrzywione powierzchnie mają kształt siodła, jak chip Pringlesa: jeśli idziesz w jednym kierunku, jedziesz w górę, ale jeśli idziesz w innym kierunku, schodzisz w dół.
Tobasco odkrył, że obszary o dodatniej krzywiźnie Gaussa wytwarzają jeden rodzaj uporządkowania uporządkowanych i nieuporządkowanych domen, a obszary o ujemnej krzywiźnie wytwarzają inne rodzaje. — Szczegółowa geometria nie jest tak ważna — powiedział Vella. „To naprawdę zależy tylko od znaku krzywizny Gaussa”.
Podejrzewali, że krzywizna Gaussa jest ważna dla zmarszczek, ale Vella powiedziała, że to zaskoczenie, że domeny tak bardzo zależą od znaku. Co więcej, teoria Tobasco dotyczy również szerokiego spektrum materiałów elastycznych, a nie tylko form Paulsena. „To ładna geometryczna konstrukcja, która pokazuje, gdzie pojawią się zmarszczki” – powiedział Vella. „Ale zrozumienie, skąd to się bierze, jest naprawdę głębokie i jest trochę zaskakujące”.
Paulsen się zgodził. „To, co bardzo pięknie robi teoria Iana, to przedstawienie ci całego wzoru na raz”.
Prawdziwe zmarszczki
Na początku 2018 r. Tobasco w większości ugruntował swoją teorię – ale mimo że działała na papierze, nie mógł być pewien, czy w prawdziwym świecie będzie trafna. Tobasco skontaktował się z Paulsenem i zapytał, czy byłby zainteresowany współpracą. „Coś po prostu zadziałało od razu” – powiedział Paulsen. „Dzięki niektórym przewidywaniom Iana, nałożonym na eksperymentalne zdjęcia, mogliśmy od razu zobaczyć, że się zgadzają”.
Na tegorocznej konferencji Towarzystwa Matematyki Przemysłowej i Stosowanej na temat Matematycznych Aspektów Nauki o Materiałach, Tobasco został przedstawiony Eleni Katifori, fizyk z University of Pennsylvania, który badał problem wzorów zmarszczek w zamkniętych muszlach i budował bazę danych wyników. To był szczęśliwy moment. „Możeliśmy zobaczyć domeny [w symulacjach], które wyjaśniła praca Iana” – powiedziała. Mecz był niesamowity. Już podczas pierwszych dyskusji było jasne, że teoria Tobasco, obrazy eksperymentalne Paulsena i symulacje Katifori opisują te same zjawiska. „Nawet na wczesnych etapach, kiedy nie mieliśmy nic konkretnego, mogliśmy zobaczyć związek”.
To wczesne podniecenie szybko zrodziło sceptycyzm. Wydawało się to zbyt piękne, aby mogło być prawdziwe. „Jest matematykiem i sprawia, że wszystkie te rzeczy są bezwymiarowe” – powiedział Paulsen, odnosząc się do tego, jak idee Tobasco dotyczące krzywizny można rozszerzyć daleko poza dwuwymiarowe płaskie materiały. „Czy naprawdę patrzymy na ten sam system? Zgadza się, ale czy powinien był się zgodzić?
Przez następne dwa lata trzej badacze wymyślali szczegóły, pokazując, że teoria Tobasco naprawdę przewidziała – dokładnie – układ zmarszczek, który Paulsen widział w swoich eksperymentach, a Katifori znalazła w swoich modelach komputerowych. 25 sierpnia opublikowali artykuł w: Fizyka przyrody seans jak wszystkie trzy podejścia zbiegają się w tym samym, prostym geometrycznym układzie zmarszczek. W szczególności odkryli, że wzorce należą do zgrabnych rodzin trójkątów równoramiennych, które wyznaczają domeny porządku i nieporządku. Ponadto wyniki nie ograniczają się do matematycznych abstrakcji niewiarygodnie cienkich materiałów, ale dotyczą wielu rzędów wielkości grubości.
Ich praca sugeruje również możliwości poszerzenia teorii i jej zastosowań. Katifori powiedziała, że jako fizyk jest zainteresowana wykorzystaniem prognoz do projektowania nowych materiałów. „Chcę zrozumieć, w jaki sposób można projektować powierzchnie, aby faktycznie samodzielnie organizowały pomarszczone wzory w coś, co chcesz”.
Innym otwartym pytaniem jest, jak ogólnie można zastosować teorię do różnych rodzajów zakrzywionych powierzchni. „Jest bardzo skoncentrowany na sytuacjach, w których [krzywizna Gaussa] jest albo pozytywna, albo negatywna, ale jest wiele sytuacji, w których niektóre regiony są pozytywne, a niektóre negatywne” – powiedział Vella.
Paulsen zgodził się, że jest to ekscytująca możliwość, a Tobasco powiedział, że aktywnie pracuje w tym obszarze i rozważa inne kształty muszli — na przykład te z otworami.
Ale Paulsen powiedział, że teoria, nawet w obecnej formie, jest piękna i zaskakująca. „Jeśli dam ci muszlę i kształt granicy oraz ten prosty zestaw zasad, które przewidziała teoria Iana, możesz wziąć kompas i linijkę i zasadniczo narysować zmarszczki” – powiedział. „To nie musiałoby się stać w ten sposób. To mogło być przerażające.
