Prosta geometria za Brownie Bake Offs i równymi obszarami

Gina, studentka geometrii, zeszłej nocy nie spała zbyt późno, odrabiając pracę domową podczas oglądania Great British Bake Off, więc kiedy w końcu poszła spać, jej zaspany umysł wciąż był pełen babeczek i kompasów. Doprowadziło to do bardzo niezwykłego snu.

Gina została jurorem Great Brownie Bake Off na Imaginary University, szkole, w której uczniowie uczą się dużo geometrii, ale bardzo mało arytmetyki. Zespoły uczniów Imaginary U miały za zadanie zrobić jak największe ciastko, a Gina miała wyłonić zwycięzcę.

Drużyna Alpha ukończyła jako pierwsza i z dumą zaprezentowała swoje prostokątne ciastko do oceny. Gina wyciągnęła linijkę i zmierzyła ciastko: miało 16 cali długości i 9 cali szerokości. Zespół Beta szybko podążył za swoim kwadratowym ciastkiem, które mierzyło 12 cali z każdej strony. Wtedy zaczęły się kłopoty.

„Nasze ciastko jest znacznie dłuższe niż twoje” — powiedział kapitan Drużyny Alfa. „Nasz jest wyraźnie większy, więc jesteśmy zwycięzcami!”

„Ale krótszy bok twojego prostokąta jest znacznie krótszy niż bok naszego kwadratu” — powiedział przedstawiciel Zespołu Beta. „Nasz plac jest wyraźnie większy. Wygraliśmy!"

Gina uznała za dziwne, że się o to kłóci. „Powierzchnia prostokątnego ciastka wynosi 9 razy 16, czyli 144 cale kwadratowe” – powiedziała. „Powierzchnia kwadratowego ciasteczka wynosi 12 razy 12, co daje również 144 cale kwadratowe. Ciasteczka są tego samego rozmiaru: to krawat”.

Obie drużyny wyglądały na zdezorientowane. „Nie rozumiem, co rozumiesz przez „czasy”” — powiedział jeden z uczniów, którego nigdy nie uczono mnożenia. „Ja też nie”, powiedział inny. Trzeci powiedział: „Słyszałem, że studenci w Complex College mierzą kiedyś obszar za pomocą liczb, ale co to w ogóle znaczy?” Wyimaginowany Uniwersytet był naprawdę dziwnym miejscem, nawet w snach.

Co Gina miała zrobić? Jak mogła przekonać zespoły, że ich ciastka są tego samego rozmiaru, skoro nie wiedziały, jak mierzyć powierzchnię i mnożyć liczby? Na szczęście Gina wpadła na genialny pomysł. – Daj mi nóż – powiedziała.

Gina zmierzyła 12 cali wzdłuż dłuższego boku prostokątnego ciasteczka i wykonała cięcie równoległe do krótszego boku. Spowodowało to przekształcenie dużego prostokąta w dwa mniejsze: jeden o wymiarach 9 na 12, a drugi 9 na 4. Trzema szybkimi cięciami zamieniła element o wymiarach 9 na 4 na trzy mniejsze elementy o wymiarach 3 na 4. Niewielka zmiana układu zaowocowała słyszalnymi ochami i aachami z tłumu: Gina zamieniła prostokąt w dokładną replikę kwadratu.

Obie drużyny musiały teraz zgodzić się, że ich ciasteczka były tego samego rozmiaru. Dokonując sekcji jednego i przestawiając go, aby utworzyć drugi, Gina wykazała, że ​​dwa ciasteczka zajmują tę samą całkowitą powierzchnię. Takie rozbiory były używane w geometrii od tysięcy lat, aby pokazać, że figury są tego samego rozmiaru, i istnieje wiele niezwykłych wyników dotyczących rozbiorów i równoważności. Nawet dzisiaj matematycy nadal używają sekcji i przegrupowań, aby w pełni zrozumieć, kiedy pewne kształty są równoważne, co prowadzi do zaskakujących ostatnich wyników.

Prawdopodobnie widziałeś przekroje geometryczne na lekcjach matematyki podczas opracowywania wzorów powierzchni dla podstawowych kształtów. Na przykład możesz pamiętać, że pole równoległoboku jest równe długości jego podstawy pomnożonej przez jego wysokość: Dzieje się tak, ponieważ równoległobok można podzielić na części i ponownie ułożyć w prostokąt.

Ta sekcja pokazuje, że pole równoległoboku jest równe polu prostokąta o tej samej podstawie i wysokości, co, jak wie każdy, kto nie uczęszczał na Imaginary University, jest iloczynem tych dwóch liczb.

Mówiąc o Imaginary U, Great Brownie Bake Off właśnie się rozgrzewało. Zespół Gamma podszedł z dużym trójkątnym ciastkiem. „Oto zwycięzca”, odważnie ogłosili. „Obie nasze boki są znacznie dłuższe niż pozostałe”.

Gina zmierzyła boki. „To też ma ten sam obszar!” wykrzyknęła. „To jest trójkąt prostokątny, a jego nogi mają wymiary 18 i 16, więc pole to…” Gina przerwała na chwilę, zauważając zdumienie na twarzach wszystkich. "Och nieważne. Po prostu daj mi nóż.

Gina zręcznie przecięła od środka przeciwprostokątnej do środka dłuższej nogi, a następnie obróciła nowo utworzony trójkąt tak, że po włożeniu do większego kawałka tworzył idealny prostokąt.

„To jest dokładnie nasze ciastko!” krzyknęła Drużyna Alfa. Rzeczywiście, wynikowy prostokąt miał wymiary 9 na 16: dokładnie taki sam rozmiar jak ich.

Zespół Beta miał wątpliwości. „Ale jak ten trójkąt wypada w porównaniu z naszym kwadratem?” – zapytał lider ich zespołu.

Gina była na to gotowa. „Wiemy już, że prostokąt i kwadrat mają ten sam rozmiar, więc z przechodniości trójkąt i kwadrat mają ten sam rozmiar”. Przechodniość jest jedną z najważniejszych właściwości równości: mówi, że jeśli a = b i b = c, następnie a = c. Gina kontynuowała: „Jeśli pole pierwszego ciastka jest równe polu drugiego, a pole drugiego ciastka jest równe polu trzeciego, to pierwsze i trzecie ciastko też muszą mieć równe pola”.

Ale Gina zbyt dobrze bawiła się sekcjami zwłok, żeby na tym poprzestać. – Albo moglibyśmy po prostu zrobić jeszcze kilka cięć.

Najpierw Gina obróciła prostokąt, który wcześniej był trójkątem. Następnie wycięła go, używając dokładnie tego samego wzoru, którego użyła na prostokącie Zespołu Alfa.

Następnie pokazała, jak ten nowy przekrój trójkąta Zespołu Gamma można przekształcić w kwadrat Zespołu Beta, dokładnie tak, jak zrobiła to z prostokątem Zespołu Alfa.

W tej sytuacji mówimy, że trójkąt i kwadrat są „przystające jak nożyczki”: można sobie wyobrazić, że za pomocą nożyczek pocięto jedną figurę na nieskończenie wiele części, które następnie można przestawić, tworząc drugą. W przypadku trójkąta i kwadratu ciasteczka pokazują dokładnie, jak działa ta kongruencja nożyczek.

Zauważ, że wzór działa w obu kierunkach: można go użyć do przekształcenia trójkąta w kwadrat lub kwadratu w trójkąt. Innymi słowy, przystawanie nożyc jest symetryczne: jeśli kształt A jest nożycami przystającymi do kształtu B, to kształt B jest również nożycami przystającymi do kształtu A.

W rzeczywistości powyższy argument dotyczący trójkąta, prostokąta i kwadratu pokazuje, że kongruencja nożyc jest również przechodnia. Ponieważ trójkąt to nożyce przystające do prostokąta, a prostokąt to nożyce przystające do kwadratu, trójkąt to nożyce przystające do kwadratu. Dowód znajduje się we wzorach: po prostu nałóż je na kształt pośredni, tak jak zrobiono to z prostokątem powyżej.

Jeśli pokroisz trójkąt na części tworzące prostokąt, a następnie pokroisz prostokąt na części tworzące kwadrat, powstałe części można wykorzystać do uformowania dowolnego z trzech kształtów.

Fakt, że kongruencja nożycowa jest przechodnia, leży u podstaw niesamowitego wyniku: jeśli dwa wielokąty mają to samo pole, to są przystające nożycowo. Oznacza to, że mając dowolne dwa wielokąty o tej samej powierzchni, zawsze możesz podzielić jeden na skończoną liczbę części i przestawić je, aby utworzyć drugi.

Dowód tego niezwykłego twierdzenia jest również niezwykle prosty. Najpierw pokrój każdy wielokąt na trójkąty.

Po drugie, zamień każdy trójkąt w prostokąt, podobnie jak Gina przestawiła trójkątne ciastko.

Teraz przychodzi trudna część techniczna: zamień każdy prostokąt w nowy prostokąt o szerokości jednej jednostki.

Aby to zrobić, zacznij odcinać kawałki prostokąta o szerokości jednej jednostki.

Jeśli możesz pociąć prostokąt na całkowitą liczbę kawałków o szerokości 1, gotowe: po prostu ułóż je jeden na drugim. W przeciwnym razie przerwij siekanie, gdy ostatni kawałek ma szerokość od 1 do 2 jednostek, a resztę ułóż jeden na drugim.

Nie martw się, jeśli sam prostokąt ma mniej niż 1 jednostkę szerokości: po prostu przekrój go na pół i użyj dwóch kawałków, aby utworzyć nowy prostokąt, który jest dwa razy dłuższy i o połowę grubszy. Powtarzaj w razie potrzeby, aż uzyskasz prostokąt o szerokości od 1 do 2 jednostek.

Teraz wyobraź sobie, że ten ostatni prostokąt ma wysokość h i szerokość w, z 1 w < 2. Przetniemy ten prostokąt i przekształcimy go w prostokąt o szerokości 1 i wysokości h × w. Aby to zrobić, nałóż h × w prostokąt z pożądanym hw × 1 taki prostokąt.

Następnie przetnij od rogu do rogu wzdłuż przerywanej linii i odetnij mały trójkąt w prawym dolnym rogu wzdłuż prawej krawędzi hw × 1 prostokąt.

To przecina h × w prostokąta na trzy części, które można ułożyć w hw × 1 prostokąt. (Uzasadnienie tego ostatniego rozbioru wymaga kilku sprytnych argumentów dotyczących podobnych trójkątów. Zobacz ćwiczenia poniżej, aby uzyskać szczegółowe informacje).

Na koniec umieść ten ostatni prostokąt na wierzchu stosu, a z powodzeniem zamienisz ten wielokąt — tak naprawdę dowolny wielokąt — w prostokąt o szerokości 1.

Teraz, jeśli obszar oryginalnego wielokąta był A, to wysokość tego prostokąta musi wynosić A, więc każdy wielokąt o polu A to nożyczki przystające do prostokąta o szerokości 1 i wysokości A. Oznacza to, że jeśli dwa wielokąty mają pole A, to oba są nożyczkami przystającymi do tego samego prostokąta, więc przez przechodniość są nożyczkami przystającymi do siebie. To pokazuje, że każdy wielokąt o powierzchni A to nożyczki przystające do każdego innego wielokąta o polu A.

Ale nawet ten potężny wynik nie wystarczył, aby pomyślnie ukończyć ocenę Brownie Bake Off Imaginary University. Pozostało jeszcze jedno zgłoszenie i nikt nie był zaskoczony tym, z czym pokazała się Drużyna Pi.

W chwili, gdy Gina zobaczyła zbliżający się krąg, obudziła się ze snu zlana zimnym potem. Wiedziała, że ​​nie można podzielić koła na skończoną liczbę części i ułożyć ich tak, by utworzyły kwadrat, prostokąt czy jakikolwiek wielokąt. W 1964 roku matematycy Lester Dubins, Morris Hirsch i Jack Karush udowodnili, że koło nie jest nożycami przystającymi do żadnego wielokąta. Sen Giny zmienił się w geometryczny koszmar.

Ale jak zawsze, matematycy przekształcili tę przeszkodę w nową matematykę. W 1990 roku Miklós Laczkovich udowodnił, że możliwe jest pocięcie koła i przekształcenie go w kwadrat, o ile można użyć nieskończenie małych, nieskończenie połączonych, nieskończenie postrzępionych kawałków, których nie da się wyprodukować za pomocą nożyczek.

Jakkolwiek zaskakujący i ekscytujący był wynik Laczkovicha, udowodnił on jedynie, że taki rozkład jest teoretycznie możliwy. Nie wyjaśniało, jak konstruować elementy, tylko to, że mogą istnieć. I tu do akcji wkroczyli Andras Máthé, Oleg Pikhurko i Jonathan Noel: na początku 2022 r. opublikował artykuł w którym dopasowali się do dokonań Laczkovicha, ale z kawałkami możliwymi do wizualizacji.

Niestety, nie będziesz mógł wykorzystać ich wyniku do rozliczenia jakichkolwiek wypieków. Same nożyczki nie mogą wyprodukować 10²⁰⁰ kawałki potrzebne do ich rozkładu. Jest to jednak kolejny krok naprzód w udzielaniu odpowiedzi na długą serię pytań, które zaczęły się, gdy Archimedes po raz pierwszy wynalazł lub odkrył $latex pi$. I sprawia, że ​​zmierzamy w kierunku wynalezienia lub odkrycia nowej matematyki, o której poprzednie pokolenia nie mogły marzyć.

ćwiczenia

1. Wyjaśnij, skąd wiemy, że przy wyprowadzaniu wzoru na pole równoległoboku odcięty trójkąt idealnie pasuje do przestrzeni po drugiej stronie równoległoboku.

2. Wyjaśnij, dlaczego każdy trójkąt można podzielić na prostokąt.

W przypadku ćwiczeń 3 i 4 rozważ diagram użyty do pokazania, że ​​an h × w prostokąt to nożyczki przystające do hw × 1 prostokąt z oznaczonymi punktami.

3. Wyjaśnij, dlaczego $trójkąt lateksowy$ XYQ jest podobny do $latextriangle$ ABX. Co to daje długość QY?

4. Wyjaśnij, dlaczego $trójkąt lateksowy$ PCX jest przystający do $trójkąta lateksowego$ AZQ.