Teoretyk, który widzi matematykę w sztuce, muzyce i pisaniu | Magazyn Quanta

Sarah Hart zawsze miała oko na ukryte sposoby, w jakie matematyka przenika do innych dziedzin. Już jako dziecko była pod wrażeniem wszechobecności cyfry 3 w swoich baśniach. Matka Hart, nauczycielka matematyki, zachęcała ją do poszukiwania wzorców, dając jej łamigłówki matematyczne dla zabicia czasu.

Hart uzyskał doktorat z teorii grup w 2000 roku, a później został profesorem na Birkbeck na Uniwersytecie Londyńskim. W badaniach Harta badano strukturę grup Coxetera, bardziej ogólnych wersji struktur katalogujących symetrie wielokątów i pryzmatów. W 2023 roku opublikowała Pewnego razu Prime, książka o sposobach, w jakie matematyka pojawia się w fikcji i poezji. „Ponieważ my, ludzie, jesteśmy częścią wszechświata, jest rzeczą naturalną, że nasze formy twórczej ekspresji, w tym literatura, również będą przejawiać skłonność do wzorców i struktur” – napisał Hart. „Matematyka jest zatem kluczem do zupełnie innego spojrzenia na literaturę”.

Od 2020 roku Hart jest profesorem geometrii w Gresham College w Londynie. W Gresham nie ma tradycyjnych kursów; zamiast tego każdy z profesorów wygłasza kilka publicznych wykładów rocznie. Hart jest pierwszą kobietą na tym 428-letnim stanowisku, które w XVII wieku zajmował Izaak Barrow, słynący z nauczania innego Izaaka (Newtona). Niedawno prowadził ją Roger Penrose, matematyk, który zdobył Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki w 17 roku. Hart rozmawiał z Quanta o tym, jak matematyka i sztuka wpływają na siebie. Wywiad został skrócony i zredagowany dla przejrzystości.

Dlaczego zdecydowałeś się napisać książkę o związkach matematyki i literatury?

Powiązania te są mniej zbadane i mniej znane niż te łączące matematykę i, powiedzmy, muzykę. Związki matematyki i muzyki celebrowano co najmniej już w czasach pitagorejczyków. Jednakże, chociaż prowadzono badania naukowe i pisarskie na temat konkretnych książek, autorów lub gatunków, nie widziałem książki przeznaczonej dla ogółu odbiorców, poświęconej szerszym powiązaniom między matematyką i literaturą.

Jak ludzie zajmujący się sztuką powinni myśleć o matematyce?

Istnieje wiele podobieństw między matematyką a, że ​​tak powiem, innymi sztukami. W literaturze, a także w muzyce i sztuce nigdy nie zaczyna się od niczego. Jeśli jesteś poetą, wybierasz: czy będę miał haiku z bardzo precyzyjnymi ograniczeniami liczbowymi, czy napiszę sonet, który będzie miał określoną liczbę wersów, określony układ rymów, określony metrum? Nawet coś, co nie ma schematu rymów, będzie miało podziały wierszy i rytm. Pojawią się ograniczenia, które inspirują kreatywność i pomagają się skoncentrować.

W matematyce mamy to samo. Mamy pewne podstawowe zasady. W ramach tego możemy eksplorować, bawić się i udowadniać twierdzenia. To, co matematyka może zrobić dla sztuki, to pomóc w znalezieniu nowych struktur, pokazać, jakie są możliwości. Jak wyglądałby utwór muzyczny, który nie miałby kluczowego podpisu? Możemy myśleć o 12 tonach i układać je inaczej. Oto wszystkie sposoby, jak możesz to zrobić. Oto różne schematy kolorów, które możesz wymyślić, oto różne formy licznika poetyckiego.

Jaki jest przykład wpływu literatury na matematykę?

Tysiące lat temu w Indiach poeci próbowali wymyślić możliwe mierniki. W poezji sanskryckiej są długie i krótkie sylaby. Długie jest dwa razy dłuższe niż krótkie. Jeśli chcesz obliczyć, ile jest takich, które zajmują czas trzech, możesz mieć krótkie, krótkie, krótkie lub długie, krótkie lub krótkie, długie. Istnieją trzy sposoby na zrobienie trzech. Istnieje pięć sposobów tworzenia frazy o długości czterech. Istnieje osiem sposobów na utworzenie frazy o długości pięciu. Sekwencja, którą otrzymujesz, to taka, w której każdy wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Dokładnie odtwarzasz to, co obecnie nazywamy ciągiem Fibonacciego. Ale to było wieki przed Fibonacciem.

A co z wpływem matematyki na literaturę?

Dość prosta sekwencja, ale działa bardzo, bardzo potężnie, to książka Eleanor Catton Luminarze, który ukazał się w 2013 roku. Użyła sekwencji 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Każdy rozdział w tej książce jest o połowę krótszy od poprzedniego. Daje to naprawdę fascynujący efekt, bo tempo przyspiesza, a wybory bohaterów są coraz bardziej ograniczone. Wszystko zmierza ku końcowi. Pod koniec rozdziały są wyjątkowo krótkie.

Innym przykładem nieco bardziej skomplikowanej struktury matematycznej są tak zwane ortogonalne kwadraty łacińskie. Kwadrat łaciński przypomina trochę siatkę sudoku. W tym przypadku będzie to siatka o wymiarach 10 na 10. Każda liczba pojawia się dokładnie raz w każdym wierszu i każdej kolumnie. Ortogonalne kwadraty łacińskie powstają poprzez nałożenie na siebie dwóch kwadratów łacińskich, tak aby w każdym odstępie znajdowała się para liczb. Siatka utworzona przez pierwszą liczbę w każdej parze jest kwadratem łacińskim, podobnie jak siatka utworzona przez drugą liczbę w każdej parze. Co więcej, w siatce par żadna para nie pojawia się więcej niż raz.

Są one bardzo przydatne na wiele sposobów. Można z nich utworzyć kody korygujące błędy, które są przydatne do wysyłania wiadomości za pomocą hałaśliwych kanałów. Ale jedną z największych zalet tych konkretnych egzemplarzy w rozmiarze 10 jest to, że jeden z największych matematyków wszechczasów, Leonhard Euler, uważał, że nie mogą one istnieć. To był jeden z nielicznych przypadków, kiedy popełnił błąd; dlatego było to takie ekscytujące. Długo po tym, jak poczynił przypuszczenie, że te rzeczy nie mogą istnieć w określonych rozmiarach, zostało ono obalone i w 1959 r. odkryto kwadraty tej wielkości. pokrywa of Scientific American tego roku.

Wiele lat później francuski pisarz Georges Perec poszukiwał struktury, którą mógłby wykorzystać w swojej książce Życie: podręcznik użytkownika. Wybrał jeden z tych ortogonalnych kwadratów łacińskich. Swoją książkę umieścił w paryskim apartamentowcu, który miał 100 pokoi i miał kwadrat 10 na 10. Każdy rozdział znajdował się w innym pomieszczeniu i każdy miał swój niepowtarzalny klimat. Miał listę 10 rzeczy – różne tkaniny, kolory i tym podobne. W każdym rozdziale zastosowano unikalną kombinację. To naprawdę fascynujący sposób na uporządkowanie książki.

Wyraźnie cenisz dobre pisanie. Co sądzisz o jakości pisania prac naukowych z matematyki?

Jest bardzo zmienny! Wiem, że cenimy zwięzłość, ale myślę, że czasami to posuwa się za daleko. Jest zbyt wiele artykułów, które nie zawierają żadnych przydatnych przykładów.

W rzeczywistości cenimy genialny argument, który – ponieważ tak sprytnie obejmuje wszystkie przypadki na raz – jest jednocześnie krótki i elegancki. To nie to samo, co zgniecenie długiego argumentu na mniejszej przestrzeni, niż jest to potrzebne, poprzez pokrycie strony tajemniczymi pieczęciami, które stworzyłeś, aby skrócić zapis, ale które nie tylko czytelnik, ale prawdopodobnie ty sam będziesz musiał mozolnie rozpakować jeszcze raz, żeby zrozumieć, co się dzieje.

Nie przywiązujemy wystarczającej uwagi do pomocnej notacji, która przypomina czytelnikowi, co oznacza. Właściwy zapis może całkowicie zmienić fragment matematyki i stworzyć przestrzeń dla uogólnień. Pomyśl o przejściu, historycznie rzecz biorąc, od pisania nieznanej, jej kwadratu i sześcianu trzema różnymi literami, i o ile bardziej prawdopodobne, a nawet możliwe, jest rozpoczęcie myślenia o tym, kiedy zacząłeś pisać , i zamiast tego.

Czy widzisz ewolucję w powiązaniach matematyki i sztuki?

Cały czas pojawiają się nowe rzeczy. Fraktale były wszędzie w latach 1990. Na ścianie każdego pokoju w akademiku wisiał obrazek przedstawiający zestaw Mandelbrota lub coś w tym rodzaju. Wszyscy mówili: „Och, to ekscytujące, fraktale”. Dostajesz na przykład muzyków, kompozytorów, którzy w swoich kompozycjach wykorzystują sekwencje fraktali.

Kiedy miałem około 16 lat, pojawiły się nowe rzeczy zwane kalkulatorami graficznymi. Bardzo ekscytujące. Znajomy mojej matki dał mi program, który potrafił narysować zbiór Mandelbrota na jednym z tych małych kalkulatorów graficznych. Miał około, nie wiem, 200 pikseli. Programujesz to, a potem muszę to zostawić na 12 godzin. Na końcu wykreśliłoby te 200 punktów. Zatem nawet zwykli uczniowie mogli się tym zająć pod koniec lat 80. i na początku 90. i sami stworzyć te zdjęcia.

Wygląda na to, że nawet gdy byłeś w szkole, byłeś już bardzo zainteresowany hardcorową matematyką.

 Myślę, że interesowałem się tym, zanim w ogóle się zorientowałem, że to oznacza, że ​​jestem matematyczny. Po prostu zawsze tworzyłam wzory z czasów, gdy byłam małym, malutkim dzieckiem.

Kiedy byłem mały, moją ulubioną zabawką były bardzo proste, drewniane, malowane płytki. Przybyły w różnych kolorach. Robiłem z nich wzory, a potem z dumą patrzyłem na nie przez dzień lub dwa, a potem robiłem kolejny.

Kiedy trochę podrosłem, bawiłem się liczbami i przyglądałem się wzorom. To mama byłaby tą, do której poszłabym i powiedziała: „Nudzę się”. A potem mówiła: „No cóż, czy możesz ustalić, jaki jest wzór liczby punktów potrzebnych do zbudowania trójkąta?” czy cokolwiek to było. Chciałaby, żebym na nowo odkrył liczby trójkątne czy coś, i byłbym bardzo podekscytowany.

Biedna moja mama, z iloma niesamowitymi wynalazkami poszłabym do swojej mamy. „Opracowałem zupełnie nowy sposób robienia czegoś!” A ona odpowiadała: „OK, to bardzo miłe. Ale wiesz, Kartezjusz myślał o tym wieki temu. A potem odejdę; Kilka dni później wpadłem na kolejny niesamowity pomysł. „To cudownie, kochanie. Ale starożytni Grecy mieli taki.”

Czy pamiętasz jakieś szczególnie satysfakcjonujące momenty ze swojej kariery naukowej w dziedzinie matematyki?

Zawsze satysfakcjonujące są momenty, w których w końcu rozumiesz, jaki wzór widzisz, a także momenty, w których zastanawiasz się, jak ukończyć dowód, z którym się zmagasz. Moje najsilniejsze wspomnienia związane z tym uczuciem zachwytu, prawdopodobnie dlatego, że poczułem je po raz pierwszy, pochodzą z początków mojej kariery badawczej. Ale to wciąż cudowne uczucie, gdy w końcu rozumiesz, co się dzieje.

Bardzo wcześnie próbowałem udowodnić coś na temat nieskończonych grup Coxetera. Rozwiązałem niektóre przypadki, a przyglądając się pozostałym, wymyśliłem technikę, która zadziała, jeśli spełnione zostanie określone kryterium. Zależności te można zapisać na wykresie, więc zacząłem tworzyć zbiór wykresów, do których można zastosować moją technikę. To było w czasie świąt Bożego Narodzenia jednego roku.

Po pewnym czasie mój zestaw zdjęć zaczął wyglądać jak konkretny zestaw wykresów wymienionych w książce o grupach Coxetera, która znajdowała się w moim biurze, i zacząłem mieć nadzieję, że to dokładnie ten zestaw wykresów. Gdyby tak było, wypełniłoby to lukę w moim dowodzie i moje twierdzenie byłoby skończone. Ale nie mogłem tego sprawdzić na pewno, dopóki nie wróciłem na uniwersytet po Bożym Narodzeniu – to było, zanim można było wszystko po prostu wygooglować. Myślę, że oczekiwanie na potwierdzenie moich przeczuć sprawiło, że było jeszcze lepiej, gdy dotarłem do książki i porównałem mój odręczny zestaw diagramów z tymi w książce i rzeczywiście się zgadzały.

Co sądzisz o pytaniu, czy matematykę tworzy się, czy odkrywa? Prawie nikt nie zaprzeczy, że którykolwiek z pisarzy, o których piszesz w swojej książce, „odkrył” swoje powieści. Czy jest to zasadnicza różnica między matematyką a literaturą, czy nie?

Prawdopodobnie tak, choć nadal istnieją pewne rezonanse.

Uprawianie matematyki jest jak odkrycie. Gdybyśmy wymyślali matematykę, udowodnienie pewnych rzeczy z pewnością nie byłoby takie trudne! Czasami bardzo chcemy, żeby coś było prawdą, a tak nie jest. Przypuszczam, że nie możemy uniknąć konsekwencji logiki.

Kiedy to robisz, wszystko to przypomina odkrycie. Niektóre wybory odzwierciedlają to, czego doświadczamy w prawdziwym świecie, jak na przykład aksjomaty geometrii, z którymi pracujemy, które są wybierane, ponieważ wydaje się, że mniej więcej tak wygląda rzeczywistość – chociaż nawet tam nie ma czegoś takiego jak „punkt” lub „ linii” (ponieważ nie możemy narysować czegoś, co nie zajmuje miejsca, a linia w geometrii nie ma szerokości i rozciąga się w nieskończoność).

W pewnym stopniu istnieją podobieństwa do tego kontinuum w literaturze. Kiedy już zdefiniujesz zasady sonetu, będzie ci trudno napisać taki, którego pierwsza linijka kończy się na „pomarańczowy” lub „komin”.

Ale nie mogę się powstrzymać, żeby nie podzielić się czymś, co J.R.R. Tolkien mówił o pisaniu Hobbit: „Wszystko zaczęło się, gdy czytałem prace egzaminacyjne, aby zarobić trochę dodatkowych pieniędzy. … Cóż, pewnego dnia natknąłem się na pustą stronę w zeszycie egzaminacyjnym i nabazgrałem ją. „W dziurze w ziemi żył hobbit”. O tych stworzeniach wiedziałem niewiele więcej, a jego historia upłynęła latami. Nie wiem, skąd wzięło się to słowo.”

Hobbici – stworzył ich czy odkrył?